Không gian Hardy điều hoà

Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trần Văn Bằng, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 10 năm 2013 Tác giả Lê Sơn Tùng Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS.Trần Văn Bằng, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Không gian Hardy điều hòa” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 10 năm 2013 Tác giả Lê Sơn Tùng Mục lục Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1. Hàm điều hòa . 5 1.2. Một số lớp hàm điều hòa đặc biệt . 19 1.2.1. Hàm điều hòa bị chặn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.2. Hàm điều hòa dương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chương 2. KHÔNG GIAN HARDY ĐIỀU HÒA 34 2.1. Tích phân Poisson các độ đo . . . . 34 2.2. Không gian h p (B) . . . . 38 2.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.2. Một số tính chất quan trọng của không gian h p . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.3. Bổ đề Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.4. Định lý Fatou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng nói chung, lý thuyết hàm điều hòa nói riêng là một trong những lĩnh vực có nhiều ứng dụng trong thực tế cũng như các ngành khoa học khác. Trong chương trình học đại học cũng như cao học, chúng ta đã được tìm hiểu cơ bản về hàm điều hòa, biểu diễn hàm điều hòa trong hình cầu thông qua tích phân Poisson khi giá trị của hàm điều hòa ở trên mặt cầu liên tục. Nói cách khác, nếu chúng ta biết giá trị của hàm điều hòa liên tục trên mặt cầu thì công thức tích phân Poisson là một thác triển điều hòa lên toàn hình cầu đó. Vấn đề đặt ra là tích phân Poison có thể tồn tại với dữ kiện không liên tục. Liệu khi đó tích phân Poisson có liên hệ gì với nghiệm theo nghĩa nào đó của bài toán Dirichlet đối với toán tử Laplace trong hình cầu hay không? Vấn đề này một phần đã được trả lời bởi nhà toán học G. H. Hardy. Với mong muốn tìm hiểu về vấn đề này và được sự hướng dẫn của TS- Trần Văn Bằng, tôi chọn đề tài: “Không gian Hardy điều hòa”. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu các kết quả về không gian Hardy điều hòa. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu hàm điều hòa. - Nghiên cứu về tích phân Poisson. - Nghiên cứu về không gian Hardy điều hòa. 2 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Tích phân Poisson của độ đo và không gian Hardy điều hòa. Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tích phân Poisson của độ đo Borel phức và không gian Hardy điều hòa tương ứng. 5. Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích để tiếp cận và giải quyết vấn đề. - Thu tập tài liệu, nghiên cứu, tổng hợp và trình bày một cách hệ thống những vấn đề mà luận văn đề cập tới. 6. Những đóng góp của đề tài Trình bày một cách tổng quan, rõ ràng, hệ thống về không gian Hardy điều hòa. Hà Nội, tháng 10 năm 2013 Tác giả Lê Sơn Tùng 3 Nội dung Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị về hàm điều hòa trong miền bị chặn, hàm điều hòa bị chặn, hàm điều hòa dương và các tính chất cơ bản của chúng. Chương 2: Tìm hiểu về tích phân Poisson các độ đo, không gian Hardy điều hòa. Hà Nội, tháng 10 năm 2013 Tác giả Lê Sơn Tùng 4 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của hàm điều hòa trong miền bị chặn. Các kết quả trình bày ở đây được tham khảo từ các tài liệu [1]-[4]. 