Các bài toán về dãy số số học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN ANH TUYẾN CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN ANH TUYẾN CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ SỐ HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. NGUYỄN THÀNH QUANG NGHỆ AN - 2013 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Trang 1 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trang 3 1.1. Dãy số số học Trang 3 1.2. Các kiến thức cơ bản của Số học có liên quan Trang 4 CHƯƠNG 2. VỀ MỘT VÀI DÃY SỐ SỐ HỌC ĐẶC BIỆT Trang 10 2.1. Dãy nguyên tố Trang 10 2.2. Dãy chính phương Trang 15 2.3. Tỉ số vàng và dãy Fibonacci Trang 22 CHƯƠNG 3. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ SỐ HỌC Trang 27 KẾT LUẬN Trang 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 40 1 MỞ ĐẦU Theo quan điểm của lý thuyết tập hợp, mỗi dãy trên tập hợp X là một ánh xạ : f IX→ trong đó I là một tập hợp con của tập hợp các số tự nhiên ` . Lý thuyết dãy có mối liên hệ gần gũi với nhiều ngành toán học khác nhau như Đại số và Lý thuyết số, Toán Giải tích, Xác suất và Thống kê toán học, Hình học và Tôpô. Chính vì vậy, lời giải các bài toán về dãy số thường dựa trên nhiều ý tưởng và phương pháp khác nhau. Trong khoa học máy tính, khái niệm dãy (hữu hạn) thể hiện cụ thể thành các danh sách (tuyến tính), mảng, ngăn xếp, hàng đợi là những cấu trúc dữ liệu quan trọng. Các khái niệm về giải thuật, máy Turing cũng đều liên quan đến các dãy số. Các bài toán về số học trên dãy số thường xuất hiện khá nhiều trong đề thi tại các kỳ thi học sinh giỏi vô địch toán quốc gia (VMO) hoặc các kỳ thi vô địch toán quốc tế (IMO). Mô hình chung của các bài toán này như sau: Cho một dãy số các số nguyên nào đó (gọi là dãy số số học hay dãy nguyên) được thiết lập theo các cách truyền thống của lý thuyết dãy số, hãy nghiên cứu các bài toán cơ bản của Số học (bài toán chia hết, bài toán về số chính phươ ng, bài toán về số nguyên tố, bài toán về biểu diễn số,…) trên dãy số đã cho. Để giải những bài toán này, người ta kết hợp khéo léo các phương pháp cơ bản của lý thuyết dãy số với các nguyên lý của Số học. Với những lý do như đã trình bày, luận văn đề cập đến các nội dung sau: 1. Dãy số số học đặc biệt (dãy nguyên tố, dãy tựa nguyên tố, dãy chính phương, dãy số Fibonacci và tỉ số vàng) 2. Bài toán số học trong dãy các số số học. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luân văn gồm ba chương Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị Chương 2. Một số dãy số học đặc biệt Chương 3. Một số bài toán trên các dãy số số học 2 Nhân dịp hoàn thành luận văn này, tác giả xin cảm ơn sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của người hướng dẫn khoa học PGS.TS. Nguyễn Thành Quang. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, Khoa Toán học, Phòng Đào tạo Sau Đại học – Trường Đại học Vinh, những người đã tận tình giảng dạy và tổ chức thành công cho khóa học. Tác giả xin trân trọ ng cảm ơn Trường Đại học Sài Gòn đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập và nghiên cứu. Tác giả chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Trung học Phổ thông Võ Trường Toản - Sở Giáo dục và Đào tạo Đồng Nai, các đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song lu ận văn