luyện đề toán THPT quốc gia 1

Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 CỔNG LUYỆN THI TRỰC TUYẾN SỐ VIỆT NAM LUYỆN GIẢI ĐỀ MƠN TỐN TRƯỚC KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015 (Tập 1) Phiên bản: 2015 Tham gia khóa học trực tuyến mơn Tốn MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 Tham gia khóa học trực tuyến mơn Tốn MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 LUYỆN GIẢI ĐỀ TRƯỚC KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015 [Mơn Tốn – Đề số 01] Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2x − m (với m tham số) mx + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho m = b) Chứng minh với m ≠ 0, đồ thị hàm số cho cắt đường thẳng d: y = 2x – 2m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Đường thẳng d cắt trục Ox, Oy điểm M, N Tìm m để S ∆OAB = 3S ∆OMN Câu (1,0 điểm) Giải phương trình sin x + cos x + ( sin x + cos x ) = + cos x ln(1 + ln x) dx x e Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ Câu (1,0 điểm)  + i   2i  a) Cho số phức z thỏa mãn i.z =   +  1− i  1+ i  11 Tìm mơđun số phức w = z + iz b) Giải phương trình log x + log 2 x = 5log x + 25 log 2 x Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A (1;1; ) , B ( 0; −1;3) Gọi C giao điểm đường thẳng AB mặt phẳng (xOy) Tìm tọa độ điểm M đường thẳng AB cho mặt cầu tâm M bán kính MC cắt mặt phẳng (xOy) theo giao tuyến đường trịn có bán kính Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AD = 2a, SA ⊥ (ABCD) SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A lên SB Tính theo a thể tích khối chóp H.SCD khoảng cách hai đường thẳng AD SC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y − 3) = điểm M ( 4; ) (C ) Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt ( A, B cho ) MA + MB = + Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình x − x + x ≤ (x − x + 2) ( x ∈ ») Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b3 = c3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a + b2 − c2 ( c − a )( c − b ) Tham gia khóa học trực tuyến mơn Tốn MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu (2,0 điểm) a) Các em học sinh tự làm 2x − m = x − 2m mx + 1   x ≠ − m x ≠ − m ⇔ ⇔  f ( x ) = m x − 2mx − m =  f ( x ) = x − 2mx − = 0(*)   b) PT hoành độ giao điểm ( C ) d : ( ) ∆ = m + > 0∀m ≠  Xét pt (*) có:    ⇔ ( d ) ∩ ( C ) = { A ≠ B} ∀m ≠  f  − m  = + m ≠ 0∀m ≠     x A + xB = m   x A ⋅ xB = −  Theo định lí Vi-et ta có   y A = x A − 2m   y B = xB − m  ' AB = ( x A − xB ) + ( y A − y B ) −2 m ( x A + xB ) = ( x A − xB ) = 2 − x A xB m ; AB = m + 2, M ( m;0 ) , N ( 0; −2m ) 5 1 ⇒ SOAB = h AB = m m + 2, S ∆OMN = OM ON = m 2 1 S ∆OAB = 3S ∆OMN ⇔ m2 + = m ⇔ m = ± Vậy m = ± giá trị cần tìm 2 h = d ( O, d ) = = Câu (1,0 điểm) PT ⇔ sin x + cos x + ( sin x + cos x ) = + cos x ⇔ sin x cos x + cos x − cos 2 x + 4(sin x + cos x ) = ⇔ cos x(sin x + − cos x ) + 2(sin x + cos x ) = ( ) ⇔ cos x sin x cos x + sin x + 2(sin x + cos x ) = ⇔ (sin x + cos x )(cos x sin x + 1) = π +) Với sin x + cos x = ⇔ x = − + kπ, k ∈ Z +) Với cos x sin x + = ⇔ − sin x sin x + = ⇔ (sin x − 1) − sin x − = π ⇔ sin x = ⇔ x = + 2mπ, ( m ∈ Z ) Câu (1,0 điểm) x =1⇒ t = Đặt t = ln x ⇒ dt = dx Đổi cận ⇒ I = ∫ ln + t dt x = e ⇒ t =1 x ( ) ( ( ( ) 2t  u = ln + t dt  du = Đặt  ⇒ + t ⇒ I = t ln + t dv = dt   v = t ( ) ) ) 2t −∫ dt = ln − J 1+ t 1 t2  π  Xét J = ∫ dt = ∫ 1 −  dt = ( t − arctan t ) = − t +1  t +1 0 Tham gia khóa học trực tuyến mơn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Vậy I = ln − + Facebook: Lyhung95 π Câu (1,0 điểm) 11  (1 + i )2   2i (1 − i )  a) Ta có i.z =   +  = 16 − i ⇒ z = −1 − 16i ⇒ z = −1 + 16i       Do w = z + iz = −1 − 16i + i ( −1 + 16i ) = −17 − 17i ⇒ w = 17 + 17 = 17 b) Đặt t = log x ta có t + t − = 15 25 + t t  − 21 1− 21  t = x=2  ⇔ ⇔ t + t − 2t − 15t − 25 = ⇔ t − t − t + 2t + = ⇔  1+ 21  + 21 x = 2 t=    ( )( )  t + = t + ⇒ t 15 25  1 5 3 Cách khác: t + t − = + ⇔  t +  =  +  ⇒  t t  2  t 2 t + + + = ⇒ t  t  2 Câu (1,0 điểm) A M N C (Oxy) B Gọi C ( c1; c2 ;0 ) ∈ ( Oxy ) ta có AC = ( c1 − 1; c2 − 1; −2 ) ; AB = ( −1; −2;1) Do C = ( AB ) ∩ ( Oxy ) ⇒ C ∈ ( AB ) AC ; AB phương Nên tồn số thực k cho AC = k AB c1 − = − k c1 =  Vậy AC = k AB ⇔ c2 − = −2k ⇔  ⇒ C ( 3;5; ) c2 =  −2 = k  Gọi M ( m, n, p ) ∈ ( AB ) ⇒ AM = ( m − 1; n − 1; p − ) ; AB = ( −1; −2;1) AM ; AB phương nên tồn số thực t cho AM = t AB Tham gia khóa học trực tuyến mơn Tốn MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 m − = −t m = − t   ⇔ n − = −2t ⇔ n = − 2t ⇒ M (1 − t ;1 − 2t ; + t ) p−2 = t p = 2+t   Ta có CM = ( t + )2 + ( 2t + )2 + ( + t )2 = 6t + 24t + 24 Gọi N hình chiếu vng góc M ( Oxy ) suy MN = z M = t + Tam giác MNC vuông N suy MN + NC = MC t = 6t + 24t + 24 = t + 4t + + 20 ⇔ 5t + 20t = ⇔   t = −4 Với t = ⇒ M (1;1; ) ; t = −4 ⇒ M ( 5;9; −2 ) Vậy M (1;1; ) M ( 5;9; −2 ) điểm cần tìm Câu (1,0 điểm) +) Tính thể tích khối chóp H.SCD Do ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AD = 2a ⇒ AB = BC = CD = a Trong ∆ v SAB : SA2 = SH SB SH SA2 SA2 6a = = = = SB SB SA + AB a V SH 6 Lại có: HSCD = = ⇒ VHSCD = VSBCD VS BCD SB 7 ⇒ Dựng BE ⊥ AD ⇒ Trong ∆ v ABD có: a a2 ⇒ S BCD = a a = a = 4 BE AD = AB.BD ⇒ BE = ⇒ VSBCD = SA.S BCD 6a 3a ⇒ VHSCD = VSBCD = = 28 14 +) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SC Do AD / / BC ⇒ AD / / ( SBC ) ⇒ d ( AD, SC ) = d ( AD, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) Dựng hình bình hành ADBG Vì AB ⊥ BD ⇒ AB ⊥ AG  AG ⊥ AB Nối GH, dựng AI ⊥ GH Ta có:  ⇒ AG ⊥ ( SAB ) ⇒ AG ⊥ SB, AG ⊥ AH  AG ⊥ SA  AG ⊥ SB Lại có:  ⇒ SB ⊥ ( AGH ) ⇒ SB ⊥ AI Và AI ⊥ GH ⇒ AI ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AI  AH ⊥ SB Từ ta có: 1 1 1 1 a = + = + + = + + = ⇒ AI = 2 2 2 AI AG AH AG AB SA BD AB SA 6a Vậy d ( A, ( SBC ) ) = AI = a Câu (1,0 điểm) Ta có phương tích MA.MB = MI − R với I tâm đường tròn, I (1;3) Tham gia khóa học trực tuyến mơn Tốn MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 Thật vậy, gọi H hình chiếu I đoạn AB ( )( ) ( ) MA.MB = MH + HA MH + HB = MH + MH HA + HB + HA.HB = MH − HA2 = MI + HI − ( HA2 + HI ) = MI − R MI = 10 > R nên M nằm ngồi đường trịn, MA.MB = Theo giả thiết ( ) ( MA + MB = + ⇔ MA + MB + MA.MB = + ) ⇔ MA + MB = ⇒ ( MA + MB ) = 20 ⇔ MA2 + MB + 2MA.MB = 20 ⇒ MA2 + MB = 18 ⇒ MA2 + MB − 2MA.MB = 16 ⇔ MB − MA = 16 ⇔ AB = Từ AH = ⇒ IH = R − AH = Ta có d : a ( x − ) + b ( y − ) = 0; a + b > Khi d ( I ; AB ) = ⇔ 3a − b a +b 2 = ⇔ 9a − 6ab + b = 5a + 5b  b = −2 a ⇔ 4a − 6ab − 4b = ⇔ ( 2a + b )( a − 2b ) = ⇔   a = 2b • Với b = −2a ⇒ a = 1; b = −2 ⇒ d : x − y + = • Với a = 2b ⇒ b = 1; a = ⇒ x + y − 12 = Vậy có hai đường thẳng cần tìm x − y + = 0; x + y − 12 = Câu (1,0 điểm) Điều kiện x ∈ » Bất phương trình cho tương đương với x3 − x ( x − x + ) + Đặt x2 − x + = t (x − x + 2) ≥ ( t > ) thu x = t x3 − xt + 2t ≥ ⇔ x ( x + 2t ) − xt ( x + 2t ) + t ( x + 2t ) ≥ ⇔ ( x + 2t )( x − t ) ≥ ⇔   x + 2t ≥ x ≥ • x = t ⇔ x = x2 − x + ⇔  ⇔ x=2 x = x2 − x +  x > x >   • x + 2t ≥ ⇔ x − x + ≥ − x ⇔   x ≤ ⇔  x ≤ ⇔ x∈»   2    4 x − x + ≥ x  3 x − x + ≥ Bất phương trình cho có tập nghiệm S = » Câu (1,0 điểm) a b > 0, y = > x + y3 = c c 3 = x + y + xy ( x + y ) = + xy ( x + y ) Do a, b, c > , đặt x = Ta có ( x + y ) Chia tử mẫu biểu thức P cho c ≠ thay x = a b > 0, y = > ta c c Tham gia khóa học trực tuyến mơn Tốn MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 ( x + y ) − xy − x2 + y − P= = (1 − x )(1 − y ) − ( x + y ) + xy + t > t > t −1  Đặt t = x + y ⇒ xy = , x, y > nên ta có  ⇔1< t ≤ t3 −1 ⇔  3t t ≤ t ≥ 3t  t − 3t + t +2 Biểu thức trở thành P = = = 1+ = f (t ) t − 3t + 3t −1 t −1 t −1 4+2 Vì < t ≤ ⇒ < t − ≤ − suy f (t ) ≥ −1 Vậy giá trị nhỏ biểu thức 4+2 a = b, c = a −1 Tham gia khóa học trực tuyến mơn Tốn MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 