Tài liệu ôn tập câu 5 trong đề thi đại học cao đẳng

CHƯƠNG 5. BẤT ðẲNG THỨC – CỰC TRỊ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN THAM SỐ I. Bất ñẳng thức 1. Bất ñẳng thức Cô si a. Bất ñẳng thức Côsi cho hai số thực không âm Với hai số thực không âm bất kì ,a b ta luôn có: 2 a b ab + ≥ . ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b= . b. Bất ñẳng thức Côsi cho ba số thực không âm Với ba số thực , , 0 a b c ≥ ta luôn có: 3 3 a b c abc + + ≥ ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c = = . c. Một số hệ quả * Với hai số thực , 0 a b > ta có: 1 1 4 a b a b + ≥ + . ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b = * Với ba số thực , , 0 a b c > ta có: 1 1 1 9 a b c a b c + + ≥ + + . ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c = = . 2. Bất ñẳng thức véc tơ a. Bất ñẳng thức tam giác Với ba ñiểm bất kì , ,A B C ta có: AB BC AC+ ≥ . ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , , A B C thẳng hàng và B nằm giữa , A C . b. Bất ñẳng thức véc tơ Với hai véc tơ ,a b   bất kì ta luôn có: . .a b a b≤     . ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .a k b =   . II. Ứng dụng ñạo hàm ñể tìm GTLN, GTNN của hàm số 1. ðịnh nghĩa: Cho hàm số ( ) y f x= xác ñịnh trên D i) Số M gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số trên D nếu 0 0 ( ) : ( ) f x M x D x D f x M   ≤ ∀ ∈    ∃ ∈ =   , ta kí hiệu max ( ) x D M f x ∈ = . ii) Số m gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên D nếu 0 0 ( ) : ( ) f x M x D x D f x m   ≥ ∀ ∈    ∃ ∈ =   , ta kí hiệu min ( ) x D m f x ∈ = . 2. Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số Phương pháp chung: ðể tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) y f x= trên D ta tính 'y , tìm các ñiểm mà tại ñó ñạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta suy ra GTLN, GTNN. Chú ý: * Nếu hàm số ( ) y f x = luôn tăng hoặc luôn giảm trên ; a b       thì [a;b] [a;b] max ( ) max{ ( ), ( )}; min ( ) min{ ( ), ( )}f x f a f b f x f a f b= = . * Nếu hàm số ( ) y f x = liên tục trên ; a b       thì luôn có GTLN, GTNN trên ñoạn ñó và ñể tìm GTLN, GTNN ta làm như sau B1: Tính ' y và tìm các ñiểm 1 2 , , , n x x x mà tại ñó ' y triệt tiêu hoặc hàm số không có ñạo hàm. B2: Tính các giá trị 1 2 ( ), ( ), , ( ), ( ), ( ) n f x f x f x f a f b .Khi ñó 1 [ ; ] max ( ) max { ( ), , ( ), ( ), ( )} n x a b f x f x f x f a f b ∈ = 1 [ ; ] min ( ) min { ( ), , ( ), ( ), ( )} n x a b f x f x f x f a f b ∈ = . * Nếu hàm số ( ) y f x = là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì ñể tìm GTLN, GTNN của nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một ñoạn thuộc D có ñộ dài bằng T. * Cho hàm số ( ) y f x = xác ñịnh trên D. Khi ñặt ẩn phụ ( ) t u x= , ta tìm ñược t E∈ với x D∀ ∈ , ta có ( ) y g t= thì Max, Min của hàm f trên D chính là