BÀI TOÁN VỀ TẦN SỐ BIẾN THIÊN URL MAX VÀ ULC MAX

Mạch điện xoay chiều AB gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, điện trở thuần R và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp.. Biết rằng điện áp hiệu dụng hai đầu AB không đổi và mạch có tần số g

KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG NĂM 2015

Bản demo

Thạc sĩ Vật lý lý thuyết và Vật lý tốn

NGUYỄN ĐÌNH YÊN Xin chân thành cảm ơn ý tưởng của thầy

HỨA LÂM PHONG

Bài toán  thay đổi để URL max

2 2

L

2 2 2

1 2L

Z R Z 2Z Z Z Z 2Z Z

1

C

C

R L









 

Xét hàm 22 2 2 2 22

1 1 2L 2L 1

x C C

y

R L x L x R x

  

  với

2

x   Để URL max thì ymin y '0

Ta có

2

1 2L 1 2L

0 0

x 2 x C

x x

L x R x L x R x





 

với

2

L 2L

' R 0

C C

   

2

2 2

L L 2L

C C C

   

2

3

2

3

L L L 2L

.R

C C

2L C

L L L 2L

.R

C C

2L C



 









 



 







Ta có bảng biến thiên

x  x10 0 x2 0  y'  0 

y

 0

ymin

RL

U

URL max

0 U

Biến đổi nghiệm

2

2

3

L L L 2L

.R

C C

2L C

 

2

2 2

2

2

L L 2L

.R

C C C 2L

 

* Nhân cả hai vế với L ta được 2

2

2 2

2 L

L L 2L

R

C C C Z

2

 

2

2 L

2C 2C 2C

 

    

 

* Nhân cả hai vế với C rồi nghịch đảo ta được 2

2 2 2

2 2

L 2

C Z

L L 2L

R

C C C



 

hay C

2

2

L C Z

R 2C 2C 2C



 

   

 

Đặt

2

2

2C 2C 2C

 

    

  ta được

L

C

Z Y L C Z Y









 



và

2 L C

C 2 L

Z Y L Z C L

Z C

Z Y























và RL Y

L

 

Bài toán  thay đổi để URC max

2 2

2 2

2 2 C

2

2 2

2L

Z R Z 2Z Z Z Z 2Z Z

L 1

C

1 R C



 







Xét hàm

2L 2L

L x L x x

y

R R x

x

với x  2 Để URC max thì ymin y '0

Ta có

2 2

2

2

2L

x 2 x

0





 

với

2

L 2L

' R 0

C C

   

2

2 2

L L 2L

C C C

   

2

2 2

2

2 2

L L L 2L

.R

C C

L R

L L L 2L

.R

C C

L R



  





 



  





Ta có bảng biến thiên

x  x10 0 x2 0 

y'  0 

y

0 

ymin

RC

U

URC max

U 0

Biến đổi nghiệm

2

2

2 2

L L L 2L

.R

C C

L R

  

2 2 2

2

2

L 2

C

L L 2L

C C C

 

 

* Nhân cả hai vế với L ta được 2

2 2 2

L

2

2 2

L 2

C Z

L L 2L

R

C C C



 

hay L

2

2

L C Z

R 2C 2C 2C



 

   

 

* Nhân cả hai vế với C rồi nghịch đảo ta được 2

2

2 2

2 C

L L 2L

R

C C C Z

2

 

2

2 C

2C 2C 2C

 

    

 

Đặt

2

2

2C 2C 2C

 

    

  ta được

C

L

Z Y L C Z Y









 



và

2 C L

L 2 C

Z Y L Z C L

Z C

Z Y























và RC 1

YC

 

(^-^)Công thức tính nhanh về góc Giả sử RL

RC

n





 (^-^) Ta có

2 RL RC

Y L C





 và

RC 2 RL

L C Y





 và

2

RC RL R

   

+ Khi   RL hay RL L

Z n Z



 

 thì RL

1 tan tan

2n

   , tan tan RC 12

2n

    và tan 1 n 1

n 2



 

