Với 42 hệ phương trình do tác giả Nguyễn Thế Duy biên soạn,phương pháp chuyên nghiệp và dễ hiểu,bạn có thể tự rèn luyện và tự tin lấy điểm câu hệ phương trình trong đề thi đại họcChúc các bạn thành công
Hệ Phương Trình Ôn Thi ĐẠI HỌC 2015 Tác giả : Nguyễn Thế Duy Lời nói đầu : Cũng như tiêu đề của bài viết , thì ở bài viết này gồm 42 hệ phương trình vô tỷ ôn thi ĐẠI HỌC năm 2015 gồm : 1) Phần I. Các bài toán sử dụng phương pháp : nhân tử , liên hợp , ẩn phụ , hàm số. 2) Phần II. Các bài toán sử dụng phương pháp đánh giá. 3) Phần III. Phân tích hướng đi hai bài toán Khối A và Khối B năm 2014. Toàn bộ các bài toán dưới đây là do sưu tầm trên các mạng xã hội và lời giải là do tác giả của bài viết Nguyễn Thế Duy trình bày. Hi vọng và mong muốn các bạn có được nhiều phương pháp giải hệ cũng như những phương án đối mặt khi gặp nó để biến bài toán hệ phương trình trở nên đơn giản hóa và giải quyết nó một cách dễ dàng. Phần I. Các bài toán sử dụng phương pháp : nhân tử , liên hợp , ẩn phụ , hàm số. Bài toán 1. Giải hệ phương trình : 22 2 2 2 21 , 1 12 xy xy x y xy xy x y x x xy Lời giải. Điều kiện : 0 ; 0x y xy Phương trình đầu của hệ phương trình được viết lại thành : 22 22 21 2 1 2 0 2 0 1 1 2 1 1 0 0 x y xy x y xy x y xy xy x y x y x y x y xy x y x y xy x y Với 1xy thế xuống phương trình hai chúng ta có : 2 2 7 1 7 33 3 4 1 0 2 7 1 7 33 xy xx xy Với 22 x y x y thế xuống phương trình hai chúng ta có : 2 2 2 2 22 22 1 1 1 1 2 2 1 0 0 1 x x x x x y x ptvn y xy xy Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm : 2 7 1 7 2 7 1 7 , ; ; ; 3 3 3 3 xy Bài toán 2. Giải hệ phương trình : 3 3 2 2 3 6 3 4 0 , 1 1 6 6 5 12 x y x x y xy x y x y x x y Lời giải. Điều kiện : ;1xy Phương trình một tương đương với : 3 3 2 3 3 3 6 4 3 1 3 1 3 1x x x y y x x y y y x Thế vào phương trình hai ta được : Tuyển tập 42 Hệ phương trình ÔN THI ĐẠI HỌC 2015 Tác giả : Nguyễn Thế Duy www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 2 2 1 2 6 7 7 12 1 2 2 6 7 3 2 8 16 2 4 0 2 2 7 3 x x x x x x x x x x x x xx xx xx Do 2x nên 20 60 x x suy ra : 1 6 2 2 6 6 1 40 22 2 2 7 3 2 2 7 3 2 2 x x x x x x x x x x x x Từ đó suy ra , 2, 3xy là nghiệm duy nhất của hệ phương trình Bài toán 3. Giải hệ phương trình : 22 22 2 1 3 2 , 4 4 6 3 2 0 x xy x x y y x y xy x y xy x y Lời giải. Điều kiện : 22 2 1 0 ; 3 0x xy x x y y Xử lý phương trình hai chúng ta có : 22 21 4 4 6 3 2 0 2 1 2 2 0 22 yx x y xy x y x y x y yx Với 22yx thế xuống phương trình hai thì : 22 22 2 2 2 22 2 2 2 2 3 4 1 4 2 3 3 4 1 4 2 11 4 1 4 2 2 4 1 3 0 2 4 1 3 1 1 4 4 1 3 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x Với 21yx thế xuống phương trình hai thì : 22 4 1 4 3 2 3 1x x x x . Ý tưởng giải tương tự trường hợp trên ta được 2 3 x Do đó hệ phương trình có nghiệm 21 , 1, 0 ; , 