LUYỆN GIẢI ĐỀ TRƯỚC KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015 [Mơn Tốn – Đề số 02] Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] 2x −1 có đồ thị (C) x−2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b) Đường thẳng d qua điểm E(4; 4) cắt (C) điểm phân biệt A, B cắt hai tia Ox, Oy Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = M, N cho tam giác OMN có diện tích nhỏ Viết phương trình tiếp tuyến (C) A, B Câu (1,0 điểm) Giải phương trình cos 2 x − cos x + sin x + cos x = + sin x cos x x4 − Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ ( ln( x + 1) − ln x )dx x Câu (1,0 điểm) a) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 = 1, z1 + z2 = Tính z1 − z2 b) Tìm m để phương trình 3log 27 (2 x − x + 2m − 4m ) + log x + mx − 2m = có hai nghiệm x1 ; x2 cho x12 + x2 > Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1 : x+ y −5 z +7 x−2 y z +1 = = = = d : Viết phương trình đường thẳng ∆ qua −1 1 −1 − M (−1; 2; 0), vng góc với đường thẳng d1 tạo với d góc 600 Câu (1,0 điểm) Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình chữ nhật, AB = a Hình chiếu vng góc đỉnh C ' xuống mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc AC cho AH = AC Biết góc hai mặt phẳng (CDD ' C ') (ABCD) 600; khoảng cách từ B đến mặt phẳng (CDD ' C ') 3a Tính thể hình hộp ABCDA ' B ' C ' D ' bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A ' ABC theo a Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo AC nằm đường thẳng d : x + y − = Điểm E ( 9; ) nằm đường thẳng chứa cạnh AB, điểm F ( −2; −5) nằm đường thẳng chứa cạnh AD, AC = 2 Xác định tọa độ đỉnh hình thoi ABCD biết điểm C có hồnh độ âm  ( x − y)  2x +1 + y +1 = Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  ( x + y )( x + y ) + x + y =  Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn 2ab + 5bc + 6ca = 6abc ab 4bc 9ca + + Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = b + a 4c + b a + 4c Tham gia khóa học trực tuyến mơn Tốn MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ Câu (2,0 điểm) a) Các em học sinh tự làm x y b) Đường thẳng ( d ) : + = 1, ( a > 0, b > ) a b 4 Đường thẳng (d) qua điểm E ( 4; ) ⇒ + = a b 4 4.4 Ta có = + ≥ = ⇔ ab ≥ ⇔ ab ≥ 64 a b ab ab a = b  S ∆OMN = ab ≥ 32 suy S ∆OMN = 32 ⇔  4 ⇔ a =b=8 + =1 a b  Vậy S ∆OMN nhỏ 32 a = b = ⇒ ( d ) : y = − x + Giao điểm (d) (H) A ( 3;5 ) ; B ( 5;3) f ' ( ) = −3; f ' ( ) = − +) Phương trình tiếp tuyến (H) A ( 3;5 ) y = −3 ( x − 3) + = −3x + 14 +) Phương trình tiếp tuyến (H) A ( 5;3) y = − 3 27 ( x − 5) + = − x + 4 Câu (1,0 điểm) PT ⇔ cos 2 x − cos x + sin x = sin 2 x + sin x cos x ⇔ cos 2 x − cos x + 2sin x = sin 2 x + sin x cos x ⇔ cos 2 x − sin 2 x − cos x + 2sin x = sin x cos x ⇔ cos x − cos x + sin x = sin x cos x ⇔ −2 sin x sin x + sin x cos x = sin x cos x sin x = ⇔ −2sin x sin x − cos x + cos x = ⇔  sin x + cos x = cos x kπ +) Với sin x = ⇔ x = ( k ∈ Z ) π   x = − 12 + kπ π  +) Với sin x + cos x = cos x ⇔ cos  x −  = cos x ⇔  (k ∈ Z ) 6   x = π + kπ   24 π π kπ kπ Vậy nghiệm phương trình x = − + kπ; x = + ; x = ( k ∈ Z ) 12 24 ( ) Câu (1,0 điểm) 2 x −1 x + x2 − x2 + Ta có I = ∫ ( ln( x + 1) − ln x )dx = ∫ ln dx x x x2 x 1 Đặt t = x2 + 1  x2 −1  = x + ⇒ dt = 1 −  dx = dx x x x  x  Đổi cận x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = 5 Ta có I = ∫ t ln tdt 2 Tham gia khóa học trực tuyến mơn Tốn MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 a) Giả sử z = x + yi, x, y ∈ R Khi z − i = + 3iz ⇔ x + (6 y − 1)i = (2 − y ) + 3xi ⇔ (6 x) + (6 y − 1) = (2 − y ) + (3 x)2 ⇔ x + y = 1 ⇔ z = Suy z1 = z2 = 2 2 Ta lại có = z1 − z2 = ( z1 − z2 )( z1 − z2 ) = z1 + z2 − ( z1 z2 + z2 z1 ) = − ( z1 z2 + z2 z1 ) 9 Suy z1 z2 + z2 z1 = 1 2 Khi z1 + z2 = ( z1 + z2 )( z1 + z2 ) = z1 + z2 + ( z1 z2 + z2 z1 ) = + = 9 Do z1 + z2 = Chú ý: HS đặt z1 , z dạng đại số để tính b) Điều kiện x > −1; y > −2; y ≠ − 2 x− y = Từ phương