luận văn về bội chung và ước chung

Toán học là môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc thực tiễn. Cùng với thời gian và sự tiến bộ của loài người, Toán học ngày càng phát triển và chia thành hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết và Toán học ứng dụng. Trong đó, nói đến Toán học lý thuyết không thể không nói đến Lý thuyết số ngành Toán học có lịch sử rất lâu đời. Từ thế kỷ IV đến thế kỷ II trước Công nguyên, các nhà Toán học Jaina ở Ấn Độ đã phát triển lý thuyết số có hệ thống.

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 NỘI DUNG LÝ THUYẾT 3

1.1 Một số vấn đề của ước và bội 3

1.2 Một số khái niệm 3

1.3 Các định lý quan trọng 3

1.4 Nguyên tố cùng nhau 4

1.5 Bội số 4

1.6 Bội số chung 4

1.7 Bội chung nhỏ nhất 4

1.8 Các định lý quan trọng 4

1.9 Một số tính chất của ước và bội 4

1.10 Phép chia Euclid 4

1.11 Đẳng thức Bezout 8

Chương 2 CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ BỘI CHUNG VÀ ƯỚC CHUNG 10

2.1 DẠNG TOÁN TÌM ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT, BỘI CHUNG NHỎ NHẤT 10

2.2 DẠNG TOÁN CHỨNG MINH DỰA VÀO ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT 12

2.3 DẠNG TOÁN ĐẲNG THỨC BEZOUT 15

KÕt luËn 16

TÀI LIỆU THAM KHẢO 17

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc thực tiễn Cùng với thời gian và sự tiến bộ của loài người, Toán học ngày càng phát triển và chia thành hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết và Toán học ứng dụng Trong đó, nói đến Toán học lý thuyết không thể không nói đến Lý thuyết số - ngành Toán học có lịch sử rất lâu đời Từ thế kỷ IV đến thế kỷ II trước Công nguyên, các nhà Toán học Jaina ở Ấn Độ đã phát triển lý thuyết số có hệ thống

Sự phát triển của Toán học hiện đại đòi hỏi chúng ta cần phải tìm ra ngày càng nhiều những hệ thống số mới cũng như các phương pháp mở rộng các trường đã biết Ở bậc Đại học, chúng ta đã được học những phương pháp phát triển từ tập các

tự nhiên lên tập các số nguyên, từ vành số nguyên lên trường các số hữu tỷ,… Được sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của GVC.ThS.Nguyễn Thị Bình, em đã chọn đề tài: “Bài tập về ước chung và bội chung” làm đề tài khóa luận của mình Mặc dù em đã có nhiều cố gắng song do những hạn chế về thời gian, kiến thức, khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp, phản biện của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và độc giả để khóa luận của em hoàn thiện hơn

2 Mục đích nghiên cứu

Khóa luận làm rõ một số khái niệm về ước và bội, một số tính chất liên quan đến ước chung, bội chung, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất

Khóa luận chỉ ra một số cách tìm ước chung,ước chung lớn nhất, bội chung, bội chung nhỏ nhất và dựa vào ước và bội để chứng minh các bài toán

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Khóa luận nghiên cứu một số tính chất có liên quan đến ước, bội, ước

chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất; đưa ra một số phương pháp chứng minh các định lý, ví dụ minh họa cho các khái niệm và định lý đã trình bày

4 Khóa luận nghiên cứu về các dạng bài tập về bội chung và ước chung.

5 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Khóa luận nghiên cứu khái niệm ước và bội, trong đó đi sâu nghiên cứu khái niệm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất và bài tập liên quan đến ước và bội Khóa luận đi sâu về bài tập có liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

6 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp đọc sách; nghiên cứu tài liệu

7 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm hai chương:

Chương 1 Nội dung khái niệm: Một số khái niệm cơ bản (ước, ước chung, ước chung nhỏ nhất, bội, bội chung, bội chung nhỏ nhất), một số tính chất của ước và bội, phép chia Euclid, đẳng thức Bezout, các định lý và chứng minh định lý, các ví

dụ minh họa

Chương 2.Các dạng bài tập liên quan đến bội chung và ước chung

Chương 1.

