KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: a. Cho a, b > 0, c ≠ 0. Chứng minh rằng: 1 1 1 0 a b a c b c a b c + + = ⇔ + = + + + b. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 1 1 1 x y x 1 y 1 xy 2 + = − + − = + Câu 2: a. Cho p ≥ 5 là số nguyên tố sao cho 2p + 1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6 và 2p² + 1 không phải là số nguyên tố. b. Giải phương trình nguyên: x³ = y³ + xy + 8 Câu 3: a. Tìm tất cả các số nguyên n để bất đẳng thức: (n² – 1)x < – 3n³ – 4n² + n + 2 đúng với mọi số nguyên dương x. b. Cho x, y, z là các số thực không âm và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P = xy + yz + zx. Câu 4: Cho hình vuông ABCD tâm O. Gọi K, N lần lượt là trung điểm của AB, BC và F là trung điểm của NC. Từ A kẻ đường thẳng song song với KF cắt CD tại G. Chứng minh FG là tiếp tuyến của đường tròn tâm O nội tiếp trong hình vuông. Câu 5: Giải phương trình: 2 2 2 2 x 3 x 3 x x x 3 x x 3 + − + = + + − − KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: a. Chứng minh nếu b là số nguyên tố lớn hơn 3 và 10b + 1 cũng là số nguyên tố thì 5b + 1 chia hết cho 6. b. Tìm nghiệm nguyên của phương trình x² + x + 13 = y². Bài 2: Cho xyz = 1, chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 x xy 1 y yz 1 z xz + + = + + + + + + . Bài 3: Rút gọn biểu thức: 2 2 2 2x 1 x 1 2x 1 x ( ). x 1 1 x 2x − + + − − + − − Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 4 2 4 A 13 x x 9 x x = − + + với 0 ≤ x ≤ 1. Bài 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh 1 đơn vị. Trên cạnh BC và CD lần lượt lấy M và N sao cho MC + CN + MN = 2. Các đoạn thẳng AM, AN lần lượt cắt đường chéo DB tại I, K. Chứng minh các đoạn thẳng BI, LK, KD lập thành ba cạnh của một tam giác vuông. . KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: a. Cho. vuông. Câu 5: Giải phương trình: 2 2 2 2 x 3 x 3 x x x 3 x x 3 + − + = + + − − KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: a. Chứng. 2x 1 x ( ). x 1 1 x 2x − + + − − + − − Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 4 2 4 A 13 x x 9 x x = − + + với 0 ≤ x ≤ 1. Bài 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh 1 đơn vị. Trên cạnh BC và CD lần