trình đầu ta có: 2.22( x − y ) − x − y − = ⇔  x − y ⇔ y = x −1 2 = −   Thế vào phương trình thứ hai ta được: log ( x + 1) = log (2 x − 1) + log x + log ( x + 1) = log 2 x − ( x + 1) ⇔ x + = x − ( x + 1) ⇔ x − x + = x − x =1 ta phương trình: x − x + = ⇔  x = Với −1 < x < ta phương trình: x + x = ⇔ x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = {(0; −1), (1; 0), (2;1)} Với x > Câu (1,0 điểm) Giả sử mặt cầu cần tìm có tâm I, bán kính R > Vì I ∈ d nên I ( −t + 1; 2t − 3; t + 3) Do mặt cầu tiếp xúc với (P) nên R = d ( I ;( P )) = Ta có d ( I ; (Q)) = 11 − 2t − 2t (1) Chu vi đường tròn giao tuyến π r = π ⇒ r = Suy R = d ( I ; (Q)) + r = (11 − 2t )2 +1 (2) t = (2 − 2t )2 (11 − 2t ) = + ⇔  23 Từ (1) (2) suy t =  +) Với t = ta có I (−3; 5; 7), R = Suy mặt cầu ( x + 3) + ( y − 5) + ( z − 7)2 = 23 29   21 +) Với t = ta có I  − ; 20 ; , R = 2   2 21  29    Suy phương trình mặt cầu  x +  + ( y − 20 ) +  z −  = 49 2    Câu (1,0 điểm) Tham gia khóa học trực tuyến mơn Tốn MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 Gọi E trung điểm A’B’ suy OE // A’C suy d(A’C;BC’) = d(A’;((BEC’)) = d(B’;((BEC’)) Tam giác A’B’C’ cân C’ → C ' E ⊥ A ' B ' → C ' E ⊥ ( ABB ' C ') B ' K = d ( B '; ( BEC ') ) = 2a ; B’E = a 1 Áp dụng hệ thức lượng tam giác BB’E ta có + = → BB ' = 2a 2 BB ' B ' E B'K2 1 Ta có d ( O;( ABB ' A ') ) = d ( C ';( ABB ' A ') ) = C ' E → C ' E = a = A ' B ' 2 Nên tam giác A’B’C’ vuông cân C’ Diện tích đáy a → V = 2a Ta có A ' C ' ⊥ B ' C ' → A ' C ' ⊥ ( BCC ' B ') → A ' C ' ⊥ OC ' Lại có OI ⊥ IA ' Suy tâm mặt cầu ngoại tiếp OIA’C’ trung điểm OA’ BB ' 1 3a Ta có A ' I = A ' C '2 + C ' I = a ; OI = = a → R = A'O = A ' I + OI = 2 2 Hạ BK ⊥ BE suy B ' K ⊥ ( BEC ') → Câu (1,0 điểm) M D A E H B C E' Gọi E’ đối xứng với E qua BM suy E’ thuộc đường thẳng BC E’(0; 1) Do B ∈ đường thẳng BC nên B(t; t + 2) ⇒ BE = (−1 − t ; −t ) BE ' = (−t ; −t − 1) Tham gia khóa học trực tuyến mơn Tốn MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 Do BE.BE ' = ⇒ B (−1;1) xB < AB: x = –1, BC: y = suy A(–1;a), (a ≠ 1)  d −1 − d + a  Do D ∈ d ⇒ D(d; – d), M trung điểm AD ⇒ M  ;    Mặt khác M∈ đường thẳng BM ⇒ a - 2d + = (1) AD = (d + 1;9 − d − a ), AB = (0;1 − a ) Do AB AD = ⇒ a + d − = (2) Giải hệ (1) (2) suy a = 4, d = Vậy A(–1; 4), D(5; 4) điểm cần tìm Câu (1,0 điểm) Điều kiện x ≠ 0; y > Ta có (1) ⇔ ( x + y ) = xy ( x + y ) ⇔ y − x y + yx + x = 2  y  y  y  y   y  y  ⇔ − 3 + +4=0⇔  −   + + 1 = ⇔ x =   x    x   x     x    x   x           Thay y = x vào phương trình thứ hai ta ⇔ ( ) ( x + 3x + − + ) x ≥ y ⇔  y = 4x x + 3x + + 3x + = 3x + − =   4x + ⇔ ( x − 1)  +  = ⇔ x =1⇒ y = 3x + +   x + 3x + + Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = (1; ) Câu (1,0 điểm) Tham gia khóa học trực tuyến mơn Tốn MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 LUYỆN GIẢI ĐỀ TRƯỚC KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015 [Mơn Tốn – Đề số 07] Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] 3x − x+2 a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số cho b) Tìm m để đường thẳng d : y = mx − 11 cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = OAB gấp hai lần diện tích tam giác OBM, với M (0; −11) Câu (1,0 điểm) Giải phương trình sin x.(1 + cos x) − cos x.sin e (ln x + 1) x + ln x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x =3 dx Câu (1,0 điểm) a) Tìm số phức z thỏa mãn z.i + (1 − i )3 + i + = , với i đơn vị ảo z n −1 b) Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức P = x (1 − x ) + x (1 + x ) , biết An − Cn +1 = n 2n Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z – = x −1 y z đường thẳng ∆ : = = Lập phương trình đường thẳng d, nằm mặt phẳng (P), vng −1 góc với đường thẳng ∆ cách đường thẳng ∆ khoảng 66 Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, BAD = 1200 Hình chiếu vng góc đỉnh S xuống mặt phẳng (ABCD) trọng tâm tam giác ABD Biết