LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP ĐỊNH LÍ VI - ÉT.DOC

CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BẬC HAI... Bài tập 1: Tìm nghiệm các phương trình sau nhanhnhất... Giải: Áp dụng định lý Viet vào 2 phương trình đã cho... ỨNG DỤNG 4: áp d

b x

a

b x

' ' 1

Mối liên hệ đã được Vi- ét, nhà toán học pháp

phát hiện vào đầu thế kỷ XVII và được phát biểu

thành định lý mang tên ông

Định lý Viét: Nếu x1;x2 là hai nghiệm của

a b x

x

2 1

2 1

S x x

2 1 2 1

III CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BẬC HAI.

a b x

x

2 1

2 1

.

*)Bài tập áp dụng:

Bài 1: Không giải phương trình hãy tính tổng và tích (nếu có)của các phương trình sau đây : a) x2 – 7x +4 = 0

b) x2 – mx -3 = 0 (ẩn x)Giải:

4

.

7 1 7

x

Bài 2: Cho phương trình :(m + 1)x2 + (2m – 1)x -2 =

0 (1) (ẩn x)

Giả sử x1,x2 là các nghiệm của phương trình

(1);không giải phương trình hãy tính x12 + x22 theo

m

0 1 2

ac b m m

1 ) 1 2 (

2 1

2 1

m x

x

m m x

m

2

) 1 (

5 4





m m

4 159x2 - 2x – 1 = 0

5 2x2 - 5x + 3 = 0

Bài 2: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm,

rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m

Bài tập 1: Tìm nghiệm các phương trình sau nhanhnhất

6

2 1 2

1 2 1

x x x

x x x

b) PT 11x2 + 13x -24 = 0 có a + b + c = 11 + 13 + 24) = 0

(-Nên PT có nghiệm x1=1; nghiệm x2= 1124

a c

c) PT 11x2 - 13x -24 = 0 có a - b + c = 11 + 13 + (-24)

= 0

Nên PT có nghiệm x1= -1; nghiệm x2=  1124

a c

Bài tập 2: Cho phương trình

x2+ (2m+1)x+ m2-5= 0 (1),(ẩn x)

(S-x)x = P  x2 – Sx + P = 0 (1)Nếu ( ) 2 4 0

Tổng quát: Nếu gọi 2 số cần tìm lần lượt là u,v sao

u

S v u

. thì u,v là 2 nghiệm của PT: x2- Sx +

 không có hai số u,v nào thoã mãn bài toán

b) Tìm hai số u,v biết u + v = 32; u.v = 231

; 21 2

10 32

100 231 1 4 ) 32 (

2 1

Vậy 2 số cần tìm là :





 9 21

v u

a 6 v 2 u 2

a 3 v u

Do (3a)2 - 4 2a2 = a2 > 0 nên u, v là nghiệm của phương

13 x

x 2 ) x x (

2 1

2 1 2 2

x

5 x

5 x

x

6 x x

5 x x

2 1 2 1 2 1 2 1

xy

) 1 ( 4 y

5 y x

28 y

1 x

; 





 1 y 27 x

 x 1 , x 2 là nghiệm phương trình: x 2 - 5x + 6 = 0

 x 1 , x 2 là nghiệm phương trình: x 2 + 5x + 6 = 0

d) Giải phương trình: 6

1 x

x 5 x 1 x

x 5

x 5 x

1 x

x 5

3 u

1 1

hoặc 





 3 v

2 u

2 2

.Phương trình đã cho  

0 2 x 3 x

0 3 x 2 x

2 2

giải được x1 = 1; x2 =cho (thoả mãn)

e) Cho phương trình: x2 +ax + b = 0 có 2 nghiệm là x và d;phương trình :

x2 + cx + d= 0 có 2 nghiệm là a và b Tính a, b, c, d biết rằngchúng đều  0

Giải: Áp dụng định lý Viet vào 2 phương trình đã cho

ỨNG DỤNG 4: áp dụng hệ thức Viét vào tìm giá trị của tham

số m để phơng trình thoả mãn điều kiện T cho trớc

*) Phương phỏp: Cú thể thực hiện cỏc bước:

- Bước 1: Tỡm điều kiện của tham số để phương trỡnh đó cho

) m ( 2 1

g x x

f x x

(*)

- Bước 3: Kết hợp (*) với điều kiện (Hệ thức cho trước) suy ra

phương trỡnh cú ẩn là tham số từ đú tỡm được tham số

(Chỳ ý cần đối chiếu tham số cần tỡm được với điều kiện

để phương trỡnh đầu cú nghiệm số).

