MỘT SỐ BÀI TOÁN HẰNG SỐ TỐT NHẤT Lê Xuân ðại, GV THPT Chuyên vĩnh Phúc Bài 1. Tìm tất cả các số thực r sao cho bất ñẳng thức 3 ) 2 1 ()()()( +≥ + + + + + + r b a c r a c b r c b a r (6) ñúng với mọi bộ 3 số thực dương a,b,c (Việt nam TST 2009) Lời giải Giả sử bất ñẳng thức (6) ñúng với mọi bộ 3 số thực dương (a,b,c) Xét 3 dãy số (a n ) , (b n ), (c n ): a n = 1 , b n = c n = n ( ∀ n ∈ N * ) 3 ) 2 1 () 1 () 1 () 2 1 ( +≥ + + + ++ ⇒ r n n r n n r n r ⇒ lim [ 3 ) 2 1 ()] 1 () 1 () 2 1 ( +≥ + + + ++ r n n r n n r n r ⇒ r ( r+1) 2 ≥ 3 ) 2 1 ( + r ⇒ 4 51 4 51 −− ≤ +− ≥ r r Giả sử a, b, c > 0 và a+b+c = 1 (6) ⇔ 3 ) 2 1 ( )()()( +≥ + + + + + + + + + r b a cbar a c bacr c b acbr ⇔ [r+(1-r)a] [r+(1-r)b] [r+(1-r)c] 3 ) 2 1 ( +≥ r (1-a) ( 1- b) (1- c) ⇔ r 3 + r 2 (1-r) +r(1-r) 2 (ab + bc + ca) + ( 1-r) 3 abc 3 ) 2 1 ( +≥ r ( ab + bc + ca - abc) ⇔ [ 23 )1() 2 1 ( rrr −−+ ] ( ab + bc + ca ) - [ 33 )1() 2 1 ( rr −++ ] abc ≤ r 2 ⇔ ab + bc + ca - 1 2 28 8 1 2 28 )124(9 2 2 2 2 + − ≤ + − +− r r r abc r r rr (7) ðặt k = 1 2 28 )124(9 2 2 + − +− r r rr và E = ab + bc + ca - kabc V ới r ≥ 4 51+− hoặc r ≤ 4 51−− thì 4r 2 +2r - 1 ≥ 0 +∞→n ⇒ k 4 9 ≤ Theo bài toán 7 ta có E ≤ 1 2 28 8 27 9 2 2 + − = − r r rk Vậy (7) ñúng với mọi a,b,c >0 ( a+b+c =1) . Tập hợp các giá trị r cần tìm là ( - 2 51 , −− ∞ ] ∪ [ +∞ +− , 2 51 ) Bài 2: Cho k là số thực, k ≥ 8. Chứng minh rằng với các số nguyên dương a, b, c ta có bất ñẳng thức 1 3 222 + ≥ + + + + + k kabc c kcab b kbca a Lời giải: Ta có, theo Cauchy-Schwarz ( ) ( ) 2 2 2 ∑∑∑ ≥+ + akbcaa kbca a Bây giờ, áp dụng Cauchy-Schwarz cho tổng thứ hai ( ) ( ) ( ) ( ) ∑∑∑∑ +≤+=+ )( 3 2 3 2 2 kabcaakabcaakbcaa Như vậy ta chỉ cần chứng minh ( ) ( ) ∑ ∑ +≥+ )(9)1( 3 3 kabcaak Nhưng ñiều này tương ñương với (k-8)(a 3 +b 3 +c 3 ) + 3(k+1)(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 27kabc Bất ñẳng thức cuối cùng là hiển nhiên theo BðT trung bình cộng-trung bình nhân. Tuy nhiên ta có thể hỏi một cách khác khó hơn như sau: Cho biểu thức 1 1 1 1 1 1 P kx ky kz = + + + + + với x,y,z dương và xyz=1, k>0 cho trước Tìm k ñể P ñạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất ñó. Lời giải. • Với 8 k ≥ thì tương tự ta chứng minh ñược 3 1 k + , khi x=y=z=1 (có thể chứng minh bằng biến ñổi tương ñương, bằng cách quy ñồng…) • Với 0<k<8, ta chứng minh P không có giá trị nhỏ nhất. D ễ thấy P>1, ta cần chỉ ra một bộ ( , , ) n n n x y z sao cho lim 1 n P = . Chọn 2 1 ; n n n y z n x n = = = thì lim 1 n P = . Bài 3: Tìm số C lớn nhất sao cho với mọi , , , , 0 ≥ a b c d e thỏa mãn + = + + a b c d e ta ñều có: ( ) 2 2 2 2 2 2 + + + + ≥ + + + + a b c d e C a b c d e Lời giải: Cho a=b=3, c=d=e=2, ta ñược: 2 30 6( 3 2) ≤ + C Ta sẽ chứng minh BðT ñúng với 2 30 6( 3 2) = + C . Thật vậy, ñặt + = + + = a b c d e t Theo BðT Cauchy-Schwar ta có: 2 2 2 2 ( ) 2 2 + + ≥ = a b t a b và 2 2 2 2 2 ( ) 3 3 + + + + ≥ = c d e t c d e Do ñó 2 2 2 2 2 5 . 