a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD cosin góc tạo hai đường thẳng SB AC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có ABD tam giác vng cân nội tiếp đường trịn Hình chiếu vng góc B, D lên AC  22 14   13 11  H  ;  , K  ;  Xác định tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD biết B, D có tung độ  5 5 5 dương AD = Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình x3 − 3x + x x −x ≤ Câu (1,0 điểm) Cho số thực x, y thoả mãn ( x + y + 1) + x y + = x + y Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = x + y − 3x y x2 + y + Tham gia khóa học trực tuyến mơn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ Câu (2,0 điểm) a) Các em học sinh tự làm b) Điều kiện: x ≠ −2 3x − = mx − 11 ⇔ g ( x) = mx + 2(m − 7) x − 21 = x+2 m ≠ Điều kiện tồn A, B phân biệt là:  ⇔m≠0 ∆ ' = m2 + 7m + 49 >  Gọi A( x1 ; mx1 − 11); B( x2 ; mx2 − 11) giao điểm 14 − 2m −21 Theo định lý Vi-et ta có: x1 + x2 = ; x1 x2 = m m S ∆OAB = S ∆OBM ⇒ d (O, AB) AB = d (O, BM ).BM ⇔ AB = BM (Do M, A, B thẳng hàng)  x = 3x2  m = −7 2 ⇔ ( x1 − x2 ) (1 + m ) = x2 (1 + m ) ⇔  ⇔ m =  x1 + x2 = Vậy m = ±7 giá trị cần tìm Xét phương trình hồnh độ giao điểm Câu (1,0 điểm) x =3 ⇔ sin x + sin x.cos x − cos x (1 − cos x ) = Ta có sin x (1 + cos x ) − cos x.sin ⇔2 ⇔ ( ( ) ( ) sin x − cos x − 3sin x − sin x.cos x + cos x =  sin x − cos x = sin x − cos x − = ⇔   sin x − cos x =  π π π   sin x − cos x = ⇔  sin x cos − cos x sin  = ⇔ sin  x −  = 6 6   sin x − cos x +) Với ⇔ x− π )( = kπ ⇔ x = ) π + kπ , k ∈ » π π π   sin x − cos x = ⇔  sin x cos − cos x sin  = ⇔ sin  x −  = 6 6   π π 2π ⇔ x − = + k 2π ⇔ x = + k 2π , k ∈ » π 2π Vậy phương trình cho có họ nghiệm x = + kπ , x = + k 2π , k ∈ » +) Với Câu (1,0 điểm) dx x = ⇒ u = 0, x = e ⇒ u = x 1 u +1 u du = ∫ du + ∫ du = I + I 2 1+ u2 1+ u2 0 1+ u Đặt u = ln x ⇒ du = Ta có I = ∫ Dễ thấy I1 = ∫ 1 − du = ∫ (1 + u ) d (1 + u ) = (1 + u ) |1 = − 20 1+ u2 u Tham gia khóa học trực tuyến mơn Tốn MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Xét hàm số y = ln(u + u + 1) có y ' = ( (u + )= + 1) (u + u + u2 +1 ' u2 1+ Facebook: Lyhung95 u u2 +1 = u2 +1 u2 +1 ) Suy hàm số y = ln(u + u + 1) nguyên hàm hàm số y = ( Khi ta có I = ln u + u + ) u2 +1 = ln(1 + 2) Vậy I = − + ln(1 + ) Câu (1,0 điểm) a) Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R ) Ta có (1 − i )3 = (1 − i )2 (1 − i ) = −2i (1 − i ) = −2 − 2i Khi đó, PT ⇔ z.z i − − 2i + (i + 1) z = y = 2− x x + y = x = x = ⇔ ⇔ ∨ ⇔ x + y − + ( x + y + x − y − 2)i = ⇔  2 x + y + x− y−2=0 2x − 2x = y = y =1   Vậy z = 2i; z = + i số phức cần tìm b) Điều kiện n ≥ 2, n ∈ » ( n + 1) n = ⇔ n − 3n − 10 = ⇔  n = −2(loai) n −1 Ta có: An − Cn +1 = ⇔ n ( n − 1) − n =  10 l Với n = ta có: P = x (1 − x ) + x (1 + x ) = x∑ C5k ( −2 x ) + x ∑ C10 ( x ) 10 k k =0 l l =0 ⇒ số hạng chứa x x.C ( −2 x ) + x C ( x ) = (16.5 + 27.120 ) x5 = 3320 x5 Vậy hệ số x5 biểu thức P cho 3320 5 10 Câu (1,0 điểm) Ta có (P) có vtpt nP = (1;1;1) , ∆ có vtcp u∆ = (1;3; − 1) , M (1;0;0 ) ∈ ∆  d ⊂ ( P ) ud ⊥ nP  Do  ⇒ ⇒ ud =  nP ; u∆  = ( −4; 2; )   d ⊥ ∆  ud ⊥ u∆  Gọi (Q) mặt phẳng chứa (d) song song với ∆ Khi ta chọn nQ = ud ; u∆  = −2 ( 4;1;7 ) suy (Q) có dạng x + y + z + d =   Ta có d ( ∆; d ) = d ( ∆; ( P ) ) = d ( M ; ( P ) ) = 4+d 66 4+d Từ kết hợp với giả thiết ta = ⇔ + d = ⇔ d = 4; d = −12 66 66 +) Nếu d = ⇒ ( Q ) : x + y + z + = 13 x+ y−  13  3= = z +1 Chọn điểm N  − ; ; − 1 ∈ ( P ) ∩ ( Q ) = d suy phương trình d : −1 −1  3  +) Nếu d = −12 ⇒ ( Q ) : x + y + z − 12 = Chọn điểm N (1;1;1) ∈ ( P ) ∩ ( Q ) = d suy phương trình d : x −1 y −1 z −1 = = −1 −1 Câu (1,0 điểm) Tham gia khóa học trực tuyến mơn Tốn MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 Theo bài, BAD = 1200 ⇒ ABC = 600 ⇒ ∆ABC tam giác cạnh a Suy AC = a; BD = a CD ⊥ SH ⇒ CD ⊥ ( SHK ) Kẻ HK ⊥ CD, (K ∈ CD) Ta có  CD ⊥ HK  HE ⊥ SK ⇒ HE ⊥ ( SCD) Kẻ Kẻ HE ⊥ SK, (E ∈ SK) Ta