SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối B, D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm 1 (2,0 điểm) a) (1,0 điểm) Khảo sát… Tập xác định 1 \{ }. 2 D = −¡ Ta có: 2 3 ' 0, . (2 1) y x D x = > ∀ ∈ + Hàm số đồng biến trên các khoảng 1 1 ( ; ),( ; ). 2 2 −∞ − − +∞ Hàm số không có cực trị. 0,25 Giới hạn: 1 1 2 2 1 lim lim ; lim , lim . 2 x x x x y y y y − + →−∞ →+∞ →− →− = = = +∞ = −∞ Tiệm cận: TCĐ: 1 , 2 x = − TCN: 1 . 2 y = 0,25 Bảng biến thiên: 0,25 Đồ thị: (C) cắt Ox tại (1;0), cắt Oy tại (0;–1). 0,25 b) (1,0 điểm) Tìm tọa độ điểm M … Gọi 0 0 0 1 ( ; ). 2 1 x M x x − + Hệ số góc của tiếp tuyến d tại M là 1 0 2 0 3 '( ) . (2 1) k y x x = = + 0,25 Ta có 0 0 1 1 1 3 ( ; ), (x ; ), 2 2 2 2(2 x 1) I IM − − = + + uuur suy ra IM có hệ số góc là 2 2 0 3 . (2 x 1) k − = + 0,25 0 2 1 2 0 0 3 1 2 . 1 (2 1) 3 3 1 . 2 x d IM k k x x − = ⊥ ⇔ = − ⇔ + = ⇔ − − = 0,25 Vậy có hai điểm M thỏa mãn là: 3 1 1 3 3 1 1 3 ( ; ); ( ; ). 2 2 2 2 M M − − − − + 0,25 2 Giải phương trình 2 sin cos sin cos2 3 2 sin( ) (1). 4 x x x x x π − = + − Trang 1/4 y x O 1− 1 1 2 − 1 2 x y' + + y +∞ −∞ 1 2 1 2 1 2 − B . M S A C 60 0 I . Câu Đáp án Điểm (1,0 điểm) (1) sin (sinx cos ) (cos sinx)(cos sinx) 3(sinx cos )x x x x x⇔ − = − + + − 0,25 (sinx cos )(2sin cos 3) 0x x x⇔ − + − = 0,25 sinx cos 0 (2) 2sin cos 3 (3) x x x − = ⇔ + = Vì 2 2 2 2 1 3+ < nên (3) vô nghiệm. Ta có: (2) sin( ) 0 ( ). 4 4 x x k k π π ⇔ − = ⇔ = + π ∈¢ 0,50 3 (1,0 điểm) Giải phương trình 2 4 2 5 11 7 3 2 3 (1).x x x x x+ + = + − + Điều kiện 4 2 4 2 2 3 2 3 0 ( 1) 2 2 .x x x x x x x+ − + ≥ ⇔ + − + + ⇔ ∀ ∈¡ Ta có 2 2 2 2 (1) 3( 3) 2( 1) 7 ( 3)( 1)x x x x x x x x⇔ + + + − + = + + − + 0,50 Đặt 2 2 3, 1.a x x b x x= + + = − + Ta có phương trình 2 2 2 3 7 2 0 ( 2 )(3 ) 0 3 . a b a ab b a b a b a b = − + = ⇔ − − = ⇔ = 0,25 Với 2 ,a b= ta có 2 2 2 5 13 3 2 1 3 5 1 0 . 6 x x x x x x x ± + + = − + ⇔ − + = ⇔ = Với 3 ,a b= ta có 2 2 2 3 3 1 4 5 13 0x x x x x x+ + = − + ⇔ + + = vô nghiệm. 0,25 4 (1,0 điểm) Tính tích phân 2 0 ( cos )sin 2 .I x x xdx π = + ∫ 2 2 0 0 sin 2 cos sin 2 .I x xdx x xdx π π = + ∫ ∫ Ta có 3 2 2 2 2 1 0 0 0 2cos 2 cos sin 2 2 cos cos . 3 3 x I x xdx xd x π π π = = − = − = ∫ ∫ 0,50 Với 2 2 0 sin 2 ,I x xdx π = ∫ đặt cos2 sin 2 2 du dx u x x dv xdx v = = ⇒ = = − 2 2 2 2 0 0 0 cos2 1 sin 2 cos2 . 2 2 4 4 4 x x x I xdx π π π π π = − + = + = ∫ Vậy 2 . 3 4 I π = + 0,50 5 (1,0 điểm) Tính thể tích khối chóp … Ta có (SAB) SA BC BC BC SB AB BC ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ Suy ra · 0 0 60 tan 60 3.SBA SA AB a= ⇒ = = 0,25 3 .ABM . . . 