đồ án kỹ thuật điện cơ giới thiệu sơ qua các khái niệm về tối ưu và bài toán cơ học đặt ra

LỜI MỞ ĐẦU Ngày nay cùng với sự phát triển không ngừng của khoa học máy tính thì việc ứng dụng nó vào các ngành khoa học khác cũng đạt được những hiệu quả hết sức to lớn. Một ứng dụng cụ thể của máy tính vào cơ học đó là tối ưu hoỏ cỏc hệ cơ học. Với các modul tối ưu có sẵn trờn mỏy thỡ ta có thể dễ dàng triển khai chúng vào một modul riêng biệt trong quá trình giải trọn vẹn một hệ cơ học. Mục đích chính của đồ án này là xây dựng các modul tối ưu để gắn vào một chương trình hoàn chỉnh giải một hệ cơ học. Do phạm vi để sử dụng như vậy nên trong đồ án này tôi chỉ trình bày những phương pháp tối ưu mà có thể dễ dàng ứng dụng để đạt được mục đích trên, mặc dù còn nhiều phương pháp nhanh và chính xác hơn nhưng việc áp dụng chúng vào dạng bài toán như trên thỡ nú trở nên phức tạp hơn. Những phương pháp tối ưu được trình bày sau đây là những phương pháp tối ưu trực tiếp không có sử dụng đạo hàm, còn những phương pháp có sử dụng đạo hàm không được nói đến do việc gắn nó vào các modul khác mà tính đến đạo hàm thì chương trình rất khó thực hiện do hàm mục tiêu được xác định trong quá trình tính toán từ các modul khỏc nờn khú xác định được đạo hàm của chúng và các ràng buộc. Chương I giới thiệu sơ qua các khái niệm về tối ưu và bài toán cơ học đặt ra. Chương II, III, IV trình bày cụ thể các phương pháp tối ưu. Chương V là sử dụng các modul xây dựng từ các phương pháp đã giới thiệu để giải một vài bài toán cụ thể. Tôi xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Đinh Văn Phong, cảm ơn sự giúp đỡ tham khảo của thầy Nguyễn Nhật Lệ và thầy Phan Mạnh Dần. 1 Chương I. BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG CƠ HỌC I. BÀI TOÁN TỐI ƯU TỔNG QUÁT 1. Phát biểu bài toán. “Tỡm trạng thái tối ưu của một hệ thống bị ràng buộc sao cho đạt được mục tiêu mong muốn về chất lượng theo một nghĩa nào đú.” Các yếu tố của một bài toán tối ưu hoá: - Trạng thái: mô tả trạng thái của hệ thống cần tối ưu hoá. - Mục tiêu: đặc trưng cho tiêu chuẩn hoặc hiệu quả mong muốn (nh hiệu suất cao nhất, trọng lượng nhỏ nhất, độ cứng nhỏ nhất, gia tốc nhỏ nhất, thời gian ngắn nhất). - Ràng buộc: Thể hiện các điều kiện kỹ thuật mà hệ thống phải thoả mãn. 2. Phân loại các bài toán tối ưu. Cú các loại bài toán tối ưu sau: - Bài toán quy hoạch tuyến tính. - Bài toán quy hoạch phi tuyến. - Bài toán cực trị phiếm hàm. - Bài toán điều