1. Cơ sở lý thuyết
Trước hết ta đi xem xột khỏi niệm cỏc hướng liờn hợp để tối ưu hàm mục tiờu f(x). Hai hướng si và sj được gọi là liờn hợp với nhau nếu:
(si)TQsj=0 với i≠j (si)TQsj≥0 với i=j trong đú Q=∇2f(x(k)).
Thuật toỏn của Powell về cơ bản dựa vào ý tưởng là nếu giỏ trị nhỏ nhất của hàm bậc hai f(x) được tỡm thấy theo mỗi hướng trong p hướng liờn hợp (p<n) tại một bước lặp, đồng thời tỡm được một bước tối ưu trong mỗi hướng thỡ tất cả cỏc bước tối ưu từ hướng bắt đầu tới hướng thứ p liờn hợp với p hướng cũn lại.
Phộp biến đổi từ điểm x0(k) tới điểm xm(k) như sau: xm(k)= x0(k)+∑=−1 1 ) ( ) ( s λ m i k i k i (5.1.1)
Ta đi tỡm hiểu cụ thể cỏch thực hiện thủ tục biến đổi trờn. Tại một vector x0(0) trong En xõy dựng cỏc hướng khởi tạo s1(0), s2(0),…, sn(0) song
hướng sn(0); f(x0(0)+λ sn(0)) được tối ưu bằng phương phỏp tối ưu một tham số (chỳ ý λ ở đõy là λ0(0)). Sau đú x1(0)=x0(0)+ λ0(0)sn(0). Tiếp theo thực hiện lần lượt với n hướng si(0) (i=1,2,…,n), f(xi(0)+λ si(0)) được tối ưu
để tỡm được λi(0) và biểu thức (5.1.1) được ứng dụng để tớnh toỏn thành
cụng cỏc giỏ trị mới của xi(0).
2. Cỏc bước của thuật toỏn
Từ cỏch biến đổi như trờn ta trỡnh bày cụ thể tại bước thứ k của phương phỏp Powell thực hiện tối ưu n hướng độc lập tuyến tớnh với điểm khởi tạo là x0(k)=xn+1(k-1).
Bước 1: Từ x0(k) xỏc định λ1(k) bằng tối ưu một tham số sao cho f(x0(k) +λ1s1(k)) là một giỏ trị tối ưu và đặt x1(k)=x0(k)+ λ1(k)s1(k). Từ x1(k) xỏc định
λ2(k) sao cho f(x1(k)+λ2s2(k)) là một giỏ trị tối ưu và đặt x2(k)=x1(k)+ λ 2(k)s2(k)…, thực hiện liờn tiếp như vật cho tới khi tất cả λi(k) (i=1,2,…,n) được xỏc định.
Bước 2: Tỡm một điểm xm(k) cụ thể mà tại đú giỏ trị của hàm mục tiờu thay đổi lớn nhất, gọi khoảng thay đổi đú là ∆(k) thỡ ta cú:
∆(k)=max{f(xi(k))- f(xi-1(k))} với i=1,2,…,n và ∆(k)=f(xm(k))- f(xm-1(k))
Xỏc định vector μ =xn(k)-x0(0).
Bước 3: Xỏc định f(2xn(k)-x0(k))=ft(k) Đặt: f0(k)= f(x0(k)), fn(k)= f(xn(k)).
Bước 4: Nếu: ft(k) ≥ f0(k) hoặc
(f0(k)-2 fn(k)+ ft(k)) (f0(k)- fn(k) -∆(k)) ≥0.5∆(k)( f0(k)- ft(k))2 thỡ μ khụng phải là một hướng tốt, ta thực hiện bước tối ưu tiếp theo:
x0(k+1)=xn(k)
si(k+1)=si(k) với i=1,2,…,n Quay lại lặp từ bước 1.
Thực hiện tối ưu theo hướng μ tỡm được giỏ trị tối ưu tại
x0(k+1), là điểm cơ sở để thực hiện bước tối ưu tiếp theo.
Thay: si(k+1)=si(k) với i=1,2,…,m-1
si(k+1)=si+1(k) với i=m,…,n-1 và sn(k+1)= μ Lặp lại từ bước 1.
Bước 5: Tiờu chuẩn hội tụ của phương phỏp Powell là thoả món điều
kiện: (0 )
)( x ( x x k k
n − ≤0.1ε với ε là độ chớnh xỏc của x.
Trong thủ tục trờn ở bước 4 ta cú kiểm tra hai bất đẳng thức. Bất
đẳng thức thứ nhất cú chứa ft(k) là giỏ trị tối ưu của hàm mục tiờu trờn (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
hướng mới. Cụ thể là điểm xt(k)= 2xn(k)-x0(k) trờn hướng μ . Nếu giỏ trị ft(k)
khụng tốt hơn giỏ trị hàm mục tiờu tại điểm cơ sở x0(k) thỡ hướng mới μ
khụng được dựng để tối ưu. Bất đẳng thức thứ hai dựng để xỏc định xem hàm mục tiờu cú thể khụng tăng (trong trường hợp tỡm min) qua bước dịch chuyển từ điểm xn(k) tới điểm 2xn(k)-x0(k), đồng thời nú cũng để xỏc định liệu hướng μ cú đi qua một điểm nằm trong vựng lừm khụng, nếu cú thỡ ta bỏ qua hướng này và giữ nguyờn cỏc hướng cũ để thực hiện cho bước lặp tiếp theo.
Zangwill đó chỉ ra rằng thủ tục của Powell sẽ hội tụ tới một điểm mà tại đú gradient của f(x) bằng khụng nếu f(x) là hàm hoàn toàn lồi, đú là điểm mà hàm mục tiờu dần tới vụ cựng.
3. Sơ đồ giải thuật
Từ cỏc bước thực hiện như trờn ta cú sơ đồ giải thuật như hỡnh vẽ dưới.
Bắt đầu k=0
Đặt si(k) song song với các trục toạ độ của En
Xác định bằng cách tối ưu một
tham số f() Nếu -<, i=1,2,…,n
Tìm min của f() theo hướng =- thu được
Thay = với i=1,…,n và im. Còn =
Đặt =+
Nếu i=n
Tính =2-
Tính =max{f()-f()} Với i=1,2,…,n. Thu được
=f()-f() Nếu: (1): f()f() hoặc (2): [f()-2f()+f()][f()-f()-]0.5[ f()-f()] Đặt si(k+1)=si(k) Đặt: = Kết thúc Đúng Sai k=k+1 Sai Đúng Đúng Sai Đúng
Chương IV.
Tối ưu hoỏ hàm Nhiều biến cú ràng buộc