*) Cỏc dạng toỏn cơ bản:

Cho phương trỡnh: ax2 + bx + c = 0 (1) trong đú a, b, c phụthuộc tham số m

Yêu cầu bài toán đặt ra: Tìm điều kiện của m để phương trình(1) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn một trong các điều kiện:

d) Trường hợp: 2 2

1 2

x x h  S2  2P h  0 (6)Giải bất phương trình (6) Chọn m thoả mãn (*)

Có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn một trong 2 điều kiện sau:

a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị

m

x   và 2

6 2

+) Khi m = -14 ta có: x2 + 9x +20 = 0 Phương trình có 2nghiệm là -5 và -4 thoả mãn điều kiện x2 – x1= -4 – (-5) = 1.Vậy : Các giá trị m phải tìm là: m = 0, m = -14.

a) Theo giả thiết, ta có:

x x x

1 x 1

0 x x

0 3) 2m (m 2)) (m (

2 1 2 1

2 1

2 2 '

Δ

(1)  ' = m2 - 4m + 4 - m2 - 2m + 3 = - 6m + 7 > 0  m < 67(2)  m2 + 2m - 3  0  (m - 1)(m + 3)  0  m  1; m  -3

5

2 1 2

1

2 1

x x x x

x

x

x

 Trường hợp: x1 + x2 = 0  x1 = - x2  m = 2 khôngthoả mãn điều kiện (1)

1 x

2 1

1 x

1

2 1 2

2 2 1

1 x x 2

x x x

x

x

x

2 1 2 1 2 1 2

1

2 1

1 m

* Kết hợp các giá trị của m với điều kiện: (*) (**) ta được m =

( 2 x

1 x

0 3

1 m

4 m

x x

3

) m 1

( 4 x

x

0 '

Δ

2 1

2 1

2 2

1

2 1

Khi đó: xx xx x12x2

2 1

b) Cho phương trình: x2 + bx + c = 0 có các nghiệm x1, x2;phương trình:

0 c 4 b

4 2

x

b x

x

c x

x

b x

x

4 3

2 4

3

2 1

2 1

x 1 x

b x

1 x

1

c x

.

x

b x

x

2 1

2 2

1 2

1

2 1

) 4 (

) 3 (

) 2 (

) 1 (

1 b

Từ (4) có: x1x2 + x1 + x2 + 1 =bc  c - b + 1 = bc (5)Với b = 1 thì (5) đúng khi đó pt : x2 + bx + c = 0 trở thành x2 +

x + c = 0

Có nghiệm nếu  = 1 - 4c  0  c 41

Pt: x2 - b2x + bc = 0 trở thành x2 - x + c = 0 cũng có nghiệmnếu c 41:

- Với b =- 2 (5) trở thành c + 3 = - 2c  c = - 1

Khi đó phương trình: x2 - b2x + bc = 0 trở thành x2 - 4x + 2 = 0

có nghiệm là 2  2

Phương trình: x2 + bx + c = 0 trở thành x2 - 2x - 1 = 0 cónghiệm là 1  2

* Kết luận: (b = 1 ; c 41) hoặc (b = - 2 ; c = - 1)

(Vì các giá trị này thoả mãn điều kiện (*))

c) Tìm các số p và q của phương trình: x2 + px + q = 0 sao chocác nghiệm của nó thoả mãn: 

x

5 x x

3 3 2 1

Giải: * Trước hết phải có điều kiện:  > 0  p2 - 4q > 0

Giải hệ sau:

35 x

x

5 x

x

q x

x

p x

x

3 3

2 1

2 1

2 1

) 3 (

) 2 (

) 1 (

Từ (3) có: (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = p2 - 4q = 25 (5)

Từ (4) có: x31 x32  ( x1 x2)( x21  x1x2 x22)  5 x1 x22 x1x2 35

 (x1 + x2)2 - x1x2 = p2 - q = 7 (6)Kết hợp (5) và (6) ta có: 