Max, Min của hàm g trên E . * Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác ñịnh của hàm số. * Ngoài phương pháp khảo sát ñể tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp miền giá trị hay Bất ñẳng thức ñể tìm Max, Min. III. Ứng dụng tính ñơn ñiệu trong bài toán giải phương trình – bất phương trình và hệ phương trình . ðể sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số vào giải các bài toán giải phương trình – bất phương trình – hệ phương trình, ta thường sử dụng các tính chất sau ñây. Tính chất 1: Nếu hàm số ( ) y f x = luôn ñồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên ( ; )a b thì số nghiệm của phương trình : ( ) f x k = (trên ( ; )a b ) không nhiều hơn một và ( ) ( ) f u f v u v = ⇔ = , ( ; )u v a b∀ ∈ . Chứng minh: Ta giả sử f là hàm ñồng biến trên ( ; )a b • Nếu ( ) ( )u v f u f v> ⇒ > • Nếu ( ) ( )u v f u f v< ⇒ < Tính chất 2: Nếu hàm số ( ) y f x = liên tục và luôn ñồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số ( ) y g x = liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn ñồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình : ( ) ( ) f x g x = không nhiều hơn một. Chứng minh: Giả sử f ñồng biến còn g nghịch biến trên D và 0 0 0 : ( ) ( )x D f x g x∃ ∈ = . * Nếu 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) PT: ( ) ( )x x f x f x g x g x f x g x> ⇒ > = > ⇒ = vô nghiệm * Nếu 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) PT: ( ) ( )x x f x f x g x g x f x g x< ⇒ < = < ⇒ = vô nghiệm Vậy 0 x x= là nghiệm duy nhất của phương trình ( ) ( ) f x g x = . Tính chất 3: Nếu hàm số ( ) y f x = luôn ñồng biến( hoặc luôn nghịch biến) trên D thì ( ) ( ) ( ) ,f u f v u v u v u v D> ⇔ > < ∀ ∈ . Tính chất 4: Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên [a;b] và có ñạo hàm trên khoảng ( ) ;a b . Nếu ( ) ( )f a f b= thì phương trình '( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( ; )a b . Chứng minh: Giả sử phương trình '( ) 0f x = vô nghiệm trên ( ; )a b . Khi ñó '( ) 0 ( ; )f x x a b> ∀ ∈ (hoặc '( ) 0 ( ; )f x x a b< ∀ ∈ ). Suy ra ( ) ( )f b f a> (hoặc ( ) ( )f b f a< ). ðiều này trái với giả thiết ( ) ( )f a f b= . Vậy phương trình '( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm trên ( ; )a b . Từ ñịnh lí này, ta có ñược hai hệ quả sau: Hệ quả 1: Nếu phương trình ( ) 0f x = có m nghiệm thì phương trình '( ) 0f x = có 1m − nghiệm. Hệ quả 2: Cho hàm số ( ) y f x = có ñạo hàm ñến cấp k liên tục trên ( ; )a b . Nếu phương trình ( ) ( ) 0 k f x = có ñúng m nghiệm thì phương trình ( 1) ( ) 0 k f x − = có nhiều nhất là 1m + nghiệm. Thật vậy: Giả sử phương trình ( 1) ( ) 0 k f x − = có nhiều hơn m+1 nghiệm thì phương trình '( ) 0f x = có nhiều hơn m nghiệm, ñiều này trái với giả thiết bài toán. Từ hệ quả 2 ⇒ nếu '( ) 0f x = có một nghiệm thì ( ) 0f x = có nhiều nhất hai nghiệm. Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp hàm số. Vấn ñề quan trọng nhất khi sử dung phương pháp hàm số là chúng ta phải nhận ra ñược hàm số ñơn ñiệu và nhẩm ñược nghiệm của phương trình. 1) ðể phát hiện ñược tính ñơn ñiệu của hàm số chúng ta cần nắm vững các tính chất: i) Nếu ( ) y f x = ñồng biến (nghịch biến) thì: * ( ) n y f x = ñồng biến (nghịch biến). * ( ) 1 y f x = với ( ) 0f x > nghịch biến (ñồng biến). * ( ) y f x = − nghịch biến (ñồng biến). ii) Tổng của các hàm số ñồng biến (nghịch biến) trên D là một hàm số ñồng biến (nghịch biến) trên D. iii) Tích của các hàm số dương ñồng biến (nghịch biến) trên D là một hàm số ñồng biến (nghịch biến) trên D. IV. Bài toán liên quan ñến tham số Bài toán 1: Tìm ñiều kiện của tham số ñể phương trình f(x)= g(m) có nghiệm trên D Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm ⇔ hai ñồ thị của hai hàm số ( ) y f x = và ( ) y g m = cắt nhau. Do ñó ñể giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau: 1) Lập bảng biến thiên của hàm số ( ) y f x = . 2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác ñịnh m ñể ñường thẳng ( ) y g m = cắt ñồ thị hàm số ( ) y f x = . Chú ý : Nếu hàm số ( ) y f x = liên tục trên D và tồn tại min ( ) x D f x m ∈ = , max ( ) x D f x M ∈ = thì phương trình : ( ) f x k = có nghiệm trên D khi và chỉ khi .m k M≤ ≤ Bài toán 2: Tìm m ñể bất phương trình ( ) ( ) >f x g m có nghiệm trên D. Phương pháp: Với dạng toán này trước hết ta ñi khảo sát và lập bảng biến thiên của hàm số ( )f x trên D, rồi dựa vào các tính chất sau ñể chúng ta ñịnh giá trị của tham số: 1) Bpt ( ) ( )f x g m≥ có nghiệm trên D max ( ) ( ) x D f x g m ∈ ⇔ ≥ (Với ñiều kiện tồn tại max ( ) D f x ). 2) Bpt ( ) ( )f x g m≤ có nghiệm trên D min ( ) ( ) x D f x g m ∈ ⇔ ≤ (Với ñiều kiện tồn tại min ( ) D f x ). 3) ðể bất phương trình : ( ) ( ( ) ) f x k f x k x D≥ ≤ ∀ ∈ min ( ) ( max ( )) D D k f x k f x⇔ ≤ ≥ . B. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1.5. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: ( ) 3 6 2 4 1y x x = + − trên ñoạn 1; 1   −   (B1 – 2003 ). Lời giải. ðặt 2 0;1 1;1t x t x     = ⇒ ∈ ∀ ∈ −     Khi ñó: 3 3 ( ) 4(1 ) , 0;1y f t t t t   = = + − ∈   Ta có: 2 2 '( ) 3 4(1 ) 3(2 )(3 2)f t t t t t   = − − = − −     2 '( ) 0 3 f t t ⇒ = ⇔ = . Do 2 4 (0) 4, (1) 1, ( ) 3 9 f f f = = = nên suy ra max 4y = ñạt ñược khi 0 0t x= ⇔ = . min 4y = ñạt ñược khi 2 2 3 3 t x= ⇔ = ± . Ví dụ 2.5. Cho hai số thực 0a b≥ > . Chứng minh rằng: 1 1 2 2 2 2 b a a b a b     + ≤ +         (D-2007). Lời giải. Ta có bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với ( ) ( ) 1 1 2 2 4 1 4 1 2 2 b a b a a b a b a b     + ≤ + ⇔ + ≤ +         ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln 4 1 ln 4 1 ln 4 1 ln 4 1 1 a b a b b a a b + + ⇔ + ≤ + ⇔ ≤ Xét hàm số : ( ) ( ) ( ) ln 4 1 , 0; t f t t t + = ∈ +∞ Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 ln 4 4 1 ln 4 1 ' 0, 0 4 1 t t t t t f t t t − + + = < ∀ > + nên hàm số nghịch biến trên ( ) 0; +∞ . Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ln 4 1 ln 4 1 0 a b a b f a f b a b + + ≥ > ⇒ ≤ ⇔ ≤ hay (1) ñúng nên bất ñẳng thức ñược chứng minh. Ví dụ 3.5. Giả sử ,x y là hai số dương thay ñổi thoả mãn ñiều kiện 5 4 x y + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 1 4 S x y = + (B1 – 2002 ). Lời giải. Lời giải 1: Ta có 5 4 5 4 4 x y y x + = ⇒ = − 4 1 5 4 S x x ⇒ = + − . Xét ( ) 4 1 5 , 0; 5 4 4 f x x x x   = + ∈   −   . ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 ' , ' 0 1 5 4 f x f x x x x ⇒ = − + = ⇔ = − Từ bảng biến thiên ta ñược: ( ) ( ) 5 0; 4 min 1 5f x f       = = , từ ñó suy ra min 5S = ðạt ñược khi 1 1, 4 x y = = . Lời giải 2: Ta có 5 4 1 1 4 ( )( ) 4 4 4 4 4 y x S x y x y x y = + + = + + + Áp dụng BðT Cô si cho hai số thực dương ta có: 4 4 5 1 25 2 . 2 4 2 5 4 4 4 4 4 y x y x S S x y x y + ≥ = ⇒ ≥ + + = ⇒ ≥ ðẳng thức xảy ra 5 1 4 1 4 4 x x y y x y   = + =   ⇔ ⇔   =   =   Vậy min 5S = . Lời giải 3: Ta có 4 1 4 4 4( ) 4 S x y x y x y = + + + − + Do 4 1 4 8; 4 2 4 x y x y + ≥ + ≥ nên 5 8 2 4. 5 4 S ≥ + − = ðẳng thức xảy ra 4 4 1 1 4 1 4 4 5 4 x x x y y y x y  =   =    ⇔ = ⇔   =     + =   . Ví dụ 4.5. Cho hai số dương ,x y thay ñổi thoả mãn 4x y+ ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 3 2 3 4 2 4 x y A x y + + = + . (B2 – 2006). Lời giải. Ta có 2 1 1 2 4 8 8 2 x y y x y A x y    +    = + + + + +         2 3 2 2 1 1 4 9 2 . 6 . 4 2 2 8 x y x y ≥ + + = . ðẳng thức xảy ra khi 2x y= = . Vậy A 9 min 2 = . Ví dụ 5.5. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 5 sin 3 cosy x x = + (A1 – 2003 ). Lời giải. Ta có: 4 4 sin 3 cos sin 3 cosx x y x x − + ≤ ≤ + Mặt khác: 4 2 2 sin 3 cos (1 cos ) 3 cosx x x x + = − + 2 (1 cos ) (1 cos )(1 cos ) 3 3x x x   = − − + − +     Do 2 1 (1 cos )(1 cos ) (2 2 cos )(1 cos )(1 cos ) 2 x x x x x− + = − + + 3 1 2 2cos 1 cos 1 cos 32 3 2 3 27 x x x   − + + + + ≤ = <     4 sin 3 cos 3 3x x y⇒ + ≤ ⇒ ≤ . ðẳng thức xảy ra sin 0 2 cos 1 x x k x π  =  ⇔ ⇔ =  =   . Tương tự ta có 4 sin 3 cos 3 3x x y − + ≥ − ⇒ ≥ − ðẳng thức xảy ra 2x k π π ⇔ = + . Vậy min 3; max 3y y = − = . Ví dụ 6.5. Cho , , 0x y z > thỏa 1x y z+ + ≤ . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82x y z x y z + + + + + ≥ (A – 2003 ). Lời giải. Gọi P là vế trái của BðT cần chứng minh. Ta có: 1 1 1 9 x y z x y z + + ≥ + + Lời giải 1: Xét ba véc tơ 1 1 1 ( ; ), ( ; ), ( ; )a x b y c z x y z = = =    Ta có a b c a b c+ + ≥ + +       2 2 2 2 1 1 1 81 ( ) ( ) ( ) P x y z x y z x y z x y z   ⇒ ≥ + + + + + ≥ + + +   + +   ðặt 2 ( ) 0 1t x y z t = + + ⇒ < ≤ . Khi ñó: 81 1 80 1 80 2 82 1 P t t t t t t t ≥ + = + + ≥ + = . ðẳng thức xảy ra 1 1 3 x y z x y z x y z  = =  ⇔ ⇔ = = =  + + =   . Lời giải 2: Áp dụng BðT Cô si ta có: 4 2 81 1 9x x + ≥ 4 4 4 2 2 2 2 2 1 (81 1) 81 18 81 82( ) x x x x x x x x + + + + + ⇒ + = ≥ 2 2 2 2 ( 9) 9x x x x   + = = +     2 2 1 9 82( )x x x x ⇒ + ≥ + 1 1 1 81 82. 