đề thi thử đại học môn toán trường chuyên trần phú

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn thi: TỐN - Khối: A, A1, B Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ TỔ TOÁN - TIN Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − x + mx (1), với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng x − y − = π  Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 2sin  3x + ÷ = + 8sin x.cos x 4  1 + x + y + = ( x + y ) + x + y  Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  x +3 y   x +1 + ÷ = 4 2  Câu (1,0 điểm) Tính tích phân − x5 ∫ x 1+ x ( ) dx · Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có BAC = 600 , nội tiếp đường trịn đường kính AI Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) A, lấy điểm S cho SA = 2BC Gọi M N hình chiếu vng góc A lên SB, SC Chứng minh mặt phẳng (AMN) vng góc với đường thẳng SI tính góc hai mặt phẳng (AMN) (ABC) 4( x + y + z) y+z x+ y z+x + + ≥ , ∀x, y, z > Câu (1,0 điểm) Chứng minh x y z ( y + z ) ( z + x) ( x + y) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) đường thẳng d: x − y + = Tìm d hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông A AB = 2AC x y z Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: = = mặt phẳng (P): x + y + z − = Gọi M giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P), vng góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới ∆ 2 Câu (1,0 điểm) Giải phương trình sau tập số phức: x + x + x + 100 = -Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………… ; Số báo danh:…………………………………… WWW.ToancapBa.Net BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ THI THỬ TOÁN LẦN III – KHỐI A, A1, B – NĂM 2013 Nội dung Câu (2.0 điểm) Điểm a (1.0 điểm) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số * m = y = x − x * TXĐ: D = R 0.25 * lim y = +∞, lim y = −∞ x →+∞ x →−∞ x = * y ' = 12 x − 12 x, y ' = ⇔  x = 0.25 * Bảng biến thiên… Hàm số đồng biến ( −∞;0 ) ; ( 1; +∞ ) Hàm số nghịch biến ( 0;1) 0.25 Hàm số đạt cực đại x = 0, y = Hàm số đạt cực tiểu x = 1, y = −2 Điểm uốn: y '' = 24 x − 12, y '' = ⇔ x = , y = −1 Giao Ox: y = ⇔ x = v x = Giao Oy: x = ⇒ y = 0.25 b (1.0 điểm) Tìm m để đồ thị có … y ' = f ' ( x ) = 12 x − 12 x + m Hàm số có hai cực trị ⇔ ∆ ' = 36 − 12m > ⇔ m < Gọi hai điểm cực trị đths A ( x1 , y1 ) ; B ( x2 , y2 ) ( x1 , x2 hai nghiệm pt y ' = ) 0.25   2m m 1  − ÷x + Có: y = f ( x ) = f ' ( x )  x − ÷+  6  3  m m  2m   2m  − ÷x1 + y2 =  − ÷x2 + Do f ' ( x1 ) = f ' ( x2 ) = nên y1 =  6     0.25 m  2m  − ÷x + Vậy pt đt AB y =     AB ⊥ d ( 1)  A, B đối xứng qua d: 2x – 4y – = ⇔  (I trung điểm AB) ( 2) I ∈ d  ( 1) ⇔   2m  − ÷ = −1 ⇔ m = (thoả mãn m < 3)   WWW.ToancapBa.Net 0.25 x1 + x2   xI = =  I có toạ độ:  ( ) ⇔ − ( −1) − = (đúng)  yI =  2m −  xI + m = −1  ÷     0.25 Vậy A, B đối xứng qua d m = (1.0 điểm) Giải phương trình lượng giác…   π sin  x + ÷ ≥ ( 1)    Pt ⇔  4sin  3x + π  = + 8sin x.cos 2 x ( )  ÷  4   0.25 π  ÷ = + 4sin x.