1.1. Hàm điều hòa Cho n ∈ N ∗ , n > 1 và Ω ⊂ R n là tập mở khác rỗng, E ⊂ R n là tập con không nhất thiết mở. Ta kí hiệu C (E) là không gian tất cả các hàm liên tục trên E; C k (Ω) , k ∈ N ∗ là không gian tất cả các hàm khả vi liên tục k lần trên Ω; C ∞ (Ω) là không gian tất cả các hàm thuộc C k (Ω) với mọi k ∈ N; D j , D 2 j tương ứng là đạo hàm riêng cấp một và cấp hai theo tọa độ thứ j ∇ := (D 1 , D 2 , · · · , D n ) là gradient và ∆ := D 1 2 + + D n 2 là toán tử Laplace D n u = (∇u).n là đạo hàm của u theo hướng vectơ pháp tuyến ngoài đơn vị n trên biên Ω; Với x = (x 1 , , x n ) ∈ R n , ta kí hiệu chuẩn của x là |x| =  x 1 2 + + x n 2  1/2 . 5 Trong Luận văn này, tất cả các hàm đều được giả thiết là có giá trị phức trừ khi được nói rõ. Định nghĩa 1.1. Hàm u ∈ C 2 (Ω) được gọi là hàm điều hòa trên Ω nếu thỏa mãn phương trình Laplace: ∆u = 0, ∀x ∈ Ω. Hàm u được gọi là hàm điều hòa trên tập E ⊂ R n (không nhất thiết mở) nếu u có thể thác triển thành một hàm điều hòa trên một tập mở chứa E. Ví dụ 1.1. a, Các hàm tọa độ u (x) = x i là hàm điều hòa trên R n với mọi i = 1, · · · , n. b, Hàm u (x) = x 1 2 + x 2 2 − 2x 3 2 + ix 2 là hàm điều hòa trên R 3 . c, Hàm u (x) = |x| 2−n là hàm điều hòa trên R n khi n > 2. Từ định nghĩa ta thấy hàm điều hòa (trong Ω) có các tính chất sau: Tính chất 1: Tổng hai hàm điều hòa trong Ω là hàm điều hòa trong Ω và bội vô hướng của hàm điều hòa trong Ω là hàm điều hòa trong Ω. Nói cách khác tập tất cả các hàm điều hòa trong Ω là một không gian vectơ. Tính chất 2 : Với y ∈ R n và u là hàm điều hòa trên Ω thì hàm tịnh tiến theo vectơ y, u (x − y) cũng là hàm điều hòa trên Ω + y. Tính chất 3:Với r > 0, nếu u là hàm điều hòa trên Ω thì hàm co giãn tỉ lệ r : (u r ) (x) = u (rx) cũng là hàm điều hòa trên 1 r Ω. Ánh xạ tuyến tính T : R n → R n gọi là một biến đổi trực giao nếu |T x| = |x| với mọi x ∈ R n . Đại số tuyến tính cho ta thấy T là trực giao 6 nếu và chỉ nếu các vectơ cột của ma trận của T (theo cơ sở chính tắc trong R n ) là một hệ trực chuẩn. Nếu T : R n → R n là một biến đổi trực giao thì hàm u ◦ T gọi là phép quay của u. Tính chất 4: Phép quay của hàm điều hòa trên Ω là hàm điều hòa trên T −1 (Ω). Thật vậy, giả sử u là hàm điều hòa trong Ω. Ta sẽ chứng minh rằng ∆ (u ◦ T ) = (∆u) ◦ T trên T −1 (Ω). Để chứng minh điều này, gọi [t jk ] là ma trận của T đối với cơ sở chính tắc trong R n . Khi đó: D m (u ◦ T ) = n  j=1 t jm (D j u) ◦ T. Tác động D m một lần nữa rồi lấy tổng theo m ta có: ∆ (u ◦ T ) = n  m=1 n  j,k=1 t km t jm (D k D j u) ◦ T = n  j,k=1  n  m=1 t km t jm  (D k D j u) ◦ T = n  j=1 (D j D j u) ◦ T = (∆u) ◦ T. Giả thiết Ω ⊂ R n là tập mở bị chặn với biên ∂Ω đủ trơn, u và v là C 2 - hàm trên một lân cận của Ω, V = V n