33 xy Bài toán 4. Giải hệ phương trình : 2 2 , 14 xy x y xy x y y xy x y xy x x Lời giải. Điều kiện : , 0 ; 2 0x y xy x y xy Chúng ta có : 2 2 0 2 2 1 0 0 2 2 xy x y xy x y y xy x y xy y x y xy x y y xy xy y xy xy xy x y xy y xy xy x y xy y Từ phương trình hai : 2 2 44 1 1 2 2 11 y xy x x x x xx www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Hay nói cách khác : 2 1 2 0 0 2 y xy y xy xy xy x y xy y Do đó từ phương trình một 0xy suy ra thế xuống phương trình hai ta được : 32 1 0 1 17 2 3 4 0 2 xy xy x x x xy Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm kể trên Bài toán 5. Giải hệ phương trình : 22 22 2 1 2 2 6 2 , 15 x xy y y xy x y y Lời giải. Điều kiện : 1 ; 2xy y Cộng chéo theo vế của hệ phương trình ta được : 22 22 2 2 2 2 5 2 1 2 2 6 2 1 5 2 1 2 2 7 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 0 11 1 0 1 1 0 1 2 1 2 x xy y y x y y x xy y y x y xy y xy y y xy xy y xy y xy y xy y xy y xy y xy y Với 1xy y kết hợp với phương trình hai chúng ta có : 22 1 11 1 5 , 2,1 ; 1 2, 1 ; 2 1, 2 2 2 1 ; 2 xy y x y y x y xy y Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm kể trên Bài toán 6. Giải hệ phương trình : 22 2 4 3 4 1 3 1 2 , 1 2 2 1 y xy y x y y x xy y y x y x Lời giải. Điều kiện : 1 ; 2y y x Bình phương phương trình hai ta được : 1 2 1 2 1 1 2 4 y y x y y x Phương trình một được viết lại thành : 2 2 3 1 4 1 3 1 1 2y y x y y y y x Từ hai điều trên suy ra : 2 2 13 2 3 1 2 1 1 2 1 3 1 5 2 41 4 y y y y y y y y y y Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm 41 5 23 , , ; , 2 72 4 24 xy Bài toán 7. Giải hệ phương trình : 3 1 2 2 1 8 , 5 2 9 x y x y x y xy x x y y Lời giải. Điều kiện : ; 2 1x y y www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Đặt 22 2 22 2 22 2 2 1 2 1 3 2 2 21 ,0 9 4 4 a x y x a b x y a b y x y b a yb ab x y a b khi đó hệ phương trình trở thành : 2 2 2 2 2 2 2 2 22 21 1 2 1 2 1 8 1 2 1 2 1 8 2 1 4 ab a a b a b a b b a b a b a b a a b Do đó suy ra : 12 2 1 1 1 x y x yy là nghiệm duy nhất của hệ phương trình Bài toán 8. Giải hệ phương trình : 22 1 1 2 , 8 8 8 y x y x y y x xy x y y x Lời giải. Điều kiện : 0xy và 8x Đặt 22 a x y a b x by khi đó phương trình một của hệ phương trình trở thành : 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 0b a a b a b a b a b Phương trình hai của hệ phương trình được viết lại thành : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 8 8 8 16 8 64 8 2 8 8 0 8 0 8 x y y x x y x y y x x x y y x y x y Với 2 1 8 a xy ta có : 22 11 4, 5 3, 5 8 1 8 x y x y x y x y y y Với 2 1 8 b xy ta có : 2 1 3 1 8 y x y xy Với 2 0 2 0a b x y y phương trình vô nghiệm vì 0x y y Kết hợp với điều ta được nghiệm của hệ phương trình là 97 , 3,1 ; , 22 xy Bài toán 9. Giải hệ phương trình : 2 22 24 , 8 4 1 4 1 x y x y xy xy xy x y x y x y y x