6 + + + + ≥ a b c d e t (1) Lại có 2( ) 2 + ≤ + = a b a b t và 3( ) 3 + + ≤ + + = c d e c d e t Do ñó ( ) 2 2 ( 2 3) + + + + ≤ + a b c d e t (2) Từ (1) và (2) suy ra ( ) 2 2 2 2 2 2 2 30 6( 3 2) + + + + ≥ + + + + + a b c d e a b c d e (ñpcm). Bài 4. Tìm số M nhỏ nhất sao cho với mọi , , a b c ∈ ℝ ta ñều có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ab a b bc b c ca c a M a b c − + − + − ≤ + + Lời giải. Trước hết ta chứng minh 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) A ab a b bc b c ca c a b c a b a c a b c = − + − + − = − − − + + Thật vậy, xét ña thức 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) P x bx x b bc b c cx c x = − + − + − Ta có ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )( )( )( ) P b P c P b c P x b c x b x c x b c = = − − = ⇒ = − − − + + Khi ñó ( ) ( )( )( )( ) A P a b c a b a c a b c = = − − − + + (ñpcm). Trở lại bài toán: Tìm M nhỏ nhất ñể ( ) 2 2 2 2 ( )( )( )( ) b c a b a c a b c M a b c − − − + + ≤ + + (1) Gi ả sử a b c ≤ ≤ . Ta có 2 2 ( ) ( )( ) ( )( ) 2 4 b a c b a c a b b c b a c b − + − − − − = − − ≤ = (2) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 a c b + = . Dễ thấy lại có 2 2 2 2 3( ) 2 ( ) ( ) ( ) c a b a c b c a − ≤ − + − + − (3) Dấu bằng trong (3) xảy ra khi 2 a c b + = . Từ (2) và (3) suy ra: 3 3 2 2 2 6 2 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 1 ( )( )( )( ) ( ) ( ) 4 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) .( ) .( ) 4 4 3 2 ( ) ( ) ( ) .( ) 2 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 4 b c a b a c a b c c a a b c a b b c c a c a a b c a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c AM G − − − + + ≤ − + + − + − + − = − + + ≤ + + − + − + − = + + − + − + − + + + ≤ − 2 2 2 2 ) 9 2 ( ) 32 M a b c= + + Như vậy BðT (1) ñúng với 9 2 32 M = , ñẳng thức xảy ra khi 2 a c b + = và 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 b a c b c a a b c − + − + − = + + , từ ñó giải ra 2 2 2 ( ) 18 a c b c a b + = − = Có thể chọn b=1 thì 3 3 1 2; 1 2 2 2 a c= − = + . Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của M bằng 9 2 32 . Chú ý: Có thể chứng minh 2 2 2 2 9 2 ( )( )( )( ) ( ) 32 b c a b a c a b c a b c − − − + + ≤ + + bằng cách ñơn giản hơn như sau: Giả sử ( , , ) a max a b c = , ta có 2 2 2 2 2 2 2 9( ) ( ) 2( ) 2( )( ) 2 2 ( )( ) 2 ( )( ) 16 2 ( )( )( )( ) a b c a b c b c a b a c a b c b c a b a c b c a b a c a b c + + = + + + − + − − ≥ + + − + − − ≥ − − − + + Vậy 2 2 2 2 9 2 ( )( )( )( ) ( ) 32 b c a b a c a b c a b c − − − + + ≤ + + (ñpcm). Bài 5. Cho n s ố không âm 1 2 , , , n x x x , 2 n ≥ . Tìm hằng số C nhỏ nhất sao cho 4 2 2 1 1 ( ) n i j i j i i j n i x x x x C x ≤ < ≤ = + ≤ ∑ ∑ (1) Lời giải. 1) Nếu 1 2 0 n x x x = = = = thì (1) ñúng với mọi 0 C ≥ 2) Nếu tồn tại 0 i x > thì 1 2 0 n x x x + + + > . Do tính thuần nhất, ta chuẩn hoá 1 2 1 n x x x + + + = . Khi ñó 2 2 3 3 1 2 1 1 1 ( , , , ) ( ) n i j i j i j i j i j n i j n i j n F x x x x x x x x x x x ≤ < ≤ ≤ < ≤ ≤ < ≤ = + = + ∑ ∑ ∑ 3 3 1 1 1 . (1 ) ( ) i j i i i i n j i i n i n x x x x f x ≤ ≤ ≠ ≤ ≤ ≤ ≤ = = − = ∑ ∑ ∑ ∑ Do vậy ta cần tìm C nhỏ nhất sao cho 1 ( ) i i n f x C ≤ ≤ ≤ ∑ với 1 2 1 n x x x + + + = . Ta có ''( ) 6 (1 