vẫn còn nhiều thiếu sót. Tác giả mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và đồng nghiệp. Nghệ An, tháng 8 năm 2013 Tác giả 3 CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Dãy số số học 1.1.1. Các khái niệm cơ bản về dãy số. Dãy số {} n u là một dãy các số thực 12 , , uu Phần tử n u được gọi là số hạng thứ n của dãy {} n u . Dãy số {} n u được gọi là: - Dãy hữu hạn nếu nó có hữu hạn phần tử. - Dãy vô hạn nếu nó có vô hạn phần tử. - Dãy đơn điệu tăng nếu 1 , 1,2, nn uun + >∀= - Dãy đơn điệu không giảm nếu 1 , 1,2, nn uun + ≥∀= - Dãy đơn điệu giảm nếu 1 , 1,2, nn uun + <∀= - Dãy đơn điệu không tăng nếu 1 , 1,2, nn uun + ≤∀= - Dãy bị chặn trên nếu tồn tại số thực K sao cho , 1,2, n uKn<∀= - Dãy bị chặn dưới nếu tồn tại số thực M sao cho ,1,2, n uMn>∀= - Dãy bị chặn nếu nó vừa là dãy bị chặn trên vừa là dãy bị chặn dưới. - Dãy dừng nếu tồn tại một số thực C và số tự nhiên 0 n nào đó sao cho 0 , n uCnn=∀≥. Theo quan điểm của lý thuyết tập hợp, mỗi dãy trên tập hợp X là một ánh xạ : f IX→ trong đó I là một tập hợp con của tập hợp các số tự nhiên ` . 1.1.2. Dãy số số học. Dãy số {} n u được gọi là dãy số số học nếu mọi phần tử n u đều là số nguyên. Như vậy, mỗi dãy số số học là một ánh xạ :fI→  trong đó I là một tập hợp con của tập hợp các số tự nhiên ` . Ví dụ. 1) Dãy các số tự nhiên lẻ {} 1,3,5,7,9,11, là một dãy số học. 2) Dãy các số tự nhiên chẵn {} 0,2,4,6,8,10, là một dãy số học. 3) Dãy vô hạn các số nguyên tố {} 2,3,5,7,11,13, là một dãy số học. 4 1.1.3. Một số dãy số đặc biệt. Dãy số {} n u được gọi là: - Cấp số cộng với công sai d ( 0d ≠ ) nếu 1 , 2,3, nn uu dn − =+∀= - Cấp số nhân với công bội q ( 0q ≠ ) nếu 1 , 2,3, nn uuqn − =∀= 1.2. Các kiến thức cơ bản của Số học có liên quan 1.2.1. Số nguyên tố. Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn 1, không chia hết cho số nguyên dương nào ngoài 1 và chính nó. Số nguyên lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số. Định lý sau đây của Số học là một cơ sở quan trọng của thuật toán tìm các số nguyên tố không vượt quá một số tự nhiên cho trước. 1.2.2. Định lí. Mọi hợp số n đều có ước nguyên tố nh ỏ hơn hoặc bằng n . 1.2.3. Hệ quả. Mọi số tự nhiên n lớn 1 không có ước nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng n đều là số nguyên tố. Chẳng hạn, số 31 không có có ước nguyên tố là 2, 3, 5 (các số nguyên tố không vượt quá 31 ) nên 31 là số nguyên tố. Như vậy, để kiểm tra tính nguyên tố của số 31 thay vì cần phải kiểm tra cả thảy là 30 phép chia, ta chỉ cần kiểm tra 3 phép chia, tức số phép chia giảm đi 10 lần. Từ hệ quả trên, ta có thuật toán viết tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng một số nguyên dương n cho trước. 1.2.4. Thuật toán sàng các số nguyên tố Eratosthenes. Trước tiên, ta viết dãy các số t ự nhiên từ 1 đến n. Trong dãy đó, ta gạch bỏ số 1 vì nó không phải là số nguyên tố. Số nguyên tố đầu tiên của dãy là số 2. Giữ lại số 2 và gạch khỏi dãy số tất cả những số khác mà chia hết cho 2. Số đầu tiên không chia hết cho 2 là 3 và đó chính là số nguyên tố. Giữ lại số 3 và lại gạch khỏi dãy số những số nào chia hết cho 3 mà khác 3. Số đầu tiên không chia hết cho 3 là 5 và đó chính là số nguyên t ố. Tiếp tục như thế đối với các số nguyên tố tiếp theo mà bé hơn hoặc bằng n . Sàng Eratosthenes mặc dù cho ta thuật toán xác định mọi số nguyên tố không vượt quá một số cho trước nhưng lại rất ít được sử dụng để xác định xem 5 một số đã cho có phải là số nguyên tố hay không. Nguyên nhân là vì thuật toán có độ phức tạp khá lớn: để kiểm tra n, ta phải thực hiện phép chia cho tất cả các số nguyên tố không vượt quá n . 