bài tập ôn học sinh giỏi môn toán lớp 9 tham khảo (3)

BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 Bài tập Nâng cao Chương 1 Bài 1: a) Tìm x và y trong mỗi hình bên (a) (b) b) Tìm x, y, z trong hình c (c) Bài 2: a) Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ hình và thiết lập các hệ thức tính các tỉ số lượng giác của góc B. từ đó suy ra các hệ thức tính các tỉ số lượng giác của góc C. b) Không dùng bảng và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau đây theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: sin24 0 ; cos35 0 ; sin54 0 ; cos70 0 ; sin78 0 . c) Không dùng bảng số và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: cotg25 0 ; tg32 0 ; cotg18 0 ; tg44 0 ; cotg62 0 . Bài 3: a) Dựng góc nhọn α , biết rằng 4 tg 5 α = . b) Dựng góc nhọn α , biết rằng 1 cot g 2 α = . c) Dựng góc nhọn α , biết 3 sin 5 α = Bài 4: 1. Cho tam giác DEF có ED = 7 cm, µ $ 0 0 D 40 , F 58= = . Kẻ đường cao EI của tam giác đó. Hãy tính: a) Đường cao EI. b) Cạnh EF. 2. Giải tam giác vuông ABC, biết rằng µ 0 A 90= , AB = 5, BC = 7. 3. Hãy tính các góc nhọn của một tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông là 13 : 21. Bài 5: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Trên cạnh BD lấy điểm C sao cho BC = 3 cm. Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E. a) Tính AD. b) Tính các góc BAD, BAC. Từ các kết quả đó, có thể kết luận rằng Ac là tia phân giác của góc BAD không ?. c) Chứng minh tam giác ADE cân tại D. d) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD. Bài 6: Cho hình vuông ABCD, cạnh AB = 1 đơn vò độ dài. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, AD. a) Tính diện tích hình cánh diều AICJ bằng các cách khác nhau. HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 1 5 4 z y x 25 9 x 10 8 x y BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 b) Tính sinICJ. Bài 7: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) đường cao AH, AB = 8 cm, CD = 12 cm, AD = 10 cm. a) Tính AH. b) Tính số đo góc ADC, suy ra số đo góc ABC. c) Tính AC. Vì sao ta không có hệ thức 2 2 2 1 1 1 ? AD AC AH + = Bµi 8. Cho h×nh thang ABCD vu«ng t¹i B vµ C, AC ⊥ AD. BiÕt µ D = 58 0 , AC = 8. a) TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh AD, BC b) Chøng minh AC 2 = AB.DC Bài 9: Cho ABC có µ 0 A 60= . Kẻ BH ⊥ AC và CK ⊥ AB. a) chứng minh KH = BC.CosA b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều Bài 10: Cho ABC có µ A là góc nhọn. Chứng minh diện tích của tam giác đó là S= 1 2 AB.AC.sinA. p dụng: a) Tính (ABC) S biết AB = 4 cm, AC = 7 cm và µ 0 A 60= b) Biết (ABC) S = 5 2 (cm 2 ), AB = 4 cm, AC = 5 cm. Tính số đo của µ A Bài 11: Cho hình bình hành ABCD có µ A < 90 0 . Chứng minh diện tích của hình đó là S =AB.AD.sinA. p dụng: Biết (ABCD) 27 3 S 2 = (cm 2 ) , AB = 4,5 cm, AD = 6 cm. Tính số đo các góc của hình bình hành ABCD. Bài 12: Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O, tạo thành góc nhọn AOD. Chứng minh: · (ABCD) 1 S AC.BD.sin AOD 2 = . p dụng: Cho hình vuông ABCD ( µ µ 0 A D 90= = ), AB = 12 cm, AD = 9 cm, DC = 18 cm. Hai đường chéo cắt nhau tại O. Tính · sin AOD . Bài 13: Cho ABC ( µ A < 90 0 ). Trên cạnh AB lấy điểm B’, trên cạnh AC lấy điểm C’. Chứng minh: (ABC) (AB'C') S AB.AC S AB'.AC' = . Bài 14: Cho ABC có 3 góc nhọn, các cạnh đối diện với các góc µ µ µ A , B,C theo thứ tự là a, b, c. Chứng minh: a b c sin A sin B sin C = = . Bài 15: Tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 6 cm, µ A = 120 0 . Kẻ đường phân giác AD của µ A . Tính độ dài của AD. Bài 16: Cho ABC có µ A = 70 0 , AB = 10 cm. Số đo của các góc B và C tỉ lệ với 4 và 3. Tính độ dài của các cạnh CA, CB và S (ABC) . Bài 17: Cho ABC có µ 0 C 45= , AB.AC = 32 6 , AB:AC = 6 : 3 . Tính số đo cạnh BC; µ B và S (ABC) Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Biết đường chéo AC = 14 cm, · sin AOD 0, 6= . Tính · tgADB và độ dài các cạnh hình chữ nhật. HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 2 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 Bài 19: Cho tam vuông ABC ( µ A = 90 0 ), cạnh AB = 3 cm. Kẻ trung tuyến AM. Biết · sin AMB 0,8= Tính tgB và S (ABC) . Bài 20: Cho hình bình hành ABCD ( · 0 ACD 90< ). a) Chứng minh : · 2 2 2 AD CD CA 2CD.CA.cos ACD= + - . b) Nếu CD = 6 cm, CA = 4 cm, · 1 cos ACD 3 = thì tứ giác ABCD là hình gì?. Tính diện tích của tứ giác đó. Bài 21: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC; µ A < 90 0 ). Kẻ BK ⊥ AC. a) Chứng minh : µ · A 2.KBC= . b) Chứng minh : A A sin A 2.sin .cos 2 2 = . c) Biết · 2 sin KBC 3 = , tính sinA. Bài 22: Cho tam giác vuông ABC ( µ B = 90 0 ). Lấy điểm M trên cạnh AC. Kẻ AH ⊥ BM, CK ⊥ BM. a) Chứng minh : · CK BH.tgBAC= . b) Chứng minh : · 2 MC BH.tg BAC MA BK = . Bài 23: Cho ABC có µ A = 60 0 . Kẻ BH ⊥ AC và CK ⊥ AB. a) Chứng minh : KH = BC.cosA. b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều. Bài 24: Cho tam giác ABC có BC = a. · 0 ACB 45= . Về phía ngoài của ABC, vẽ các hình vuông ABDE và ACFG. Giao điểm các đường chéo của hai hình vuông là Q và N. Trung điểm của BC và EG là M và P. a) Chứng minh AEC = ABG. b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông. c) Biết · BGC a= . Tính diện tích hình vuông MNPQ theo a và a . Bài 25: Cho hình chữ nhật MNPQ có 4 đỉnh nằm trên 4 cạnh của hình thoi ABCD ( M ∈ AB, N ∈ BC, P ∈ CD, Q ∈ DA ). Các cạnh hình chữ nhật song song với các đường chéo của hình thoi. Biết AB = 7 cm. · tgBAC 0,75= . a) Tính diện tích hình thoi ABCD. b) Xác đònh vò trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích hình chữ nhật MNPQ đạt giá trò lớn nhất và tính giá trò lớn nhất đó. Bài 26: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD. Kẻ CH ⊥ AD và CK ⊥ AB. a) Chứng minh CKH ~ BCA. b) Chứng minh · HK AC.sin BAD= . c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết · 0 BAD 60= , AB = 4 cm và AD = 5 cm. Bài 27: Cho ABC ( µ A = 90 0 ). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF ⊥ BC. Nối AF và BE. HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 3 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 a) Chứng minh AF = BE.cosC. b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE. c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính · sin AOB . Bài 28: Cho hình vuông ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 4 cm. Trung điểm của AB và BC theo thứ tự là M và N. Nối CM và DN cắt nhau tại P. a) Chứng minh CM ⊥ DN. b) Nối MN, tính các tỉ số lượng giác của góc · CMN . c) Nối MD, tính các tỉ số lượng giác của góc · MDN và diện tích tam giác MDN. Bài 29: Cho hình chữ nhật ABCD; · sin DAC = 0,8 ; AD = 42 mm, kẻ CE ⊥ BD và DF ⊥ AC. a) AC cắt BD ở O, tính · sin AOD . b) Chứng minh tứ giác CEFD là hình thang cân và tính diện tích của nó. c) Kẻ AG ⊥ BD và BH ⊥ AC, chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật và tính diện tích của nó. Bài 30: Cho đoạn thẳng MN = 6 cm. Vẽ đường tròn tâm M bán kính 3,6 cm. Vẽ đường tròn tâm N bán kính 4,8 cm, chúng cắt nhau tại A và B. a) Chứng minh : 2 2 2 4 1 1 MB AM AN = + b) Tính số đo các góc của MAB. Bài 31: Cho tam giác vuông ABC ( µ A = 90 0 ). Kẻ đường thẳng song song với cạnh BC cắt các cạnh góc vuông AB và AC tại M và N. Biết MB = 12 cm và NC = 9 cm, trung điểm của MN và BC là E và F . a) Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng. b) Trung điểm của BN là G. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của EFG. c) Chứng minh EFG ~ ABC. Bài 32: Cho ABC, kẻ AH ⊥ BC, biết BH = 9 cm, HC = 16 cm, tgC = 0,75. Trên AH lấy điểm O sao cho OH = 2 cm. a) Chứng minh ABC là tam giác vuông. b) Trên cạnh AB lấy điểm M, trên OB lấy điểm P và trên OC lấy điểm N sao cho AM OP ON 2 AB OB OC 5 = = = . Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của MPN. Bài tập Nâng cao Chương 2 HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 4 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 1. Đònh nghóa và sự xác đònh đường tròn Bài1: Cho đường tròn (O; R) và 1 điểm M nằm trên (O; R). dựng điểm N sao cho MN vuông góc với OM đồng thời MN có độ dài bằng a cho trước. a) Tìm tập hợp điểm N. b) Tìm tập hợp chân đường vuông góc hạ từ M xuống ON. c) Tìm hệ thức giữa a và R để cho đường tròn (O; R) là tập hợp trọng tâm của MON. Bài 2: Cho 1 đoạn thẳng cố đònh AB có độ dài bằng 2a. Gọi I là trung điểm của AB. K là trung điểm của IB Trên tia Kx kẻ tuỳ ý, lấy 1 điểm M sao cho ¼ ¼ KMB MAB= . a) So sánh hai tam giác KMB và MAB. b) Tìm tập hợp điểm M. c) Dựng điểm M với a = 3 cm. ¼ 0 BKx 120= (không dùng thước đo góc). Bài 3: Cho một hình vuông ABCD, cạnh bằng a. Một đoạn thẳng MN có độ dài thay đổi, M chạy trên AB, N chạy trên CD sao cho chu vi tam giác AMN luôn luôn không đổi và bằng 2a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống MN. Chứng minh rằng H luôn nằm trên một đường tròn cố đònh. Bài 4: Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên cùng một đường thẳng theo thứ tự đó. a) Hãy dựng đường tròn (O), (O 1 ), (O 2 ), (O 3 ) có đường kính là AD, AB, BC, CD. b) CMR mọi điểm nằm trên (O 1 ), (O 2 ), (O 3 ) không kể hai điểm A và D đều nằm trong (O). c) CMR mọi điểm nằm trên (O 2 ) không kể hai điểm B và C đều nằm ngoài (O 1 ) và (O 3 ) Bài 5: Cho hai điểm A và B cố đònh. Một đ.thẳng d đi qua A. Gọi P là điểm đối xứng của B qua d. a) Tìm q tích các điểm P khi d quay xung quanh điểm A. b) Xác đònh vò trí của d để BP có độ dài lớn nhất, có độ dài bé nhất. Bài 6: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC); 1 BC CD AD a 2 = = = . a) Chứng minh A, B, C, D nằm trên cùng một đường tròn. Hãy xác đònh tâm O và bán kính của đường tròn này. b) Chứng minh AC ⊥ OB. Bài 7: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AH, AB, AC. Chứng minh OPNQ là hình bình hành. Bài 8: Cho ABC, các góc đều nhọn. Vẽ đường tròn tấm đường kính AB, vẽ đường tròn tâm O đường kính AC. Đường thẳng OS cắt đường tròn (S) tại D và E, cắt đường tròn (O) tại H và K (các điểm xếp đặt theo thứ tự D, H, E, K). a) Chứng minh BD, BE là những đường phân giác của góc · ABC ; CK, CH là những đường phân giác của góc · ACB . b) Chứng minh BDAE, AHCK là những hình chữ nhật. HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 5 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 Bài 9: Cho đường tròn (O) dường kính AB. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB tại O. Lấy điểm M trên cung AC. Hạ MH ⊥ OA. Trên bán kính OM lấy điểm P sao cho OP = MH. a) Tìm q tích các điểm P khi M chạy trên cung AC b) Tìm q tích các điểm P lấy trên bán kính OM sao cho OP bằng khoảng cách từ M đến AB khi M chạy khắp đường tròn (O). 2. Tính chất đối xứng của đường tròn Bài 1: Cho hai đường tròn bằng nhau (O ; R) và (O’; R) và hai dây AB, CD bằng nhau theo thứ tự thuộc hai đường tròn ấy sao cho B và C nằm giữa A và D và AB < 2R. a) Chứng minh rằng AD // OO’. b) Chứng minh rằng AC = OO’ = BD. c) Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ rằng điểm I nằm trên một đường cố đònh khi các dây AB, CD thay đổi vò trí sao cho AB, CD luôn luôn bằng nhau và B, C luôn nằm giữa A, D. Bài 2: Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên một đường tròn (O) sao cho AB là đường kính. Gọi I, K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ A và B xuống đường thẳng CD. Chứng minh CI = DK. Bài 3: Cho đường tròn (O ; R) và đường kính CD vuông góc với dây AB tại điểm I. a) Tìm công thức tính R theo AI, CI. b) Miệng của một tháp nước hình vành khăn bò vỡ gần hết, chỉ còn sót lại một mảng cung tròn. Hãy tìm cách đo đạc trên mảng còn lại đó để tính đường kính của miệng tháp ấy. Bài 4: Cho đường tròn (O ; R) và hai điểm A, B với AB < 2R. Dựng qua A, B hai đường thẳng song song sao cho chúng tạo thành với đường tròn (O ; R) hai dây bằng nhau. Bài 5: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) và giao điểm I của hai đường chéo. Chứng minh rằng I là điểm chung duy nhất của đường tròn (O ; R) đi qua ba điểm I, A, D với đường tròn (O’ ; R’) đi qua I, B, C. Bài 6: Cho ABC cân tại A có ba đỉnh nằm trên đường tròn (O ; R). Các đường phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại E và lần lượt cắt đường tròn tại D và F. Chứng minh ADEF là hình thoi. Bài 7: Cho góc · 0 xOy 60= . Lấy điểm I cố đònh trên tia phân giác Ot của góc xOy làm tâm vẽ đường tròn sao cho nó cắt Ox tại A, Oy tại B (A và B không đối xứng nhau qua Ot). Hạ ID ⊥ Ox, IE ⊥ Oy. a) Chứng minh DA = EB. b) Gọi T là tâm đường tròn qua A, I, B. Chứng minh TAI, TBI là các tam giác đều. Xác đònh vò trí của T một cách nhanh nhất. HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 6 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 c) Tìm q tích điểm T khi đường tròn tâm I có độ lớn bán kính thay đổi (nhưng vẫn cắt Ox, Oy). d) Tìm q tích điểm H, trực tâm của AIB (theo điều kiện câu c). Bài 8: Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm K rồi dựng hình chữ nhật AHKO. Lấy O làm tâm, vẽ đường tròn bán kính OK, đường tròn này cắt cạnh AB tại D, cắt cạnh AC tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) với đường thẳng AB. Chứng minh: a) AEF là tam giác cân. b) DO ⊥ OE. c) D, A, O, E nằm trên cùng một đường tròn. Bài 9: Cho hai điểm A, B ở ngoài đường tròn tâm O. Hãy dựng một đường kính CD sao cho CA = DB. 3. Vò trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Tiếp tuyến của đường tròn Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’). Một tiếp tuyến chung ngoài MM’, một tiếp tuyến chung trong NN’ (M, N nằm trên (O) ; M’, N’ nằm trên (O’)). Các đường thẳng MM’ , NN’ cắt nhau tại tiếp điểm P và các dây MN, M’N’ cắt PO, PO’ tương ứng tại các điểm Q, Q’. a) Chứng minh rằng các tam giác MPO, M’O’P đồng dạng, suy ra M 'O ' MP M ' P MO = . b) Chứng minh rằng O 'Q ' PQ Q ' P QO = . c) Kéo