Các khái niệm nón pháp tuyến và ứng dụng

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ NGỌC CHÂM CÁC KHÁI NIỆM NÓN PHÁP TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành Giải tích Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS. NGUYỄN QUANG HUY HÀ NỘI – 2014 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình nghiên cứu và làm khóa luận, em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Quang Huy đã giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp. Bên cạnh đó em cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Toán – Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và trang bị cho em những kiến thức cơ bản trong học tập nghiên cứu cũng nhƣ trong công việc sau này. Do hạn chế về mặt thời gian và trình độ nên khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận đƣợc sự chỉ bảo của thầy cô để khóa luận hoàn thành và đạt kết quả tốt hơn. Em xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Ngọc Châm LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp “Các khái niệm nón pháp tuyến và ứng dụng” là công trình nghiên cứu của bản thân. Những phần sử dụng tài liệu tham khảo trong khóa luận đã đƣợc nêu rõ trong phần Tài liệu tham khảo. Các số liệu, kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực. Em hoàn toàn chịu trách nhiệm trƣớc khoa và nhà trƣờng về sự cam đoan này. Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Ngọc Châm MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 CHƢƠNG 1. NÓN PHÁP TUYẾN 4 1.1. Khái niệm nón pháp tuyến và các tính chất 4 1.2. Các ví dụ 12 CHƢƠNG 2. ỨNG DỤNG 14 2.1. Định lý tách không lồi 14 2.2. Tiêu chuẩn Lipschitz cho ánh xạ đa trị 17 KẾT LUẬN 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Giải tích đa trị là một hƣớng nghiên cứu tƣơng đối mới trong Toán học, mặc dù từ những năm 30 của thế kỉ XX các nhà toán học đã thấy cần phải nghiên cứu ánh xạ đa trị, tức là ánh xạ nhận giá trị là các tập hợp con của một tập hợp nào đó. Sự ra đời của tạp chí quốc tế “Set- Valued Analysis” vào năm 1993 là một mốc lớn trong quá trình phát triển của hƣớng nghiên cứu này. Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng trong lý thuyết phƣơng trình vi phân, phƣơng trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân và phƣơng trình suy rộng, lý thuyết tối ƣu, lý thuyết điều khiển, tối ƣu đa mục tiêu, khoa học quản lý và toán kinh tế. Một trong những nội dung có nhiều ứng dụng của giải tích đa trị là lý thuyết vi phân do B. S. Mordukhovich đề xuất. Hàm số không trơn và tập có biên không trơn xuất hiện thƣờng xuyên và đƣợc biết đến từ lâu ở trong toán học và các khoa học ứng dụng. Vì lý thuyết vi phân cổ điển không còn phù hợp cho việc khảo sát các đối tƣợng đó nên các lý thuyết vi phân suy rộng đã đƣợc xây dựng. Từ đầu thập niên 60 đã có nhiều nỗ lực nghiên cứu nhằm xây dựng một lý thuyết vi phân suy rộng cho các hàm xác định trên các không gian véctơ thực và nhận giá trị trong tập các số thực suy rộng để có thể phân tích thấu đáo các bài toán tối ƣu