khiển tối ưu. Tuy nhiên do phạm vi ứng dụng ở đây là trong các bài toán cơ học nên ta chỉ xét đến bài toán tối ưu phi tuyến. Một bài toán tối ưu phi tuyến được phát biểu nh sau: Tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của hàm: f(x) với x ∈ E n sao cho thoả món cỏc ràng buộc: h i (x)=0 với i=1,2,…,m g i (x) ≥ 0 với i=m+1,…,p 2 Hàm f(x) ở đây được gọi là hàm mục tiêu, x ∈ E n là biến trạng thái. Nếu x ∈ E thì ta nói f(x) là hàm một biến (n=1), còn với n>1 thì f(x) là hàm nhiều biến. Trong các hàm đó thì phải có Ýt nhất một hàm là phi tuyến. II. MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ HỌC Bõy giê ta sẽ đi xét một số ví dụ dùng để minh hoạ cho việc sử dụng các modul tối ưu. Với mỗi hệ cơ học sẽ chỉ đặt ra bài toán tối ưu, còn ta sẽ xem xét cụ thể vào chương V của đồ án này. 1. Bài toán 1: Tối ưu tần số (Xem [5]). Hình II-1. Hệ dao động n bậc tự do Với hệ cho trờn hỡnh II-1, bài toán đặt ra là tỡm cỏc giá trị m i , c i , b i sao cho hàm: F= ∑ = − n 1i 2 ibii )λλ(ω → min Trong đó: i ω là trọng số. ib λ là giá trị của các trị riêng mong muốn i λ là giá trị các trị riêng của cơ hệ 3 Đây là bài toán tối ưu bằng phương pháp số, các biến đầu vào là m i , c i , b i , hàm mục tiêu ở đây là hàm của các trị riờng, cỏc trị riêng ở đây được tính từ m i , c i , b i bằng một modul tính toán khác. 2. Bài toán 2: Tối ưu biên độ Hình II-2 Với mô hình cơ học như trên thì bài toán đặt ra là xác định các khối lượng m i , độ cứng c i , giảm chấn b 2 sao cho biên độ dao động của vật 1 và 2 là nhỏ nhất. Nếu ta đưa vào cỏc kớ hiệu: x 0 = 1 0 c F : di chuyển tĩnh của m 1 dưới tác dụng của lực F 0 . (0) 1 ω = 1 1 m c : tần số riêng của hệ (m 1 , c 1 ) (0) 2 ω = 2 2 m c : tần số riêng của hệ (m 2 , c 2 ) η = (0) 1 ω Ω : tần số kích động μ = 1 2 m m ; ξ = (0) 1 (0) 2 ω ω ; 4 D= (0) 12 ω2m b Thì giải hệ trên ta được các hàm khuếch đại nh sau: V 1 = 0 1 x x = 22222222222 22222 )μηη(1η4D]ημξ)η)(ξη[(1 η4D)η(ξ −−+−−− +− (2.2.7) V 2 = 0 2 x x = 22222222222 222 )μηη(1η4D]ημξ)η)(ξη[(1 η4Dξ −−+−−− + (2.2.7) Biên độ dao động của vật 1 và 2 bõy giờ là V 1 và V 2 tương ứng. Có 2 bài toán tối ưu biên độ đặt ra nh sau: Bài toán 2.1: Tìm: f(x) = V 1 (D, ξ , η ) → min Thoả món cỏc ràng buộc: ≤ − η)ξ,(D,V η)ξ,(D,Vη)ξ,(D,V 1 12 Q max D min ≤ D ≤ D max ξ min ≤ ξ ≤ ξ max Bài toán 2.2: (Bài toán minimax) Tìm: f(x) = ba max ≤≤ η [V 1 (D, ξ , η )] → min Thoả món cỏc ràng buộc: ba max ≤≤ η ≤ − η)ξ,(D,V η)ξ,(D,Vη)ξ,(D,V 1 12 