9P x y z x y z x y z x y z   ⇒ ≥ + + + + + ≥ + + +   + +   1 80 82x y z x y z x y z   = + + + + ≥   + + + +   82P⇒ ≥ . ðẳng thức xảy ra 1 3 x y z⇔ = = = . Ví dụ 7.5. Cho các số thực , , 0x y z > thỏa mãn 1 1 1 4 x y z + + = . Chứng minh: 1 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z + + ≤ + + + + + + (ðH Khối A – 2005). Lời giải. Gọi P là biểu thức của vế trái của BðT cần chứng minh Với , 0a b > ta có: 1 1 1 1 1 1 ( )( ) 4 4 a b a b a b a b   + + ≥ ⇒ ≤ +   +   Áp dụng BðT trên ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 4 2 4 2 4x y z x y z x y z     ≤ + ≤ + +     + + +     1 2 1 1 16 x y z   = + +     [...]... Bài 2 .5 Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s x ( ) y = x +1 1 − x 2 (D1 – 2004 ) Bài 3 .5 Xác ñ nh m ñ h sau có nghi m : x 2 − 5x + 4 ≤ 0  (D1 – 2004 )  2 3x − mx x + 16 = 0   Bài 4 .5 Gi i phương trình sau: 3x + 2x = 3x + 2 (D2 – 2004 ) Bài 5. 5 Ch ng minh v i ∀x ∈ R ta có : 12 x  15 x  20 x      +   +   ≥ 3x + 4x + 5x (B-20 05)             5 4 3 Bài 6 .5 Cho... + ≥ 3 3 (D-20 05) xy yz zx Bài 7 .5 Cho x, y, z là ba s tho mãn x + y + z = 0 Ch ng minh r ng : 3 + 4x + 3 + 4y + 3 + 4z ≥ 6 (A1-20 05) Bài 8 .5 Ch ng minh r ng v i m i x , y > 0 ta có : 2  y  9   ≥ 256 1 + x 1 +  1 +  x  y   ð ng th c x y ra khi nào? (A2-20 05) ( ) Bài 9 .5 Ch ng minh r ng n u 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì x y − y x ≤ 1 4 Khi nào ñ ng th c x y ra? (B1 – 20 05 ) Bài 10 .5 Cho a, b, c là... a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3 Khi nào ñ ng th c x y ra? (B2 – 20 05 ) Bài 11 .5 Cho x, y, z là ba s dương tho mãn xyz = 1 Ch ng minh x2 y2 z2 3 + + ≥ (D2 – 20 05 ) 1+y 1+z 1+x 2 Bài 12 .5 Tìm m ñ h b t phương trình sau có nghi m : 72x + x +1 − 72 + x +1 + 2005x ≤ 20 05  (D1 – 20 05 )  2 x − m + 2 x + 2m + 3 ≥ 0  r ng: ( ) Bài 13 .5 Cho hai s th c x ≠ 0, y ≠ 0 th a mãm ñi u ki n (x + y ) xy = x 2 −... hàm s f(t) v i t ∈ (0; 2 ] , có: f '(t ) = −t 2 − 4t + 1 (t + 2)2 B ng bi n thi n ⇒ f '(t ) = 0 ⇔ t = 5 − 2 t f(t) 5 −2 0 0 f’(t) + 2 − 3 2 −4 2 1 2 −2 5 ( 3 2 −4 ⇒ (2) có hai nghi m phân bi t t ∈ 0; 2  ⇔ −2 5 < m ≤   2 3 2 −4 là nh ng giá tr c n tìm 2 Ví d 28 .5 Hãy bi n lu n s nghi m th c x , y c a h phương trình V y −2 5 < m ≤ x 3y − y 4 = a 2  sau theo tham s a, b :  2 2 3 2 x y + 2xy +... 