Nhị thức NIU-TƠN Nhóm TỔ HỢP - NHỊ THỨC NIUTƠN A. Lý thuyết: I. TỔ HỢP: 1. Định nghĩa: Cho n phần tử khác nhau. Một tổ hợp chập n phần tử là một tập con chứa r phần tử 2. Số tổ hợp n chập r là ( ) )!(! ! 3.2.1 )1) (3)(2(1 rnr n r rnnnnn C r n − = +−−−− = 3. Tính chất: a) CC rn n r n − = b) 1 0 == CC n nn , n CC n nn == −11 c) CCC r n r n r n 1 11 − −− += d) CC r n r n r rn 1 1 1 − − +− = e) 2 210 n n nnnn CCCC =++++ II. NHỊ THỨC NIUTƠN ( ) ( ) bCbaCaCaC ba nn n n n n n n n n n b 1 222110 ±± +++±= −− (1) Nhận xét: trong biểu thức ở VP của công thức (1) - Số hạng tử là n+1. - Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tồng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (qui ước a 0 = b 0 = 1). - Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau. - Số hạng tử thứ k+1 la T k+1 = C n k a n – k b k Chú ý: a = b = 1 ta có CCCCCC n n n n k nnnn n +++++++= −1210 2 a=1; b= -1 ta có 0 ( ) ( ) CCCCC n n n k n k nnn 11 210 −− +++++−= B. BÀI TẬP Dạng 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton Dạng 2: Rút gọn, tính giá trị của biểu thức Dạng 3: Giải phương trình Dạng 4: Tìm giá trị của hệ số trong khai triển Newton Phương pháp: Ta có : ( ) baC ba iin n i i n n − = ∑ + = 0 Khi đó: Trang 1 Nhị thức NIU-TƠN Nhóm Hệ số của số hạng tử thứ i là C i n Số hạng tử thứ i là baC iini n − Ta có: ( ) ( ) ( ) xC xx C xx iin n i i n iin n i i n n βα βαβα +− = − = ∑∑ + == )( 00 Khi đó: Hệ số của x k là C i n trong đó I là nghiệm của phương trình : kiin =+− βα )( Khi k = 0 đó là số hạng không phụ thuộc vào x Dạng 5: Sử dụng khai triển Newton chứng minh đẳng thức - bất đẳng thức Trang 2 Nhị thức NIU-TƠN Nhóm BÀI TẬP NHỊ THỨC NIU – TƠN Dạng 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn Dạng 2: Rút gọn, tính giá trị biểu thức Dạng 3: Giải phương trình Bài 1: a) ( ) 5 2ba + = ∑ = − 5 0 5 5 .)2.( k kkk abC = 500 5 .)2.( abC + 411 5 .)2.( abC + … + 055 5 .)2.( abC = 5 a + 4 10ba + 32 40 ab + 23 80 ab + ab 4 80 + 5 32b Bài 2: Viết 3 số hạng đầ tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong khai triển ( ) 8 23 x− = ∑ = − 5 0 8 5 )2.()3.( k kkk xC Bài 3: Tính a) S= 5 5 52 5 21 5 0 5 CxCxxCC ++++ Ta có: 2433 2 223 2 22)21( )1( 5 5 5 52 5 21 5 0 5 5 5 5 52 5 21 5 0 5 5 5 5 52 5 21 5 0 5 5 ==⇒ ++++=⇒ ++++=+⇒ ++++=+ S CCCC CCCC CxCxxCCx c) C = 0 n C + 2 1 n C + … + 1+n C n n ( ) dxx n ∫ + 1 0 1 = ( ) dxxCxCC nn nnn ∫ +++ 1 0 10 = 1 0 1 1 )1( + + + n x n = 1 12 1 + − + n n Vậy C = 1 12 1 + − + n n d) D = 1 n C - 2 2 n C + … + 1 )1( − − n . n. n n C ( ) ')1( n x− = ( ) [ ] nn n n nnnn xCxCxCxCC 1 332210 −++−+− -n 1 )1( − − n x = ( ) 12321 1 32 − −++−+− nn n n nnn xnCxCxCC Chọn n 1 )11( − − n = D ⇒ D = 0 Bài 4: Rút gọn biểu thức: A = 12 2 3 2 1 2 − +++ n nnn CCC B = n nnn CCC 2 2 2 2 0 2 +++ Ta có A + B = 12 2 3 2 1 2 − +++ n nnn CCC + n nnn CCC 2 2 2 2 0 2 +++ = n )11( + = n 2 (1) và A - B = 12 2 3 2 1 2 − +++ n nnn CCC - ( ) n nnn CCC 2 2 2 2 0 2 +++ Trang 3 Nhị thức NIU-TƠN Nhóm = n )11( − = 0 (2) Từ (1) và (2), ta có 12 2 − == n BA Bài 5: Giải phương trình: 10921 −−−− ++++ x x c x x x x x CCCC = 1023 )10( ≥x ⇔ 109210 xxxxx CCCCC +++++ = 1024 ⇔ x 2 = 10 2 ⇔ x = 10 Dạng 4: Tìm giá trị của hệ số trong khai triển Niu-tơn Bài 1: Tìm số hạng thứ 13 của khai triển ( ) 15 3 23 + Ta có số hạng thứ k+1 của khai triển là T kkk k C )2.