với dữ liệu không trơn. Kết quả bƣớc đầu của quá trình này là lý thuyết vi phân suy rộng cho các hàm lồi. Với những cống hiến quan trọng của R. T. Rockafellar và các nhà toán học khác, quy hoạch lồi - dựa trên giải tích lồi - đã trở thành một phần quan trọng và đẹp đẽ của lý thuyết tối ƣu. 2 Năm 1973, F. H. Clarke đƣa ra những khái niệm cơ bản đầu tiên dẫn đến lý thuyết vi phân suy rộng cho hàm số Lipschitz địa phƣơng. Đây là một bƣớc tiến quan trọng của giải tích không trơn. Lý thuyết này bao hàm đƣợc lý thuyết vi phân cổ điển và lý thuyết vi phân suy rộng cho hàm lồi Lipschitz địa phƣơng. Cuối thập niên 70 đầu thập niên 80, lý thuyết vi phân suy rộng Clarke đã đƣợc R. T. Rockafellar, J. B. Hiriart - Urruty, J. P. Aubin và một số nhà toán học khác phát triển cho các hàm nhận giá trị thực suy rộng. Chỉ sau 10 năm (1973 - 1983), lý thuyết vi phân suy rộng Clarke đã đạt đƣợc nhiều thành tựu quan trọng cả về mặt lý thuyết cũng nhƣ về ứng dụng. Trong nỗ lực để thu đƣợc các điều kiện cần cực trị của bài toán điều khiển tối ƣu có tập ràng buộc điểm cuối đƣợc cho dƣới dạng hình học, năm 1976 B. S. Mordukhovich đã đƣa ra định nghĩa nón pháp tuyến và dƣới vi phân qua giới hạn. Đây là mốc đánh dấu sự ra đời của một lý thuyết vi phân suy rộng mới: lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich. Giai đoạn 1993 - 1996, có nhiều kết quả quan trọng của lý thuyết này đƣợc công bố. Tiêu chuẩn Mordukhovich cho tính liên tục Aubin (tính giả Lipschitz) của các ánh xạ đa trị trở thành một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phƣơng trình suy rộng. Nguyên lý cực trị là công cụ hữu hiệu để xây dựng các quy tắc đối đạo hàm của các ánh xạ đa trị. Ngày nay lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich vẫn tiếp tục phát triển và đóng một vai trò trung tâm trong giải tích đa trị và biến phân. Nón pháp tuyến qua giới hạn là một khái niệm nền tảng xây dựng lý thuyết vi phân Mordukhovich. Từ khái niệm nón pháp tuyến ngƣời ta đã định nghĩa các khái niệm đối đạo hàm, dƣới vi phân và chúng trở 3 thành một công cụ hữu hiệu nghiên cứu nhiều lớp bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học và thực tế. Điều này đã khơi gợi em chọn đề tài “Các khái niệm nón pháp tuyến và ứng dụng” để tìm hiểu về nón pháp tuyến và các ứng dụng của nó. 2. Mục tiêu nghiên cứu - Nghiên cứu tìm hiểu về các nón pháp tuyến. - Khảo sát một vài ứng dụng nền tảng của nón pháp tuyến thiết lập định lý tách không lồi và kiểm tra tính giả Lipschitz của một ánh xạ đa trị. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng các phƣơng pháp nghiên cứu trong giải tích lồi, giải tích hàm, giải tích không trơn và giải tích đa trị. 4. Giả thuyết khoa học Nghiên cứu về các nón pháp tuyến và các tính chất của nó cung cấp cho chúng ta một công cụ hữu ích giải một số bài toán quy hoạch toán học và trong thực tiễn. 5. Nội dung của khóa luận Chƣơng 1. Nón pháp tuyến 1.1. Khái niệm nón pháp tuyến và các tính chất 1.2. Các ví dụ Chƣơng 2. Ứng dụng 2.1. Tách không lồi 2.2. Tiêu