NỘI DUNG LÝ THUYẾT.

1.1 Một số vấn đề của ước và bội

Ước và bội là 2 khái niệm quan trọng trong chương trình số học THCS Chuyên

đề này sẽ giới thiệu những khái niệm về tính chất cơ bản về ước, ước số chung, ước chung lớn nhất, bội, bội số chung, bội chung nhỏ nhất Một số dạng bài tập liên quan đến tìm ước, bội, ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

Ước và bội là 2 trong số những khái niệm cơ bản nhất của số học.Tuy nhiên sự

cơ bản luôn luôn có sự thú vị riêng của nó.Những người học số học luôn luôn cần nắm vững những vấn đề này, không chỉ vì những ứng dụng rộng rãi của nó mà nó còn là nền tảng xây dựng nên những vấn đề đa dạng và phức tạp

1.2 Một số khái niệm

1.2.1 Ước số

Ước số chung

Ước chung lớn nhất

1.3 Các định lý quan trọng

1.3.1 Định lý 1:

Nếu P x v Q x  àQx  là 2 đa thức sao cho P x Q x   ,thì chúng có ước chung lớn

nhất làP x Q x ,    Q x .Nếu những đa thức P x v Q x  àQx  có ước chung lớn

nhất và   0 là số bất kì thì:

P x , Q x    (  P x , Q x )  (P x ,  P x )

Kết luận suy ra trực tiếp từ định nghĩa của ước chung lớn nhất

1.3.2 Định lý 2

Chonhững đa thức P x v Q x  àQx  có ước chung lớn nhất D x   P x , Q x  

và R x là số dư trong phép chia   P x cho Q x   .P x , Q x    Q x , R x  

1.3.3 Định lý 3

Hai đa thức bất kì đều có ước chung lớn nhất

1.4 Nguyên tố cùng nhau

1.5 Bội số

1.6 Bội số chung

1.7 Bội chung nhỏ nhất

1.8 Các định lý quan trọng

1.8.1 Định lý 4

Nếu P(x) và Q(x) là hai đa thức sao cho P(x)  Q(x), thì chúng có bội chung nhỏ nhất là P(x), Q(x) = P(x)

Nếu những đa thức P(x) và Q(x) có bội chung nhỏ nhất và   0 là số bất kì thì:

[P x Q x ,  ] [  P x Q x ,  ] [P x , Q x ]

1.8.2 Định lý 5

Chứng minh rằng với bất kỳ 2 đa thức khác không P(x) và Q(x) đều thỏa mãn đẳng thức sau:

P x Q x ,   .[P x Q x ,  ] P x Q x   

1.9 Một số tính chất của ước và bội

1.10 Phép chia Euclid

Euclid đã bắt đầu với nhận xét sau:

a b,  a a,  b b , ,  a b d a b (*).

Giả sử a  b, khi đó từ đẳng thức a b, ,   a  b b ta đã đi về bài toán tìm ước số chung của 2 số nguyên dương nhỏ hơn là a ,  b b

Tiếp tục bài toán với 2 số nguyên dương nhỏ hơn nữa là a – 2 b, b (trong trường hợp a  b  b)hay là , 2 a  b b  a (trong trường hợp a – b <b)

a b, ,   c c d

Như vậy c = d Từ đây ta có thuật toán sau để tìm ước chung lớn nhất của 2 số nguyên a và b

Cho 0.a  b  Nếu a , .bq thì a b  b

Nếu a ( bq  r r0 ) , , thì a b   b r

Phép chia Euclip trong trường hợp này được thực hiện như sau:

a bq  r1  , , a b  b r1

b r q1 1 r2 , b r1 r r1, 2

1 2 2 3  1 2, 

2, 3

………

R n r q n n r n r n r n

Từ đây ta suy ra:

a b, ,  b r1 r r1 2,  r r2 3,  r n 2, r n 1 r n 1,r n .r n

Hay nói cách khác (a, b) là số dư cuối cùng khác 0 trong phép chia Euclid

Từ phép chia Euclid ta suy ra được tính iii, một tính chất đẹp và quan trọng trong lý thuyết số