Q max D min ≤ D ≤ D max ξ min ≤ ξ ≤ ξ max Để có thể sử dụng được các modul tối ưu trên ta phải tiến hành gián đoạn hoá tần số kích động η . Giới hạn trên của hàm mục tiêu trong đoạn a ≤ η ≤ b được coi là biến thiết kế giả tạo – kí hiệu là d. 5 Gọi giá trị của η tại các điểm gián đoạn trong [a,b] là η i với i=1 m. Khi đó bài toán dẫn về: Tìm: f(x) = d → min Thoả món cỏc ràng buộc: V 1 (D, ξ , η i ) ≤ d i=1 m ba max ≤≤ η ≤ − )ηξ,(D,V )ηξ,(D,V)ηξ,(D,V i1 i1i2 Q max i=1 m D min ≤ D ≤ D max ξ min ≤ ξ ≤ ξ max Nh vậy là có 2m+4 ràng buộc bất đẳng thức. 6 Chương II. TỐI ƯU HOÁ HÀM MỘT BIẾN I. GIỚI THIỆU Phần này ta chỉ xét hàm mục tiêu chỉ có một biến: y=f(x) với x ∈ R n Việc tìm lời giải tối ưu cho hàm một biến có thể rất Ýt được ứng dụng trực tiếp trong các bài toán thường gặp trong thực tế, nhưng ở đây tôi trình bày để được áp dụng vào các phần sau của đồ án. Trong các bài toán tối ưu hàm nhiều biến, có những phương pháp phải sử dụng thuật toán tối ưu lần lượt theo từng phương, khi đó ta sẽ phải sử dụng đến thuật toán tối ưu hoá hàm một biến. Do phạm vi ứng dụng trong các bài toán như vậy nên ở phần này tôi chỉ trình bày chủ yếu vào phương pháp tìm kiếm không sử dụng đạo hàm, tức là tìm trực tiếp, và thuật toán được trình bày cụ thể để sử dụng trong đồ án này là thuật toán Fibonacci và còn được phát triển thành phương pháp “golden section” (mặt cắt vàng). II. TỐI ƯU VỚI HÀM MỤC TIÊU KHÔNG CÓ GIỚI HẠN Là hàm mục tiêu mà không có giới hạn cho biến x. Để tìm được lời giải tối ưu cho những hàm này ta phải đi xác định khoảng mà chứa giá trị tối ưu, do đó nó chuyển thành bài toán với hàm mục tiêu có giới hạn. a. Xác định khoảng tối ưu 7 Trong bước tìm kiếm trực tiếp nào đó, hai giá trị của hàm mục tiêu có thể được dùng để loại trừ một miền không chứa giá trị tối ưu. Theo đó, nếu ta tìm max: với x 1 > x 0 và f(x 1 ) > f(x 0 ) thì ta có thể kết luận giá trị max không nằm trong miền x < x 0 . Ta sẽ luôn luôn có kết quả giá trị tối ưu nằm trong hai khoảng, ở đây đó là [x 0 ; x 1 ] và (x 1 ;+ ∞ ). Gọi x 0 là điểm xuất phát để tìm kiếm, s là giá trị độ dài khởi tạo. Đặt: x 1 =x 0 +s và tính f(x 1 ), f(x 0 ). Có 3 trường hợp sau: - Nếu f(x 1 ) = f(x 0 ) thì max nằm trong khoảng x 0 < x < x 1 . - Nếu f(x 1 ) > f(x 0 ) thì max nằm trong khoảng x>x 0 , ta phải tìm theo trục x theo hướng tăng theo s. Phương pháp của Swann yêu cầu tính giá trị hàm mục tiêu tại dóy cỏc điểm: x 0 ; x 1 =x 0 +s; x 2 =x 1 +2s; …; x k =x