dài MQ, M’Q’ cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng ba điểm O, I, O’ thẳng hàng. Bài 2: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O ; R). Kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC đi qua O. a) Chứng minh rằng các tam giác MAB, MCA đồng dạng. Suy ra: MA 2 = MB.MC. bính R, biết MA = 20 cm ; MB = 8 cm. Bài 3: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O ; R). Các tiếp tuyến MA, MB có độ dài bằng a và tạo với nhau một góc α . a) Tính bán kính R theo a và α . b) Dựa vào câu a, hãy nêu tên phương pháp tính bán kính đáy của một chiếc cột hình trụ, của một cái chum đang đựng đầy nước. Bài 4: Cho góc xAy và một điểm M nằm trong góc ấy. Tìm trên Ax một điểm I sao cho khoảng cách từ I đến Ay bằng IM. Bài 5: Cho tam giác cân OAB trong đó OA = OB và · AOB α = , một đường tròn (O ; R) với R < OA. Hạ đường cao OH của tam giác OAB và kẻ từ A, B các tiếp tuyến AM, BN với đường tròn (O ; R) sao cho chúng không đối xứng với nhau qua OH. HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 7 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 Gọi giao điểm của các đường thẳng AM với BN là I. Chứng minh rằng độ lớn góc AIB không phụ thuộc vào R. Bài 6: Cho tam giác cân có cạnh đáy bằng 10 cm, các cạnh bên bằng 13 cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Bài 7: Tìm cạnh đáy của một tam giác cân, nếu tâm đường tròn nội tiếp chia đường cao thành hai đoạn từ tâm dến chân đường cao và từ tâm đến đỉnh theo tỉ số 3 12 . Bài 8: Tìm đường kính của đường tròn nội tiếp một tam giác vuông nếu cạnh huyền bằng c và tổng các cạnh góc vuông bằng m. Bài 9: Cho góc · 0 xOy 60= . Một đường tròn tâm I bán kính R = 5 cm, tiếp xúc với Ox tại A, tiếp xúc với Oy tại B. Từ M thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến thứ ba, nó cắt Ox tại E, cắt Oy tại F. a) Tính chu vi OEF. Chứng tỏ rằng chu vi đó có giá trò không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB. b) Chứng minh · EIF có số đo không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB. Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và một dây AC tạo với AB góc 30 0 . Tiếp tuyến của đường tròn tại C cắt đường thẳng AB tại D. Chứng minh rằng: a) OAC ~ CAD. b) DB.DA = DC 2 = 3R 2 . Bài 11: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại E, đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh rằng: a) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H. b) EF là tiếp tuyến của (I) tại E, tiếp tuyến của (J) tại F. Bài 12: Cho ABC cân tại A. Đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh: a) Đường tròn đường kính AI đi qua K. b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI. Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm D trên bán kính OB. Gọi H là trung điểm của AD. Đường vuông góc tại H với AB cắt nửa đường tròn tại C. Đường tròn tâm I đường kính DB cắt CB tại E. a) Tứ giác ACED là hình gì ? b) Chứng minh HCE cân tại H. c) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I. Bài 14: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Lấy M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn, vẽ đường tiếp tuyến, nó cắt Ax tại C, cắt By tại D. Gọi A’ là giao điểm của BM với Ax, B’ là giao điểm của BM với By. Chứng minh rằng: a) A’AB ~ ABB’ , suy ra AA’.BB’ = AB 2 . b) CA = CA’ ; DB = DB’. c) Ba đường thẳng B’A’, DC, AB đồng qui. HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 8 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 Bài 15: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến Ax tại điểm A của đường tròn. Trên Ax chọn hai điểm B, C tùy ý (C nằm giữa A và B) vẽ hai tiếp tuyến BD, CE với đường tròn đã cho. a) Chứng minh: · · BOC DAE= . b) Giả sử B, C ở về hai phía đối với điểm A, chứng minh rằng trong trường hợp này · · BOC DAE+ =180 0 . 