có  CD ⊥ ( SHK ) ⊃ HE ⇒ HE ⊥ CD Do HE = d ( H ;( SCD) ) Do H trọng tâm tam giác ABD nên AH = AO = AC 3 2a a a ⇒ d ( H ;( SCD) ) = d ( A; ( SCD) ) = = ⇒ HE = 32 3 Kẻ OM ⊥ CD; HK ⊥ CD ⇒ OM / / HK 1 Do OH = OA = OC ⇒ OC = HC ⇒ HK = OI 3 1 1 16 a a Ta có ⇒ HK = = + = + = ⇒ OI = 2 2 OI OC OD 3a a a 3     2   1 1 1 1 a Xét ∆SHK: = + ⇔ = − = − = ⇒ SH = 2 2 2 2 HE SH HK SH HE HK a a a 3     3   1a 1a a3 Do đó, thể tích khối chóp VSABCD = SH S ABCD = AC.BD = a.a = (đvtt) 3 6 12  IOC Gọi I trung điểm SD, suy OI // SB Khi ( SB; AC ) = ( OI ; AC ) =  180 − IOC  a Xét tam giác IOC ta có OC = AC = 2 Xét tam giác HBO ta có HB = OB + OH = 3a a a + = = HD 36 a a a 34 a 34 + = ⇒ OI = SB = 12 2 a 4a 11a Xét tam giác SHC ta có SC = SH + HC = + = 18 Áp dụng công thức đường trung tuyến cho tam giác SCD ta 11a 17 a + a2 2 2 SC + CD CD 18 = 41a IC = − = − 4 72 ⇒ SB = SD = SH + HB = Tham gia khóa học trực tuyến mơn Tốn MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 Áp dụng định lí hàm số cosin cho tam giác IOC ta 17 a a 41a + − 2 OI + OC − IC 72 = − ⇒ IOC > 900 = 72 cos IOC = 2OI OC 34 a 34 a 12 Khi φ = ( SB; AC ) = 180 − IOC ⇒ cos φ = − cos IOC = 34 Vậy cos ( SB; AC ) = 34 Câu (1,0 điểm) Vì ABD tam giác vng cân nội tiếp đường trịn, mà ABCD hình bình hành nên suy tam giác ABD vng B D (vng A ABCD hình vng, vơ lí) Xét TH tam giác ABD vng B AD = R = ≠ → vơ lí Suy tam giác ABD vuông D 7 5 Gọi I giao AC BD, I trung điểm HK ⇒ I  ;  2 2  22 14   13 11  Hình chiếu vng góc B, D lên AC H  ;  , K  ;   5 5 5 Nên ta có phương trình AC là: x − y + = Khi t ọa độ điểm A nghiệm hệ: 22  x − 3y + = x =   x = −1   ⇔ ∨  ( Loai ≡ H )  2 y =1 ( x − ) + ( y − 1) =  y = 14    Suy tọa độ A ( −1;1) ⇒ C ( 8; )  22 14  Do BH ⊥ AC H  ;  , nên ta có phương trình BH: x + y − 16 =  5 Mặt khác có điểm B giao điểm BH đường tròn 22  x = 3 x + y − 16 = x=5    Nên tọa độ B nghiệm hệ:  ⇔ ∨  ( Loai ≡ H ) 2 y =1 ( x − ) + ( y − 1) =  y = 14    Suy tọa độ B ( 5;1) ⇒ D ( 2; ) Vậy tọa độ đỉnh hình bình hành là: A ( −1;1) , B ( 5;1) , C ( 8; ) , D ( 2; ) Câu (1,0 điểm) Điều kiện: x ∈ ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) Ta có BPT tương đương ⇔ x ( x − 1)( x − ) +) Xét: x ∈ ( −∞; −1) ⇒ bpt ⇔ x x −1 ≤ (1 − x )( x − ) ≤ x2 − 1 2 1 − x > (1 − x )( x − ) < < , ∀x ∈ −∞; −1 ⇒ Với x ∈ ( −∞; −1) ⇒  ( ) x2 − x − < Tham gia khóa học trực tuyến mơn Tốn MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] +) Xét: x ∈ (1; 2] ⇒ bpt ⇔ (1 − x )( x − ) ≤ x2 −1 Facebook: Lyhung95 x −1 > ( x − 1)( x − ) ≤ ≤ , ∀x ∈ 1; Mặt khác: x ∈ (1; ] ⇒  ⇒ ( ] x2 −1 x − ≤ +) Xét: x ∈ ( 2; +∞ ) ⇒ bpt ⇔ ( x − 1)( x − ) ≤ ⇔ ( x − 1)( x − ) ≤ x + x −1 ⇔ x − 10 x + 15 x − ≤ ⇔ ( x − 3) ( x − x + 3) ≤ ⇔ < x ≤ 3 >0 Kết hợp TH suy nghiệm BPT là: x ∈ ( −∞; −1) ∪ (1;3] Câu (1,0 điểm) Từ ĐK ta có: x + y − x y = ( x + y + 1) − ( x + y + 1) + (x ⇒P= + y + 1) − ( x + y + 1) + x2 + y + Đặt t = x + y + ⇒ P = t − 3t + 4 = t + −3 t t Mặt khác x + y ≥ x + y − x y = ( x + y + 1) − ( x + y + 1) + ⇒ ( x + y + 1) − ( x + y + 1) + ≤ ⇒ ≤ x + y + ≤ Hay t ∈ [ 2;3] 4 ≥ 0; ∀t ∈ ( 2;3) ⇒ P = 1( t = ) ; MaxP = ( t = 3) t 2 2 2 ( x + y + 1) + x y + = x + y  +) Với t = ⇔  ⇔ x = 0; y = ±1  x2 + y + =  ( x + y + 1)2 + x y + = x + y  +) Với t = ⇔  ⇔ x = 0; y = ± 2 x + y +1 =  Do P ' ( t ) = − Tham gia khóa học trực tuyến mơn Tốn MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 LUYỆN GIẢI ĐỀ TRƯỚC KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015 [Mơn Tốn – Đề số 08] Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] x+m (với m tham số) x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = –2 b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng d : y = x − cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = A, B cho OA2 + OB = 14 ( với O gốc tọa độ) π  − sin  x +  sin x cos x 3π  2   Câu (1,0 điểm) Giải phương trình + = + cos  x −  + cos x + sin x sin x   3 Câu (1,0 