k-1 +2 k- 1 s, ở đây x k là điểm đầu tiên trong dóy trờn làm cho hàm mục tiêu giảm: f(x 0 )< f(x 1 ) <f(x 2 )<…< f(x k-1 ) và f(x k-1 ) ≥ f(x k ) d/2=x k-1 -x k-2 =2 k-2 s (2.1.1) (2.1.1) Do đó giá trị max của hàm mục tiêu sẽ nằm trong khoảng (x k-2 ;x k ) và độ dài khoảng này là: x k -x k-2 = x k-1 +2 k-1 s- x k-2 =x k-2 +2 k-2 s+2 k-1 s- x k-2 =3.2 k-2 s=3d/2. (2.1.2) (2.1.2) - Nếu f(x 1 ) < f(x 0 ), ta loại khoảng x>x 1 và tìm kiếm theo các giá trị giảm dần của x. Cũng tương tự trường hợp thứ 2 ở trên nhưng ta thay s=-s và giá trị max của hàm mục tiêu sẽ nằm trong khoảng (x k ;x k-2 ). Đến đây đó xỏc định được khoảng tối ưu, việc tìm giá trị tối ưu cho hàm mục tiêu sẽ chuyển thành tìm giá trị tối ưu cho hàm mục tiêu có giới hạn. b. Chọn độ dài khởi tạo s Bài toán đặt ra đầu tiên trong bất kì việc tìm kiếm giá trị tối ưu là chọn dé dài khởi tạo s, trong phương pháp số trên máy tính thỡ nú quyết định số lượng tính toán nhiều hay Ýt. Trong phần trước, tổng khoảng 8 cách dịch chuyển trong quá trình tìm kiếm giá trị max của hàm mục tiêu đến bước thứ k-1 là tổng của ∑ − = 1 0 s2 k i i , đến bước k hàm mục tiêu sẽ giảm. Ta có: x * -x 0 < x k -x 0 = ∑ − = 1 0 s2 k i i =(2 k -1)s (2.2.1) (2.2.1) hay: k > 2ln ]/)(1ln[ 0 * sxx −+ (2.2.2) với k là số bước dịch chuyển, nhưng có k+1 giá trị của hàm mục tiêu được tớnh vỡ nú bắt đầu từ x 0 . Đặt N=k+1 lần tính để định nghĩa một miền cuối cùng của độ dài 3d/2 chứa giá trị tối ưu mong muốn. Độ dài đó là: (3/2).d(k)=3.2 k-2 s theo (2.1.2) và với k tính theo (2.2.2). c. Ước lượng gần đúng giá trị tối ưu Từ 3 điểm (x k-2 , x k-1 , x k ) đã tính được với 3 giá trị của hàm mục tiêu tương ứng, hàm f(x) có thể được tính xấp xỉ thành hàm bậc 2 nh sau: f(x)= 0 β + 1 β (x-x k-2 )+ 11 β (x-x k-2 ) (x-x k-1 ) (2.3.1) (2.3.1) Với: 0 β = f(x k-2 ) (2.3.2) (2.3.2) 1 β = 2-k1-k 2-k1-k x-x )f(x-)f(x (2.3.3) 11 β = 1-kk 2-k1-k 2-k1-k 2-kk 2-kk x-x x-x )f(x-)f(x x-x )f(x-)f(x − (2.3.4) (2.3.4) 9 Do đó bài toán tối ưu bõy giờ trở thành bài toán tìm cực trị của hàm bậc hai một biến. Ta chỉ cần giải phương trình f’(x)=0, kết quả cho như sau: x * =(x k-2 +x k-1 - 1 β / 11 β )/2 III. TỐI ƯU VỚI HÀM MỤC TIÊU Cể GIỚI HẠN Trong phần này ta sẽ tìm giá trị tối ưu cho hàm mục tiêu có giới hạn: a ≤ x ≤ b. Phương pháp được trình bày chủ yếu ở đõy là phương pháp Fibonacci. 1. Phương pháp Fibonacci a. Cơ sở tìm kiếm trờn dóy số Fibonacci Để dễ dàng, ta xét một miền được giới hạn bởi đoạn AB có độ dài L j . Hai điểm dùng để thử có thể được thêm vào là C và D nh hình vẽ dưới với các độ dài tương ứng: l j =AC và l j ’ =DB. AA C D E B l j L j l j '=l j l j+1 L j+1 Hình III-1. Hai bước liên tiếp của phương pháp Fibonacci 10 [...]... mt s gii thut cho phng phỏp Rosenbrock nh trang sau Bắt đầu Cho điểm khởi tạo cơ sở x(0) và các độ dài tối ưu: i(0) với i=1, ,n k=0 Tính f(x(k)) i=0 Đúng xi+1(k)=xi(k)+i(k) Sai Nếu f(xi(k))< f(xi-1(k)) Sai Tính lại từ x1 từ bước trước Đúng (k) i Sai i=i+1 =3i(k) (k) i =-0.5i(k) Tất cả các hướng tối ưu đều thất bại ít nhất một lần Đúng Tính các hướng tối ưu mới Sai Nếu f(x(k))- f(x(k-1))< hoặc xi(k)-... tiờn l ti u quanh im c s ri ti u theo hng ó chn (hay cũn gi ti u theo mu hnh) Hnh II-1 di õy l s thut toỏn ca phng phỏp ú (Trong trng hp tỡm min ca f(x)) Bắt đầu Cho điểm khởi tạo cơ sở x0 Tính f(x0) Thực hiện tối ưu lần I, thu được x Kiểm tra: f(x) < f(x0) Sai Đúng Nếu s < e Lấy x làm điểm cơ sở mới x0=x Đúng Sai Kết thúc Tối ưu theo mẫu hình Giảm s Thực hiện tối ưu lần II, thu được x Kiểm tra: f(x)... = -s/2 v xt=x0 (Quay v im ban u) b Nu f(xt) > f(x0) v s>e thỡ quay li a Bc 2: Xỏc nh khong ti u a Gỏn: xt=x0+s v s=2s b Nu f(xt) < f(x0) thỡ quay li a Bc 3: Thut toỏn Fibonacci a Gỏn: a= x0+(xt- x0)p b= xt-(xt- x0)p Nu f(a) < f(b) th gn: xt=b Ngc li th gn: x0=a b Kim tra nu xt-x0> e thỡ quay li a Ngc li thỡ kt thỳc Giỏ tr ti u l f(x0) ti x0 Chú ý: trờn ta phi dựng du tr tuyt i kim tra iu kin dng ca... vi 0 < < 1 l h s co k Thay: x (hk ) = x (n+)5 + k=k+1 v quay li bc 2 - k Bc 5: Nu f( x (n+)3 )>f( x (hk ) ) thỡ thu nh khi a din v nh m ti ú hm mc tiờu cú gi tr nh nht, ú l nh x l( k ) õy ta ly h s thu nh l 0,5: 26 xi(k)= xl(k)+0,5(xi(k)- xl(k))i=1,2,,(n+1)(3.5) i=1,2,,(n+1) (3.5) k=k+1 v quay li bc 2 - Bc 6: Kim tra iu kin dng: iu kin kim tra cho thut toỏn dng l: 1/ 2 1 n+1 [f ( x i( k ) ) f... 28 Bắt đầu Cho trước , t, x(0) Xây dựng đơn hình (n+1) đỉnh xi(0) và tính f(xi(0)) với i=1,2, ,(n+1) Tìm xh, xg, xl Tính xC=xn+2 Tính: xn+3=xn+2+(xn+2-xh) và f(xn+3) Nếu f(xn+3)f(xl) Sai Đúng Nếu f(xn+3)f(xg) Nếu f(xn+3)f(xh) Đúng Tính: xn+4=xn+2+(xn+3-xn+2) Đúng Sai Sai xh=xn+3 và f(xn+4) Tính: xn+5=xn+2+(xh-xn+2) Nếu f(xn+4) < f(xl) và f(xn+5) xh=xn+3 Sai xh=xn+4 Nếu f(xn+5) > f(xh) xh=xn+5 Đúng xi=0.5(xi+xl)... a phng Ba bc kim tra c s phi c tho món cho cỏc bc ti u kt thỳc: - Bc kim tra u tiờn c thc hin sau mi ln ti u I v ti u theo mu hỡnh: ln ca s thay i hm mc tiờu c so sỏnh