Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân -Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 8 Thời gian: 90 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) 3 – x 3 – y 3 – z 3 . b) x 4 + 2012x 2 + 2011x + 2012. Bài 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức: 2 2 x 2 1 10 x A : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 − = + + − + ÷ ÷ − − + + a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính giá trị của A , Biết |x| = 1 2 . c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Bài 3 : (2 điểm) a) Giải phương trình : 18 1 42x13x 1 30x11x 1 20x9x 1 222 = ++ + ++ + ++ b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : A = 3 cba c bca b acb a ≥ −+ + −+ + −+ Bài 4: (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC 2 . 1 Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân -Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng ĐÁP ÁN Bài 1: (2 điểm) a) (x + y + z) 3 – x 3 – y 3 – z 3 = ( ) 3 3 3 3 x y z x y z + + − − + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 y z x y z x y z x x y z y yz z + + + + + + + − + − + = ( ) ( ) 2 y z 3x 3xy 3yz 3zx + + + + = 3 ( ) ( ) ( ) y z x x y z x y + + + + = 3 ( ) ( ) ( ) x y y z z x+ + + . (1 điểm) b)x 4 + 2012x 2 + 2011x + 2012 = (x 4 - x) + (2012x 2 +2012x+2012) = x(x 3 - 1) + 2012 (x 2 +x+1) = x(x -1) (x 2 +x+1) )+ 2012 (x 2 +x+1) = (x 2 +x+1) [x(x -1) + 2012] = (x 2 +x+1) (x 2 –x + 2012) (1 điểm) Bài 2: (2,5 điểm) Biểu thức: 2 2 x 2 1 10 x A : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 − = + + − + ÷ ÷ − − + + a) Rút gọn được kết qủa: 1 A x 2 − = − (0,75 điểm) b) 1 x 2 = 1 x 2 ⇒ = hoặc 1 x 2 − = (0,25 điểm) ⇒ A= 3 2 hoặc A= 5 2 (0,75 điểm) c) A < 0 ⇔ x - 2 >0 ⇔ x >2 (0,25 điểm) d) A ∈ Z ⇔ Z 2x 1 ∈ − − ⇔ x-2 ∈ Ư(-1) ⇔ x-2 ∈ { -1; 1} ⇔ x ∈ {1; 3} (0,5 điểm) Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) x 2 +9x+20 = ( x+4)( x+5) ; x 2 +11x+30 = ( x+6)( x+5) ; x 2 +13x+42 = ( x+6)( x+7) ; (0,25 điểm) 2 Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân -Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng ĐKXĐ : 7;6;5;4 −≠−≠−≠−≠ xxxx (0,25 điểm) Phương trình trở thành : 18 1 )7)(6( 1 )6)(5( 1 )5)(4( 1 = ++ + ++ + ++ xxxxxx 18 1 7 1 6 1 6 1 5 1 5 1 4 1 = + − + + + − + + + − + xxxxxx 18 1 7 1 4 1 = + − + xx (0,25 điểm) 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ đó tìm được x=-13; x=2; (0,25 điểm) b) (1đ) Đặt b+c-a = x >0; c+a-b = y >0; a+b-c = z >0 (0,25 điểm) Từ đó suy ra a= 2 ; 2 ; 2 yx c zx b zy + = + = + ; (0,25 điểm) Thay vào ta được A= +++++= + + + + + )()()( 2 1 222 y z z y x z z x y x x y z yx y zx x zy (0,25 điểm) Từ đó suy ra A )222( 2 1 ++≥ hay A 3≥ (0,25 điểm) Bài 4: (3,5 điểm) a)Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) ⇒ BE // DF (0,25 điểm) Chứng minh : ( )BEO DFO g c g∆ = ∆ − − ⇒ BE = DF (0,5 điểm) Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành (0,25 điểm) 3 Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân -Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng b) Chứng minh: ∠ ABC= ∠ ADC ⇒ ∠ HBC= ∠ KDC (0,25 điểm) ⇒ ∆ CHB ∽ ∆ CKD(g-g) (0,5 điểm) CB.CKCD.CH CD CB CK CH =⇒=⇒ (0,5 điểm) c)Chứng minh : ∆ AFD ∽ ∆ AKC(g-g) (0,25 điểm) ⇒ AC.AFAK.AD AC AD AK AF =⇒= (0,25 điểm) Chứng minh : ∆ CFD ∽ ∆ AHC(g-g) ⇒ AC CD AH CF = (0,25 điểm) Mà : CD = AB ⇒ AC.CFAH.AB AC AB AH CF =⇒= (0,25 điểm) Suy ra : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC 2 (0,25 điểm) O F E K H C A D B 4 . Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân -Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 8 Thời gian: 90 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a). trở thành : 18 1 )7)(6( 1 )6)(5( 1 )5)(4( 1 = ++ + ++ + ++ xxxxxx 18 1 7 1 6 1 6 1 5 1 5 1 4 1 = + − + + + − + + + − + xxxxxx 18 1 7 1 4 1 = + − + xx (0,25 điểm) 18( x+7)- 18( x+4)=(x+7)(x+4) . Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Bài 3 : (2 điểm) a) Giải phương trình : 18 1 42x13x 1 30x11x 1 20x9x 1 222 = ++ + ++ + ++ b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác .