Các khái niệm nón pháp tuyến và ứng dụng

LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp “Các khái niệm nón pháp tuyến và ứng dụng” là công trình nghiên cứu của bản thân.. Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng trong lý thuyết ph

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu và làm khóa luận, em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Quang Huy đã giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Bên cạnh đó em cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và trang bị cho em những kiến thức cơ bản trong học tập nghiên cứu cũng như trong công việc sau này

Do hạn chế về mặt thời gian và trình độ nên khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được sự chỉ bảo của thầy cô để khóa luận hoàn thành và đạt kết quả tốt hơn

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Ngọc Châm

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp “Các khái niệm nón pháp tuyến và ứng dụng” là công trình nghiên cứu của bản thân Những phần

sử dụng tài liệu tham khảo trong khóa luận đã được nêu rõ trong phần Tài liệu tham khảo Các số liệu, kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực Em hoàn toàn chịu trách nhiệm trước khoa và nhà trường về sự cam đoan này

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Ngọc Châm

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 NÓN PHÁP TUYẾN 4

1.1 Khái niệm nón pháp tuyến và các tính chất 4

1.2 Các ví dụ 12

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG 14

2.1 Định lý tách không lồi 14

2.2 Tiêu chuẩn Lipschitz cho ánh xạ đa trị 17

KẾT LUẬN 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO 21

Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân và phương trình suy rộng, lý thuyết tối ưu, lý thuyết điều khiển, tối ưu đa mục tiêu, khoa học quản lý và toán kinh tế Một trong những nội dung có nhiều ứng dụng của giải tích đa trị là lý thuyết vi phân do B S Mordukhovich

đề xuất

Hàm số không trơn và tập có biên không trơn xuất hiện thường xuyên và được biết đến từ lâu ở trong toán học và các khoa học ứng dụng Vì lý thuyết vi phân cổ điển không còn phù hợp cho việc khảo sát các đối tượng đó nên các lý thuyết vi phân suy rộng đã được xây dựng

Từ đầu thập niên 60 đã có nhiều nỗ lực nghiên cứu nhằm xây dựng một lý thuyết vi phân suy rộng cho các hàm xác định trên các không gian véctơ thực và nhận giá trị trong tập các số thực suy rộng để có thể phân tích thấu đáo các bài toán tối ưu với dữ liệu không trơn Kết quả bước đầu của quá trình này là lý thuyết vi phân suy rộng cho các hàm lồi Với những cống hiến quan trọng của R T Rockafellar và các nhà toán học khác, quy hoạch lồi - dựa trên giải tích lồi - đã trở thành một phần quan trọng và đẹp đẽ của lý thuyết tối ưu

2

Năm 1973, F H Clarke đưa ra những khái niệm cơ bản đầu tiên dẫn đến lý thuyết vi phân suy rộng cho hàm số Lipschitz địa phương Đây là một bước tiến quan trọng của giải tích không trơn Lý thuyết này bao hàm được lý thuyết vi phân cổ điển và lý thuyết vi phân suy rộng cho hàm lồi Lipschitz địa phương Cuối thập niên 70 đầu thập niên 80, lý thuyết vi phân suy rộng Clarke đã được R T Rockafellar, J B Hiriart - Urruty, J P Aubin và một số nhà toán học khác phát triển cho các hàm nhận giá trị thực suy rộng Chỉ sau 10 năm (1973 - 1983), lý thuyết vi phân suy rộng Clarke đã đạt được nhiều thành tựu quan trọng cả về mặt

lý thuyết cũng như về ứng dụng

Trong nỗ lực để thu được các điều kiện cần cực trị của bài toán điều khiển tối ưu có tập ràng buộc điểm cuối được cho dưới dạng hình học, năm 1976 B S Mordukhovich đã đưa ra định nghĩa nón pháp tuyến

và dưới vi phân qua giới hạn Đây là mốc đánh dấu sự ra đời của một lý thuyết vi phân suy rộng mới: lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich Giai đoạn 1993 - 1996, có nhiều kết quả quan trọng của lý thuyết này được công bố Tiêu chuẩn Mordukhovich cho tính liên tục Aubin (tính giả Lipschitz) của các ánh xạ đa trị trở thành một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình suy rộng Nguyên

lý cực trị là công cụ hữu hiệu để xây dựng các quy tắc đối đạo hàm của các ánh xạ đa trị Ngày nay lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich vẫn tiếp tục phát triển và đóng một vai trò trung tâm trong giải tích đa trị

và biến phân

Nón pháp tuyến qua giới hạn là một khái niệm nền tảng xây dựng

lý thuyết vi phân Mordukhovich Từ khái niệm nón pháp tuyến người ta

đã định nghĩa các khái niệm đối đạo hàm, dưới vi phân và chúng trở

2 Mục tiêu nghiên cứu

- Nghiên cứu tìm hiểu về các nón pháp tuyến

- Khảo sát một vài ứng dụng nền tảng của nón pháp tuyến thiết lập định

lý tách không lồi và kiểm tra tính giả Lipschitz của một ánh xạ đa trị

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu trong giải tích lồi, giải tích hàm, giải tích không trơn và giải tích đa trị