là độ đo Lebesgue trên R n , s là diện tích mặt trên ∂Ω, D n là đạo hàm theo hướng vectơ pháp tuyến ngoài đơn vị n. Ta có công thức Green:  Ω (u∆v − v∆u) dV =  ∂Ω (uD n v − vD n u) ds. 7 Công thức Green được suy ra dễ dàng từ công thức Ostrogradski:  Ω divwdV =  ∂Ω w · nds, trong đó w = (ω 1 , , ω n ) là trường vectơ trơn (có giá trị trong C n và có các thành phần khả vi liên tục) trong một lân cận của Ω, divw là divergence của w xác định bởi divw = D 1 ω 1 + +D n ω n . Để có được công thức Green từ công thức Ostrogradski ta chỉ cần cho w = u∇v − v∇u và tính toán. Áp dụng công thức Green với u là hàm điều hòa và v ≡ 1 ta nhận được:  ∂Ω D n uds = 0. (1.1) Tiếp đến ta đề cập tới một số kí hiệu liên quan tới hình cầu trong R n . Kí hiệu: B (a, r) = {x ∈ R n : |x − a| < r} là hình cầu mở tâm a bán kính r; B (a, r) là hình cầu đóng tâm a bán kính r; B (0, 1) = B và bao đóng của nó là B; S là biên của hình cầu B; σ (S) là chuẩn hóa của độ đo diện tích mặt trên S (σ (S) = 1); σ là độ đo xác suất Borel duy nhất trên S bất biến đối với phép quay, tức là: σ (T (E)) = σ (E), với mọi tập Borel E ⊂ S và mọi phép biến đổi trực giao T . Định lý 1.1. [Tính chất giá trị trung bình] Nếu u là hàm điều hòa trên B (a, r) thì u (a) bằng trung bình của u trên ∂B (a, r). Cụ thể, u (a) =  S u (a + rζ) dσ (ζ) . 8 [...]... Hàm điều hòa dương trên R2 \ {0} là hàm hằng Chứng minh Nếu u > 0 và u là điều hòa trên R2 \ {0} thì hàm z → u (ez ) là dương và điều hòa trên R2 (= C) Do đó theo Định lý 1.12, z → u (ez ) là hàm hằng Điều này chứng tỏ u là hàm hằng Trong không gian có số chiều lớn hơn 2 thì Hệ quả 1.5 nói chung không đúng; ví dụ, hàm |x|2−n > 0 và là hàm điều hòa dương trên Rn \ {0} khi n > 2 Ta sẽ phân loại hàm điều. .. trên Ω 22 Định lý 1.9 không còn đúng trong trong không gian có số chiều lớn hơn 2 Ví dụ, cho Ω = {x ∈ Rn : |x| > 1} và đặt u (x) = 1 − |x|2−n Nếu n > 2, thì u là hàm điều hòa bị chặn trên Ω, u ≡ 0 trên ∂Ω nhưng u không đồng nhất bằng 0 trên Ω Tuy nhiên, nguyên lý cực đại sau đây vẫn đúng với mọi n Nhớ lại Hn là nửa không gian trên trong Rn Định lý 1.10 Giả sử Ω ⊂ Hn Nếu u là hàm điều hòa bị chặn, có... v trên ∂Ω thì u = v trên Ω Điều này có thể không đúng trên một miền không bị chặn Ví dụ, hai hàm điều hòa u (x) = 0 và v (x) = xn đồng nhất trên biên của nửa không gian {x ∈ Rn : xn > 0} Hệ quả tiếp theo của nguyên lý cực đại có thể được áp dụng ngay cả khi Ω không bị chặn và khi u không liên tục trên Ω 10 Hệ quả 1.2 Cho u là hàm điều hòa trên Ω và có giá trị thực Giả sử: lim sup u (ak ) ≤ M k→∞ với... là hàm điều hòa trên Ω, đồng thời u là hàm liên tục lấy giá trị thực trên Ω Khi đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của u trên Ω sẽ đạt được trên ∂Ω Hệ quả trên cho ta thấy: trên một miền bị chặn, hàm điều hòa hoàn toàn được xác định bởi các giá trị trên biên của nó Chính xác hơn, với Ω bị chặn nếu u và v liên tục trên Ω, điều hòa trên Ω và nếu u = v trên ∂Ω thì u = v trên Ω Điều này có thể không. .. j → ∞ điều này mâu thuẫn với (1.8) Trong Định lý 1.11, sự tồn tại