(1 + cos4 x) ÷    ⇔ + 2sin x = + 4sin x + 2sin x − 2sin x 0.25 π  x = + kπ  12 ⇔ sin x = ⇔   x = 5π + kπ   12 0.25  ( ) ⇔ 1 − cos  x +  - Với x = π π π  + kπ : ( 1) ⇔ sin  + k 3π ÷ ≥ ⇔ k = 2n ⇒ x = + n2π 12 12 2  17π 5π  3π  + k 3π ÷ ≥ ⇔ k = 2n + ⇒ x = + n 2π , n ∈ Z + kπ : ( 1) ⇔ sin  - Với x = 12 12   (1.0 điểm) 0.25 Giải hệ phương trình… 1 + x + y + = ( x + y ) + x + y ( 1)   x +3 y   x +1 +  ÷ = ( 2) 4 2  ( 1) ⇔ x + y − x + y + = −9 ( x + y ) + ⇔ 3( x + y ) −1 x + y + x + y +1 = −9 ( x + y ) + 0.5   1 ⇔ ( ( x + y ) − 1)  + ( x + y ) + 1÷ = ⇔ x + y =  x + y + x + y +1 ÷   x +1 1 Khi đó: ( ) ⇔ x +1 +  ÷ 2 t =  x +1 = ⇔ t − 2t + = , ( t = > ) ⇔  −1 + t=   WWW.ToancapBa.Net 0.25 ( )  x = log − −  x = −1 −1 +   ⇒ Với t = ⇔  , Với t = y =  y = − log −   Tính tích phân… ( (1.0 điểm) 2 − x5 ∫ x 1+ x ( ) dx = ∫ + x5 − x5 x ( + x5 )  1 − ÷ t  dt = x = ⇒ I1 = ∫  1 1 t 1 + ÷ t  t5  dx = ∫ ∫ 0.25 ) 2x4 dx − ∫ dx = I1 − I x ( + x5 ) (1+ x ) t4 1 dt = ∫ d ( t + 1) = ln t + t +1 t +1 0.25 1 2 = ( ln − ln 33) 0.25 2   31 I2 = ∫ d ( x + 1) = −  ÷ = ( + x5 )  x +  165 I= (1.0 điểm) 0.25 31 ( ln − ln 33) − 165 0.25 Tính thể tích khoảng cách IB ⊥ AB (do AI đường kính đtrịn (ABC)), IB ⊥ SA (do SA ⊥ (ABC)) nên IB ⊥ (SAB) ⇒ IB ⊥ AM mà AM ⊥ SB nên AM ⊥ (SBI) S N ⇒ AM ⊥ SI M C A Chứng minh tt: AN ⊥ SI Vậy SI ⊥ (AMN) Có SA ⊥ (ABC); SI ⊥ (AMN) I B ⇒ (·ABC ) , ( AMN ) ) = (·SA, SI ) ( · ∆ SAI có: tan ASI = AI đường kính đtrịn (ABC) nên: Từ (1),(2) (1.0 0.5 · ⇒ tan ASI = 0.25 AI (1) SA BC = RABC = AI ⇒ AI = BC (2) · sin BAC 2 BC = = ⇒ ·ABC , AMN = 300 ) ( )) (( SA BC BC 0.25 Chứng minh bất đẳng thức … Bđt ⇔ 0.25 WWW.ToancapBa.Net điểm) ( z + x) ( x + y) P = ( y + z) Có: x ( z + x) ( x + y) ⇒ ( y + z) x2 y ( y + z) ( z + x) + ( x + y) z2 ≥ 4( x + y + z) x + x ( y + z ) + yz x + x yz + yz  x + yz  = ≥ = ÷  ÷ x2 x2 x   ( z + x) ( x + y) x ( x + y) ( y + z) + ( z + x) 2 0.25  yz  yz yz ≥ ( y + z ) 1 + ≥ y+z+2 (1) ÷= y + z + ( y + z )  x ÷ x x    ( z + x )  Chứng minh tt có:   ( x + y )  ( x + y) ( y + z) y ( y + z) ( z + x) z ≥ z+x+2 zx ( 2) y ≥ x+ y+2 xy ( 3) z 0.25  yz zx xy  Từ (1), (2), (3) có: P ≥ ( x + y + z ) +  + + ÷ (4) y z   x Áp dụng bđt: a + b + c ≥ ab + bc + ca , có: yz zx xy + + ≥ x y z yz zx zx xy xy yz + + = x + y + z (5) x y y z z x 0.25 Từ (4), (5) ⇒ P ≥ ( x + y + z ) Dấu xảy x = y = z (1.0 điểm) Tìm hai điểm B,C… Gọi H hình chiếu A lên d ta có AH = d(A, d) = − 