Lời giải. Điều kiện : ,1xy Phương trình một được viết lại thành : 22 4 2 4 2 1x y x y xy x y xy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : 2 22 2 2 2 1 4 4 4 1 4 1 4 8 2 2 1 4 4 x y x y x y y x x y x y y x y x Từ điều trên và kết hợp với phương trình hai đa được : 22 8 2 4 8 6 2 16 12 2xy x y x y x y x y xy x y x y Từ 1 và 2 suy ra : 2 4 12 16 0 4 0 4x y x y x y x y x y www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 21 2 1 2 4 xy y x x y xy là nghiệm duy nhất của hệ phương trình Bài toán 10. Giải hệ phương trình : 2 2 1 5 , 2 x y y x y xy y xy y Lời giải. Điều kiện : 0xy Đặt 22 1 21 a x y a b x y by , khi đó phương trình một trở thành : 22 4a b a b Từ cách đặt, ta có : 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 21 21 a x y x y a a b a b x y x y y xy y y yb by Mặt khác , từ phương trình hai : 2 2 2 2 4xy y y nên suy ra 2 2 2 2 3a b a b . Do đó ta có hệ phương trình : 22 2 2 2 2 42 1 1 3 a b a b x ab y a b a b là nghiệm duy nhất của hệ phương trình ban đầu Bài toán 11. Giải hệ phương trình : 2 22 1 , 3 2 2 3 1 0 x y y y x y x xy y xy x y x x x y Lời giải. Điều kiện : 1xy Đặt a x y by khi đó phương trình một trở thành : 2 1 1 1 1 1ab a b ab a b ab a b a b a b ab a b Với 1ab a b ta có : 22 1 1 1 1 1 1 0 1 y xy y x y y xy y x x y y y xy Đặt 2 1 0 1t y y t thế xuống phương trình hai chúng ta có : 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 0 1 3 1 2 0 1 1 1 xy x t x x x t t x t x xy TH1. Với 1y thế vào phương trình ta có : 1x hoặc 2x TH2. Với 1xy thế vào phương trình ta có : 32 1 1 1 2 1 1 2 1 0 1 0 1y y y y y y y 32 1 1 1 1 1 1 2 1 1 0y y y y y vô nghiệm vì 0VT Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm , 1,1 ; 2,1xy www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Bài toán 12. Giải hệ phương trình : 3 3 2 2 2 2 1 2 1 , 22 y y x y y xy y y y y y x y y x Lời giải. Điều kiện : xy . Khi đó phương trình hai có dạng : 2 1 20 2 y y x y y y x y y y x y y y x y Xử lý phương trình một chúng ta được : 2 2 1 1 1 2 1 0 12 y y y y y x y y y x y Với 1y thế xuống phương trình hai suy ra 0x Với 2 12y y x y ta có : 1. Hệ phương trình : 2 2 2 12 12 2 1 0 2 2 2 y y x y y y x y y y y y y x y 2. Hệ phương trình : 2 2 32 12 12 3 4 0 2 2 4 y y x y y y x y y y y y y x y Kết hợp với điều kiện, nghiệm của hệ phương trình ban đầu thỏa mãn điều trên Bài toán 13. Giải hệ phương trình : 22 1 1 9 , 2 4 17 x x y x y x xy x x x xy xy y Lời giải. Điều kiện : xy và 0x Đặt a x y bx khi đó phương trình một trở thành : 22 1 1 9a b b a Mặt khác phương trình hai được biểu diễn dưới dạng : 2 2 2 2 2 2 2 21 2 21x xy x y ab a b Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương 22 9 2 21 2 ab a b a b ab a b ab Đặt t a b u ab , do đó ta có : 2 2 2 2 9 19 2 3 2 21 2 2 21 2 ut t tu u t u t u u t u Vậy