vi mt giỏ tr nh cho trc Nu tng s thay i ca hm mc tiờu k t giỏ tr c s ca nú khụng ln hn giỏ tr nh cho trc thỡ bc ti u ln I hoc ti u theo mu hỡnh coi nh tht bi Khi khụng thc hin vic kim tra nh trờn thỡ thc hin kim tra theo cỏch khỏc l... v c Paviani ó gii mt vi bi toỏn kim tra cú s dng nhiu s kt hp cỏc giỏ tr ca v Nelder v Mead ó a ra cỏc giỏ tr =1, =0.5, =2 v núi chung u tho món vi cỏc bi toỏn ti u khụng rng buc Kớch thc v s nh hng ca khi a din khi to ú cỳ mt vi tỏc dng trong s lng thi gian mỏy tớnh yờu cu Nhng cỏc giỏ tr thớch hp vi , , li cú tỏc dng ỏng k hn Cũn Paviani ó tin hnh kim tra v cho rng khụng cú mt cỏch gii quyt... ln nht trong (n+1) giỏ tr vũng lp th k k - Bc 4: Kim tra nu f( x (n+)3 ) f( x l( k ) ): k k gión vector ( x (n+)3 - x (n+)2 ) theo cụng thc: k k k k x (n+)4 = x (n+)2 + ( x (n+)3 - x (n+)2 )(3.3) (3.3) Trong ú >1 l h s gión Kim tra tip: k k + Nu f( x (n+)4 ) < f( x l( k ) ): thay x (hk ) = x (n+)4 k + Ngc li: thay x (hk ) = x (n+)3 k=k+1 v quay li bc 2 - Bc 4: (k ) k k + Nu f( x (n+)3 ) f( x g... Rosenbrock xỏc nh x(k+1) bng vic ti u thnh cụng trờn mt trc t im c s x (k) theo mt tp cỏc trc trc giao s 1(k), s2(k),, sn(k) c to ra t th tc ca Gram-Schmidt, do ú cỏc hng ti u hng theo cỏc trc chớnh ca xp x bc hai ca hm mc tiờu Cỏc trc ny l cỏc vector thnh phn ca ma trn H(x) (l ma trn Gradient cp hai ca hm mc tiờu) v to thnh mt trng hp c bit ca cỏc trc liờn hp, phng phỏp thc hin cú phn ging vi phng phỏp mt... Trờn mỏy tớnh, thay cho vic kim tra Di(k)=0 thỡ ta kim tra Di(k)< vi l chớnh xỏc ca x hoc f(x) Sự thay i ny nh hng ti tớnh trc giao ca cỏc vector si(k) rt nh Trong c hai phng phỏp th cc hng mi xỏc nh nh sau: vector n v u tiờn s1(k+1) ca tp cỏc hng mi ti bc (k+1) thng hng vi A1(k) Cỏc hng cũn li c dng lờn thnh cỏc vector n v trc giao vi nhau v vi A 1(k) bng phng phỏp Gram-Schmidt Do ú tp cỏc hng trc . chúng và các ràng buộc. Chương I giới thiệu sơ qua các khái niệm về tối ưu và bài toán cơ học đặt ra. Chương II, III, IV trình bày cụ thể các phương pháp tối ưu. Chương V là sử dụng các modul. hiện các điều kiện kỹ thuật mà hệ thống phải thoả mãn. 2. Phân loại các bài toán tối ưu. Cú các loại bài toán tối ưu sau: - Bài toán quy hoạch tuyến tính. - Bài toán quy hoạch phi tuyến. - Bài toán. Bài toán cực trị phiếm hàm. - Bài toán điều khiển tối ưu. Tuy nhiên do phạm vi ứng dụng ở đây là trong các bài toán cơ học nên ta chỉ xét đến bài toán tối ưu phi tuyến. Một bài toán tối ưu phi