điểm) Tính diện tích miền hình phẳng giới hạn đường y =| x − x | y = x Câu (1,0 điểm) ( ) a) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z biết số phức z1 = ( − z ) i + z số ảo b) Trong lơ hàng có 12 sản phẩm khác nhau, có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lơ hàng Hãy tính xác suất để sản phẩm lấy có khơng q phế phẩm Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z + = 0, đường x − y +1 z −1 = = đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng x = 1, y + z − = −1 −1 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ (P) thẳng d : Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a; AD = a Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng (ABCD) điểm H đoạn AC cho CH = AH Biết khoảng cách hai đường thẳng SB CD 8a 201 Tính thể tích khối chóp SBCDH 67 bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện SACD theo a Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC vuông C nội tiếp đường tròn (C) tâm 26   I bán kính R = Tiếp tuyến (C) C cắt tia đối tia AB K  −4;  Biết diện tích tam   giác ABC 20 A thuộc d : x + y − = Viết phương trình đường trịn (C)  1  x + + y + =2 x y  Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  ( x, y ∈ » )  + = −1  x + y xy  Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b thỏa mãn ab + a + b = 3a 3b ab Chứng minh + + ≤ a2 + b2 + b +1 a +1 a + b Tham gia khóa học trực tuyến mơn Tốn MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ Câu (2,0 điểm) a) Các em học sinh tự làm x ≠ x+m = 2x −1 ⇔  x −1  x − x + − m = (*) Đường thẳng y = x − cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ m > −1 Gọi A( x1 ; x1 − 1); B( x2 ; x2 − 1) ; OA2 + OB = 14 ⇔ 5( x1 + x2 )2 − 10 x1 x2 − 4( x1 + x2 ) = 12 Vì x1 + x2 = 2; x1 x2 = − m nên thay lên dễ dàng tìm m = (thỏa mãn) b) Phương trình hoành độ giao điểm: Câu (1,0 điểm) Điều kiện: sin x.cos x ≠ ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ π  cos  x +  sin x(1 − cos x) cos x(1 − sin x) 3π  2   PT ⇔ + = + + cos  x −  + cos x + sin x sin x cos x   sin x sin x + cos x ⇔ sin x(1 − cos x) + cos x(1 − sin x) = + − sin x ⇔ sin x + cos x = cos x cos x sin x + cos x = ⇔ cos x = (loai sin x = 0) π ⇔ x = − + kπ(k ∈ Z ) 2 Câu (1,0 điểm) Diện tích miền phẳng giới hạn bởi: y = | x − x | (C ) ( d ) : y = x Phương trình hoành độ giao điểm (C) (d): x ≥ x ≥ x =   2 | x − x |= x ⇔   x − x = x ⇔   x − x = ⇔  x =    x =    x − x = −2 x  x − x = ∫( x Suy diện tích cần tính S = ) − x − x dx + ∫( x ) − x − x dx 2 +) Xét I = ∫ (| x − x | −2 x ) dx Vì ∀x ∈ [ 0; 2] , x − x ≤ nên | x − x |= − x + x ⇒ I = ∫ ( − x + x − x ) dx = +) Xết K = ∫ (| x − x | −2 x ) dx Vì ∀x ∈ [ 2; 4] , x − x ≤ ∀x ∈ [ 4; 6] , x − x ≥ nên K = ∫ ( x − x − x ) dx + ∫ ( x − x − x ) dx = −16 2 4 52 Vậy S = + 16 = 3 Tham gia khóa học trực tuyến mơn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 Câu (1,0 điểm) a) Ta có z1 = ( − z ) + z = − z + z − z.z = − z + z − z ( ) Đặt z = x + yi → z1 = − ( x + yi ) + ( x − yi ) − ( x + y ) ↔ z1 = ( − x − y + x ) − yi 2   1 1 2 2 − x − y + x =  x −  + y =  x −  + y = Để z1 số ảo  ↔  2 hay  2  −3 y ≠ y ≠  y ≠ 0; x ≠ −1; x ≠   1  Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm I  ;  bán kính R = trừ 2 2  điểm A ( −1; ) B ( 2;0 ) 2 b) Số phần tử không gian mẫu C12 = 924 (phần tử) Xét trường hợp sản phẩm lấy có phế phẩm suy có C10 = 210 cách xác xuất 210 924 Vậy xác suất lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lơ hàng có khơng q phế phẩm 210 714 17 P = 1− = = 924 924 22 Câu (1,0 điểm) Mặt cầu có tâm I (2t + 2; − t − 1; − t + 1) ∈ d t +9 d ( I ; ( P )) = Chọn u∆ = (0;1; − 1) M (1;1;3) ∈ ∆ Khi MI = (2t + 1; − t − 2; − t − 2) Suy [u∆ , MI ] = (−2t − 4; − 2t − 1; − y − 1) Suy d ( I , ∆) = [u∆ , MI ] u∆ = 12t + 24t + 18 Từ giả thiết ta có d ( I ; ( P)) = d ( I ; ∆) = R t = ⇔ = 6t + 12t + ⇔ 53t + 90t = ⇔  90 t = − 53  +) Với t = Ta có I (2; − 1;1), R = t +9 