Ta dễ dàng chứng minh tính chất trên bằng phương pháp qui nạp lùi theo n trong phép chia Euclid

Thật vậy nếu a bq thì tính chất iii) là hiển nhiên

Nếu a b thì ta có đẳng thức sau:

R n 0 r n 1 1.r n.



Giả sử ta có r n r r k k, 1 .x r k y r k 1.

Khi đó: R k 1r q k k  r k 1  yr k 1 yq k – x r k  xr k  yr k 1.

Như vậy theo nguyên lý quy nạp lùi, đối với các số a b cũng tồn tại các số,  nguyên x, y sao cho:

xa  yb r n  ,  a b

Sau khi đã tìm được ước chung lớn nhất thì việc tìm bội chung nhỏ nhất là đơn giản ta có thể dùng công thức vii,

[a , b]= ab

(a , b)

Ước chung của a m 1,  a n 1 

Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu về ước chung lớn nhất của

a  và a  trong đó a, a a 2 10, , m n*.

Đặt m n,  d, ta dễ dàng nhận ra rằng:

1 1, 1 1

A  a  a  a 

Thật vậy, đặt m dk ta có:

k

A b k1 b k2 1, b  b a d.

Hoàn toàn tương tự cho a n – 1 Như vậy a m – 1, a n 1   A

có dạng

– 1

d

B a 

  Việc còn lại là tìm B Ta hãy tìm B trong các trường hợp cụ thể xem sao:

Như vậy ta có thể dự đoán, ta mạnh dạn đưa ra giả thuyết

a m– 1, a n 1   A a( , )m n  1

Ta sẽ chứng minh a( , ) 1 m n  A

và từ đó suy ra a( , ) – 1 m n A

đã chia hết

cho a( , ) 1.m n 

Trước hãy tạo sự liên kết (m, n) bằng các kết quả tồn tại các số nguyên x, y sao cho:

xm  yn  m n, 

Hay phát biểu ở một dạng khác, tồn tại các số nguyên không âm x, y sao cho:

– xm yn  m n hay, – xm  yn  m n, Ta chỉ xét trường hợp:

xm – yn  m n,  , trường hợp kia hoàn toàn tương tự

a xm – a yn a xm – 1 –  a yn– 1

= a m– 1 – C a n– 1D A

Mà a yn, a n– 1 1   a yn, 1.A 

Do đó theo tính chất iv) ta suy ra:

a xm yn. – 1 a( , )m n – 1 A

Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh

Ta thu được kết luận như sau:

a m – 1, a n– 1 a m n – 1

1.11 Đẳng thức Bezout.

Để xác định được đẳng thức ta đi về chứng minh định lý sau:

1.11.1 Định lý 6

Chứng minh rằng nếu D(x) là ước chung lớn nhất của những đa thức P(x) và Q(x), thì tồn tại những đa thức thức U(x) và V(x) sao cho:

D x  U x P x     V x Q x   

1.11.2 Định lý 7

Chứng minh rằng nếu P x và Q x    là những đa thức khác không, ước chung lớn nhất của chúng là D(x), thì tồn tại những đa thức U x và V x    sao cho:

D x  U x P x     V x Q x   

Và ngoài ra deg U x  deg  Q x và  deg V x  deg  P x 

1.11.3 Định lý 8:

Chứng minh rằng những đa thức P x và Q x    gọi là nguyên tố cùng nhau khi

và chỉ khi tồn tại những đa thức U x và V x    sao cho:

U x P x  V x Q x 1.

