đề thi lớp 10 môn toán tỉnh nghệ an năm 2015 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NGHỆ AN NĂM HỌC: 2015 - 2016 Đề chính thức (Đề thi gồm 01 trang) Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức 1 4 P x 4 x 2 = − − − a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 1 4 Câu 2: (1,5 điểm) Số tiền mua 1 quả dừa và 1 quả thanh long là 25 nghìn đồng. Số tiền mua 5 quả dừa và 4 quả thanh long là 120 nghìn đồng. Hỏi giá mỗi quả dừa và giá mỗi quả thanh long là bao nhiêu ? Biết rằng mỗi quả dừa có giá như nhau và mỗi quả thanh long có giá như nhau. Câu 3: (2,0 điểm) Cho phương trình: x 2 + 2(m + 1)x + m 2 – 3 = 0 (1) (m là tham số) a) Giải phương trình (1) khi m = 2. b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x 1 và x 2 sao cho x 1 2 + x 2 2 = 4. Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) có dây BC cố định không đi quả tâm O. Điểm A chuyển động trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Kẻ các đường cao BE và CF của tam giác ABC (E thuộc AC, F thuộc AB). Chứng minh rằng: a) BCEF là tứ giác nội tiếp. b) EF.AB = AE.BC. c) Độ dài đoạn thẳng EF không đổi khi A chuyển động. Câu 5: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y thỏa mãn x + y 3≥ . Chứng minh rằng: 1 2 9 x y 2x y 2 + + + ≥ Đẳng thức xảy ra khi nào ? Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NGHỆ AN NĂM HỌC: 2015 - 2016 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM. Môn: TOÁN Câu Ý Nội dung Điểm 1 (2,5 đ) a (1,5đ) Điều kiện xác định: x 0 x 2 0 x 4 0 ≥   − ≠ ⇔   − ≠  x 0 x 4 ≥   ≠  Rút gọn: 1 4 P x 4 x 2 1 4 P x 2 ( x 2)( x 2) = − − − = − − − + x 2 4 P ( x 2)( x 2) x 2 P ( x 2)( x 2) + − = − + − = − + 1 P x 2 = + . Vậy 1 P x 2 = + 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 b (1,0đ) Với x = 1 4 (tmđk) thay vào biểu thức P Ta được: P = 1 1 2 1 5 1 2 2 2 4 = = + + Vậy với x = 1 4 thì P = 2 5 0,75 0,25 2 (1,5đ) Gọi x (nghìn đồng) là giá mỗi quả dừa và y (nghìn đồng) là giá mỗi quả thanh long. Điều kiện: 0 < x < 25; 0 < y < 25. Vì số tiền mua 1 quả dừa và 1 quả thanh long là 25 nghìn đồng Nên ta có phương trình x + y = 25 (1) Do số tiền mua 5 quả dừa và 4 quả thanh long là 120 nghìn đồng, do đó ta có phương trình 5x + 4y = 120 (2) Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: x y 25 5x 4y 120 + =   + =  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 5x 5y 125 5x 4y 120 + =  ⇔  + =  x 20 (tmdk) y 5 =  ⇔  =  Vậy giá mỗi quả dừa là 20 nghìn đồng và giá mỗi quả thanh long là 5 nghìn đồng. 0,25 3 (2,0 đ) a (1,0đ) Thay m = 2 vào phương trình (1), ta được: x 2 + 2(2 + 1)x + 2 2 – 3 = 0 ⇔ x 2 + 6x + 1 = 0 Ta có: '∆ = 3 2 - 1 = 8 > 0 Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 = - 3 - 2 2 2; x 3 2 2= − + Vậy với m = 2 thì phương trình (1) có tập nghiệm là: S = { } 3 2 2; 3 2 2− − − + 0,25 0,25 0,25 0,25 b (1,0đ) Ta có: / ∆ = (m + 1) 2 – m 2 + 3 = m 2 + 2m +1 – m 2 + 3 = 2m + 4 Để phương trình (1) có 2 nghiệm ' 0 2m 4 0 m 2 ⇔ ∆ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ − (4) Theo hệ thức vi-ét, ta có: 1 2 2 1 2 x x 2(m 1) (2) x .x m 3(3) + = − +    = −   Theo bài ra, ta có: 2 2 1 2 4+ =x x ⇔ (x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = 4 (*) Thay (2) và (3) vào (*), ta được: [ ] 2 2 2(m 1) 2(m 3) 4− + − − = ⇔ 4(m + 1) 2 – 2(m 2 – 3) = 4 ⇔ 4m 2 + 8m + 4 – 2m 2 + 6 – 4 = 0 ⇔ m 2 + 4m + 3 = 0 Phương trình có dạng: a - b +c = 1 - 4 + 3 = 0 ⇒ PT có 2 nghiệm: m 1 = - 1(TMĐK 4); m 2 = - 3 (KTMĐK 4) Vậy với m = - 1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm x 1 ; x 2 sao cho x 1 2 + x 2 2 = 4. 