0 và x = 1 2) Xét hàm s : f (x ) = 2003x + 2005x − 4006x − 2 Ta có: f '(x ) = 2003x ln 2003 + 2005x ln 20 05 − 4006 f ''(x ) = 2003x ln2 2003 + 2005x ln2 20 05 > 0 ∀x ⇒ f "(x ) = 0 vô nghi m ⇒ f '(x ) = 0 có nhi u nh t là m t nghi m ⇒ f (x ) = 0 có () () nhi u nh t là hai nghi m Mà ta th y f 1 = f 0 = 0 nên pt ñã cho có hai nghi m x = 0 và x = 1 Ví d 23 .5 Tìm m ñ phương trình sau có ñúng hai nghi m... Bài 27 .5 Cho 3 s dương x , y, z tho mãn h th c x + y + z = yz 3x 2 3 −3 y + z (B1-2008) 6 Bài 28 .5 Cho s nguyên n (n ≥ 2) và hai s th c không âm x, y Ch ng minh r ng: x ≤ Ch ng minh r ng: n ( ) x n + y n ≥ n +1 x n +1 + y n +1 (B2-2008) Bài 29 .5 Cho các s th c x , y tho mãn 0 ≤ x ≤ ( ) Ch ng minh r ng: cos x + cos y ≤ 1 + cos xy π ,0 ≤ y ≤ 3 (D1-2008) π 3 36x 2y − 60x 2 + 25y = 0   Bài 30 .5 Gi... (D1-2008) π 3 36x 2y − 60x 2 + 25y = 0   Bài 30 .5 Gi i h phương trình : 36y 2z − 60y 2 + 25z = 0 (D2-2008)  2 2 36z x − 60z + 25x = 0  Bài 31 .5 Cho các s th c không âm x, y thay ñ i và th a mãn x + y = 1 Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c: )( ( ) S = 4x 2 + 3y 4y 2 + 3x + 25xy (D-2009) Bài 32 .5 Tìm t t c các giá tr tham s m ñ 1) Phương trình 2) Phương trình 4 x 2 + 1 − x = m có nghi... t c a bi u th c : (A-2006) y Bài 14 .5 Cho x , y là các s th c thay ñ i Tìm giá tr nh nh t c a (x − 1) bi u th c: P = 2 ( x + 1) + y2 + 2 + y 2 + y − 2 (B-2006) Bài 15. 5 Tìm giá tr nh nh t c a hàm s :  11 7  + 4 1 + x >0  2x x2   Bài 16 .5 Gi i phương trình sau: ( y =x + ) (B1 – 2006 ) ) ( ( ) 4x − 2x +1 + 2 2x − 1 sin 2x + y − 1 + 2 = 0 (D1 – 2006 ) Bài 17 .5 Gi i h phương trình: ln 1 + x − ln... y2 + x 3 2  y − 2y + 9  (B2-2007) Bài 24 .5 Cho a, b là các s dương tho mãn ab + a + b = 3 3a 3b ab 3 + + ≤ a 2 + b 2 + (D1-2007) Ch ng minh: 2 b +1 a +1 a +b Bài 25. 5 Cho hai s th c x , y thay ñ i và th a mãn x 2 + y 2 = 1 Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c: P = 2(x 2 + 6xy ) 1 + 2xy + 2y 2 (B-2008) Bài 26 .5 Cho x , y là hai s th c không âm thay ñ i Tìm giá tr l n nh t và giá tr... b ng bi n thi n ta tìm ñư c min P = x + y = 4 x = 2   min P = min f (t ) = f (4) = 8 ñ t ñư c khi  ⇔ (2;+∞) xy = 4 y = 2   Ví d 15. 5 Cho các s th c a, b, c ≥ 0 th a a 3 + b 3 + c 3 = 3 Tìm giá tr l n nh t c a : P = 3(ab + bc + ca ) − abc L i gi i Vì (a − 1)(b − 1)(b − 1)(c − 1)(c − 1)(a − 1) ≥ 0 nên trong ba s (a − 1)(b − 1), (b − 1)(c − 1), (c − 1)(a − 1) có ít nh t m t s không âm, ta . ñó ñạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thi n. Từ bảng biến thi n ta suy ra GTLN, GTNN. Chú ý: * Nếu hàm số ( ) y f x = luôn tăng hoặc luôn giảm trên ; a b     . và luôn ñồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số ( ) y g x = liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn ñồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình : ( ) ( ) f x g x = không nhiều. ⇒ = − 4 1 5 4 S x x ⇒ = + − . Xét ( ) 4 1 5 , 0; 5 4 4 f x x x x   = + ∈   −   . ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 ' , ' 0 1 5 4 f x f x x x x ⇒ = − + = ⇔ = − Từ bảng biến thi n ta ñược: (