Toán học là môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc thực tiễn. Cùng với thời gian và sự tiến bộ của loài người, Toán học ngày càng phát triển và chia thành hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết và Toán học ứng dụng. Trong đó, nói đến Toán học lý thuyết không thể không nói đến Lý thuyết số ngành Toán học có lịch sử rất lâu đời. Từ thế kỷ IV đến thế kỷ II trước Công nguyên, các nhà Toán học Jaina ở Ấn Độ đã phát triển lý thuyết số có hệ thống.
MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc thực tiễn. Cùng với thời gian và sự tiến bộ của loài người, Toán học ngày càng phát triển và chia thành hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết và Toán học ứng dụng. Trong đó, nói đến Toán học lý thuyết không thể không nói đến Lý thuyết số - ngành Toán học có lịch sử rất lâu đời. Từ thế kỷ IV đến thế kỷ II trước Công nguyên, các nhà Toán học Jaina ở Ấn Độ đã phát triển lý thuyết số có hệ thống. Sự phát triển của Toán học hiện đại đòi hỏi chúng ta cần phải tìm ra ngày càng nhiều những hệ thống số mới cũng như các phương pháp mở rộng các trường đã biết. Ở bậc Đại học, chúng ta đã được học những phương pháp phát triển từ tập các tự nhiên lên tập các số nguyên, từ vành số nguyên lên trường các số hữu tỷ,… Được sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của GVC.ThS.Nguyễn Thị Bình, em đã chọn đề tài: “Bài tập về ước chung và bội chung” làm đề tài khóa luận của mình. Mặc dù em đã có nhiều cố gắng song do những hạn chế về thời gian, kiến thức, khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp, phản biện của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và độc giả để khóa luận của em hoàn thiện hơn. 2. Mục đích nghiên cứu Khóa luận làm rõ một số khái niệm về ước và bội, một số tính chất liên quan đến ước chung, bội chung, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất. Khóa luận chỉ ra một số cách tìm ước chung,ước chung lớn nhất, bội chung, bội chung nhỏ nhất và dựa vào ước và bội để chứng minh các bài toán. 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu một số tính chất có liên quan đến ước, bội, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất; đưa ra một số phương pháp chứng minh các định lý, ví dụ minh họa cho các khái niệm và định lý đã trình bày. 4. Khóa luận nghiên cứu về các dạng bài tập về bội chung và ước chung. 5. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu khái niệm ước và bội, trong đó đi sâu nghiên cứu khái niệm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất và bài tập liên quan đến ước và bội. Khóa luận đi sâu về bài tập có liên quan đến ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất. 6. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp đọc sách; nghiên cứu tài liệu. 7. Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm hai chương: Chương 1. Nội dung khái niệm: Một số khái niệm cơ bản (ước, ước chung, ước chung nhỏ nhất, bội, bội chung, bội chung nhỏ nhất), một số tính chất của ước và bội, phép chia Euclid, đẳng thức Bezout, các định lý và chứng minh định lý, các ví dụ minh họa. Chương 2.Các dạng bài tập liên quan đến bội chung và ước chung. 