nên ,x y x là nghiệm của phương trình : 2 1 1 4 3 2 0 2 3 3 X x x X X or X y y Dựa vào điều kiện kết luận hệ phương trình ban đầu có nghiệm , 1, 3 ; 4, 3xy Bài toán 14. Giải hệ phương trình : 3 3 2 2 3 2 3 3 3 3 3 , 21 3 36 1 27 x y x y xy x y xy x x y x y x Lời giải. Điều kiện : ,xy Chúng ta có : www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 0 3 1 0 3 9 27 x y x y xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y Thế vào phương trình hai ta được : 33 3 2 6 3 2 3 2 6 3 2 2 22 2 2 2 33 6 3 2 6 3 2 2 2 2 2 2 33 6 3 2 6 3 2 2 2 2 3 4 1 2 3 3 1 2 1 3 1 1 3 1 22 1 3 1 0 2 2 0 x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x ptvn Do đó hệ phương trình có nghiệm là : 1 1 1 1 1 , 1, ; , ; , 3 3 3 3 3 3 3 xy Bài toán 15. Giải hệ phương trình : 4 2 2 3 2 2 16 2 , 2 1 2 11 x x y y x xy x y x x y Lời giải. Điều kiện : 0 ; 11 0x x y Phương trình một đã cho trở thành : 6 4 2 3 2 3 6 3 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 16 2 2 8 2 0 2 2 2 4 2 0 2 x x y y x y x y x y x y x y x x y y x y x y x y Với 2 2xy thế xuống phương trình hai chúng ta có : 22 22 2 2 1 2 22 0 2 3 1 2 22 5 13 1 1 3 0 1 2 22 5 x x x x x x x x x x x xx x xx x xx Mặt khác : 2 22 3 1 2 22 4 1 3 3 0 0 11 2 22 5 2 22 5 x x x x x x xx x x x x Do đó 1 1 2 xy là nghiệm duy nhất của hệ phương trình Bài toán 16. Giải hệ phương trình : 2 22 1 2 0 , 2 3 2 0 y x y x x xy xy x y xy x Lời giải. Điều kiện : 2xy Xét phương trình một , ta có : 22 1 2 0 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 y x y x x xy y x y y x x y y x x y x x y x x y Mặt khác , từ phương trình hai : 2 3 2 0 0x x y x hay 1 2 0x x y suy ra 22 1 1 2 2 22 xy y x x y x y x y x y xy x y www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Kết hợp với phương trình hai ta được : 22 22 22 2 2 3 2 0 0 ;2 x y xy x y x x y xy x y x y x y Vậy , 2, 0xy là nghiệm duy nhất của hệ phương trình ban đầu Bài toán 17. Giải hệ phương trình : 2 2 2 2 2 1 1 1 2 , 4 1 6 5 1 1 1 1 y x y xy x y x x x y Lời giải. Điều kiện : 2 1 ; 1xy Đặt 22 2 2 1 10 1 10 xa ax yb by hệ phương trình đã cho trở thành : 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 22 2 23 23 3 2 2 3 23 2 22 4 6 5 4 3 3 5 4 5 6 5 1 3 23 30 1 2 7 5 3 0 2 a b b ab b ab b a ab a b a ab ab b a b a b a a ab ab ab b a a b a b b ab b a ab a b b ab b Với 3 1 a b khi đó ta có : 22 1 3 10 , 10,2 ; 10, 2 2 11 xx xy y y Bài toán 18. Giải hệ phương trình : 3 2 3 3 2 2 2 1 , 8 8 2 3 8 2 3 1 x x y x y y y xy x y x y y x x Lời giải. Điều kiện : 0 ; 0x y y Từ phương trình một chúng ta có : 2 2 2 2 2 2 2 0 20 1 20 2 2 x x y x y y y x xy y x y y xy xy x y x y xy x y y x y y Mặt khác với điều kiện : 0 ; 0x y y thì 1 0 2 x y y x y y nên vô nghiệm Với 0xy thì phương trình hai trở thành : 2 2 2 2 2 2 2 8 8 3 8 2 3 1 4 2 3 1 2 1 1 