a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 1.. Tính xác suất để tích 2 số ghi trên 2 quả cầu lấy ra là một số chia hết cho 3.. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang... Tính xác suất
Trang 1>> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1
Câu 1 (2,0 điểm).Cho hàm số 3
yx x (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b) Tìmm để phương trìnhx33x 1 m 0có ba nghiệm phân biệt
Câu 2 (1,0 điểm).Giải phương trình sau trên tập số thực: 2 1
3 x 4.3x 1 0
Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình 2sin 3 cosx x 3 cos 2xsin 4 x
Câu 4 (1,0 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 1 2 3 2 2 1
2
f x x x xx
b) Từ một hộp chứa 20 quả cầu được đánh số từ 1 đến 20, lấy ngẫu nhiên hai quả cầu Tính xác suất
để tích 2 số ghi trên 2 quả cầu lấy ra là một số chia hết cho 3
Câu 5 (1,0 điểm).Cho hình chóp S ABC có đáy ABCD là hình thoi cạnh D a, ABC60 0 Cạnh SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD góc giữa ), SC và mặt phẳng ( ABCD bằng ) 60 , gọi 0 M là trung điểm của S B Tính theo athể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SD
Câu 6 (1,0 điểm).Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) C có tâm (1; 2) I ,( )C cắt trục
hoành tại A và B cắt đường thẳng, : 3x4y 6 0 tại C và D Viết phương trình đường tròn ( ) C biết
6
AB CD
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD có CD2AB,phương trình hai đường chéo của hình thang làAC x: y 4 0và BD x: y 2 0.Biết tọa độ hai điểm ,
A B dương và hình thang có diện tích bằng 36 Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
( , y )
x
Câu 9 (1,0 điểm).Cho x y z, , là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện yz =1x Chứng minh
(1 x) (1 y) (1 z) 4
- Hết -
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN I
NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Trang 2>> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2
1a
(1,0 đ) Cho hàm số
3
yx x
• Tập xác định của hàm số là D = R
• Sự biến thiên:
+ Giới hạn tại vô cực: lim ; lim
+ Đạo hàm: y' 3 x23; ' 0y x 1 ;
0,25
+ Bảng biến thiên:
x -11
y‟ + 0 -0 +
0
+ Hàm số đồng biến trên (;-1) và (1; ); Hàm số nghịch biến trên (-1;1)
+ Hàm số đạt cực tiểu tạix1;y ct 0 ; Hàm số đạt cực đại tạix 1;y cd 4
0,5
Đồ thị
Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận điểm uốn I(0;2) làm tâm đối xứng
0,25
1b Tìm m để phương trình: x33x 1 m 0 có ba nghiệm phân biệt
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG
ĐÁP ÁN THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN I
NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Trang 3>> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3
(1,0 đ)
3
3
3x+2 = m + 1
m x
0,25
Ta có số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị (C ) và đường
thẳng y = m + 1 Phương trình (1) có 3 nghiêm phân biệt khi đường thẳng
y=m + 1 cắt đồ thị (C ) tại ba điểm phân biệt
0,25
Dựa vào đồ thị ta có điều kiện: 0 m 1 4 1 m 3
Vậy m ( 1;3)thỏa mãn yêu cầu bài toán
0,5
2
(1,0 đ) Giải phương trình sau trên tập số thực:
2x 1
3 4.3x 1 0
1 3 3
x x
0,5
0 1
x x
Vậy tập nghiệm của phương trình là S={-1 ; 0}
0,25
3
(1,0đ) Giải phương trình: 2sin 3x.cos x 3 cos 2xsin 4x
2sin 3x.cos x 3 cos 2x sin 4x
sin4x sin 2x 3 cos 2x sin 4x
sin2x 3 cos 2x 0
0,5
Vậy phương trình có nghiệm
(k )
x k
0,5
4a
(0,5 đ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 2
1
2
Ta có TXĐ: D 0; 2
'(x) 0 x 1
f
f
0,25
5 (0) 1; (2) 1; (1)
2
x D
5 min ( ) (1)
2
x D
f x f