+ Khi   RC hay RL C

Z n Z



 

 thì RC

1 tan tan

2n

   , tan tan RL 12

2n

    và tan 1 n 1

n 2



  

Ví dụ áp dụng Mạch điện xoay chiều AB gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, điện trở thuần R và tụ điện có điện

dung C mắc nối tiếp Gọi M là điểm nằm giữa cuộn dây và điện trở, N là điểm nằm giữa điện trở và tụ điện Biết rằng điện áp hiệu dụng hai đầu AB không đổi và mạch có tần số góc  thay đổi được Chỉnh  đến giá trị

1 rad / s

 thì điện áp hai đầu UAN đạt cực đại Từ giá trị 1 đó giảm tần số góc đi 40 rad / s  thì điện áp hai đầu

MB

U đạt cực đại và khi đó hệ số công suất của mạch bằng 3

10 Biết rằng 1 nhỏ hơn 100 rad/s Giá trị của 1 gần với giá trị nào nhất sau đây

A 48 rad/s B 76 rad/s C 89 rad/s D 54 rad/s

Lời giải:

Theo đề RL 1

n

40

 

  

*cos 3

10

  nên

1 1

n 3 60 rad / s

1 1 n 1

3 n 2 n 120 rad / s

2

   



 

   

    



Chọn đáp án D

(^-^)Công thức tính nhanh về góc Giả sử

2 RL

RC

Y n L C



 

 .(^-^)

+ Khi   RL hay RL L

Z n Z



 

 thì RL

1 tan tan

2n

   , tan tan RC 12

2n

    và tan 1 n 1

n 2



 

+ Khi   RC hay RL C

Z n Z



 

 thì RC

1 tan tan

2n

   , tan tan RL 12

2n

    và tan 1 n 1

n 2



  

+ Khi   RL RL L

RC C

Z n

Z



  

 thì ZL Y

2

L

2C 2C 2C

 

     

 

2.Z Z Z Z Z 2Z Z R

2Z Z Z Z Z 2Z Z R

2Z 2Z Z Z R

  

L

Z Z Z Z

R R 2Z



RL

L

Z 1 tan tan

2Z 2n

   

+ Khi   RC RL C

RC L

Z n

Z



  

 thì ZC Y

2

C

2C 2C 2C

 

     

 

2.Z Z Z Z Z 2Z Z R

2Z Z Z Z Z 2Z Z R

2Z 2Z Z Z R

  

C

Z Z Z Z

R R 2Z



Ta có bảng chuẩn hóa

RC

RL n RC

+ Khi    RL tan tan RL 1

2n

   n 1 n 1

R R 2n



  Rn 2n2 tan n 1

n 2n 2



  



Vậy tan 1 n 1

n 2



  tan tan RC 1 n 1 1

n 2 n 2n 2

 

   

 nên RC 2

1 tan tan

2n

   

+ Khi   RC tan 1 n

n 2n 2



  



Vậy tan 1 n 1

n 2



   tan tan RL 1 n 1 1

n 2 n 2n 2



    

 nên RL 2

1 tan tan

2n

   

(^-^)Tìm biểu thức URL max và URC max theo RL

RC

n



2 2 L

1

U U

Z 2Z Z 1

R Z









Theo bản chuẩn hóa ta có L

C

R n 2n 2

Z n

Z 1

  







 



Ta có được

2

1 2n.1 2n 1 1 n 1

n 2n 2 n n 2n 1 n

Vậy RL max RC max

2

n

U U U

n 1

 



Để hiểu hơn về Phương Pháp Chuẩn Hóa Số Liệu của tác giả, vui lòng đọc tài liệu "Bản demo Phương Pháp

Chuẩn Hóa Số Liệu"

* Tìm biểu thức liên hệ

+ Khi   RL hay RL L L

Z U n

Z U



  

 ta có

2

RL max 2

n

U U

n 1





2

RL max

U 1

1

U n

  