3 13 2 2 3 1 1 4 1 2 2 3 1 4 1 71 4 x x x x x x x x x x xx x x x x Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm : 3 13 3 13 7 1 7 1 , ; ; ; 4 4 4 4 xy www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Bài toán 19. Giải hệ phương trình : 2 2 11 , 2 1 1 0 x y x x x y xy x x y y x Lời giải. Điều kiện : 1 ; 1 0x x y x Đặt 2 1 0 1t x x t khi đó phương trình một trở thành : 2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 1 1 1 11 00 1 1 1 1 t t y t t y t t y t t y t t y t yt y t y t y t y t t t y t t t y t Từ phương trình hai chúng ta có : 2 22 1 1 1 0 0 0;1 0x y y x y y y y t Do đó suy ra được : 2 1 1 1 0y t t t y t hay nói cách khác từ phương trình một ta có : 1y t y x thế xuống phương trình hai thì : 2 3 2 10 10 5 5 5 1 , 1, 0 ; , 22 2 1 0 10 yx yx xy yy y y y y Do vậy hệ phương trình có nghiệm kể trên Bài toán 20. Giải hệ phương trình : 3 4 3 2 2 , 5 2 4 0 y y x x x xy x y x y y Lời giải. Điều kiện : ;2x y x Đặt 2 2 0 a x y a b y b x y khi đó phương trình hai trở thành : 22 5 4 0 1 5 4 1 1 4 4 4 a b a b a b b b a b b b a b x y x y Mặt khác , xét phương trình một chúng ta có : 3 32 3 3 3 2 4 2 3 2 2 2 3 2 4 2 2 2 1 2 1 2 1 y y x x x y y x x x y y x x y x Do đó hệ phương trình ban đầu trở thành : 22 2 22 22 4 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 0 2 1 0 2 3 1 3 3 1 3 3 2 2 1 0 2 1 0 2 1 0 x y x y x y x y y y y y y x x y xy y x y y y y y y y y y xy xy xy Kết hợp với điều kiện , hệ phương trình có nghiệm duy nhất , 3,2xy Bài toán 21. Giải hệ phương trình : 22 12 , 4 9 16 9 7 9 x y x x y xy x y xy x y Lời giải. Điều kiện : 1xy www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com [...]... thế xuống phương trình hai ta có : x 0 2x 2 2x 3 x x 1 0 x, y 0, 0 ; 1, 1 x 1 TH2 Với y x 1 thế xuống phương trình hai ta có : 2x 1 2x 2 2x 1 x 2 x ptvn Phương trình trên dễ dàng chứng minh vô nghiệm bằng phương pháp bình phương hai lần do đó hệ phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên x 7y Bài toán 25 Giải hệ phương trình : 2... từ phương trình một chúng ta có : y x 1 x 1 1 1 nghiệm x, y 1 5 ; 1 5 ; 1 5 2 2 2 do đó hệ phương trình ban đầu có hai 1 ; 2 1 5 0 xy 2 2 2y 2 x x 2 4y 2 3 Bài toán 27 Giải hệ phương trình : 2 y x y 1 y 2 x 1 1 x, y Lời giải Điều kiện : x 2 4y 2 3 ; x 1 0 Phương trình hai của hệ phương. .. 0 y x 2 0 Với y x 2 thế nên phương trình một ta được : x 2 4x 13 3 x 2 4x 12 1 x 2 y 4 Sở dĩ phương trình cuối dùng phương pháp đặt ẩn phụ ta sẽ giải quyết dễ dàng Do đó hệ phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x, y 2, 4 x y 1 y x 1 1 2 2 x y 16x 16y 12 20xy x, y Bài toán 23 Giải hệ phương trình : Lời giải Điều kiện : x, y ... Các bài toán sử dụng phương pháp đánh giá 3 2x 2y x 4y 2 x 4 1 2x 2 y 4 Bài toán 31 Giải hệ phương trình : 2 1 1 x y x 3 x 3 x 2y 2 Lời giải Điều kiện : x, y 2 2 6 4 4 4 x y 1 2x x y Viết hệ phương trình đã cho lại thành : 2 1 1 x y x 3 x 3 x 2y 2 x, y Lấy phương trình hai trừ cho phương trình một ta được :... 