ĐƯỜNG TRÒN – HÌNH VUÔNG 1/ Cho hình vuông ABCD . Đường kính CD và đường tròn tâm A , bán kính AD cắt nhau tại M ( M không trùng với D ) . Chứng minh rằng đường thẳng DM đi qua trung điểm cạnh BC HƯỚNG DẪN B O A D DM là dây chung của hai đường tròn ⇒ AO ⊥ DI ⇒ OAD = CDI ; AD = CD ⇒ ∆ ADO = ∆ DCI ⇒ IC = OD = ½ BC 2/Cho hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O , bán kính R . M là một điểm bất kỳ trên đường tròn . a/Chứng minh MA 4 + MB 4 + MC 4 + MD 4 = 24R 4 b/ Chứng minh MA . MB . MC . MD < 6R 2 HƯỚNG DẪN B C A D a/ MA 4 + MC 4 = ( MA 2 + MC 2 ) – 2MA 2 .MC 2 = AC 4 – 2MH 2 .AC 2 = 16R 4 – 8R 2 .MH 2 Chứng minh tương tự ta có : MB 4 + MD 4 = 16R 4 – 8R 2 .MK 2 ⇒ MA 4 + MB 4 + MC 4 + MD 4 = 32R 4 – 8R 2 ( MH 2 + MK 2 ) = 32R 4 – 8R 2. R 2 = 24R 4 b/ p dụng Bất đẳng thức Côsi ta có : (MA 4 + MB 4 ) + ( MC 4 + MD 4 ) ≥ ))((2 4444 MDMCMBMA ++ Vì MA 4 + MB 4 ≥ 2244 .2.2 MBMAMBMA = MC 4 + MD 4 ≥ 2244 .2.2 MDMCMDMC = ⇒ (MA 4 + MB 4 ) + ( MC 4 + MD 4 ) ≥ 2222 2 MDMCMBMA (MA 4 + MB 4 ) + ( MC 4 + MD 4 ) ≥ 4MA.MB.MC.MD ⇒ 4MA.MB.MC.MD ≤ 24R 4 ⇒ MA.MB.MC.MD ≤ 6R 4 Dấu “=” xảy ra ⇔ MA = MB = MC = MD nhưng điều này không thể xảy ra nên : MA.MB.MC.MD < 6R 4 3/Cho hình vuông ABCD . Dựng nửa đường tròn tâm I , đường kính AD và cung AC tâm D , bán kính DA . Tia DE gặp nửa đường tròn ( I ) tại K . Kẻ EF vuông góc với AB . Chứng minh EK = EF. HƯỚNG DẪN C I M O H K M Nhận xét : EF ⊥ AB , EK ⊥ AK ⇒ cần chứng minh AE là phân giác của góc BAD Đường tròn (D ) tiếp xúc với AB tại A ⇒ ADE = 2FAE (1) ADE = KAF = FAE + EAK (2) Từ (1) và (2) ta có : FAE = EAK 3/ Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm di động E , F sao cho : AE + EF + FA = 2a . a/ Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố đònh . b/ Tìm vò trí của E , F sao cho diện tích ∆ CEF lớn nhất . A E B K HƯỚNG DẪN H F D C a/ Trên tia đối của BA lấy K sao cho BK = DF . Vẽ CH ⊥ EF , H ∈ EF . ∆ DFC = ∆ DKC ( DF = BK ; FDC = KBC = 90 0 ; DC = BC ) ⇒ CF = CK . Vì EF = 2a – ( EA + FA ) = ( AB + AD ) – ( EA + FA ) = AB – EA + AD – FA = EB + FD = EB + BK . Do đó ∆ CEF = ∆ CEK ( c.c.c) Suy ra các đường cao CH và CB bằng nhau . CH không đổi , C cố đònh , CH ⊥ EF ⇒ EF luôn tiếp xúc với đường tròn cố đònh ( C , a ) . b/ ∆ HCF = ∆ DCF ( H = D = 90 0 ; CF chung ; CH = CD = a ) ⇒ S HCF = S DCF . Chứng minh tương tự ta có : S HCE = S BCE do đó S HCF + S HCE = S DCF + S BCE ⇒ S CEF = ½ S CDFEB ⇒ S CEF = ½ ( a 2 – S AEF ) S AEF ≥ 0 ⇒ S CEF ≤ ½ a 2 . Dấu “ = “ xảy ra ⇔ S AEF = 0 ⇔ E ≡ B , F ≡ A hoặc E ≡ A , F ≡ D . Vậy E ≡ B , F ≡ A hoặc E ≡ A , F ≡ D thì S CEF đạt giá trò lớn nhất . 5/ Trên đoạn AB lấy M tùy ý . Trên đoạn AM và MB dựng về một phía đối với AB các hình vuông AMEF và MBCD . Đường tròn ngoại tiếp 2 hình vuông cắt nhau tại điểm thứ hai là N . a/Chứng minh AN đi qua một đỉnh của hình vuông thứ hai . b/Tìm quỹ tích của N khi M di chuyển trên AB . c/Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn nối tâm hai hình vuông . HƯỚNG DẪN F E E K A B C D . A M B a/ BD cắt AE tại H . ∆ AHB có : HAB = HBA = 45 0 ⇒ HB ⊥ AH . Xét ∆ AEB ta có : EM ⊥ AB ; BH ⊥ AE ⇒ AD ⊥ BE tại N . Mà DNB = 90 0 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) ⇒ DN ⊥ BE tại N ⇒ ba điểm A , D , N thẳng hàng ⇒ điều phải chứng minh . b/ Q ttích của N là nửa đường tròn đường kính BD . c/ Q tích của I là đường trung trực của đoạn thẳng PQ . Khi M trùng với B thì I trùng với tâm của hình vuông AMEF . D N C H I Q . về một phía đối với AB các hình vuông AMEF và MBCD . Đường tròn ngoại tiếp 2 hình vuông cắt nhau tại điểm thứ hai là N . a/Chứng minh AN đi qua một đỉnh của hình vuông thứ hai . b/Tìm quỹ tích. ĐƯỜNG TRÒN – HÌNH VUÔNG 1/ Cho hình vuông ABCD . Đường kính CD và đường tròn tâm A , bán kính AD cắt nhau tại M ( M không trùng với D ) . Chứng minh rằng đường thẳng. không thể xảy ra nên : MA.MB.MC.MD < 6R 4 3/Cho hình vuông ABCD . Dựng nửa đường tròn tâm I , đường kính AD và cung AC tâm D , bán kính DA . Tia DE gặp nửa đường tròn ( I ) tại K . Kẻ EF vuông