4 Giả thuyết khoa học

Nghiên cứu về các nón pháp tuyến và các tính chất của nó cung cấp cho chúng ta một công cụ hữu ích giải một số bài toán quy hoạch toán học và trong thực tiễn

5 Nội dung của khóa luận

4

CHƯƠNG 1 NÓN PHÁP TUYẾN

1.1 Khái niệm nón pháp tuyến và các tính chất

Cho F X X* là ánh xạ đa trị giữa không gian Banach X và không gian đối ngẫu X* Giới hạn trên theo dãy theo nghĩa Painlevé – Kuratowski đối với tôpô chuẩn của X và tôpô yếu* của X* tại x được xác định bởi

N x N x gọi là nón pháp tuyến Fréchet của tại x

(ii) Nón pháp tuyến Mordukhovich hay nón pháp tuyến qua giới hạn của tại x là tập

Do N xˆ và N x không phụ thuộc vào việc chọn chuẩn trên X và 1 X2, nên ta có thể cố định một chuẩn trong các chuẩn tương đương của các không gian đó Trong không gian tích X1X2 ta chọn chuẩn

-x -x x

x x , x1 U1 1

Do đó

7

Dễ dàng thấy đƣợc (1.4) và (1.5) đƣợc suy ra trực tiếp từ (1.6)

Bổ đề đã đƣợc chứng minh 

Bổ đề 1.2 (Tập các  véctơ pháp tuyến đối với tập lồi)

Cho là tập lồi trong không gian Banach X Khi đó,

Định nghĩa 1.2 (Tập chính quy pháp tuyến)

Một tập X được gọi là chính quy (pháp tuyến) tại x nếu

N x( ; ) N xˆ( ; ) (1.13)

Định lý 1.1 (Tính chính quy của tập lồi địa phương)

Cho một lân cận U của x X sao cho tập U là lồi

Khi đó chính quy tại x với

( ; )

N x {x* X* : x x*, x 0; x U}. (1.14)

Chứng minh

Bao hàm thức "" là hiển nhiên Để chứng minh bao hàm thức "" ta

lấy cố định x* N x và tìm được một dãy tương ứng ( , , )k x x từ k k*

Định nghĩa 1.1 Do đó x k U với k đủ lớn Khi đó Bổ đề 1.2 cho

chúng ta khẳng định rằng với k đủ lớn,

*,

k k k k

(trong trường hợp này X* X R ) Do tất cả các chuẩn trong không n

gian hữu hạn chiều là tương đương nên ta có thể chọn chuẩn Euclid

x x x , x R Cho một tập không rỗng R Khoảng cách được xác định bởi n

Định lý 1.2 (Nón pháp tuyến trong không gian hữu hạn chiều)

Cho R tập đóng địa phương tại n x Khi đó các khẳng định sau là đúng

Bao hàm thức "" trong (1.15) là hiển nhiên Để chứng minh bao hàm thức "", ta lấy tùy ý x* N x Từ Định nghĩa 1.1 ta suy ra rằng

có dãy k 0,x k x x, k* x* sao cho x k và x k* ˆ k

k

mà điều này hiển nhiên suy ra rằng w k* N wˆ k Vì vậy ta đạt đƣợc

biểu diễn (1.15) của nón pháp tuyến qua giới hạn

12

2

1,

2

x w v w v w , v .Lấy v x và sử dụng định nghĩa của x ta có k

và do đó suy ra bao hàm thức "" trong (1.16) bởi việc sử dụng giới hạn

trên Painlevé – Kuratowski khi x x và sử dụng (1.15) Định lý

được chứng minh 

1.2 Các ví dụ

Xác định các tập ( ; )N x và ˆ( ; )N x của tập được cho dưới đây tại điểm x

14

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG

Trong chương này, chỳng ta trỡnh bày hai ứng dụng quan trọng đối với nún tiếp tuyến qua giới hạn là định lý tỏch khụng lồi và tiờu chuẩn Lipschitz cho một ỏnh xạ đa trị

2.1 Định lý tỏch khụng lồi

Định nghĩa 2.1

Cho 1 và 2 là các tập đóng trong R n và cho x 1 2 Điểm

x đ-ợc gọi là điểm cực trị địa ph-ơng của hệ tập hợp 1, 2 nếu có lân cận U của x và dãy vectơ a1k 0và a2k 0 khi k 0 sao cho

( a k) ( a k) U  k 1,2, (2.1)

Ta gọi các tập hợp 1 và 2 tạo thành hệ cực trị địa ph-ơng nếu chúng có ít nhất một điểm cực trị địa ph-ơng Một ví dụ đơn giản của hệ cực trị sinh ra bởi cặp { , }x , ở đây x là điểm biên của tập đóng Ta thấy rằng khái niệm dạng hình học trên về cực trị bao gồm cả các khái niệm tối -u của bài toán tối -u vô h-ớng và tối -u vectơ có ràng buộc