Vậy ta có công thức

2 2

C

RL max L

U U

1

U U  và

2 2 RC

RL max RL

U

1 U



 



+ Khi   RC hay RL C C

Z U n

Z U



  

 ta có

2

RC max 2

n

U U

n 1





2

RC max

U 1

1

U n

  

Vậy ta có công thức

2 2

L

RC max C

U U

1

U  U  và

2 2 RC

RC max RL

U

1 U



 



Trong đó

2

2 2

RL RC

R 2C 2C 2C Y

n

 

   

  

2

1 1 1 R

L

2 4 2

C

  

Ví dụ áp dụng Mạch điện xoay chiều AB gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, điện trở thuần R và tụ điện có điện

dung C mắc nối tiếp Gọi M là điểm nằm giữa cuộn dây và điện trở, N là điểm nằm giữa điện trở và tụ điện Biết rằng điện áp hiệu dụng hai đầu AB là 100 3 V và mạch có tần số góc  thay đổi được Thay đổi   0 thì hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu AN đạt cực đại và khi đó hiệu điện thế hai đầu MB lệch pha với cường độ dòng điện một góc  với tan 1

2 2

  Giá trị hiệu dụng của hiệu điện thế hai đầu AN gần giá trị nào nhất?

A 105 V B 185 V C 210 V D 300V

Lời giải:

* Ta có tan tan RC 12

2n

    với tan 1 n 1

n 2



  , tan tan RC 1 1 2

2n n 1

2 2

    

 vơi

RL RC

n

 n 2

* AN RL max

U U U 100 3

n 1 2 1

U 200 V

  Chọn đáp án C

Tổng hợp công thức

Bài toán  thay đổi để URL max, URC max

2

2

2C 2C 2C

 

    

 

* Khi URL max thì

L

C

Z Y L C Z Y









 



và RL Y

L

  * Khi URC max

C

L

Z Y L C Z Y









 



và RC 1

YC

 

*

2

RL

RC

Y

L

C





RC 2 RL

L C Y





 *

2

RC RL R

   

Giả sử RL

RC

n

 

2

1 1 1 R

L

2 4 2

C

  

+ Khi   RL hay RL L

Z n Z



 

 thì RL

1 tan tan

2n

   , tan tan RC 12

2n

    và tan 1 n 1

n 2



 

+ Khi   RC hay RL C

Z n Z



 

 thì RC

1 tan tan

2n

   , tan tan RL 12

2n

    và tan 1 n 1

n 2



  

RL max RC max

2

n

U U U

n 1

 



+ Khi    : RL

2 2

C

RL max L

U U

1

U  U  và

2 2 RC

RL max RL

U

1 U



 

 + Khi   RC:

2 2

L

RC max C

U U

1

U U  và

2 2

RC

RC max RL

U

1 U



 



Khi làm những dạng toán liên quan đến góc khi  thay đổi để URL max, URC max

Nếu không nhớ được các công thức về tan thì có thể sử dụng các đại lượng sau khi đã chuẩn hóa

+ Khi   RL thì ZL n, ZC 1, Rn 2n2

+ Khi   RC thì ZC n, ZL  , R1 n 2n2

Trong đó RL

RC

n

 

2

1 1 1 R

L

2 4 2

C

  

Vận dụng 1 Mạch điện xoay chiều AB gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, điện trở thuần R và tụ điện có điện

dung C mắc nối tiếp với 3L2CR2 Gọi M là điểm nằm giữa cuộn dây và điện trở, N là điểm nằm giữa điện trở và

tụ điện Biết rằng điện áp hiệu dụng hai đầu AB không đổi và mạch có tần số góc  thay đổi được Thay đổi

0

   thì hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu AN đạt cực đại Hệ số công suất của mạch có giá trị gần giá trị nào nhất sau đây?

A 0,75 B 0,82 C 0,89 D 0,96

Lời giải:

* Ta có 3L2CR2

2

R 3

L 2 C

  nên

2

1 1 1 R

L

2 4 2

C

   n 1 1 1 3 3

2 4 2 2 2

    

Cách 1 UAN max URL max Chuẩn hóa ZL n 3

2

  , ZC 1, R n 2n 2 3

2

  

Nên

2

3

cos

10

R Z Z 3 3

1

2 2

     

 

   

   

Chọn đáp án D

Cách 2 Áp dụng công thức khi URL maxthì tan 1 n 1 1

n 2 3



   cos cos arctan1 3

3 10

 

    

 

Vận dụng 2 Mạch điện xoay chiều AB gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, điện trở thuần R và tụ điện có điện

dung C mắc nối tiếp Gọi M là điểm nằm giữa cuộn dây và điện trở, N là điểm nằm giữa điện trở và tụ điện Biết rằng điện áp hiệu dụng hai đầu AB là không đổi và mạch có tần số góc  thay đổi được Thay đổi    thì hiệu 0 điện thế hiệu dụng hai đầu AN đạt cực đại và khi đó hiệu điện thế hai đầu MB lệch pha với cường độ dòng điện một góc  với tan 1

2 2

  Hệ số công suất của mạch có giá trị gần giá trị nào nhất sau đây?

A 0,75 B 0,82 C 0,89 D 0,96

Chuẩn hóa ZL  , n ZC  , R1 n 2n2 Ta có C

RC

tan tan

R n 2n 2 2 2

     

 n2

Nên ZL 2, ZC 1, R2 2

cos

3

R Z Z 2 2 2 1

Chọn đáp án D

Vận dụng 3 Mạch điện xoay chiều AB gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, điện trở thuần R và tụ điện có điện

dung C mắc nối tiếp Gọi M là điểm nằm giữa cuộn dây và điện trở, N là điểm nằm giữa điện trở và tụ điện Biết rằng điện áp hiệu dụng hai đầu AB không đổi và mạch có tần số góc  thay đổi được Chỉnh  đến giá trị

1 rad / s

 thì điện áp hai đầu UAN đạt cực đại Từ giá trị  đó giảm tần số góc đi 1 40 rad / s thì điện áp hai đầu  

MB

U đạt cực đại và khi đó hệ số công suất của mạch bằng 3

10 Biết rằng  nhỏ hơn 100 rad/s Giá trị của 1  1 gần với giá trị nào nhất sau đây

A 48 rad/s B 76 rad/s C 89 rad/s D 54 rad/s

Lời giải:

* Theo đề RL 1

n

40

 

  

* UMB max URC max Chuẩn hóa ZC n, ZL 1, Rn 2n2

*

2

cos tan tan arccos

9

        



1 2

3

n 120 rad / s 2

n 3 60 rad / s



   







   



Chọn đáp án D

Bài toán tần số thay đổi đến  , 1  thì 2 URL hoặc URC có cùng giá trị

Ý tưởng bắt nguồn từ công thức đã thiết lập

2

1 1 1 R

L

2 4 2

C

  



1 1 1 R

L

2 4 2

C

 

  

 

 

Ta lưu ý rằng RL

RC

n

 , kết hợp với

2

RL RC R

    ta được

RL R

R RC

n  

 

1/ Khi thay đổi  đến  , 1  thì 2 URL có cùng giá trị

RL

2 2

2 2 2

1

U U

1 2L C

C

1

R L









 

Từ ý tưởng trên ta đặt

2

R 2

R

      

   thay vào hàm

2 2

2 2 2

1 2L C

C y

R L







 

R

R

1 2L

C t

2 y

1

R L t

2



 

 

 

 

 

 

   

 

, kết hợp với 2R 1

LC

  ta được 2

2

2L C y

R L

L 2 4C L







Để URL max thì ymin

2

max

R L

L 2 4C t

C t



 

Hàm này có dạng a.t b

t

 nên ta có mối liên hệ sau:

Gọi

2

RL

R

1 t

2



 

 ứng với khi URL max và

2 1

R

1 t

2



 

 ,

2 2

R

1 t

2



 

 ứng với khi URL có cùng giá trị thì

2

0 1 2

t t t 

L

C

       