0,25
Trang 4>> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4
4b
(0,5đ)
Từ một hộp chứa 20 quả cầu được đánh số từ 1 đến 20, lấy ngẫu nhiên hai quả cầu
Tính xác suất để tích 2 số ghi trên 2 quả cầu lấy ra là một số chia hết cho 3
Chọn hai quả cầu trong 20 quả cầu được đánh số từ 1 đến 20 ta có 2
20
C cách
Số phần tử của không gian mẫu là: C202 190
0,25
Gọi A là biến cố: “tích 2 số ghi trên 2 quả cầu lấy ra là một số chia hết cho 3”
Trong các số từ 1 đến 20 các số chia hết cho 3 là 3;6;9;12;15;18
Tích 2 số ghi trên hai quả cầu là một số chia hết cho 3, xảy ra các trường hợp sau
Trường hợp 1: Mộtsố chia hết cho 3 và một số không chia hết cho 3 Ta có 1 1
6 14
C C
cách
Trường hợp 2: Cả hai số đều chia hết cho 3 Ta có 2
6
C cách
Nên số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 1 1 2
A C C C
190
A
Vậy xác suất để tích 2 số ghi trên 2 quả cầu là một số chia hết cho 3 là 99
190
0,25
5
(1,0 đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnhvới mặt phẳng ABCD, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng a Cạnh 0 SA vuông góc
60 , gọi M là trung điểm của SB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai
đường thẳng AM, SD
0 0
2 0 D
tan 60 3
3 sin 60
2
ABC
AC a SCA
a
S BA BC
3
1
S ABC ABC
a
0,5
B
C +
D
S
O
A
M
Trang 5>> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 5
O
3
D / /(AM O) (SD, ) d(SD, (AMO)) d(D, (AM O)) MAO
AM
V
S
3
MAO MABC SABC S ABC
a
Tam giác AMO có
2 O
M SBa MO S a OA S
3a a 15 d(D, (AM O))
5 15
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SD là a 15
5
0,25
6
(1,0 đ)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) C có tâm (1; 2) I , ( )C cắt
trục hoành tại A và B cắt đường thằng , : 3x+4y 6 0 tại C và D Viết phương
trình đường tròn ( )C biết AB C D6
Gọi bán kính của đường tròn (C) là R(R > 0)
Ta có d(I, AB)= d(I,Ox) = 2; d(I; CD) =d(I,) = 1 Suy ra R > 2
0,25
0,5
Vậy phương trình đường tròn (C) là (x1)2 (y 2)2 5 0,25
7
(1,0 đ)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang cân ABC có D CD2AB,
phương trình hai đường chéo của hình thang là AC x: y 4 0và
B x y Biết tọa độ hai điểm A B dương và hình thang có diện tích bằng ,
36 Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang
Gọi I là giao điểm hai đường chéo AC và BD Tọa độ I là nghiệm của hệ
(3;1)
I
0,25
D 2 IAB 3 AB 3 3 ABC
I
Trang 6>> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 6
2
IAB IA IB IA IAIB
Gọi A(a; 4-a) (0<a<4)
8 (a 3) (3 a) 8
1
a IA
a
Suy ra A(1;3)
Gọi B(b;b-2)(b>2)
8 (b 3) (b 3) 8
5
IB
b
Suy ra B(5;3)
0,25
2 (4; 4) (7; 3)
2 ( 4; 4) ( 1; 3)
Vậy A(1;3), B(5;3), C(7;-3);D(-1;-3)
0,25
8
(1,0 đ)
( , y )
x
Điều kiện 1
2
y
( dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y và x, y dương)
Nên từ phương trình 2 ta có x = y
0,5
Thay y = x vào phương trình (1) ta có
2
2
2
2(x 1)
2x-1 1 2
2x-1 1 1
2
2x-1 1
x
Với x 1 y 1 (thỏa mẵn điều kiện)
0,25
Nên phương trình (3) vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1)
0,25
9 Cho x y z, , là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện xyz =1 Chứng
Trang 7>> Truy cập http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 7
(1,0 đ)
(1 x) (1 y) (1 z) 4
x, y, z dương và xyz = 1 nên luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn hoặc bằng 1 hoặc hai
số cùng nhỏ hơn hoặc bằng 1 Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là x, y
(x 1)(y 1) 0 x y xy 1
0,25
z
z
0,5
Ta có
2
0
1 (1 ) 4 ( 1) 1 (1 z) 4
(1 ) (1 ) (1 ) 4
Dấu „=‟ xảy ra khi x = y = z =1
0,25