25 q 4 p

2 2

(*)Giải được q = - 6 ; p1, 2 =  1

1 p

1 p

thoả mãn điềukiện: p2 - 4q > 0

1 p

1 p

Bài 2: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0

Nếu x1 + x2 = S ; x1.x2 =p thì x1, x2 là nghiệm của phươngtrình

Không giải phương trình (1), hãy lập một phương trìnhbậc hai có các nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệmphương trình (1)

Cách giải:

Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình đã cho theo hệthức viét, ta có:

x1 + x2 = -5; x1.x2 = - 1Gọi y1; y2 là các nghiệm của phương trình phải lập, tacó:

4 4

2

1 x

x = (x1.x2)4 = (- 1)4 = 1

Vậy phương trình cần lập là: y2 - 727y + 1 = 0

Sao cho các nghiệm của phương trình làm m và n

+ 4 = 0 không phải phương trình hãy thành lập phương trìnhbậc 2 với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là: βα 1 và

ỨNG DỤNG 6: Phân tích đa thức ax2 + bx + c (a0) thµnhnh©n tö

*) Phương pháp:

Bài toán: Cho PT: ax2 + bx + c = 0 (a≠0) (1)

Chứng tỏ rằng: Nếu PT có 2 nghiệm x1; x2 thì :

ax2 + bx+ c = a(x - x1)(x - x2)Giải: PT (1) có nghiệm    0 Giả sử x1, x2 là

nghiệm của PT(1), theo vi ét ta có:

a b x

x

2 1

2 1

ax2 + bx + c = a(x2+ )

a

c x a

b

 =  1 2 1 2

2 (x x )x x x x

Xét PT bậc hai tương ứng: 2x2 -5x + 3 = 0 Ta có: 2+(-5)+3=0 nên có nghiệm x1=1; x2= 23 suy ra 2x2-5x+3 = 2(x-1)(x-23 )

Bài tập 2: Chứng minh rằng đa thức 5x2 +2 10.x + 2viết dược về dạng bình phương một nhị thức?

Giải: Xét phương trình bậc hai tương ứng 5x2 +2

10.x + 2 = 0

0 5 2 ) 10

5 )

5

10 (

5 ) 5

10 )(

a a

Điều kiện Ta phải có 2a4 - 5a2 +3 ≠ 0

2 1

y y

2 2 2 4 2 1

a a a a y y

4

2 4

y y a

a a a

Xét y2 - 9y + 8 = 0 có 2 nghiệm y1=1;y2=8

) 8 )(

1 ( 8

3 )(

1 ( 3 5

2 2     

) 2

3 ( 2

8 )

2

3 )(

1 ( 2

) 8 )(

1 ( 3

y

y y y

a a

thì

) 3

2 (

8 )

2

3 )(

1 ( 2

) 8 )(

1 ( 3

2

2 2

a

a a

Việc phân tích đa thức f(x) = ax 2 + bx + c (1) (a  0)

thành nhân tử như trên được dùng để xét dấu đa thức

bậc 2.Nghiệm của đa thức (1) chính là nghiệm của

phương trình bậc hai tương ứng ax 2 + bx + c = 0.

ỨNG DỤNG 7: XÐt dÊu c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai.

*) Phương pháp:

Cho phương trình bậc 2 ax2+bx+c = 0 (a≠0) có 2 nghiệm

x1;x2 (x 1 x2)

P thì 0 x 1 x2 ( 2 nghiệmdương)

S phương trình có 1 nghiệm dương( S

= 0 có 2 nghiệm đối nhau)

P  phương trình có 2 nghiệm lànghịch đảo của nhau

*) Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Tìm m để m phương trình x22x(m+2)+m2+2m+3 = 0(1) có ít nhất 1 nghiệmdương

-Giải: Phương trình (1) có nghiệm

dương   2

2 7 0 )2 (2 0 )3 2 ( ( 0

m m m a

Vậy m  2 thì phương trình (1) có ít nhất 1nghiệm dương

Bài tập 2: Cho phương trình: mx2 - 2(3 - m)x + m - 4 = 0

(1)

Xác định m để phương trình: - Có đúng 1 nghiệm âm

- Có 2 nghiệm đối nhau

Giải: Xét 2 trường hợp:

* TH1: Với m =0 ta có: (1)  - 6x - 4 = 0  x 32lànghiệm âm duy nhất của phương trình

* TH2: Với m  0 khi đó để (1) có đúng 1 nghiệm âmcần điều kiện là:

x 0 x

2 1

2 1

x 0 x

x 0 x

2 1

2 1

2 1

b vµ 0

0 p

0 vµS 0

4 m 0 4 m

Vậy m  (0; 4] hoặc m = 29 thì phương trình có đúng 1nghiệm âm

Bài tập 3: Cho phương trình: 2x2 - (m - 1)x + m2 - 4m + 3 = 0

có ít nhất 1 nghiệm không âm.

