KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: CMR với mọi số tự nhiên n thì n 4 + 6n³ + 11n² + 30n – 24 chia hết cho 24. Bài 2: Xác định a và b để A = x 4 – 2x³ + 3x² + ax + b là bình phương của một số thực. Bài 3: CMR với mọi số thực a, b, c, d ta có (ab + cd)² ≤ (a² + c²)(b² + d²) với a ≥ c; b ≥ c; c > 0. CMR: ( ) ( ) c a c c b c ab − + − ≤ Bài 4: Rút gọn B 4 10 2 5 4 10 2 5 = + + + − + Tìm x để biểu thức C x x 2012= − − có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 5: Cho tam giác ABC (AB < AC), M là điểm trên cạnh BC vẽ BI ⊥ AM, CK ⊥ AM. Xác định vị trí của M để tổng BI + CK lớn nhất. Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Đường thẳng qua C cắt các cạnh AB và AD kéo dài tại F và E. a. CMR: Tích DE.BF không đổi. b. CMR: 2 2 DE AE BF AF = KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: Tìm số tự nhiên sao cho tổng số đó với các chữ số của nó bằng 2017. Câu 2: Tìm x, y, z trong các trường hợp sau a. x = 2y = 3z và x² + y² + z² = 441 b. x² + y² + z² + 4049028 ≤ 4(14x + 5y + 1006z) Câu 3: Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện a³ + b³ + c³ = 3abc và a + b + c = 6048. Tính giá trị của biểu thức P = (a – 2011) 2011 + (b – 2012) 2012 + (c – 2013) 2013 Câu 4: Cho tam giác ABC có diện tích S không đổi. Điểm M; N; P thuộc AB, BC, CA sao cho AM BN CP k MB NC PA = = = (k > 0) a. Chứng minh ABC 1 S AB.ACsinA 2 = và AMP 2 S k S (k 1) = + b. Tìm k để S MNP nhỏ nhất Câu 5: Cho tam giác vuông cân ABC ở A, AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD. Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đường thẳng PD. a. Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất. b. Chứng minh rằng khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định. . KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: CMR với. dài tại F và E. a. CMR: Tích DE.BF không đổi. b. CMR: 2 2 DE AE BF AF = KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: Tìm số. Tìm x, y, z trong các trường hợp sau a. x = 2y = 3z và x² + y² + z² = 441 b. x² + y² + z² + 40 490 28 ≤ 4(14x + 5y + 1006z) Câu 3: Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện a³ + b³ + c³ = 3abc và a + b +