1.2.5. Định lí cơ bản của Số học. Mọi hợp số đều phân tích được một cách duy nhất thành tích các số nguyên tố, trong đó các thừa số được viết với thứ tự không giảm. 1.2.6. Thuật toán Euclid. Thuật toán cho phép xác định ước chung lớn nhất (gcd) của hai số nguyên nguyên dương. Với a,b là các số nguyên dương (giả thiết a > b). Ta xét 3 trường hợp sau: a) Nếu b là ước của a thì (a, b) = b. b) Nếu a = bq + r thì (a, b) = (b, r). c) Trường hợp tổng quát: Ta thực hiện liên tiếp các phép chia sau đây cho tới khi xuất hiện số dư bằng 0 thì dừng lại. −− − −+ + = +<≤− =+ <≤− =+ <≤− = +<≤− ==  00 0 01 1 1 0 0122 21 21 1 11 1 ,0 1 ,0 1 ,0 1 ,0 1 ,0. mmmm mm mmm m abq r r b brq r r r rrqr rr rrqr rr rrq r Vì bất đẳng thức sau đây là xảy ra, nên quá trình chia nói trên là dừng lại sau không quá a bước, hay quá trình này là một thuật toán: 01 1 1 0 mmm abr r r r r −+ >> >> > > > = . Từ đó, ta có ước chung lớn nhất của a, b là 00112 1 (,) (, ) (,) (, ) ( , ) mm m dab br rr rr rr r − === = == = . Thuật toán trên được gọi là Thuật toán Euclid tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương a và b. 1.2.7. Thuật toán Euclid mở rộng. Thuật toán này sử dụng để giải phương trình Diophantine ax + by = c, trong đó a,b,c là các số nguyên; x, y là các ẩn nhận giá trị nguyên. Điều kiện cần và đủ để phương trình này có nghiệm nguyên 6 là ước chung lớn nhất của a và b là ước của c. Khẳng định này dựa trên mệnh đề sau: Nếu d là ước chung lớn nhất của a,b thì tồn tại các số nguyên x, y sao cho ax + by = d . Thuật toán Euclid mở rộng kết hợp quá trình tìm ước chung lớn nhất của a,b trong thuật toán Euclid với việc tìm một cặp số nguyên x, y thoả mãn phương trình Diophantine nói trên bằng phương pháp truy hồi. 1.2.8. Định nghĩa. Hàm số Euler ()m ϕ là hàm số học có giá trị tại mỗi số tự nhiên 0≠m bằng số các số nguyên dương không vượt quá m và nguyên tố cùng nhau với m: 1 (, )1 () 1 km km m ϕ ≤≤ = = ∑ . Hàm ()m ϕ có nhiều ứng dụng vì nó là kích thước hay cấp của nhóm nhân các số nguyên modulo m. Hơn nữa, đối với hàm Euler ()m ϕ ta có công thức Gauss là công thức tổng trải trên các ước dương d của m: () dm dmϕ = ∑ . 1.2.9. Định lí Euler. Nếu a và m > 1 là các số nguyên, nguyên tố cùng nhau thì () 1(mod ) m ma ϕ ≡ . Định lí Euler có thể dùng để tìm số nghịch đảo theo mod m . Chẳng hạn, nếu a và m là các số nguyên nguyên tố cùng nhau, ta có ()1 1(mod ) m aa m ϕ − ≡ tức là ()1m a ϕ − là nghịch đảo của a theo mod m . Từ đó cũng suy ra nghiệm của phương trình đồng dư tuyến tính (mod ) ax b m ≡ với ( ) ,1am = là ()1 (mod ) m x ab m ϕ − ≡ . Các tính chất của hàm Euler được sử dụng để tính đồng dư của những lũy thừa rất lớn. Chẳng hạn, ta cần tính n a mod k , trong đó n là một số nguyên lớn. Ta xét một ví dụ bằng số. Tìm số dư trong phép chia 1000000 2 cho 77. Ta có 610 (7) 6; (11) 10;2 1(mod7); 2 1 (mod11) ϕϕ ==≡ ≡ . Do đó, 30 30 21(mod7);21(mod11)≡≡ . Vì 30 2 1(mod77).