Bài tập 2: Cho PT x4 - 5x2 + 4 = 0(1) Không giải

phương trình hãy xét xem PT (1) có bao nhiêu

ỨNG DỤNG 8: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt.

KL: Hai số có tổng không đổi tích lớn nhất  2 số bằng nhau.

- Nếu x1 > 0; x2 > 0 và x1 x2 = P (Không đổi)

Vậy Min(x12 + x22) = 114 khi m = 43

Bài tập 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình:

2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2

Cách giải:

Để phương trình đã cho có nghiệm thì:

' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5) 0 - 5  m  - 1 (*)

Khi đó theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = - m – 1;x1 .x2 =

Suy ra: A =  m2 28m 7 = 9 (m24)2  92

Dấu bằng xảy ra khi (m + 4)2 = 0 hay m = - 4

Vậy A đạt giá trị lớn nhất là: 29 khi m = - 4, giá trị này thoảmãn điều kiện (*)

*) Bài tập đề nghị:

x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0Tìm m để 2

2

2

1 x

x  có giá trị nhỏ nhất

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

A = x1x2 + 2x1 + 2x2

(m là tham số) Tìm m sao cho 2 nghiệm x1; x2 của phươngtrình thoả mãn 10x1x2 + 2

x x x

x x u

?





u u

x

x x

x

x x

5

1

5 1

5

x

x x x

x x u

x

x x x

x x u

5





u u

u, v là nghiệm của phương trình: x2 - 5x + 6 = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2

7 yx y x

7 P S

Khi đó S và P là hai nghiệm của phương trình: t2 – 7t + 12 = 0.Giải phương trình này được t = 4 và t = 3

+ Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x, y là nghiệm của phươngtrình:

u2 - 4u + 3 = 0  u = 1 và u = 3 Suy ra (x = 1; y = 3) và (x = 3; y = 1)+ Nếu S = 3 thì P = 4 khi đó x, y là nghiệm của phươngtrình:

v2 – 3v + 4 = 0Phương trình này vô nghiệm vì  = 9 - 16 = - 7 < 0

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm số là:(x = 1; y = 3) và (x =3; y =1)

*) Bài tập đề nghị:

Bài 1: Giải phương trình: x3 + 9x2 + 18 + 28 = 0

Bài2: Giải các hệ phương trình sau:

a)   



 4 y x 9 x 2 2

3 y x

4 4

ỨNG DỤNG 10: HÖ thøc ViÐt trong sù t¬ng giao hµm sè.

*) Phương pháp:

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (D): Y = AX + B (A

 0) VỚI PARABOL (P):

y = mx (m 2  0):

x

m a x

x

B A

B A

x

a x x

2 1 2 1

 a và b

 phương trình tiếp tuyến

*) Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Cho parabol (P) có phương trình: (P): y = x2

Gọi A và B là 2 điểm  (P) có hoành độ lần lượt là xA =

-1 ; xB = 2 Lập phương trình dường thẳng đi và A và B

* Giải: (Ta có thể ứng dụng hệ thức Viet)

* Giả sử phương trình đường thẳng (AB): y = ax + b

Phương trình hoành độ giao điểm của (AB) và (P) là: x2

x

a x x

B A B A

 





 2 b 1 a

Vậy phương trình đường thẳng (AB) là: y = x + 2

Bài tập 2: Cho (P): y x4

2

 ; A  (P) có hoành độ xA = 2 lậpphương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A

Giải:

Giả sử phương trình tiếp tuyến tại A là (d): y = ax + b

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

x

a 4 x x

2 1 2 1

1 a

Vậy phương trình tiếp tuyến (d) là: y = x – 1