3 Kết hợp với điều kiện suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất kể trên x 2 xy 3y 2 y xy 2 Bài toán 35 Giải hệ phương trình : 2x y2 1 1 y 1 2 x Lời giải Điều kiện : 2 x 0 ; y 0 x, y Nhận xét y 0 không là nghiệm của hệ phương trình nên chúng ta có : 2 x x x pt 1 3 y y y Với x y thế vào phương trình hai ta được : Theo bất đẳng... 2x 1 x 2 2x 1 x 2 2x 1 Vậy nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất x, y 6 1, 6 1 www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com x x 2 x 1 y y2 y 1 1 Bài toán 26 Giải hệ phương trình : 2 2 x y 3 Lời giải Điều kiện : x, y Trước hết x 1 nhận xét không là nghiệm của hệ phương trình , do đó ta có : x x, y x 2 x ... a 2 1 b 2 1 2 4ab a 2b 2 a 2 b 2 4ab 1 Cuối cùng ta được hệ phương trình : a b ab 1 1 a 0, b 1 a 1, b 0 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm kể trên www.DeThiThuDaiHoc.com x, y 1, 2 x, y 2,1 www.MATHVN.com Bài toán 24 Giải hệ phương trình : 2x y 4x 2y 1 x 2y 2 xy x 3 y 3 7x 2 2 2 2 2... nghiệm duy nhất của hệ phương trình Phần III Phân tích ý tưởng hai bài toán khối A và B năm 2014 x 12 y y 12 x 2 12 Khối A.2014 Giải hệ phương trình : 3 x 8x 1 2 y 1 x, y Lời giải Nói chung trên mạng xuất hiện khá nhiều lời giải cho bài này nhưng bài viết này là của riêng tôi nên tôi sẽ đem những gì mà mình đã phải đối mặt với câu hệ này trong phòng thi Và hi vọng nó... là nghiệm duy nhất của hệ phương trình Kết hợp với điều kiện suy ra x , y 2 4 x 1 1 2y xy 2 xy y x 1 Bài toán 29 Giải hệ phương trình : x, y 1 4 2x 2 2 x y x 1 Lời giải Điều kiện : x 1 ; y 0 Phương trình một chia cả hai vế cho y x 1 ta được : x x 1 1 2 y Lấy pt 2 pt 3 chúng ta có : www.DeThiThuDaiHoc.com 2x x 1... 16x 16x 0 www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Do đó hệ phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x, y 0,1 2 4x 2 1 2 2 2x 3 4x 2x y 3 2y x Bài toán 28 Giải hệ phương trình : 3 3 2 2 3 2y x 2x x 2 2x 1 Lời giải Điều kiện : x 0 ; x x, y 1 1 3 ; y 2 2 2 Với điều kiện x 0 thì phương trình một trở thành : 4x 2 1 2x . trình một chia cả hai vế cho 1yx ta được : 12 2 2 3 11 xx y xx Lấy 2 3pt pt chúng ta có : www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 1 4 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 2 1. chúng ta có : 2 1 3 1 x x x x pt x y y y y y Với xy thế vào phương trình hai ta được : 2 2 2 1 1 2 1 x x xx Theo bất đẳng thức AM – GM : 12 2 2 x x . x x y y x x y y y x Thế vào phương trình hai ta được : Tuyển tập 42 Hệ phương trình ÔN THI ĐẠI HỌC 2015 Tác giả : Nguyễn Thế Duy www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com