2.2 + 1+ 2 = 0.25 Tam giác ABC vuông A nên 1 1 + = ⇔ + = ⇒ AC = ⇒ AB = 2 2 2 AB AC AH AC AC Khi C thuộc đường tròn (A,1): x + ( y − ) =  y = 1, x =  x2 + ( y − 2) =  ⇔ Toạ độ C nghiệm hệ  y = , x = x − y + =  5  uu ur + Với C(0;1): đt AB qua A(0;2) có vtpt AC = (0; −1) có pt: y − = x − y + = x = ⇔ ⇒ B (2; 2) Toạ độ B nghiệm hệ  y − = y = WWW.ToancapBa.Net 0.25 0.5 uu ur + Với C( ; ): đt AB qua A(0;2) có vtpt AC = ( ; − ) có pt: x − y + = 5 5  x = − x − 2y + =   ⇔ ⇒ B (− ; ) Toạ độ B nghiệm hệ  5 4 x − y + = y =   (1.0 điểm) Viết phương trình đường thẳng … x y z  = = ⇔ M ( 1; 2;3) Toạ độ M nghiệm hệ  x + y + z − =  Gọi d’ hình chiếu d lên mp(P) ⇒ d ' = ( P) ∩ (Q) , với (Q) mp chứa d vng góc ur ur ur u u u (P) Mp(Q) qua M có vtpt nQ = ud , nP  = (-1; 2; -1)   0.5 x = t x + y + z − =  ⇒ (Q) có pt: x − y + z = ⇒ d’ có pt:  ⇔ y = x − y + z = z = − t  Vì ∆ nằm (P), ∆ ⊥ d nên ∆ ⊥ d’ Gọi H(t; 2; – t) giao điểm ∆ d’ ta có M ∈ d’ nên MH ⊥ ∆ t = ⇒ MH = d ( M , ∆) = 2 ⇒ ( t − 1) + ( − ) + ( − t − 3) = ⇒ ( t − 1) = ⇒  t = −1 2 2 ur ur u u x − y − z −1 = = + Với t = H(3; 2; 1): ∆ qua H, có vtcp u∆ = nQ nên ∆ có pt: −1 −1 ur ur u u x +1 y − z − = = + Với t =-1 H(-1; 2; 5): ∆ qua H, có vtcp u∆ = nQ nên ∆ có pt: −1 −1 (1,0 điểm) 0.25 0.25 Giải phương trình… Pt ⇔ x ( x + x + ) = −100 ⇔ ( x ( x + 3) ) = ( 10i ) 2 0,25  x + 3x − 10i = (1) ⇔  x + 3x + 10i = (2) 0,25  x = + 2i (1) có ∆ = + 40i có bậc hai + 4i ⇒ (1) có nghiệm   x = −4 − 2i 0,25  x = − 2i (2) có ∆ = − 40i có bậc hai − 4i ⇒ (2) có nghiệm   x = −4 + 2i 0,25 WWW.ToancapBa.Net Trường THPT Chuyên Trần Phú ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM 2013 – LẦN III Mơn thi: TỐN – Khối D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = −x + m (C) x+2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm số thực dương m để đường thẳng ( d ) : x + y − = cắt (C) hai điểm A B cho tam giác OAB có diện tích O gốc tọa độ sin x sin x + = tan x ( sin x + sin x ) Câu II (1,0 điểm) Giải phương trình cos x cos 3x  x + y + xy ( x + y − ) =  Câu III (1,0 điểm) Giải hệ phương trình  ( x + y ) ( x + y ) = xy  π + cos x dx π + sin x Câu IV (1,0 điểm) Tính tích phân sau I = ∫ Câu V (1,0 điểm) Chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD, H giao điểm CN DM Biết hai mặt phẳng (SHC) (SHD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đường thẳng DM SB Câu VI (1,0 điểm) Cho số thực x, y phân biệt thỏa mãn ( x − ) + ( y + ) − xy ≤ Tìm giá 3 trị nhỏ biểu thức: P = x − y − ( x − y ) ( + 3xy ) + + xy x− y Câu VII (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C1): ( x + ) + ( y − 1) = có 2 tâm O1, đường trịn ( C2 ) bán kính 4, có tâm O nằm đường thẳng ( d ) : x + y − = cắt (C1) hai điểm A B cho tứ giác O 1AO2B có diện tích Viết phương trình đường trịn (C2) biết O2 có hồnh độ dương Câu VIII (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A ( 3; −2; −4 ) , song song với mặt phẳng ( P ) : x − y − 3z − = cắt đường thẳng ( d ) : x − y + z −1 = = −2 Câu IX (1,0 điểm) Tìm mơ đun số phức z biết z + 12i = z z có phần thực dương WWW.ToancapBa.Net Hết Họ tên thí sinh:………………………… Số báo danh: ……………………………… BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ THI THỬ TOÁN LẦN III – KHỐI D – NĂM 2013 Câu I Nội dung Điểm (1.0 điểm) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số… (2.0 điểm) * m = y = − x + x+2 0.25 * TXĐ: D = R\{ −2 } * Tiệm cận đứng x = −2 , tiệm cận ngang y = −1 * y'= − ( x + 2) < 0, ∀x ∈ D , nên hàm số nghịch biến khoảng xác định * Bảng biến thiên 0.25 0.25 Giao Ox: y = ⇔ x = Giao Oy: x = ⇒ y = 0.25 Đồ thị (1.0 điểm) Tìm m để đường thẳng … Phương trình hồnh độ giao điểm:  x + x + ( m − ) = ( *) −x + m  = −x⇔ x+2  x ≠ −2  WWW.ToancapBa.Net 0.25 (d) cắt (C) điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác −2 0.25 17  ∆ g > 1 − 4.2 ( 2m − ) >   m < ⇔ ⇔ ⇔ 16 8 − + 2m − ≠  g ( −2 ) ≠   m ≠ −2   Với điều kiện giả sử đường thẳng cắt đồ thị hàm số hai điểm có hồnh độ x A ≠ xB Ta có x A + xB = SOAB = −1 ; x A xB = m − d(O; AB) = d(O; d) = 2 1 d ( O; AB ) AB = ⇔ ( xB + x A ) − x A xB = 16 ⇔ II ( xB − x A ) + ( yB − y A ) = ( xB − x A ) 0.25 =1 47 − ( m − 1) = 16 ⇔ m = − 16 0.25 Giải phương trình lượng giác… (1.0 điểm) Điều kiện cos x ≠ , cos 3x ≠ , cos x ≠ sin x ( tan x − tan x ) = sin x ( tan x − tan x ) sin x sin x ⇔ sin x × = sin x × cos x.cos x cos 3x.cos x ⇔ sin x ( tan 3x − tan x ) = 0.25 0.25  x = kπ sin x = kπ ⇔ ⇔ kπ ⇔ x = x =  tan x = tan x  Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm S = { kπ | k ∈ Z } III 0.25 0.25 Giải hệ phương trình… (1.0 điểm) Nếu xy = phương trình tương đương với x = y = (thỏa mãn) Nếu xy ≠ hệ phương trình cho tương đương với  x2 + y  x2 + y  x2 + y  xy + ( x + y ) = =3 =2    ⇔  xy  xy   x + y ( x + y ) = x + y = x + y =    xy  WWW.ToancapBa.Net 0.25 0.25   + 17 − 17 x = x =  x + y = xy 4x − x + =   8 ⇔ ⇔ Nếu   x + y = y = − x  y = − 17  y = + 17   8   2 0.25   + 13 − 13 x = x =  x + y = xy 3 x − x + =   6 ⇔ ⇔ Nếu   x + y = y = 3− x  y = 11 − 13  y = 11 + 13   6   IV (1.0 điểm) 0.25 Tính tích phân… π π + cos x dx = π + sin x I=∫ ∫ ( sin x + cos x ) π 4 π π 2 cos xdx π + sin x dx + ∫ 0.25 π cos x d ( + sin x ) ln dx = ∫ =− π + sin x π + sin x I1 = ∫ 4 π I2 = ∫ π I= V 0.25 π  π dx+ ÷ π2 4   dx = ∫ = ìcot x + ữ = 4π 2  π 2sin  x + ÷ 4 4  π ( sin x + cos x ) 0.25 − ln 2 0.25 Tính thể tích khoảng cách… (1.0 