≡ 7 Mặt khác, 1000000 30.33333 10=+ cho nên: 1000000 10 2 2 23 (mod77)≡≡ 1.2.10. Định lí Fermat bé. Nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên không chia hết cho p thì 1 1(mod ) p pa − ≡ . Nói cách khác, nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên bất kỳ thì (mod ) p apa ≡ . Một cách độc lập các nhà toán học Trung quốc đã đưa ra một giả thuyết (thường gọi là Giả thuyết Trung Quốc) nói rằng: p là một số nguyên tố khi và chỉ khi 22(mod) p p≡ . Đúng là, nếu p là số nguyên tố, thì 22(mod) p p≡ . Đây là trường hợp đặc biệt của Định lý bé Fermat. Tuy thế, điều ngược lại (nếu 22(mod) p p≡ thì p là số nguyên tố) là sai. Chẳng hạn, 341 2 2 (mod341)≡ , nhưng 341 = 11.31 là hợp số. Như vậy, mệnh đề ngược lại của Định lí Fermat bé không đúng. Tuy nhiên, qua nhiều thống kê cho thấy rằng nếu một số nguyên thỏa mãn kết luận của Định lí Fermat bé thì "có nhiều khả năng" nó là số nguyên tố. Do đó, dẫn đến khái niệm sau 1.2.11. Số giả nguyên tố. Nếu ta muốn kiểm tra số n có là số nguyên tố không, ta lấy ngẫu nhiên các số nguyên a và kiểm tra xem đồng dư thức (mod ) n ana ≡ có đúng không. Nếu nó không đúng với một giá trị a nào đó thì n là hợp số. Nếu đồng dư thức đúng với một hoặc nhiều giá trị của a, thì ta nói rằng n là số nguyên tố với xác suất nào đó, hay n là một số giả nguyên tố (pseudoprime). Nếu n là một hợp số và tồn tại một số nguyên a sao cho (mod ) n aa n≡ , thì n được gọi là số giả nguyên tố cơ sở a. F. Sarrus vào năm 1820 đã tìm thấy 341 = 11×31 là số giả nguyên tố cơ sở 2 đầu tiên. Một số nguyên dương n là số giả nguyên tố cơ sở a với mọi số nguyên a sao cho gcd( , ) 1an = được gọi là số Carmichael (chẳng hạn số 561). 1.2.12. Định lí Trung Quốc (Chinese Remainder Theorem). Giả sử m 1 ,… , m r là các số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau từng đôi một. Khi đó, hệ phương trình đồng dư: [...]... 2 VỀ MỘT VÀI DÃY SỐ SỐ HỌC ĐẶC BIỆT 2.1 Dãy nguyên tố 2.1.1 Dãy nguyên tố Dãy số số học { f (n)}n∈ ∗ được gọi là một dãy nguyên tố nếu mỗi số hạng f (n) là một số nguyên tố với mỗi số nguyên tố n Dĩ nhiên dãy số {2,3,5,7,11,13,17,19, , pn , pn+1 , } gồm tất cả các số nguyên tố là một dãy số nguyên tố 2.1.2 Bài toán Hãy tìm một công thức tổng quát của dãy nguyên tố Chúng ta thử xét một dãy số số học. .. ⎣ ⎦ l Từ đó áp dụng các điều kiện trên ta suy ra điều cần phải chứng minh (*) 14 2.2 Dãy chính phương 2.2.1 Dãy chính phương Dãy số số học { f (n)}n∈ ∗ được gọi là một dãy chính phương nếu mỗi số hạng f (n) là số chính phương với mỗi số chính phương n Dĩ nhiên dãy số {n 2 }n∈ gồm tất cả các số chính phương là một dãy chính ∗ phương 2.2.2 Mệnh đề Tồn tại duy nhất một dãy số số học tăng { f (n)}n∈ ∗... 2 = F2 F3 − F1F2 F32 = F3 F4 − F2 F3 Fn 2 = Fn Fn+1 − Fn−1Fn Cộng từng vế các đẳng thức này, ta được công thức cần chứng minh 26 CHƯƠNG 3 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ SỐ HỌC Bài 1 Dãy số {un } được xác định như sau: ⎧u1 = u2 = 1 ⎪ 2 un−1 + 2 ⎨ , n = 3, 4,… ⎪ u1 = u n−2 ⎩ Chứng minh rằng dãy {un } là dãy số số học (mọi số hạng của dãy đều nguyên) Lời giải Bằng qui nạp ta sẽ chứng minh rằng với ∀n = 3, 4,... quanh dãy số Fibonacci Dãy Fibonacci có những tính chất đặc biệt đáng chú ý Thật vô cùng bất ngờ, tỷ số giữa hai số tiếp nhau của dãy số Fibonacci tiến đến Tỷ số vàng Đến thời kỳ Phục Hưng, các