Chẳng hạn, giả sử x là nghiệm địa ph-ơng của bài toán (P)

min ( )x với x ,

ở đây là hàm nhận giá trị thực nửa liên tục d-ới trong lân cận của điểm

x và là một tập đóng trong n

R Khi đó, ta thấy rằng ( , ( )) x x là một

điểm cực trị địa ph-ơng của hệ tập 1, 2 trong R n 1 với 1 epi

và 2 { ( )}x Để kiểm tra nhận xét này, lấy a1k (0, )v với k

0

k

v , a2k 0, k 1,2, và U V R trong (2.1) ở đây V là n lân cận của điểm cực tiểu địa ph-ơng x trong (P)

15

Kết quả sau đây cho ta một điều kiện cần để x là điểm cực trị địa

ph-ơng của hệ tập hợp 1, 2 Mặt khác, nguyên lý cực trị này cho

phép chúng ta xây dựng các quy tắc tính toán đối với đạo hàm suy rộng

của hàm đa trị không lồi và không trơn

Định lý 2.1 (Định lý tách không lồi)

Cho 1 và 2 là hai tập đóng trong R n và x 1 2 là điểm cực

trị địa ph-ơng của hệ 1, 2 Khi đó tồn tại x* R n sao cho

0 x* N x( , 1) ( N x( , 2)) (2.2)

Chứng minh

Lấy a 1k và a 2k là 2 dãy vectơ thỏa mãn (2.1) với lân cận U của điểm

cực trị x Theo ph-ơng pháp xấp xỉ khoảng cách, với mỗi k 1,2, ta

xét dạng bài toán cực trị không điều kiện

Hàm k( )x trong (2.3) là hàm liên tục và có tập mức bị chặn Theo định

lý Weierstrass, (2.3) có nghiệm x với mỗi k k Hơn nữa, đặt

là liên tục khả vi tại x Do đó, (2.5) là bài toán cực tiểu trơn không ràng k

buộc Áp dụng nguyên lý điểm dừng Fermat cho (2.5), ta có

Nhận xét 2.1 Nếu cả 1 và 2 là lồi, thì (2.2) t-ơng đ-ơng với tính chất tách đ-ợc

x* 0 để x w*, 1 x w*, 2 , w1 1,w2 2. (2.7)

Dễ dàng thấy rằng tính chất tách đ-ợc (2.7) thỏa mãn với mọi điểm cực trị địa ph-ơng x 1 2 trong tr-ờng hợp tổng quát không lồi Có nghĩa là đối với tập lồi tính chất cực trị và tách đ-ợc là t-ơng đ-ơng Trong tr-ờng hợp đặc biệt, bất kì tập lồi đóng 1 và 2 với 1 2 0

và ri 1 ri 2 0 luôn tạo ra một hệ cực trị Do đó, Định lý 2.1 có thể

17

đ-ợc hiểu là một sự mở rộng của định lý tách cổ điển đối với tập không lồi

2.2 Tiờu chuẩn Lipschitz cho ỏnh xạ đa trị

Định nghĩa 2.2 (Hàm giả Lipschitz)

Cho R n R là một hàm đa trị tựy ý với đồ thị đúng tại m điểm ( , ) x y gph Khi đú được gọi là giả Lipschitz tại

( , ) gphx y nếu tồn tại lõn cận U của x , V của y và l 0 sao cho

Hiển nhiên ( , )m x y là nửa liên tục dưới tại ( , ) x y

Mặt khác ()m Lipschitz tại ( , ) x y khi và chỉ khi

( , ) : { n m : ( , 0) (( , ), ( , )); } {0}

m x y x R x N x y m x y epi m

Áp dụng Bổ đề 2.1 ta có m x y( , ) {( , 0)x* N x y(( , ), gph }

Sau quá trình nghiên cứu, em đã tìm hiểu thêm đƣợc nhiều kiến thức mới Mặc dù đã có nhiều cố gắng song do kiến thức còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót, em mong nhận đƣợc sự góp ý của thầy cô và các bạn

21

TÀI LIỆU THAM KHẢO

A Tµi liÖu tiÕng ViÖt

[1] NguyÔn §«ng Yªn (2007), Gi¸o tr×nh Gi¶i tÝch ®a trÞ, Nxb KHTN &

CN

B Tµi liÖu tiÕng Anh

[2] J P Aubin, H Frankowska (1990): Set-Valued Analysis, Birkhäuser, Berlin

[3] F H Clarke (1983): Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York, 1983

[4] B S Mordukhovich (1993): Complete characterization of openness, metric regularity, and Lipschitzian properties of multifunctions, Trans Amer Math Soc 340, 1-35

[5] B S Mordukhovich (1994): Generalized differential calculus for nonsmooth and set-valued mappings, J Math Anal Appl 183, 250-288

[6] B S Mordukhovich (1994): Stability theory for parametric generalized equations and variational inequalities via nonsmooth analysis, Trans Amer Math Soc 343, 609-658

[7] B S Mordukhovich (1994): Lipschitzian stability of constraint systems and generalized equations, Nonlinear Anal 22, 173-206 [8] B S Mordukhovich (2004): Coderivative analysis of variational systems, J Global Optimi 28, 347-362

[9] B S Mordukhovich (2006): Coderivative calculus and robust Lipschitzian stability for variational systems, J Convex Anal 13, 799-822