chuẩn Lipschitz cho ánh xạ đa trị 4 CHƢƠNG 1. NÓN PHÁP TUYẾN 1.1. Khái niệm nón pháp tuyến và các tính chất Cho * F X X là ánh xạ đa trị giữa không gian Banach X và không gian đối ngẫu * X . Giới hạn trên theo dãy theo nghĩa Painlevé – Kuratowski đối với tôpô chuẩn của X và tôpô yếu * của * X tại x đƣợc xác định bởi * * * * * * Limsup ( ) { , , ( ), } w k k k k xx F x x X x x x x x F x k N (1.1) Định nghĩa 1.1 (Nón pháp tuyến) Cho là tập con khác rỗng trong không gian Banach X , x và 0. (i) Tập các véctơ pháp tuyến Fréchet của tại x được xác định bởi * * || || , ˆ lim sup xx xx x x x N x x X , (1.2) ở đó xx có nghĩa là xx và x . Khi 0 , ta có 0 ˆ ( ) : ( )N x N x gọi là nón pháp tuyến Fréchet của tại x . (ii) Nón pháp tuyến Mordukhovich hay nón pháp tuyến qua giới hạn của tại x là tập 0 ˆ Lim sup ( ) xx N x N x (1.3) hay * * * * * * ˆ ( ) { 0, , , ( ) }, w k k k k k k N x x X x x x x x N x k 5 ở đó có thể đặt 0 khi là tập đóng trong lân cận của x và X là không gian Asplund. Bổ đề 1.1. (Tích Đề các) Lấy tùy ý điểm 1 2 1 2 1 2 ( , )x x x X X . Khi đó 12 ˆ ()Nx 1 1 2 2 ˆˆ N x N x . (1.4) 12 ()Nx 1 1 2 2 N x N x . (1.5) Chứng minh. Do ˆ Nx và Nx không phụ thuộc vào việc chọn chuẩn trên 1 X và 2 X , nên ta có thể cố định một chuẩn trong các chuẩn tƣơng đƣơng của các không gian đó. Trong không gian tích 21 XX  ta chọn chuẩn 1 2 1 2 ( , ) : .x x x x x Lấy tùy ý 0  và 12 ( , )x x x với 12 : , ta khẳng định rằng 1 1 2 2 ˆˆ ()N x N x 2 ˆ ;Nx 2 1 1 2 2 2 ˆˆ ()N x N x . (1.6) Thật vậy, lấy tùy ý * * * 1 2 1 1 2 2 ˆˆ ( , ) ( )x x x N x N x ta cần chứng minh rằng * 2 ˆ x N x . Do * 1 1 1 ˆ x N x suy ra với mỗi 0 , tồn tại một lân cận 1 U của 1 x sao cho * 1 1 1 11 ,- - x x x xx , 1 1 1 xU . Do đó 6 * 1 1 1 1 1 2 2 , - ( ) - -x x x x x x x , 22 x . Suy ra * 1 1 1 1 1 2 2 ,- x x x x x x x , 1 1 1 2 2 ,x U x . (1.7) Tƣơng tự, do * 2 2 2 ˆ ;x N x nên với  đã chọn ở trên, tồn tại một lân cận 2 U của 2 x sao cho * 2 2 2 1 1 2 2 ,x x x x x x x , 2 2 2 1 1 ,x U x . (1.8) Suy ra với mọi 0 ** 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 ,, 22 x x x x x x x x x x , 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( ) ( )x x U U . Do đó * 2 ˆ ;x N x và bao hàm thức thứ nhất trong (1.6) đƣợc chứng minh. Ta đi chứng minh bao hàm thức còn lại. Lấy tùy ý * * * 1 2 2 ˆ ( , ) ;x x x N x , ta có 12 1 2 1 2 * ** 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) , lim sup ,, lim sup 2 . xx x x x x x x x xx x x x x x x x x x x Bởi chọn 11 xx hoặc 22 xx ta dễ dàng suy ra rằng * 1 2 1 1 ˆ ;x N x và * 2 2 2 2 ˆ ;x N x . Do đó bao hàm thức thứ hai trong (1.6) đƣợc chứng minh. [...]