2 Suy phương trình mặt cầu ( x − 2)2 + ( y + 1) + ( z − 1) = 90 129  74 37 143  +) Với t = − Ta có I  − ; ; , R = 53 53  53 53 53  2 74   37   143   129   Suy phương trình mặt cầu  x +  +  y −  +  z −  =  53   53   53   53   Câu (1,0 điểm) +) Tính thể tích khối chóp SBCDH Nhận xét: CD / / AB ⇒ CD / / ( SAB ) ⇒ d ( SB, CD ) = d ( CD; ( SAB ) ) = d ( C ; ( SAB ) ) = 4d ( H ; ( SAB Từ H kẻ HI ⊥ AB , dựng HK ⊥ SI ta có:  HI ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SIH ) ⇒ AB ⊥ HK  ⇒ HK ⊥ ( SAB )  SH ⊥ AB  HK ⊥ SI  Tham gia khóa học trực tuyến mơn Tốn MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 Suy d ( SB, CD ) = 4d ( H , ( SAB ) ) = HK 8a 201 2a 201 ⇒ HK = 67 67 a Ta có HI = AD = ; S BCDH = S ABCD − 2S AHB = 3a 4 1 = + ⇒ SH = 2a Mà ∆SIH : 2 HK SH HI Vậy: VSBCDH = SH S BCDH = 2a 3 +) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD Mà d ( SB, CD ) = Nhận thấy O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ADC Từ O dựng Ox ⊥ AC Trong ∆SAC dựng trung trực SA ∩ Ox = G Suy G tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác SAC Ta có: AC = 2a; SA = Vậy: RS (G , AG ) = a 17 5a ; SC = ; S ∆SAC = SH AC = 2a 2 2 SA.SC AC 5a 17 = 4.S ∆SAC 16 Câu (1,0 điểm) Gọi CH đường cao ∆ABC Ta có S ABC = CH R = 20 ⇒ CH = Đặt AK = x ta có: CK = KI − CI = ( x + ) − 52 = x + 10 x Mặt khác CH đường cao ∆KCI đó: 1 1 10 + = ⇔ = ⇔x= 2 KC CI CH x + 10 x 400 t = −2 ⇒ A ( −2; ) 10 14  100   Gọi A ( t ; − t ) ⇒ AK = ⇔ ( t + ) +  −t −  = ⇔ 20  20 32  3 t = − ⇒ A − ;     3   Gọi I ( a; b ) tâm đường tròn   −2 − a = ( −2 ) a = IA 3  +) Với A ( −2;6 ) ta có: = = ⇒ IA = AK ⇔  ⇔ ⇒ I (1; ) 8 AK 10 2 b = 6 − b =    3  Vậy ( C ) : ( x − 1) + ( y − ) = 25 2 Tham gia khóa học trực tuyến mơn Tốn MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95  20 8 32  − − a =   a = −   32 41   −20 32   ⇔ ⇒ I − ;  +) Với A  ; ⇒   3  3   32 − b = ( −2 ) b = 41  3   2 32   41   Vậy ( C ) :  x +  +  y −  = 25   3  Vậy có đường trịn thõa mãn yêu cầu toán Câu (1,0 điểm) x + y ≠ Điều kiện:   xy ≠ 2    1 1   1 1   x+  −2 +  y+  −2 =  x+  −2 +  y+  −2 =   x y    x y   HPT ⇔  ⇔   x+ y 1  1  x +  +  y +  = −6 6 + xy = − x − y x  y    x + x = a  a2 − + b2 − =   Đặt  , a ≥ 2, b ≥ ta  a + b = −6 y + = b  y   a + b − + a 2b − 2(a + b ) + = 28 (a + b) − 2ab + a 2b − 2(a + b) + 4ab + = 32   ⇔ ⇔ a + b = −6 a + b = −6   a 2b + 4ab − 68 = a 2b − 4ab +  a b + 4ab − 68 = ab − ab =   ⇔ ⇔ a = b = −3 ⇔ ⇔ ab ≥  a + b = −6  a + b = −6  a + b = −6   2   −3 ± x =  x + x = −3    x + 3x + =  Ta có x, y từ hệ  ⇔ ⇔  y + = −3  y + y + =   y = −3 ± y     Vậy hệ có nghiệm  −3 − −3 −   −3 − −3 +   −3 + −3 −   −3 + −3 +  ; ; ; ;  ; ; ;         2   2   2   2    Câu (1,0 điểm) Từ ta đặt: a + b = S , ab = P ⇒ S ≥ P; S + P = Theo điều kiện suy ra: S ≥ ( − S ) ⇔ ( S − )( S + ) ≥ ↔ S ≥ ( a + b ) + ( a + b ) − 6ab ab BĐT tương đương ⇔ + ≤ ( a + b ) − 2ab + ab + a + b + a+b 2 3S + S − 18 − S Thay P = − S ta có BĐT tương đương: + ≤ S + 2S − S 2 ( S − 2) ( S + S + 6) S − S + S − 12 ⇔ ≥0⇔ ≥ BĐT S ≥ 4S 4S Phép chứng minh hoàn tất Tham gia khóa học trực tuyến mơn Tốn MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: Lyhung95 Tham gia khóa học trực tuyến mơn Tốn MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2015! ... (1, 0 điểm) 11  (1 + i )2   2i (1 − i )  a) Ta có i.z =   +  = 16 − i ⇒ z = ? ?1 − 16 i ⇒ z = ? ?1 + 16 i       Do w = z + iz = ? ?1 − 16 i + i ( ? ?1 + 16 i ) = ? ?17 − 17 i ⇒ w = 17 + 17 = 17 ... + y = 1 ⇔ z = Suy z1 = z2 = 2 2 Ta lại có = z1 − z2 = ( z1 − z2 )( z1 − z2 ) = z1 + z2 − ( z1 z2 + z2 z1 ) = − ( z1 z2 + z2 z1 ) 9 Suy z1 z2 + z2 z1 = 1 2 Khi z1 + z2 = ( z1 + z2 )( z1 + z2... đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia 2 015 ! Khóa học LUYỆN GIẢI ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.8 31] Facebook: Lyhung95 LUYỆN GIẢI ĐỀ TRƯỚC KÌ THI THPT QUỐC GIA 2 015 [Mơn Tốn – Đề số 06] Thầy Đặng