1.11.4 Định lý 9

Chứng minh rằng nếu P(x), Q(x) và S(x) là ba đa thức sao cho

P x Q x,  1 và S x Q x P x     , thì S x P x   

1.11.5 Định lý 10

Cho hai đa thức P x và Q x    nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng tồn tại duy nhất những đa thức U x và V x sao cho     U x P x V x Q x         1 và ngoài

ra deg U x  deg Q x và  deg V x  deg P x 

1.11.6 Định lý 11

Cho P x Q x và S x ,     là ba đa thức Chứng minh rằng tồn tại những đa thức

 x và  x

S x  x P x  x Q x

Khi và chỉ khi đa thức S x  chia hết cho ước chung lớn nhất của những đa thức

   

P x và Q x

Chương 2.

CÁC DẠNG BÀI TẬP

VỀ BỘI CHUNG VÀ ƯỚC CHUNG 2.1 DẠNG TOÁN TÌM ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT, BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

2.1.1 Bài toán 1

Tìm d = ( 786, 285)? Tìm u, v sao cho 786u + 285v = d?

2.1.2 Bài toán 2

Tìm d  a a, 2 với a Z ?

2.1.3 Bài toán 3

Giả sử a b c, , Z a,  b c b, aq1 r c1 aq2 r2.Chứng minh rằng

ƯCLN a b c = ƯCLN , ,   , , a r1 2r ?

2.1.4 Bài toán 4

Tìm ƯCLN của 2 số 2?a v a àQx 

2.1.5 Bài toán 5

Hãy tìm ước chung lớn nhất của P x v Q x  àQx  có thể tìm theo thuật toán

Euclid

P x x x  x  x , Q x( )x3x2 x1

2.1.6 Bài toán 6

Hãy tìm ước chung lớn nhất của những đa thức sau:

P(x) = x53x42x3x2 x 2,

Q(x) = x62x5x43x32x2 x2

và S x  x7– x6– 2x4 – 1.x

2.1.7 Bài toán 7

Hãy tìm ước chung lớn nhất của những đa thứcx n– 1 v x àQx m , ở đây n và m1

là những số tự nhiên dương bất kì

2.1.8 Bài toán 8

Tìm BCNN của 3 số nguyên liên tiếp?

2.1.9 Bài toán 9

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên a, b thỏa mãn: [ , ] 2835; a b  a b,   15?

2.1.10 Bµi to¸n 10

CMR: 14 3 n  v àQx 21 4 ( n  n )là 2 số nguyên tố cùng nhau.

2.1.11 Bµi to¸n 11

Tìm ƯCLN a b biết rằng a là số gồm 1991 chữ số 2; b là gồm 8 chữ số 2., 

2.1.12 Bµi to¸n 12

Tìm 2 số tự nhiên a b, với 3 114a  b  đồng thời thỏa mãn điều kiện:

Tổng của ước số chung a b và bội số chung [ , ],  a b là 174.

2.1.13 Bµi to¸n 13

Tìm 2 số tự nhiên a b, với 2 48a  b  đồng thời thỏa mãn điều kiện:

Tổng của ước số chung a b và 3 lần bội số chung [ , ],  a b là 114.

2.1.14 Bµi to¸n 14

Tìm a b, biết rằng 2400a b  và BCNN a b;   120

2.1.15 Bài toán 15

a) Hãy tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của 34 và 56? b) Có thể tìm ước chung lớn nhất có thể có của 2k1 v àQx 9k4 (kN).

2.1.16 Bài toán 16

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên a, b thỏa mãn điều kiện sau:

a)a  b 432 v àQx a b,   36?

b)ab  8400 v àQx a b,   20?

2.2 DẠNG TOÁN CHỨNG MINH DỰA VÀO ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

2.2.1 Bài toán 1

Chứng minh rằng 3 5 , 8 13   ,  ?

2.2.2 Bài toán 2

Chứng minh rằng UCLN a b,   với 1

a) a  21 4, m  b  14 3m 

b) a m3 2 , m b m4 3m2 1

2.2.3 Bài toán 3

Chứng minh rằng nếu a b c, , nguyên tố sánh đôi thì:

ab  bc ,  ca abc  1

2.2.4 Bài toán 4

Cho UCLN củaa b,   th× d a , 2 b a  ?