1 1 1 1 1 3 . . . . . 2 2 2 3 2 12 S S ABM S ABC S ABC V SM a V V SA AB BC V SC = = ⇒ = = = 0,25 3 . . 3 . 12 C ABM S ABM a V V= = Vì ,SAC SBC ∆ ∆ vuông tại A, C nên 1 5 . 2 2 a AM BM SC= = = 0,25 Gọi I là trung điểm AB. Ta có ,MI AB ⊥ suy ra 2 2 2 1 . . 2 2 ABM a MI AM AI a S AB MI ∆ = − = ⇒ = = Ta có: . 3 3 (C,(ABM)) . 2 C ABM ABM V a d S ∆ = = 0,25 Trang 2/4 Câu Đáp án Điểm 6 (1,0 điểm) Chứng minh rằng 1 ln(3 2 5 ) log (9 4 1) (1). x x x x x x x + + + < + + ln(9 4 1) (1) ln(3 2 5 ) (2). ln(x 1) x x x x x x + + ⇔ + + < + 0,25 Xét hàm số ( ) ln( 1) , 0.f x x x x= + − ≥ Ta có 1 '( ) 1 0 0, 1 1 x f x x x x − = − = ≤ ∀ ≥ + + suy ra f(x) nghịch biến trên [0; ),+∞ do đó với x dương ta có ( ) f(0) 0 0 ln(x 1) x (3).f x < = ⇒ < + < 0,25 Áp dụng 2 2 2 ,a b c ab bc ca+ + ≥ + + ta có 9 4 1 3 2 6 3 2 5 1 (4) x x x x x x x x + + ≥ + + > + + > ( với 0,x > ta có 6 5 x x > ). 0,25 Từ (3) và (4) ta có: ln(9 4 1) ln(9 4 1) ln(3 2 5 ). ln(x 1) x x x x x x x x + + > + + > + + + Vậy (2) đúng. 0,25 7.a (1,0 điểm) Tìm tọa độ A, B, C. Gọi ( ; )I x y là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có IM IN IP= = 0,25 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 x) (1 y) (4 y) 1 (1;2). 2 (1 x) (1 y) (3 ) (1 y) IM IN x x I y IM IP x = + + − = + − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ = = + + − = − + − 0,25 Đường thẳng BC đi qua ( 1;1)M − và nhận ( 2; 1)IM = − − uuur làm vecto pháp tuyến nên có phương trình là 2( 1) ( 1) 0 2 1 0.x y x y− + − − = ⇔ + + = Tương tự, phương trình CA, AB là 2 8 0, 2 5 0.x y x y− + = − − = 0,25 Tọa độ A là nghiệm của hệ 2 8 6 (6;7), 2 5 7 x y x A x y y − = − = ⇔ ⇒ − = = tương tự B(1; 3),C( 2;3).− − 0,25 8.a (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d. Gọi B là giao điểm của hai đường thẳng.Vì B thuộc d nên tọa độ B có dạng (1 2 t; 2 t; t).B + − + 0,25 (2 t; t 4; t 2),AB = − − uuur d có vecto chỉ phương là (2;1;1)u = r . Ta có . 0 1.AB d AB u t⊥ ⇔ = ⇔ = uuur r Khi đó: (2; 3; 1).AB = − − uuur 0,50 Đường thẳng cần tìm có phương trình là: 1 2 2 . 2 3 1 x y z− − − = = − − 0.25 9.a (1,0 điểm) Tìm hệ số của 5 x … Điều kiện 3, .n n≥ ∈¥ Ta có 3 2 ! 3 ( 1) 3 3!( 3)! n n n C A n n n n n − = ⇔ − − = − 2 1 1 2 1 2 1 3 1 3 9 10 0 106 6 n n n n n n n = − − − − − ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ = (n )(n ) (n )(n ) ( ) (n ) n . Đối chiếu điều kiện ta được 10n = . 