3 Chương 1. NỘI DUNG LÝ THUYẾT. 1.1. Một số vấn đề của ước và bội Ước và bội là 2 khái niệm quan trọng trong chương trình số học THCS. Chuyên đề này sẽ giới thiệu những khái niệm về tính chất cơ bản về ước, ước số chung, ước chung lớn nhất, bội, bội số chung, bội chung nhỏ nhất. Một số dạng bài tập liên quan đến tìm ước, bội, ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất. Ước và bội là 2 trong số những khái niệm cơ bản nhất của số học.Tuy nhiên sự cơ bản luôn luôn có sự thú vị riêng của nó.Những người học số học luôn luôn cần nắm vững những vấn đề này, không chỉ vì những ứng dụng rộng rãi của nó mà nó còn là nền tảng xây dựng nên những vấn đề đa dạng và phức tạp. 1.2. Một số khái niệm 1.2.1. Ước số Ước số chung Ước chung lớn nhất 1.3. Các định lý quan trọng 1.3.1. Định lý 1: Nếu ( ) ( ) P x v Q xà là 2 đa thức sao cho ( ) ( ) ,P x Q xM thì chúng có ước chung lớn nhất là ( ) ( ) ( ) ( ) , .P x Q x Q x= Nếu những đa thức ( ) ( ) P x v Q xà có ước chung lớn nhất và α ≠ 0 là số bất kì thì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( . , ) ( , . ).P x Q x P x Q x P x P x α α = = Kết luận suy ra trực tiếp từ định nghĩa của ước chung lớn nhất. 1.3.2. Định lý 2 4 Chonhững đa thức ( ) ( ) P x v Q xà có ước chung lớn nhất ( ) ( ) ( ) ( ) , D x P x Q x= và ( ) R x là số dư trong phép chia ( ) ( ) .P x cho Q x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , .P x Q x Q x R x= 1.3.3. Định lý 3 Hai đa thức bất kì đều có ước chung lớn nhất 1.4. Nguyên tố cùng nhau 1.5. Bội số 1.6. Bội số chung 1.7. Bội chung nhỏ nhất 1.8. Các định lý quan trọng 1.8.1. Định lý 4 Nếu P(x) và Q(x) là hai đa thức sao cho P(x) M Q(x), thì chúng có bội chung nhỏ nhất là [P(x), Q(x)] = P(x). Nếu những đa thức P(x) và Q(x) có bội chung nhỏ nhất và α ≠ 0 là số bất kì thì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] [ . , ] [ , . ].P x Q x P x Q x P x Q x α α = = 1.8.2. Định lý 5 Chứng minh rằng với bất kỳ 2 đa thức khác không P(x) và Q(x) đều thỏa mãn đẳng thức sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , .[ , ] . .P x Q x P x Q x P x Q x= 1.9. Một số tính chất của ước và bội 1.10. Phép chia Euclid Euclid đã bắt đầu với nhận xét sau: ( ) ( ) ( ) , , , , (*).a b a a b b a b d a b= − = − = ≠ 5 Giả sử a ≥ b, khi đó từ đẳng thức ( ) ( ) , , a b a b b= − ta đã đi về bài toán tìm ước số chung của 2 số nguyên dương nhỏ hơn là , a b b− . Tiếp tục bài toán với 2 số nguyên dương nhỏ hơn nữa là a – 2 b, b (trong trường hợp a b b− > ) hay là , 2 a b b a− − (trong trường hợp a – b <b). ( ) ( ) , , a b c c d= = Như vậy c = d. Từ đây ta có thuật toán sau để tìm ước chung lớn nhất của 2 số nguyên a và b. Cho 0.a b> > Nếu ( ) , .a bq thì a b b= = Nếu ( ) ( ) ( 0 ) , , a bq r r thì a b b r= + ≠ = Phép chia Euclip trong trườn g hợp này được thực hiện như sau: ( ) ( ) , , 1 1 a bq r a b b r = + ⇒ = ( ) , . 