2.2.5 Bài toán 5

Cho UCLN a b,   1, \n a – , \b n ac – bd.

Chứng minh rằng n\c – ?d

2.2.6 Bài toán 6

Chứng minh rằng:

Nếu a b,   thì: a ) 1

1

3



b )

1 (11 2 ,18 5 )

19



2.2.7 Bài toán 7

Chứng minh rằng a c, 1 thì ab c,   b c, .

2.2.8 Bài toán 8

Chứng minh rằng a b,  1 thì

1

2

a b a b 



?

2.2.9 Bài toán 9

Nếu a b,  d th× a b a b , –?

2.2.10 Bài toán 10

Chứng minh rằng:

a) a a,  b  a b, ?

b) a b,   1 th× ( a b ab , )  1

c ) Nếu a b,   1 th× 2 ,  a  b a a  b   1

2.2.11 Bài toán 11

Chứng minh rằng nếu n là ước chung của – a b và – ac bd và a b,   thì 1

n là ước của – c d

2.2.12 Bài toán 12

Chứng minh rằng  5 3 , 13 8a  b a  b  a b, .

2.2.13 Bài toán 13

Chứng minh rằng nếu  kn  lm = 1 thì ta có:

ma  nb ka,  lb  a b, .

2.2.14 Bài toán 14

Giả sử a b c  ,b aq1 , r1 c aq2 r2

Chứng minh rằng:  , ,  ,

1, 2

a b c a r r 



2.2.15 Bài toán 15

Chứng minh rằng n a,   , r n b,   thì ta có:s

n ab,   n rs, 

2.2.16 Bài toán 16

Chứng minh rằng: [ , a b c, ] ([ , ],[ , ]).  a b a c

2.2.17 Bài toán 17

Cho cấp số cộng a  bk k  0, 1, 2,  víi a b ,   , m là một số tự 1 nhiên khác 0

Nếu c là ước lớn nhất của m thỏa mãnc a,   1 th× a ,  bc m  ? 1

2.2.18 Bài toán 18

Cho dãy Fibonnaci: u1, u2, u3

u1u2  1, u n u n 1 u n 2 n3

Chứng minh rằng:  , 

( , )

u m u n u

m n



2.2.19 Bài toán 19

Chứng minh rằng nếu a, b là những số nguyên khác nhau thì có vô số tự nhiên n sao cho a n b n ,    1?

2.2.20 Bài toán 20

Chứng minh rằng dãy số :

1

( 1) ( 1,2, )

2

chứa dãy số vô hạn những số nguyên tố sánh đôi?

2.2.21 Bai toán 21

Chứng minh rằng dãy số:

1 ( 1)( 2)( 1, 2, ) 6

T n  n n  n  n

chứa dãy số vô hạn những số nguyên tố sánh đôi

2.2.22 Bài toán 22

Chứng minh rằng dãy số Fecmat 22 1 ( 0, 1, 2, .)

n

nguyên tố sánh đôi?

2.2.23 Bài toán 23

Chứng minh rằng nếu m và n là những số tự nhiên dương bất kì, còn a là một số bất kì, thì ước chung lớn nhất của đa thức x n a v x n àQx m a m là:

1





ở đây d  n m,  là ước chung lớn nhất của những số n và m

2.3 DẠNG TOÁN ĐẲNG THỨC BEZOUT.

2.3.1 Bài toán 1

Hãy tìm những đa thức  x v àQx  x có bậc thấp nhất sao cho:

x4– 2x3– 4x2 6 1x   x  x3– 5 3x    x x4

2.3.2 Bài toán 2

Cho (x) là đa thức bất kỳ khác không, còn P x v Q x  àQx   là những đa thức bất

kì Chứng minh rằng nếu với đa thức S x thỏa mãn đồng dư thức: 