0,25 0,25 0,25 0,25 4 (3,0đ) Vẽ hình đúng N M H O F E C B A 0,5 a Ta có: · 0 BEC 90 (gt)= · 0 BFC 90= (gt) Xét tứ giác AFDE có · · 0 BEC BFC 90= = ⇒ Tứ giác AFDE nội tiếp đường tròn (Vì có hai đỉnh E và F kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90 0 ) 0,25 0,25 0,5 b Do tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (cm câu a) · · 0 BCE BFE 180⇒ + = (Tính chất tứ giác nội tiếp) Mà · · 0 EFA BFE 180+ = (Vì hai góc kề bù) Suy ra: · · AFE BCE= Xét EFA và BCA∆ ∆ có: · BAC chung · · AFE BCE= (cm trên) ⇒ EFA∆ BCA ∆ (g.g) ⇒ EF AE EF.AB AE.BC CB AB = ⇒ = 0,25 0,25 0,25 0,25 c Ta có: · 0 HEA 90 (gt)= ; · 0 AFH 90= (gt) Xét tứ giác AFDE có · · 0 HEA AFH 180+ = ⇒ Tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn (Vì có tổng 2 góc đối diện bằng 180 0 ) Do đó r bán kính đường tròn ngoại tiếp AEF∆ là r = 1 AH 2 (1) Vẽ đường kính AN của đường tròn (O) Khi đó: · 0 ACN 90= (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) NC AC⇒ ⊥ mà BE AC(gt) NC / /BE hay NC / /BH (2)⊥ ⇒ · 0 ABN 90= (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) NB AB⇒ ⊥ mà CF AB(gt) NB / /CFhay NB / /CH(3)⊥ ⇒ Từ (2) và (3) suy ra: Tứ giác BHCN là hình bình hành. Gọi M là giao điểm của BC và HN M⇒ là trung điểm của BC; của HC (Tính chất hình bình hành) Xét NAH∆ có OA = ON = R (R là bán kính đường tròn (O) cũng là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) MH = MN (cmt) ⇒ OM là đường trung bình của NAH∆ 1 OM AH (4) 2 ⇒ = Từ (1) và (4) suy ra: OM = r Mặt khác: EFA∆ BCA∆ (cm câu b) ⇒ EF AE AF r EF r hay BC AB AC R BC R = = = = r.BC EF R ⇒ = (5) Từ (4) và (5) OM.BC EF R ⇒ = không đổi (vì OM; BC và R không đổi do O, B, M, C cố định) Vậy Độ dài đoạn thẳng EF không đổi khi A chuyển động. 0,25 0,25 5 (1,0đ) Ta có: 1 2 x y 2x y + + + 1 1 1 2 1 x y (x y) 2 x 2 y 2     = + + + + +  ÷  ÷     1 1 1 2 1 .2 x. 2 y. .3 2 x 2 y 2 ≥ + + = 1 + 2 + 3 2 = 9 2 (BĐT côsi và x + y 3 ≥ ) Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 1 x x x 1 1 2 y y 2 2 y x y 3  =   =   = ⇔   =    + =   Vậy 1 2 9 x y 2x y 2 + + + ≥ ⇔ x= 1 và y = 2 (đpcm) 0,25 0,25 0,25 0,25 Hồ Văn Oai giáo viên trường THCS quỳnh Xuân, Thị xã Hoàng Mai, Nghệ an. . . DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NGHỆ AN NĂM HỌC: 2015 - 2016 Đề chính thức (Đề thi gồm 01 trang) Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu. xảy ra khi nào ? Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NGHỆ AN NĂM HỌC: 2015 - 2016 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM. Môn: TOÁN Câu Ý Nội dung. Số tiền mua 1 quả dừa và 1 quả thanh long là 25 nghìn đồng. Số tiền mua 5 quả dừa và 4 quả thanh long là 120 nghìn đồng. Hỏi giá mỗi quả dừa và giá mỗi quả thanh long là bao nhiêu ? Biết rằng