1 1 2 1 1, 2 b r q r b r r r ÷ = + ⇒ = ( ) , 1 2 2 3 1 2 2, 3 . R r q r r r r r ÷ = + ⇒ = ………………………………………………… ( ) ( ) ( ) , , . 2 1 1 2 1 1 , . 1 1 R r q r r r r n n n n n n n R r q r r r n n n n n n = ⇒ = − − − − − − = ⇒ = − − Từ đây ta suy ra: 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , . 1 1 2 2 3 2 1 1, a b b r r r r r r r r r r n n n n n ÷ = = = =…= = = − − − Hay nói cách khác (a, b) là số dư cuối cùng khác 0 trong phép chia Euclid. Từ phép chia Euclid ta suy ra được tính iii, một tính chất đẹp và quan trọng trong lý thuyết số. Ta dễ dàng chứng minh tính chất trên bằng phương pháp qui nạp lùi theo n trong phép chia Euclid. Thật vậy nếu a bq= thì tính chất iii) là hiển nhiên . Nếu a b / M thì ta có đẳng thức sau: 0. 1. . 1 R r r n n n + = − Giả sử ta có . . , 1 1. r r r x r y r n k k k k ÷ = = + + + Khi đó: ( ) – 1 1 1 1. R r q r yr yq x r xr yr k k k k k k k k k = + ⇒ + + − + + = + ( ) ( ) – – , . 1 1 yr yq x r r r r n k k k k k ⇒ = = − − Như vậy theo nguyên lý quy nạp lùi, đối với các số ( ) , a b cũng tồn tại các số nguyên x, y sao cho: ( ) , .xa yb r a b n + = = Sau khi đã tìm được ước chung lớn nhất thì việc tìm bội chung nhỏ nhất là đơn giản ta có thể dùng công thức vii, Ước chung của ( ) 1, 1 . m n a a− − 7 Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu về ước chung lớn nhất của 1 1 m n a và a − − trong đó ( ) 2 * , 1 0, , .a a a m n∈ − ≠ ∈¢ ¥ Đặt ( ) , m n d = , ta dễ dàng nhận ra rằng: 1 1, 1 1. m d n d A a a a− − − −M M Thật vậy, đặt m dk= ta có: – 1 – 1 1 1 1. k m kd d d d A a a a A a ÷ ÷ = = − = − − M 1 2 1, . k k d A b b b b a − − = + +…+ + = Hoàn toàn tương tự cho – 1 n a . Như vậy ( ) – 1, 1 m n a a A− = có dạng – 1 . d B a ÷ Việc còn lại là tìm B. Ta hãy tìm B trong các trường hợp cụ thể xem sao: A 2 3 4 m 2 3 4 n 4 5 6 A 3 2 15 B 1 1 1 Như vậy ta có thể dự đoán, ta mạnh dạn đưa ra giả thuyết 8 ( ) ( , ) – 1, 1 1. m n m n a a A a− = = − Ta sẽ chứng minh ( , ) 1 m n a A − M và từ đó suy ra ( , ) – 1 m n a A = đã chia hết cho ( , ) 1. m n a − Trước hãy tạo sự liên kết (m, n) bằng các kết quả tồn tại các số nguyên x, y sao cho: ( ) , .xm yn m n+ = Hay phát biểu ở một dạng khác, tồn tại các số nguyên không âm x, y sao cho: ( ) ( ) – , – , .xm yn m n hay xm yn m n = + = Ta chỉ xét trường hợp: ( ) – , xm yn m n = , trường hợp kia hoàn toàn tương tự. ( ) ( ) – – 1 – – 1 yn yn xm xm a a a a = = ( ) ( ) – 1 – – 1 . m n a C a D AM Mà ( ) ( ) , – 1 1 , 1. yn yn n a a a A = ⇒ = Do đó theo tính chất iv) ta suy ra: . ( , ) – 1 – 1 . xm yn m n a a A= M Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh. Ta thu được kết luận như sau: ( ) ( , ) – 1, – 1 – 1. m n m n a a a= 1.11. Đẳng thức Bezout. Để xác định được đẳng thức ta đi về chứng minh định lý sau: 1.11.1. Định lý 6 9 Chứng minh rằng nếu D(x) là ước chung lớn nhất của những đa thức P(x) và Q(x), thì tồn tại những đa thức thức U(x) và V(x) sao cho: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .D x U x P x V x Q x= + 1.11.2. Định lý 7 Chứng minh rằng nếu ( ) ( ) P x và Q x là những đa thức khác không, ước chung lớn