KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: (7 điểm) Giải hệ phương trình: 4 4 x 3 4y y 3 4x + = + = Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thỏa mãn các bất đẳng thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c c a b b c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a + + ≥ + + ≥ + + + + + + + + + + + Thì |a| = |b| = |c| Bài 2: (6 điểm) 1. Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích cũng là số nguyên gồm 4 chữ số, trong đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm giống nhau. 2. A, B, C là một nhóm ba người thân thuộc. Cha của A thuộc nhóm đó, cũng vậy con gái của B và người song sinh của C cũng ở trong nhóm đó. Biết rằng C và người song sinh của C là hai người khác giới tính và C không phải là con của B. Hỏi trong ba người A, B, C ai là người khác giới tính với hai người kia? Bài 3: (7 điểm) Cho đường tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Đường tròn (O 1 ) nội tiếp trong tam giác ACD. Đường tròn (O 2 ) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OD của tam giác OBD và tiếp xúc trong với đường tròn (O). Đường tròn (O 3 ) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OC của tam giác OBC và tiếp xúc trong với đường tròn (O). Đường tròn (O 4 ) tiếp xúc với 2 tia CA và CD và tiếp xúc ngoài với đường tròn (O 1 ). Tính bán kính của các đường tròn (O 1 ), (O 2 ), (O 3 ), (O 4 ) theo R. KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: 1. Tính giá trị của biểu thức: 11 3 A . 4 5 3 . 3 5 5 3 . 3 5 5 3 59 + = + + + + + − + + 2. Cho số N = k 4 + 2k³ – 16k² – 2k + 15 với k là số nguyên. Tìm điều kiện của k để số N chia hết cho 16. Câu 2: Cho biểu thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 x z y z M 2x z 2y z + + = + − − , trong đó x, y, z là các biến khác 0 thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 1 1 2 x y z + = . Hỏi biểu thức M có thể nhận giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? Câu 3: Cho phương trình x² + 3y² + 2xy – 10x – 14y + 18 = 0. Tìm nghiệm số của phương trình mà tổng giá trị của x và y: a. Đạt giá trị lớn nhất; b. Đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 4: Cho hai số thực a > 0 và x. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 a 1 (a ) x 2x 1 (x 2x 2) 2a 4 (a )(x 2x 2) a 2 a + − + + − + + − ≤ + − + Câu 5: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau ở O. Gọi diện tích của tứ giác ABCD là S, gọi diện tích của các tam giác AOB và COD lần lượt là S 1 và S 2 . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai cạnh AB và CD song song với nhau là: 1 2 S S S= + . . theo R. KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: 1. Tính giá trị của biểu thức: 11 3 A . 4 5 3 . 3 5 5 3 . 3 5 5 3 59 + = +. KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: (7 điểm) Giải