điểm) (SHC) (SHD) vng góc với (ABCD) nên SH vng góc với (ABCD) S I B M A N K P a a 5a − = 8 0.25 Suy H D SCDNM = S ABCD − S BCM − S AMN = a − C 1 5a 3a VS CDNM = SH SCDNM = a = ( dvtt ) 3 24 Gọi P trung điểm CD Khi DM // (SBP) nên d ( DM ; SB ) = d ( DM ; ( SBP ) ) = d ( H ; ( SBP ) ) Trong (ABCD), CN cắt BP K Trong (SHK) hạ HI vng góc với SK WWW.ToancapBa.Net 0.25 0.25 Chứng minh CN vng góc với BP HI vng góc với (SHK) Khi d ( H ; ( SBP ) ) = HI a HI = a , HK = a 5 Tính HC = VI 0.25 Tìm giá trị nhỏ biểu thức … (1.0 điểm) Từ điều kiện suy ( x − y ) − ( x − y ) ≤ ⇔ < x − y ≤ ( x ≠ y ) Ta ln có 4xy ≥ − ( x − y ) nên 0.25 4 P = ( x − y ) + xy − ( x − y ) + ≥ ( x − y) − ( x − y) − 7( x − y) + x− y x− y 0.25 Xét f ( t ) = t − t − 7t + (0; 4] t Suy ra: f ' ( t ) = 3t − 2t − − ; f '( t ) = ⇔ t = t2 0.25 Tìm tmin f ( t ) = f ( ) = −8 ∈(0;4] Vậy P = −8 x = 1; y = −1 VII 0.25 Viết phương trình đường trịn… (1.0 điểm) Đường trịn (C ) có bán kính R = tâm O ( −2;1) , đường tròn O ( t; − t ) 1 · SO1 AO2 B = ⇒ 2SO1 AO2 = SO1 AO2 B = O1 A.O2 A.sin O1 AO2 = · Nên suy sin O1 AO2 = 0.5 · O AO = 600 ⇒ · O1 AO2 = 1200  2 · Trường hợp O1 AO2 = 600 O1O2 = 13 ⇒ ( t + ) + ( − t ) = 13 t = ⇔ 2t − 2t = ⇔  Chọn t = suy O2(1; 3) t = 0.25 Vậy (C2): ( x − 1) + ( y − 3) = 16 2 2 · Trường hợp O1 AO2 = 1200 O1O2 = 21 ⇒ ( t + ) + ( − t ) = 21 ⇔ 2t − 2t − = ⇔ t =  + 17 − 17  + 17 Suy O2   ; ÷ ÷   WWW.ToancapBa.Net 0.25 2  + 17   − 17  Vậy (C2):  x − ÷ + y− ÷ = 16  ÷    ÷   VIII (1.0 điểm) Viết phương trình đường thẳng ∆ … ur u Ta có nP ( 3; −2; −3) Giả sử B(2 + 3t ; –4 – 2t ; + 2t) giao điểm ∆ d uu ur uu ur ur u u u ur ur u Khi AB ( −1 + 3t; −2 − 2t ;5 + 2t ) , AB || ( P ) ⇒ AB ⊥ nP ⇔ AB.nP = ⇔ t = uu ur Vậy B(8; −8;5) AB ( 5; −6;9 ) Vậy phương trình đường thẳng ( ∆ ) : IX 0.25 x −3 y + z + = = −6 0.5 0.25 Tìm mô đun số phức z… (1.0 điểm) Đặt z = a + bi ( a, b ∈ R ) , có z + 12i = z tương đương với 0.25 a + 3a 2bi − 3ab − b 3i + 12i = a − bi a − 3ab = a a =  ⇔ ⇔ (vì a dương) 3a b − b + 12 = −b b = −1  0.5 Do z = − i ⇒ z = 0.25 WWW.ToancapBa.Net ... 0,25 WWW.ToancapBa.Net Trường THPT Chuyên Trần Phú ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM 2013 – LẦN III Mơn thi: TỐN – Khối D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu I (2,0 điểm) Cho...BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ THI THỬ TOÁN LẦN III – KHỐI A, A1, B – NĂM 2013 Nội dung Câu (2.0 điểm) Điểm a (1.0 điểm) Khảo sát... Hết Họ tên thí sinh:………………………… Số báo danh: ……………………………… BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ THI THỬ TOÁN LẦN III – KHỐI D – NĂM 2013 Câu I Nội dung Điểm (1.0 điểm) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số…