nhất của chúng là D(x), thì tồn tại những đa thức ( ) ( ) U x và V x sao cho: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D x U x P x V x Q x= + Và ngoài ra ( ) ( ) ( ) ( ) deg deg deg deg U x Q x và V x P x< < 1.11.3. Định lý 8: Chứng minh rằng những đa thức ( ) ( ) P x và Q x gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồn tại những đa thức ( ) ( ) U x và V x sao cho: ( ) ( ) ( ) ( ) 1.U x P x V x Q x+ = 1.11.4. Định lý 9 Chứng minh rằng nếu P(x), Q(x) và S(x) là ba đa thức sao cho ( ) ( ) ( ) , 1P x Q x = và ( ) ( ) ( ) .S x Q x P xM , thì ( ) ( ) .S x P xM 1.11.5 . Định lý 10 10 [...]... a, b Tng ca c s chung vi ( a, b ) 3a + b = 114 ng thi tha món iu kin: v bi s chung [a, b] l 174 2.1.13 Bài toán 13 Tỡm 2 s t nhiờn a, b Tng ca c s chung vi ( a, b ) a + 2b = 48 ng thi tha món iu kin: v 3 ln bi s chung [a, b] l 114 2.1.14 Bài toán 14 Tỡm a, b bit rng a.b = 2400 v BCNN ( a; b ) = 120 2.1.15 Bi toỏn 15 a b Hóy tỡm c chung ln nht v bi chung nh nht ca 34 v 56? Cú th tỡm c chung ln nht cú... ht sc khn trng v nghiờm tỳc, khúa lun ca em ó hon thnh Ni dung khúa lun i sõu vo nghiờn cu, tỡm hiu cỏc dng bi tp cú liờn quan n bi chung v c chung Qua quỏ trỡnh lm khúa lun ny em ó nghiờn cc mt s vn sau: Mt s khỏi nim c bn (bi, bi chung, bi chung nh nht, c, c chung, c chung ln nht, s nguyờn t) - Thut toỏn Euclid 19 - ng thc Bezout Cỏc nh lý v chng minh Cỏc dng bi tp + Tỡm UCLN, BCNN + Chng minh bi... x ) l ba a thc Chng minh rng tn ti nhng a thc sao cho: S ( x ) = ( x ) P ( x ) + ( x ) Q ( x ) Khi v ch khi a thc S ( x) chia ht cho c chung ln nht ca nhng a thc P ( x ) v Q ( x ) 11 Chng 2 CC DNG BI TP V BI CHUNG V C CHUNG 2.1 DNG TON TèM C CHUNG LN NHT, BI CHUNG NH NHT 2.1.1 Bi toỏn 1 Tỡm d = ( 786, 285)? Tỡm u, v sao cho 786u + 285v = d? 2.1.2 Bi toỏn 2 Tỡm d = ( a, a + 2 ) vi a Z ? 2.1.3 Bi... 2.1.5 Bi toỏn 5 12 Chng minh rng Hóy tỡm c chung ln nht ca P ( x ) v Q ( x ) cú th tỡm theo thut toỏn Euclid P( x) = x4 + x3 3x 2 4 x 1 Q( x) = x3 + x2 x + 1 , 2.1.6 Bi toỏn 6 Hóy tỡm c chung ln nht ca nhng a thc sau: P(x) = Q(x) = v x5 + 3x4 + 2 x3 + x2 + x 2 , x6 + 2 x5 + x4 + 3x3 + 2 x2 x + 2 S ( x ) = x 7 x 6 2 x 4 + x 1 2.1.7 Bi toỏn 7 Hóy tỡm c chung ln nht ca nhng a thc x n 1 v x m 1 ,... Chng minh rng dóy s Fecmat l dóy s nguyờn t sỏnh ụi? 2.2.23 Bi toỏn 23 Chng minh rng nu m v n l nhng s t nhiờn dng bt kỡ, cũn a l mt s bt kỡ, thỡ c chung ln nht ca a thc x n + an v x m + am l: d d ( xn + an , xm + am ) = x + a 1 õy d = ( n, m ) l c chung ln nht ca nhng s n v m 2.3 DNG TON NG THC BEZOUT 2.3.1 Bi toỏn 1 Hóy tỡm nhng a thc ( x ) v ( x ) cú bc thp nht sao cho: ( x4 2 x3 4 x2 + 6... ) S ( x ) Q ( x ) S ( x ) (mod( ( x ) ) D ( x ) = ( ( x ) , S ( x ) ) P ( x ) v Q ( x ) thỡ: P ( x ) Q( x ) mod ( l c chung ln nht ca a thc ( x) ) D( x) ( x ) v S ( x ) 2.3.3 Bi toỏn 3 Hóy tỡm nhng a thc U(x) v V(x) sao cho: D ( x) = U ( x) P ( x) + V ( x) Q ( x) õy D(x) l c chung ln nht ca hai a thc: P ( x ) = x4 + 2 x3 x 2 4 x 2 v Q ( x ) = x 4 + x3 x 2 2 x 2 v ngoi ra: deg U ( x )