2 ) f x x x = − nên hàm f(x) lồi trên 1 0; 2 . Giả sử 1 2 n x x x ≥ ≥ ≥ . Ta sẽ áp dụng BðT Karamatta. Xét các trường hợp sau: a) 1 1 2 x ≤ . Khi ñó 1 2 1 1 , ,0,0, ,0 ( , , , ) 2 2 n x x x > , suy ra 1 1 1 1 ( ) (0) (0) 2 2 8 i i n f x f f f f ≤ ≤ ≤ + + + + = ∑ b) 1 1 2 x ≥ . Khi ñó 1 2 3 ( 2) 1 ,0,0, ,0 ( , , , ) n n x x x x − − > , suy ra 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) (0) (0) ( ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 (1 ) 2 (1 2 ) 8 i i i n i n f x f x f x f x f x f f f x f x x x x x x x x x ≤ ≤ ≤ ≤ = + ≤ + − + + + = + − = − + − = − + − ≤ ∑ ∑ Vậy 1 1 ( ) 8 i i n f x ≤ ≤ ≤ ∑ với mọi 0 i x ≥ và 1 2 1 n x x x + + + = . Do ñó 1 8 C ≥ . Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của C bằng 1 8 . Bài 6. Tìm tất cả các số thực không âm k sao cho với mọi a,b,c không âm thoả mãn 2 2 2 3 a b c kabc k + + + = + (*) ta ñều có bất ñẳng thức 3 a b c + + ≤ . Lời giải. 1) Giả sử k thoả mãn ñề bài. Cho a=0, 3 2 k b c + = = thì a,b,c thoả mãn (*) Lúc ñó 3 3 2 3 2 2 k a b c k + + + = ≤ ⇒ ≤ . Ta chứng minh với mọi 3 0 2 k ≤ ≤ ñều thoả mãn ñề bài. 2) Bổ ñề: Nếu x,y,z không âm thoả mãn x+y+z=3 thì 2 2 2 3 x y z kxyz k + + + ≥ + với mọi 3 0; 2 k ∈ . Chứng minh bổ ñề: Áp dụng BðT ( )( )( ) x y z y z x x z y xyz + − + − + − ≤ ta ñược (3 2 )(3 2 )(3 2 ) x y z xyz − − − ≤ Suy ra 4 9 12( ) 27 3 ( ) 3 k xyz xy yz xz kxyz k xy yz xz ≥ + + − ⇒ ≥ − + + + Do ñó 2 2 2 2 2 2 4 ( ) 3 3 k P x y z kxyz x y z xy yz xz k = + + + ≥ + + + + + − 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 k k k P x y z xy yz xz x y z k − ⇒ ≥ + + + + + + + + − 2 2 2 2 2 3 2 ( ) ( ) 3 3 3 3 k k P x y z x y z k k − ⇒ ≥ + + + + + − ≥ ≥ + (ñpcm). * Trở lại bài toán: Với 3 0; 2 k ∈ . Xét a,b,c không âm thoả mãn (*). Ta cần chứng minh 3 a b c + + ≤ . Thật vậy, phản chứng rằng a+b+c>3, khi ñó tồn tại t>1 sao cho 3 a b c t + + = ðặt ; ; a b c x y z t t t = = = thì x+y+z=3. Áp dụng bổ ñề ta ñược : 2 2 2 2 2 2 2 3 (3 ) 3 kabc x y z kxyz k a b c k t k t + + + ≥ + ⇒ + + + ≥ + > + Mà t>1 nên 2 2 2 2 2 2 kabc a b c kabc a b c t + + + ≥ + + + . Do ñó 2 2 2 3 a b c kabc k + + + > + , mâu thuẫn với giả thiết. Kết luận: Các giá trị cần tìm của k là 3 0; 2 k ∈ . Bài 7. Tìm số thực k lớn nhất sao cho với mọi a,b,c không âm thoả mãn 1 a b c + + = ta ñều có bất ñẳng thức 3 3 3 1 9 27 k a b c kabc+ + + ≥ + . Lời giải. Cho 1 ; 0 2 a b c = = = ta suy ra 15 4 k ≤ . Ta chứng minh BðT ñúng với 15 4 k = , tức là cần chứng minh: 3 3 3 15 1 4 4 a b c abc + + + ≥ (1) BðT (1) có thể ñược chứng minh bằng BðT Schur. . MỘT SỐ BÀI TOÁN HẰNG SỐ TỐT NHẤT Lê Xuân ðại, GV THPT Chuyên vĩnh Phúc Bài 1. Tìm tất cả các số thực r sao cho bất ñẳng thức 3 ) 2 1 ()()()(. Theo bài toán 7 ta có E ≤ 1 2 28 8 27 9 2 2 + − = − r r rk Vậy (7) ñúng với mọi a,b,c >0 ( a+b+c =1) . Tập hợp các giá trị r cần tìm là ( - 2 51 , −− ∞ ] ∪ [ +∞ +− , 2 51 ) Bài 2:. nhất. D ễ thấy P>1, ta cần chỉ ra một bộ ( , , ) n n n x y z sao cho lim 1 n P = . Chọn 2 1 ; n n n y z n x n = = = thì lim 1 n P = . Bài 3: Tìm số C lớn nhất sao cho với mọi , , ,