Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI MÔN : TOÁN LỚP 8 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2 điểm): Tìm x biết: a) | x – 3 2 | < 3 1 b) – 3 x = – 6561 c) (2x – 1) 2012 = (2x – 1) 2010 Bài 2 (2 điểm): a) Số tự nhiên A = 2012 3 21+ là số nguyên tố hay hợp số? Giải thích. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B = 2x 2 + y 2 +2xy – 8x + 2028 c) Tìm x, y, z biết : 10x 2 + y 2 + 4z 2 + 6x – 4y – 4xz + 5 = 0 Bài 3 (1,5 điểm ): Một khối 8 có 3 2 số học sinh đội tuyển Toán bằng 4 3 số học sinh đội tuyển Anh và bằng 5 4 số học sinh đội tuyển Văn. Đội tuyển Văn có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của hai đội tuyển kia là 38 học sinh. Tính số học sinh của mỗi đội tuyển. Bài 4 (1,5 điểm): Cho x(m + n) = y(n + p) = z(p + m) trong đó x, y, z là các số khác nhau và khác 0 , chứng minh rằng: )yx(z mp )xz(y pn )zy(x nm − − = − − = − − Bài 5 (3điểm ): Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Trên tia đối của tia AC lấy điểm I sao cho AI = AM. a) Chứng minh rằng : CM ⊥ BI. b) Trên BC lấy điểm P sao cho BP = 2CP. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC có chứa điểm A, vẽ tia Px sao cho góc xPB bằng 60 0 . Tia Px cắt tia CA tại D. Tính số đo góc CBD . Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN :TOÁN LỚP 8 Bài 1(2 điểm): a) | 3 2 x − | < 3 1 ⇔ 3 1 − < 3 2 x − < 3 1 ⇔ 3 1 < x < 1 (0,5 điểm) b) – 3 x = – 6561 hay: – 3 x = – 3 8 ⇒ x = 8 (0,5 điểm) c) (2x – 1) 2012 = (2x – 1) 2010 ⇔ (2x – 1) 2012 – (2x – 1) 2010 = 0 ⇔ (2x – 1) 2010 1– (2x–1) 2 = 0 ⇔ (2x – 1) 2010 (1– 2x + 1) (1+ 2x – 1) = 0 (0,5 điểm) ⇔ 2x – 1= 0 hoặc 2 –2x = 0 hoặc 2x = 0 ⇔ x = 2 1 ; x = 1 ; x = 0 (0,5 điểm) Bài 2(2 điểm): a) 3 2012 3 nên có thể viết 3 2012 = 3n (n ∈ N) ⇒ A = 2012 3 21+ =1 3 +2 3n =1 3 +(2 n ) 3 (0,25 điểm) =(1+2 n ) 1– 2 n +(2 n ) 2 ⇒ A là hợp số (0,25 điểm) b) B = 2x 2 + y 2 +2xy – 8x + 2028 = x 2 + 2xy + y 2 + x 2 – 8x + 16 + 2012 = (x + y) 2 + (x – 4) 2 + 2012 ≥ 2012 (0,25 điểm) Đẳng thức xảy ra ⇔ x + y = 0 và x – 4 = 0 ⇔ x = 4 ; y = – 4 (0,25 điểm) Giá trị nhỏ nhất của B là 2012 ⇔ x = 4 ; y = – 4 (0,25 điểm) c) 10x 2 + y 2 + 4z 2 + 6x – 4y – 4xz + 5 = 0 9x 2 + 6x + 1+ y 2 – 4y + 4+ 4z 2 – 4xz + x 2 = 0 (3x + 1) 2 + (y – 2) 2 + (2z– x) 2 = 0 (0,25 điểm) Do đó : 3x + 1 = 0 và y – 2 = 0 và 2z – x = 0 (0,25 điểm) ⇔ x = 3 1 − ; y = 2; z = 6 1 − (0,25 điểm) Bài 3 (1,5 điểm): Gọi số học sinh đội tuyển Toán, Anh,Văn thứ tự là x, y, z (x, y, z ∈ N) .Ta có z 5 4 y 4 3 x 3 2 == ⇒ 12 1 . 5 z4 12 1 . 4 y3 12 1 . 3 x2 == (0,5điểm) ⇒ 2 19 38 15)1618( z)yx( 15 z 16 y 18 x == −+ −+ === (0,5điểm) Tính đúng: x = 36; y = 32; z = 30 và kết luận (0,5điểm) Bài 4(1,5 điểm ) : Vì xyz ≠ 0 nên : x(m + n) = y(n + p) = z(p + m) Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng ⇒ xyz )mp(z xyz )pn(y xyz )nm(x + = + = + (0,25 điểm) hay : xy mp xz pn yz nm + = + = + (0,25 điểm) = yzxz )nm()pn( xyyz )mp()nm( xzxy )pn()mp( − +−+ = − +−+ = − +−+ (0,5điểm) = )yx(z mp )xz(y pn )zy(x nm − − = − − = − − (0,5điểm) Bài 5(3điểm): a)Tia IM cắt BC tại H (0,25điểm) ABC ∆ vuông cân tại A nên 0 45C = ∧ , IAM ∆ vuông cân tại M nên 0 45I = ∧ (0,25điểm) IHC ∆ có ∧ C + 0 90I = ∧ ⇒ ∧ H = 90 0 ⇒ IH ⊥ BC (0,25điểm) -Chứng minh được M là trực tâm của IBC ∆ ⇒ CM ⊥ BI. (0,5điểm) b) Gọi E là điểm đối xứng với B qua PD ⇒ EP = PB = 2PC (0,25điểm) ⇒ ∆ BPE cân tại P nên đường trung trực PD cũng là phân giác ⇒ BPD = DPE = 60 0 ⇒ EPC = 60 0 (0,25điểm) - Chứng minh được EPC ∆ vuông tại C (0,25điểm) - Chứng minh được CD là phân giác của ∆ PCE (0,25điểm) - Chứng minh được ED là phân giác ngoài tại đỉnh E của ∆ PCE (0,25điểm) - Chứng minh được yEP = 150 0 ⇒ DEP = 75 0 (0,25điểm) - Chứng minh được PBD = 75 0 hay CBD = 75 0 (0,25điểm) *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó. A C H M I B P A B C K x D y E Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng . sinh đội tuyển Anh và bằng 5 4 số học sinh đội tuyển Văn. Đội tuyển Văn có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của hai đội tuyển kia là 38 học sinh. Tính số học sinh của mỗi đội tuyển. Bài 4 (1,5. Tôn Nữ Bích Vân Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI MÔN : TOÁN LỚP 8 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2 điểm): Tìm x biết: a) | x – 3 2 |. + y 2 +2xy – 8x + 20 28 c) Tìm x, y, z biết : 10x 2 + y 2 + 4z 2 + 6x – 4y – 4xz + 5 = 0 Bài 3 (1,5 điểm ): Một khối 8 có 3 2 số học sinh đội tuyển Toán bằng 4 3 số học sinh đội tuyển