đề thi lớp 10 môn toán tỉnh nghệ an năm 2015 2016

Hỏi giá mỗi quả dừa và giá mỗi quả thanh long là bao nhiêu?. Biết rằng mỗi quả dừa có giá như nhau và mỗi quả thanh long có giá như nhau.. Điểm A chuyển động trên đường tròn O sao cho ta

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

NGHỆ AN NĂM HỌC: 2015 - 2016

Đề chính thức

(Đề thi gồm 01 trang) Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,5 điểm)

Cho biểu thức P 1 4

x 4

x 2



 a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 1

4

Câu 2: (1,5 điểm)

Số tiền mua 1 quả dừa và 1 quả thanh long là 25 nghìn đồng Số tiền mua 5 quả dừa và

4 quả thanh long là 120 nghìn đồng Hỏi giá mỗi quả dừa và giá mỗi quả thanh long là bao nhiêu ? Biết rằng mỗi quả dừa có giá như nhau và mỗi quả thanh long có giá như nhau

Câu 3: (2,0 điểm)

Cho phương trình: x2 + 2(m + 1)x + m2 – 3 = 0 (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi m = 2

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 và x2 sao cho x12 + x22 = 4

Câu 4: (3,0 điểm)

Cho đường tròn (O) có dây BC cố định không đi quả tâm O Điểm A chuyển động trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Kẻ các đường cao BE và CF của tam giác ABC (E thuộc AC, F thuộc AB) Chứng minh rằng:

a) BCEF là tứ giác nội tiếp

b) EF.AB = AE.BC

c) Độ dài đoạn thẳng EF không đổi khi A chuyển động

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho ba số thực dương x, y thỏa mãn x + y  3

Chứng minh rằng: x y 1 2 9

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Hết

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

NGHỆ AN NĂM HỌC: 2015 - 2016

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM.

Môn: TOÁN

1

(2,5 đ) a

(1,5đ)

Điều kiện xác định:

x 0

x 2 0

x 4 0









  



x 0

x 4











Rút gọn:

P

x 4

x 2

P

x 2 ( x 2)( x 2)





x 2 4 P

( x 2)( x 2)

x 2 P

( x 2)( x 2)

 







P 1

x 2



x 2





0,5

0,25

0,25 0,25 0,25

b (1,0đ)

Với x = 1

4 (tmđk) thay vào biểu thức P

Ta được: P =

4





Vậy với x = 1

4 thì P = 2

5

0,75 0,25

2

(1,5đ)

Gọi x (nghìn đồng) là giá mỗi quả dừa

và y (nghìn đồng) là giá mỗi quả thanh long

Điều kiện: 0 < x < 25; 0 < y < 25

Vì số tiền mua 1 quả dừa và 1 quả thanh long là 25 nghìn đồng Nên ta có phương trình x + y = 25 (1)

Do số tiền mua 5 quả dừa và 4 quả thanh long là 120 nghìn đồng, do đó ta có phương trình 5x + 4y = 120 (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

5x 4y 120x y 25 



0,25

0,25 0,25 0,25 0,25

5x 5y 125

5x 4y 120



 



x 20 (tmdk)

y 5





 





Vậy giá mỗi quả dừa là 20 nghìn đồng và giá mỗi quả thanh long

là 5 nghìn đồng

0,25

3

(2,0 đ)

a

(1,0đ)

Thay m = 2 vào phương trình (1), ta được:

x2 + 2(2 + 1)x + 22 – 3 = 0  x2 + 6x + 1 = 0

Ta có:   ' 32 - 1 = 8 > 0 Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt

x1 = - 3 - 2 2; x2   3 2 2

Vậy với m = 2 thì phương trình (1) có tập nghiệm là:

S =   3 2 2; 3 2 2   

0,25 0,25 0,25 0,25

b

(1,0đ)

Ta có: /

 = (m + 1)2 – m2 + 3 = m2 + 2m +1 – m2 + 3 = 2m + 4

Để phương trình (1) có 2 nghiệm    ' 0 2m 4 0    m  2(4) Theo hệ thức vi-ét, ta có: 1 2 2







Theo bài ra, ta có: 2 2

 (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4 (*) Thay (2) và (3) vào (*), ta được:  2(m 1)  2 2(m 2  3) 4 

 4(m + 1)2 – 2(m2 – 3) = 4  4m2 + 8m + 4 – 2m2 + 6 – 4 = 0  m2 + 4m + 3= 0

Phương trình có dạng: a - b +c = 1 - 4 + 3 = 0

 PT có 2 nghiệm: m1 = - 1(TMĐK 4); m2 = - 3 (KTMĐK 4) Vậy với m = - 1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 sao cho

x12 + x22 = 4

0,25 0,25

0,25 0,25

4

(3,0đ)

Vẽ

hình

đúng

N

M

H O F

E

C B

A

0,5

a Ta có: BEC 90 (gt)   0

BFC 90   0 (gt)

Xét tứ giác AFDE có BEC BFC 90     0

 Tứ giác AFDE nội tiếp đường tròn (Vì có hai đỉnh E và F kề

nhau cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 900)

0,25 0,25

0,5

b Do tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (cm câu a)

BCE BFE 180

Mà EFA BFE 180     0 (Vì hai góc kề bù)

Suy ra: AFE BCE   

Xét  EFA và BCA  có: BAC chung

AFE BCE    (cm trên)

  EFA  BCA(g.g)

 EF AE

EF.AB AE.BC

0,25 0,25

0,25

0,25

c Ta có: HEA 90 (gt)   0 ; AFH 90   0 (gt)

Xét tứ giác AFDE có HEA AFH 180     0

 Tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn (Vì có tổng 2 góc đối diện

bằng 1800)

Do đó r bán kính đường tròn ngoại tiếp  AEF là r =1AH

Vẽ đường kính AN của đường tròn (O)

Khi đó: ACN 90   0(góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

 NC  AC mà BE  AC (gt)  NC / /BE hay NC / /BH (2)

ABN 90   0(góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

 NB  AB mà CF AB(gt)   NB / /CFhay NB / /CH (3)

Từ (2) và (3) suy ra: Tứ giác BHCN là hình bình hành

Gọi M là giao điểm của BC và HN  M là trung điểm của BC;

của HC (Tính chất hình bình hành)

Xét  NAH có OA = ON = R (R là bán kính đường tròn (O) cũng

là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

MH = MN (cmt)

 OM là đường trung bình của  NAH

2

Từ (1) và (4) suy ra: OM = r Mặt khác:  EFA  BCA(cm câu b)  EF AE AF r EF r

hay

BCABAC R BCR

r.BC EF

R

Từ (4) và (5) EF OM.BC

R

đổi do O, B, M, C cố định) Vậy Độ dài đoạn thẳng EF không đổi khi A chuyển động

0,25

0,25

5

(1,0đ)

Ta có:

x y

2x y

1.2 x.1 2 1y.2 1.3

= 1 + 2 + 3

2 = 9

2 (BĐT côsi và x + y  3)

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

1 x x

x 1

y

y 2

x y 3





















  





     x= 1 và y = 2 (đpcm)

0,25 0,25 0,25

0,25

Hồ Văn Oai giáo viên trường THCS quỳnh Xuân, Thị xã Hoàng Mai, Nghệ an

.