của giới hạn theo hai hướng bằng nhau kéo theo sự tồn tại giới hạn không tiếp xúc Liệu điều đó còn đúng nếu chỉ cần giới hạn theo một hướng? Câu trả lời là không Ví dụ hàm u reiθ = θ với θ ∈ (0, π) có giới hạn theo mọi hướng xuất phát từ 0 (nhưng theo các hướng khác nhau nó có giới hạn khác nhau) nên hàm này không có giới hạn không tiếp... hàm đo được bị chặn f trên S sao cho u = P [f ] trên B 1.2.2 Hàm điều hòa dương Ở phần hàm điều hòa bị chặn ta đã chứng minh một hàm điều hòa bị chặn trên Rn là hàm hằng Bây giờ ta sẽ mở rộng kết quả đó Định lý 1.12 [Định lý Liouville đối với hàm điều hòa dương] Mọi hàm điều hòa dương trên Rn đều là hàm hằng Chứng minh Giả sử u là hàm điều hòa dương trên Rn Cố định x ∈ Rn , lấy r > |x| và gọi Dr là... chứng minh một kết quả duy nhất về hàm điều hòa bị chặn trên nửa không gian mở Cho nửa không gian trên H = Hn mở trong Rn được định nghĩa bởi: H = {x ∈ Rn : xn > 0} 19 Trong phần này, ta đồng nhất Rn với Rn−1 × R bằng cách viết z ∈ Rn , z = (x, y) với x ∈ Rn−1 và y ∈ R Ta cũng đồng nhất ∂H với Rn−1 Hệ quả 1.3 Giả sử u là hàm liên tục, bị chặn trên H và là hàm điều hòa trên H Nếu u = 0 trên ∂H thì... là thác triển điều hòa lên (1/2) B và do đó là thác triển điều hòa lên B suy ra điều phải chứng minh cho trường hợp n > 2 Trường hợp n = 2 ta cũng chứng minh tương tự nhưng thay |x|2−n bằng log (1/ |x|) Hệ quả tiếp theo cho ta một đặc trưng của hàm điều hòa dương trên Rn \ {0} với n > 2 (Nhớ lại rằng, một hàm điều hòa dương trên R2 \ {0} là hằng số.) Hệ quả 1.6 Giả sử n > 2 Nếu u là hàm điều hòa dương... chất ngược của tính chất giá trị trung bình Ở chương sau ta sẽ thấy mọi hàm điều hòa dương trên B đều là tích phân Poisson của một độ đo như trên Rất nhiều hệ quả quan trọng được suy ra từ đặc trưng này, trong đó có một kết quả là: Mọi hàm điều hòa dương trên B có giá trị biên tại hầu khắp nơi trên S 33 Chương 2 KHÔNG GIAN HARDY ĐIỀU HÒA 2.1 Tích phân Poisson các độ đo Trong chương này, khi cho một hàm... Chuẩn biến phân toàn phần của µ ∈ M (S) sẽ được kí hiệu là µ Nhớ lại rằng M (S) là một không gian Banach với chuẩn µ Từ định lý biểu diễn Riesz nếu ta đồng nhất µ ∈ M (S) với hàm tuyến tính ∧µ trên C (S) cho bởi: ∧µ (f ) = f dµ, S thì M (S) là đẳng cấu đẳng cự với không gian đối ngẫu của C (S) Ta sẽ làm việc với không gian Banach Lp (S) , 1 ≤ p ≤ ∞ Khi p ∈ [1, ∞) , Lp (S) bao gồm các hàm f đo được Borel . cứu Tìm hiểu các kết quả về không gian Hardy điều hòa. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu hàm điều hòa. - Nghiên cứu về tích phân Poisson. - Nghiên cứu về không gian Hardy điều hòa. 2 4. Đối tượng. nghiên cứu: Tích phân Poisson của độ đo và không gian Hardy điều hòa. Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tích phân Poisson của độ đo Borel phức và không gian Hardy điều hòa tương ứng. 5. Phương pháp nghiên. về không gian Hardy điều hòa. Hà Nội, tháng 10 năm 2013 Tác giả Lê Sơn Tùng 3 Nội dung Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị về hàm điều hòa trong miền bị chặn, hàm điều hòa bị chặn, hàm điều