0,25 Ta có khai triển 10 10 3 2 10 2 10 10 2 10 10 0 0 ( 1) (1 ) (1 ) ( )( ) k k m m k m x x x x x C x C x = = + + + = + + = ∑ ∑ 0,25 Ta có 2 5 1 0 10 0 10( ), , , , .k m k m k m+ = ≤ ≤ ≤ ≤ ∈ ∈¢ ¢ Từ (1) suy ra, 2 5 0 1 2{ ; ; }.k k≤ ⇔ ∈ Với 0 5;k m = ⇒ = với 1 3;k m = ⇒ = với 2 1.k m= ⇒ = Hệ số của 5 x là 0 5 1 3 2 1 10 10 10 10 10 10 1902.C C C C C C+ + = 0,25 Trang 3/4 Câu Đáp án Điểm 7.b (1,0 điểm) Viết phương trình chính tắc của (H). Gọi phương trình chính tắc của (H) là 2 2 2 2 1. x y a b − = Ta có: 2 2 2 1 2 2 4 2 2 2 8 8 (1).F F c c c a b= = ⇔ = ⇔ = ⇔ + = 0,25 Phương trình hai tiệm cận là: 1 2 : 0; : 0. b b y x bx ay y x bx ay a a ∆ ∆ = ⇔ − = = − ⇔ + = Ta có: 2 2 0 2 2 2 2 60 . b a c a b a b − = + + os 2 2 2 2 2 2 2 2 3 (2) 2 3 (3). a b a b b a b a = ⇔ + = − ⇔ = 0,25 Giải hệ (1),(2) ta được 2 2 6, 2.a b= = Phương trình (H): 2 2 1. 6 2 x y − = 0,25 Giải hệ (1),(3) ta được 2 2 2, 6.a b= = Phương trình (H): 2 2 1. 2 6 x y − = 0,25 8.b (1,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng (Q)… Vectơ chỉ phương của d là (2;1; 1).u − r Vectơ pháp tuyến của (P) là (1;1; 2).n = − r 0,25 Vì (Q) vuông góc với (P) và song song với d nên (Q) có vecto pháp tuyến là: 1 , ( 1;3;1),[ ]n u n= = − ur r r suy ra phương trình (Q) có dạng 3 0.x y z D− + + + = 0,25 Chọn (0;1; 1) d,A − ∈ ta có 2 9 (d,(Q)) d(A,(Q)) 11 2 11 13. 11 D D d D D + = = = = ⇔ + = ⇔ = − 0,25 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là: 3 9 0x y z− + + + = và 3 13 0.x y z− + + − = 0,25 9.b (1,0 điểm) Viết dạng lượng giác của z. Gọi ,z a bi= + với 2 2 , , 0.a b a b∈ ∈ + >¡ ¡ Từ giả thiết ta có 2 2 2 2( ) 0a b abi a bi− + + − = 0,25 2 2 2 2 0, 2 2 0 2 (2 2 ) 0 0, 0 ( 1) 0 1, 3. b a a b a a b a ab b i b a b a a b = = − − + = ⇔ − + + − = ⇔ ⇔ = = − = = = ± 0,50 Với 2,z = − ta có dạng lượng giác là: 2(cos sin ).iz = + π π Với 1 3 i,z = + ta có dạng lượng giác là: 2(cos sin ). 3 3 iz = + π π Với 1 3 i,z = − ta có dạng lượng giác là: 2(cos sin ). 3 3 iz − − = + π π 0,25 ………….Hết…………. Trang 4/4 . TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối B, D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm 1 (2,0. Trang 1/4 y x O 1− 1 1 2 − 1 2 x y' + + y +∞ −∞ 1 2 1 2 1 2 − B . M S A C 60 0 I . Câu Đáp án Điểm (1,0 điểm) (1) sin (sinx cos ) (cos sinx)(cos sinx) 3(sinx cos )x x x x x⇔ − = − + + − 0,25 (sinx. AB MI ∆ = − = ⇒ = = Ta có: . 3 3 (C,(ABM)) . 2 C ABM ABM V a d S ∆ = = 0,25 Trang 2/4 Câu Đáp án Điểm 6 (1,0 điểm) Chứng minh rằng 1 ln(3 2 5 ) log (9 4 1) (1). x x x x x x x + + + < +