       

       

     

(^-^)Ban đầu ta có thể dùng cách đặt ẩn t này để khảo sát hàm thì sẽ dễ dàng hơn cách đạo hàm kia(^-^)

2/ Khi thay đổi  đến  , 1  thì 2 URC có cùng giá trị

RC

2 2

2

2 2

1

U U

2L L

C 1

1 R

C



 







Từ ý tưởng trên ta đặt

2

2

1 t

1 2

t 2

    



 

 

thay vào hàm

2 2

2

2 2

2L L

C y

1 R C

 







2

2

2

2L L

1 C

t

2

y

1

R

C

1 t

2





 



 

 







 



 

 

, kết hợp với 2R 1

LC

  ta được 2

2

2L C y

R L

L 2 4C L







Để URC max thì ymin

2

max

R L

L 2 4C t

C t



 

Hàm này có dạng a.t b

t

 nên ta có mối liên hệ sau:

Gọi

2

R

RC

1 t

2



 

 ứng với khi URC max và

2 R

1

1 t

2



 

 ,

2 R

2

1 t

2



 

 ứng với khi URC có cùng giá trị thì

2

0 1 2

t t t 

L

C

        

       

       

      

 

(^-^)Trình tự suy ra công thức cho dễ nhớ(^-^)

Để cho dễ nhớ công thức ta bắt nguồn từ

2

1 1 1 R

L

2 4 2

C

   

1 1 1 R

L

2 4 2

C

 

  

 

 

Kết hợp với

n   

  

Khi thay đổi  đến  , 1  thì 2 URL có cùng giá trị thì

2

L

C

     

 

          

       

Khi thay đổi  đến  , 1  thì 2 URC có cùng giá trị

2

L

C

      

 

          

       

Vận dụng 1 Mạch điện xoay chiều AB gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, điện trở thuần R và tụ điện có điện

dung C mắc nối tiếp thỏa mãn 11L50CR2 Gọi M là điểm nằm giữa cuộn dây và điện trở, N là điểm nằm giữa điện trở và tụ điện Biết rằng điện áp hiệu dụng hai đầu AB không đổi và mạch có tần số thay đổi được Khi

f 30 11 Hz thì hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu AN đạt cực đại Khi f f Hz1 và f f2 3 f Hz1

14

  thì hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu MB bằng nhau Giá trị của f1 gần giá trị nào nhất sau đây?

A 108 Hz B 176 Hz C 89 Hz D 154 Hz

Lời giải:

* UAN max có nghĩa là URL max với

2

1 1 1 R

L

2 4 2

C

   , kết hợp với 11L50CR2 n 11

10

 

*

2

RL

2

R

f

n

f 

RL R

f 30 11

f 30 10 Hz

n 11 10

   

*

2

n

2 f 2 f 2 f 2

     

 

         

 

       

2

2

2 1

1

30 10 30 10

9

f 14



       

      

1

f

  100 Hz

Chọn đáp án A Vận dụng 2 Mạch điện xoay chiều AB gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, điện trở thuần R và tụ điện có điện

dung C mắc nối tiếp thỏa mãn LnCR2 Gọi M là điểm nằm giữa cuộn dây và điện trở, N là điểm nằm giữa điện trở và tụ điện Biết rằng điện áp hiệu dụng hai đầu AB không đổi và mạch có tần số thay đổi được Khi f 300Hz

11



thì hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu MB đạt cực đại Khi f 90 Hz và f f2 30 14 Hz thì hiệu điện thế hiệu

dụng giữa hai đầu AN bằng nhau Giá trị của n gần giá trị nào nhất sau đây?

A 3,5 B 4 C 4,5 D 5

Lời giải:

* Giả sử RL

RC

f

k

f



k

2 f 2 f 2

   

 

        

     

2

R

f 1 f 1 11f 1

2 f 2 90000 2 300

11

        

 

 

*

2

f 1 f 1 f 1

     

   

      2 2  2  2

R

30 14 90

       

  fR 30 10 Hz