nghệ sĩ và kiến trúc sư bắt đầu tính toán và xây dựng sao cho các tác phẩm của họ xấp xỉ tỷ số vàng, đặc biệt là trong hình chữ nhật vàng - tỷ số giữa cạnh dài và cạnh ngắn chính là tỷ số vàng Các nhà toán học. .. gặp một mâu thuẫn Vì vậy, a = 2 Ngược lại, ta xét dãy số số học {2n −1} Ta có: f (2) = 22 −1 = 3 là số nguyên tố f (3) = 23 −1 = 7 là số nguyên tố f (5) = 25 −1 = 31 là số nguyên tố f (7) = 27 −1 = 127 là số nguyên tố f (11) = 211 −1 = 2047 −1 = 2047 = 23× 29 là hợp số Do đó dãy số số học {2n −1} không phải là dãy nguyên tố Như vậy, bài toán tìm một dãy nguyên tố tổng quát là chưa giải quyết được triệt... thì lại được giá trị kia 2.3.2 Dãy số Fibonacci Fibonacci (1180 - 1250) được biết đến nhiều nhất với dãy số mang tên ông - dãy số Fibonacci {F ( n)} Dãy số đó là: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 Dãy số Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trong thiên nhiên Những chiếc lá trên một nhành cây mọc cách nhau những khoảng cách tương ứng với dãy số Fibonacci Các số Fibonacci F (n) xuất hiện trong... Vậy (1) đúng Vì u1 = u2 = 1 nên u1 , u2 ∈ Do đó, từ (1) suy ra un là số nguyên, ∀n = 1, 2, , tức là dãy đã cho là dãy số số học 27 Bài 2 Dãy số {un } được xác định như sau: ⎧u1 = 1 ⎪ 3 ⎨ ⎛ 3⎞ un+1 = ⎜1 + ⎟ un + 2 − , n = 1, 2,… ⎪ n ⎝ n⎠ ⎩ Chứng minh rằng dãy {un } là dãy số số học Lời giải Trước hết ta nhận thấy số hạng tổng quát của dãy có thể cho bởi công thức sau: un = 1 + ( n − 1) n ( n + 4 ) (1)... (n) = n 2 − 3n − 41 là bội của 13 với n = 9, 22,35, hay dãy số {n 2 − 3n − 41} chứa một dãy con vô hạn các hợp số 2.1.4 Định lý Cho dãy số số học { f ( n)} , với f (n) = a n −1, n ≥ 2, a ∈ , a > 1 Khi đó, nếu dãy { f (n)} là dãy nguyên tố thì a = 2 Chứng minh Vì dãy { f (n)} là dãy nguyên tố nên ta có f (n) = a n −1 là số nguyên tố với mỗi số nguyên tố n Nếu a > 2 thì f (n) = a n −1 = (a −1)(a n−1... xây dựng từ nhiều trăm năm trước có tỷ số giữa chiều cao của một mặt với một nửa cạnh đáy là Tỷ 23 số vàng Một người phụ nữ có dáng đẹp lý tưởng là người có tỷ lệ số đo các vòng (vòng 1,2,3) là tỷ số vàng hay còn gọi là tỉ số thần thánh! Hàm ý bên trong của dãy số Fibonacci không phải là bản thân các con số mà là mối quan hệ giữa các con số Dãy số Fibonacci và tỉ số vàng có mối quan hệ chung nhất là... là số nguyên tố thứ n 2.1.5 Giả thuyết Mersenne Giả sử n ≤ 257 Khi đó, 2n −1 là số nguyên tố chỉ khi n = 2,3,5,7,13,17,19,31,67,127, 257 2.1.6 Dãy tựa nguyên tố Ta gọi dãy số số học { f (n)}n∈ là một dãy tựa nguyên ∗ tố nếu mỗi số hạng f ( p) hoặc là số nguyên tố, hoặc là bình phương của một số nguyên tố, với p là số nguyên tố tuỳ ý Chúng ta chỉ ra một điều kiện đủ để dãy tổng quát { f (n)}n∈ là dãy . của Số học (bài toán chia hết, bài toán về số chính phươ ng, bài toán về số nguyên tố, bài toán về biểu diễn số, …) trên dãy số đã cho. Để giải những bài toán này, người ta kết hợp khéo léo các. của các bài toán này như sau: Cho một dãy số các số nguyên nào đó (gọi là dãy số số học hay dãy nguyên) được thiết lập theo các cách truyền thống của lý thuyết dãy số, hãy nghiên cứu các bài toán. tập hợp con của tập hợp các số tự nhiên ` . 1.1.2. Dãy số số học. Dãy số {} n u được gọi là dãy số số học nếu mọi phần tử n u đều là số nguyên. Như vậy, mỗi dãy số số học là một ánh xạ :fI→