4. Vò trí tương đối của hai đường tròn Bài 1: Cho hai đường tròn (O ; 4 cm) và (O’ ; 3 cm) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B. biết OO’ = 5 cm. Từ B vẽ 2 đường kính BOC và BO’D. a) Chứng minh 3 điểm C, A, D thẳng hàng; b) Chứng minh tam giác OBO’ là tam giác vuông; c) Tính diện tích các tam giác OBO’ và CBD; d) Tính độ dài các đoạn AB, CA, AD. Bài 2: Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại điểm A. Đường thẳng OO’ cắt hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt ở B và C (khác điểm A). DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, D ∈ (O) ; E ∈ (O’). Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng BD và CE. Chứng minh rằng: a) · 0 90DME = ; b) MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’); c) MD.MB = ME.MC. Bài 3: Cho đường tròn (O ; R), một điểm A nằm trên đường tròn và một điểm B không nằm trên đường tròn ấy. a) Hãy nêu cách dựng qua B một đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn đã cho tại A. b) Không cần dựng, hãy căn cứ vào các dữ kiện sau đây để xác đònh xem trường hợp nào dựng được, trường hợp nào không dựng được đường tròn (O’) đi qua B tiếp xúc trong với (O) (hoặc tiếp xúc ngoài (O)) tại A. • R = 2 cm ; AB = 4 cm ; BO = 4,5 cm. • R = 5 cm ; AB = 12 cm ; BO = 13 cm. • R = 3 cm ; AB = 4 cm ; BO = 3,5 cm. Bài 4: Cho một đường tròn (O ; R), một đường tròn (O 1 ; r 1 ) tiếp xúc trong với (O ; R) và một đường tròn (O 2 ; r 2 ) vừa tiếp xúc trong với (O ; R) vừa tiếp xúc ngoài với (O 1 ; r 1 ). a) Tính chu vi tam giác OO 1 O 2 theo R. b) Dựng hai đường tròn (O 1 ; r 1 ) và (O 2 ; r 2 ) biết R = 3 cm ; r 1 = 1 cm. Bài 5: Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d và điểm A nằm trên d. Dựng đường tròn tiếp xúc với (O ; R) đồng thời tiếp xúc với d tại A. HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 9 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 Bài 6: Cho hình vuông ABCD, đường tròn tâm A, bán kính AB cắt đường tròn đường kính CD tại điểm M (M ≠ D). Chứng minh rằng đường thẳng DM đi qua trung điểm I của BC. Bài 7: Cho đường tròn (O ; R) tiếp xúc trong đường tròn (O’ ; R’) , R’ > R, tại điểm A. Đường thẳng OO’ cắt hai đường tròn ấy lần lượt tại điểm thứ hai B, B’. Chứng minh rằng tiếp tuyến chung ngoài của các đường tròn đường kính OO’, BB’ đi qua A. Bài 8: Cho hai đường tròn có bán kính bằng nhau cắt nhau tại A và B. Trong cùng nửa mặt phẳng bờ OO’, vẽ hai bán kính OC và O’D song song với nhau. Gọi D’ là điểm đối xứng của D qua O’. a) Chứng minh AB, OO’, CD’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. b) Chứng minh A là trực tâm của tam giác BCD. Bài 9: Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Lấy A làm tâm vẽ đường tròn bán kính AD, nó cắt AB tại E. Lấy B làm tâm vẽ đường tròn bán kính BE, nó cắt tiếp đường thẳng DE tại F. a) Chứng minh hai đường tròn (A ; AD) và (B ; BE) tiếp xúc nhau. b) Chứng minh F, B, C thẳng hàng. Bài 10: Cho đường tròn tâm O và điểm A cố đònh thuộc đường tròn (O). Cho đường thẳng d ở ngoài đường tròn. Hãy dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d đồng thời tiếp xúc với (O) tại A. Bài 11: Cho hai đường tròn (O) và (O’) bán kính lần lượt là 3R và R tiếp xúc ngoài nhau tại A. Đường thẳng d 1 qua A cắt (O) tại B, cắt (O’) tại B’. Đường thẳng d 2 vuông góc với d 1 tại A cắt (O) tại C, cắt (O’) tại C’. a) Chứng minh BC’, CB’ và OO’ đồng qui tại một điểm M cố đònh. b) Chứng minh các tiếp tuyến chung ngoài PP’ và TT’ cắt nhau tại M. c) Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC’. Tìm q tích điểm I khi d 1 và d 2 thay đổi vò trí (vẫn qua A và vuông góc với nhau). Bài 12: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A. Góc vuông xAy quay xung quanh điểm A, Ax cắt (O) tại B, Ay cắt (O’) tại C. a) Chứng minh OB // O’C. b) Gọi C’ là điểm đối xứng của C qua O’. Chứng minh B, A, C’ thẳng hàng. c) Qua O vẽ d ⊥ AB, nó cắt BC tại M. Tìm q tích điểm M khi các dây AB, AC thay đổi vò trí nhưng vẫn vuông góc với nhau. Bài 13: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp ABC có bán kính lần lượt là R và r. Tính diện tích ABC biết rằng µ µ $ µ A C B A− = − . Bài 14: Cho tam nhọn ABC, phân giác CD. Lấy D làm tâm vẽ nửa đường tròn bán kính R tiếp xúc với AC tại E, tiếp xúc với CB tại F. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với nửa đường tròn (D) tại K, và tiếp xúc với hai cạnh AC và BC của ABC. a) Chứng minh C, O, D thẳng hàng. b) Tính bán kính đường tròn tâm O biết AC = b, BC = a, · ACB α = . HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 10 [...]... trong đường tròn Bài 7: Cho hai đường tròn đồng tâm và một điểm M cố đònh trên đường tròn nhỏ Qua M kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau, một đường cắt đường tròn nhỏ ở A HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 13 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 khác M, đường kia cắt đường tròn lớn ở B và C Khi hai đường thẳng này quay quanh điểm M mà vẫn vuông góc với nhau C/m: a) Tổng MA2 + MB2 + MC2 không đổi b) Trọng... HỌC CHUN KONTUM Page 16 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 Bài 8: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) và I là giao điểm của hai đường chéo Chứng minh rằng đường vuông góc hạ từ I xuống đường thẳng AB là trục đối xứng của đường tròn đi qua I, C, D Bài 9: Cho hai điểm A, B cố đònh Tìm tập hợp các điểm C sao cho ABC có các góc nhọn, trong đó A là góc nhỏ nhất và C là góc lớn nhất · Bài 10: Trong đường tròn (O),... · b) PNO = 90 0 HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 21 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 c) ANB ~ CPD Khi P chạy trên đoạn thẳng AB thì N chạy trên đường nào ? d) NP luôn đi qua một điểm cố đònh §6 Độ dài đường tròn – Diện tích đường tròn Bài 1: Người ta chia một đường tròn thành 6 phần bằng nhau Lấy các điểm chia ấy làm tâm vẽ các cung tròn bán kính R Tính chu vi của đường riềm 6 cánh Bài 2: Từ các... nhỏ AC Bài 4: Xét đoạn thẳng AB Trên một nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các tia Ax và By song song với nhau Một đường tròn tâm M tiếp xúc với AB, Ax, By theo thứ tự tại C, D, E a) Nêu cách dựng đường tròn (M) HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 17 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 b) Chứng minh rằng AD + BE không phụ thuộc vào vò trí Ax, By Chứng minh D, M, E thẳng hàng c) Chứng minh AM ⊥ BM d) Tìm tập hợp... đường tròn Chứng minh rằng ABC cân Bài 8: Cho ABC