... thấy rằng khái niệm dạng hình học trên về cực trị bao gồm cả các khái niệm tối -u của bài toán tối -u vô h-ớng và tối -u vectơ có ràng buộc Chẳng hạn, giả sử x là nghiệm địa ph-ơng của bài toán (P) min (x ) với x , ở đây là hàm nhận giá trị thực nửa liên tục d-ới trong lân cận của điểm x và là một tập đóng trong Rn Khi đó, ta thấy rằng (x , (x )) là một điểm cực trị địa ph-ơng của hệ tập và 2 vk 0... tuyn qua gii hn l nh lý tỏch khụng li v tiờu chun Lipschitz cho mt ỏnh x a tr 2.1 nh lý tỏch khụng li Định ngha 2.1 Cho 1 và 2 là các tập đóng trong Rn và cho x x đ-ợc gọi là điểm cực trị địa ph-ơng của hệ tập hợp cận U của x và dãy vectơ a1k ( 1 a1k ) ( Ta gọi các tập hợp 1 2 và 0 và a2k 1 , 1 0 khi k a2k ) U k 2 2 Điểm nếu có lân 0 sao cho 1,2, (2.1) tạo thành hệ cực trị địa ph-ơng nếu 2 chúng có... không trơn Định lý 2.1 (Định lý tách không lồi) Cho 1 và 2 là hai tập đóng trong Rn và x , trị địa ph-ơng của hệ 1 N (x , 1 2 là điểm cực Rn sao cho Khi đó tồn tại x * 2 x* 0 1 ) ( N (x , 2 )) (2.2) Chứng minh Lấy a1k và a2k là 2 dãy vectơ thỏa mãn (2.1) với lân cận U của điểm cực trị x Theo ph-ơng pháp xấp xỉ khoảng cách, với mỗi k 1,2, ta xét dạng bài toán cực trị không điều kiện 2 (x ) k Hàm k... vi tại x k Do đó, (2.5) là bài toán cực tiểu trơn không ràng buộc p dụng nguyên lý điểm dừng Fermat cho (2.5), ta có k * ở đây xik (xk * x1k (xk ) aik * x 2k wik ) / k 2(xk x) 0 (2.6) 1,2, và x1k với i 2 x 2k 2 1 * * Không mất tính tổng quát, giả sử rằng tồn tại vectơ x 1 và x 2 sao cho x1k 2 x 2k 2 * 1 và xik xi* khi k với i * và để ý đến (2.4) ta kết luận rằng x * x1 1,2 Cho qua giới hạn (2.6)... (x ) trong (2.3) là hàm liên tục và có tập mức bị chặn Theo định lý Weierstrass, (2.3) có nghiệm x k với mỗi k Hơn nữa, đặt 2 [dist (x k k a1k , 1 2 dist (x k ) a2k , 1 2 2 )] , ta có k (x k ) k xk x 2 k (x ) a1k 2 a2k 1 2 2 Kết hợp bất đẳng thức trên với (2.1) ta suy ra xk x và k 0 khi k 15 (2.4) Ta chọn xấp xỉ tốt nhất w1k P(x k a1k , 1 ) và w2k P(xk a2k , 2 ) và xét bài toán min (x k x a1k 2... k 1,2, và U V epi (0, vk ) với Rn trong (2.1) ở đây V là lân cận của điểm cực tiểu địa ph-ơng x trong (P) 14 1 Kết quả sau đây cho ta một điều kiện cần để x là điểm cực trị địa , ph-ơng của hệ tập hợp 1 Mặt khác, nguyên lý cực trị này cho 2 phép chúng ta xây dựng các quy tắc tính toán đối với đạo hàm suy rộng của hàm đa trị không lồi và không trơn Định lý 2.1 (Định lý tách không lồi) Cho 1 và 2 là... Nhận xét 2.1 Nếu cả và 1 2 là lồi, thì (2.2) t-ơng đ-ơng với tính chất tách đ-ợc * 0 x , w1 x* x *, w2 , w1 , w2 1 2 (2.7) Dễ dàng thấy rằng tính chất tách đ-ợc (2.7) thỏa mãn với mọi điểm cực trị địa ph-ơng x 1 2 trong tr-ờng hợp tổng quát không lồi Có nghĩa là đối với tập lồi tính chất cực trị và tách đ-ợc là t-ơng đ-ơng Trong tr-ờng hợp đặc biệt, bất kì tập lồi đóng và ri 1 ri 2 1 và 2 với 1 2 0 0 . lĩnh vực khác nhau của toán học và thực tế. Điều này đã khơi gợi em chọn đề tài Các khái niệm nón pháp tuyến và ứng dụng để tìm hiểu về nón pháp tuyến và các ứng dụng của nó. 2. Mục tiêu nghiên. quy hoạch toán học và trong thực tiễn. 5. Nội dung của khóa luận Chƣơng 1. Nón pháp tuyến 1.1. Khái niệm nón pháp tuyến và các tính chất 1.2. Các ví dụ Chƣơng 2. Ứng dụng 2.1. Tách không. hiểu về các nón pháp tuyến. - Khảo sát một vài ứng dụng nền tảng của nón pháp tuyến thiết lập định lý tách không lồi và kiểm tra tính giả Lipschitz của một ánh xạ đa trị. 3. Phƣơng pháp nghiên