có ba góc đều nhọn và một điểm M nằm giữa B, C Qua M dựng đường tròn (O) tiếp xúc với AB tại B và đường tròn (O’) tiếp xúc với AC tại C; gọi giao điểm thứ hai của chúng là N Chứng minh rằng: a) tứ giác ABNC nội tiếp được HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 19 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 b) đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố đònh khi điểm... Chứng minh BK, CH, AN đồng qui (N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn) b) Chứng minh D và E là hình chiếu vuông góc của B và C trên xy HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 12 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 c) Chứng minh NDE cân Bài 2: Từ điểm B bất kì trên đường tròn (O) kẻ đường vuông góc BH với tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A cho trước Gọi I là giao điểm thứ hai của BH với đường tròn (O),... là tam giác cân · · · · b) Ta c/m được: DOI = 2DFO , EOI = 2EFO · · Suy ra DOE = 2DFE = 90 0 hay DO ⊥ OE c) Lấy I là trung điểm của DE, ta có ID = IA = IE = IO Vậy D, A, O, E nằm trên một đường tròn tâm I bán kính DE/2 Bài 9: HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM B A C D' D O Page 23 B' BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 Ta có C và D đối xứng qua O Lấy B’ đối xứng của A qua O thì B’ cố đònh CA có hình đối xứng... DA ⊥ CB Vậy A là trực tâm của BCD Bài 9: a) B, A, E thẳng hàng, suy ra hai đường tròn (A ; DA), (B ; BE) HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 26 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 tiếp xúc nhau tại E · · · · b) Ta c/m được ADF = AED = FEB = DFB · · ADF = DFB ⇒ BF // AD (*) Vì ABCD là hình bình hành BC // AD (**) Từ (*) và (**) ta suy ra C, B, F thẳng hàng F E A B D C Bài 10: Tâm đường tròn tiếp xúc với... Chứng minh MONB là hình thang cân Suy ra MN = BC HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM 2 2 Page 20 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 Bài 17: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) Từ D kẻ dây DE // AC Gọi K là giao điểm của BE và AC (giả sử K và C ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ BD) Chứng minh: a) ABK ~ DBC b) BC.AD + AB.CD = AC.BD Bài 18: Trên đường kính AB của đường tròn (O) lấy hai điểm T, S đối... , DA = 3R DA DC Bài 11: A P F E B I H J C a) Gọi I là trung điểm của BH thì I là tâm đường tròn đường kính BH Gọi J là trung điểm của HC thì J là tâm đường tròn HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 24 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 đường kính BH Ta có IH ⊥ AH suy ra AH là tiếp tuyến của đường tròn đường kính HC Vậy AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I), (J) b) Chứng minh không khó khăn AFHE . 2 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 Bài 19: Cho tam vuông ABC ( µ A = 90 0 ), cạnh AB = 3 cm. Kẻ trung tuyến AM. Biết · sin AMB 0,8= Tính tgB và S (ABC) . Bài 20: Cho hình bình hành ABCD ( · 0 ACD 90 < ). a). BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 Bài tập Nâng cao Chương 1 Bài 1: a) Tìm x và y trong mỗi hình bên (a) (b) b) Tìm x, y, z trong hình c (c) Bài 2: a) Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ. và số đo các góc của MPN. Bài tập Nâng cao Chương 2 HỒ NGỌC HIỆP – TRUNG HỌC CHUN KONTUM Page 4 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 9 1. Đònh nghóa và sự xác đònh đường tròn Bài1 : Cho đường tròn (O; R)