()3.( 15 3 151 − + = Theo giả thuyết T = +1k T 13 ⇒ k+1 = 13 ⇒ k = 12 Khi đó T 123 3 12 1513 )2.()3.(C= = 87360. Vậy T 13 = 87360 Bài 2: Tìm số hạng thứ 5 của khai triển 13 3 1 − z z , số hạng nào chứa z với mũ số tự nhiên. Giải Ta có số hạng thứ k+1 của khai triển là T kkk k z zC ) 1 .(. 3 13 131 − = − + Theo giả thuyết T = +1k T 5 k+1 = 5 k = 4 Khi đó T 4 3 94 135 ) 1 .(. z zC − = = 715. 3 8 z z Vậy T 5 = 715. 3 8 z z Mặt khác, ta có: T kkk k z zC ) 1 .(. 3 13 131 − = − + k k k zC )1.(. 3 439 13 −= − Do đó, z có số mũ tự nhiên 39 – 4k 3 (0 ≤ k ≤13) ⇒ > k k 439 34 ⇔ = = = = 9 6 3 0 k k k k Trang 4 Nhị thức NIU-TƠN Nhóm + Với k=0 T 1 = 13 z + Với k=3 T 4 = - 93 13 .zC = -286 9 z + Với k=6 T 7 = 56 13 .zC = 1716 5 z + Với k=9 T 10 = - 19 13 .zC = -175 z Vậy các số hạng chứa z với số mũ tự nhiên là T 1 = 13 z , T 3 = -286 9 z , T 7 = 1716 5 z , T 10 = -175 z Bài 3: Viết lại P(x) = ( ) x+1 + 2 ( ) 2 1 x+ + … + 20 ( ) 20 1 x+ dưới dạng P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 2 x + … + a 20 20 x . Tìm a 9 Giải Ta có: P(x) = ( ) x+1 + 2 ( ) 2 1 x+ + … + 20 ( ) 20 1 x+ = (1 + 2 0 2 C + 3 0 3 C + … + 20 0 20 C ) + (1 + 2 1 2 C + 3 1 3 C + … + 20 1 20 C ) x + (2 2 2 C + 3 2 3 C + … + 20 2 20 C ) 2 x + … + 20 20 20 C 20 x ⇒ a 9 = 9 9 9 C + 10 9 10 C + … + 20 9 20 C Bài 4: Trong khai triển n xxx + − 15 28 3 hãy tìm số hạng không phụ thuộc x, biết: n n C + 1−n n C + 2−n n C = 79 Giải Ta có n n C + 1−n n C + 2−n n C = 79 ⇔ 1 + n + ( ) 2 1−nn = 79 ⇔ 2 n + n - 156 = 0 ⇔ −= = 13 12 n n ⇒ n = 12 Số hạng thứ k + 1 là T ( ) k kn k k xxxC = − − + 15 28 3 81 = ( ) 5 16 3 4 . kn k n xC − Số hạng không phụ thuộc biến ⇒ 5 16 3 4 kn − = 0 ⇒ k = 5 ⇒ 5 12 C = 792 Bài 6 : Cho biết ba hạng tử đầu tiên của khai triển n x x + 4 2 1 có các hệ số là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng. Tìm tất cả các hạng tử hữu tỷ của khai triển trên. Giải Theo công thức nhị thức Niu – Tơn ta có: Số hạng thứ nhất là : C 0 n = 1. Số hạng thứ hai là : C 2 1 . 1 n 2 n = . Trang 5 Nhị thức NIU-TƠN Nhóm Số hạng thứ ba là : C 2 2 2 1 . n ( ) 8 1− = nn Theo đề bài ta có : ( ) n nn = − + 8 1 1 089 2 =+−⇔ nn = = ⇔ 8 1 n n . Với n = 8 ta có T 1+k = kk k xxC − − 4 1 8 2 1 8 2 1 = k k k xC 4 3 4 8 2 1 − . Xét x k 4 3 4− để hữu tỷ thì 0 4 3 4 <− k 3 16 >⇔ k . Do k nguyên dương nên ta chọn k = 6, 7, 8. k = 6 ta được T 7 = x xC 16 7 2 1 2 1 6 8 6 = − . k = 7 ta có T 8 = 4 3 16 xx . k = 8 ta cũng có T 9 = 2 256 1 x . Xét k 2 1 . k C 8 . Ta có : k = 0 T 4 1 x= (loại) k = 1 T 4 3 2 4 xx= (loại) k = 2 T xx 2 3 7= (loại) k= 3 T 4 3 4 7 xx= (loại) k = 4 T x 8 35 5 = (nhận) k = 5 T 4 6 4 7 x= (nhận) Vậy trong khai triển n x x + 4 2 1 khi ba số hạng đầu tiên liên tiếp lập thành cấp số cộng thì ta có các hạng tử hữu tỷ là 4 2 1 x , x16 7 , 4 3 16 xx , 2 256 1 x , x 8 35 , 4 4 7 x . Bài 7 : Tìm hệ số của 99101 yx trong khai triển ( ) 200 32 yx − . Giải Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có T ( ) 1019999 200 99 10199 200100 3.2 3.2. CC −=−= . Bài 8 : Tính hệ số của 85 yx trong khai triển ( ) 13 yx + . Giải Trang 6 Nhị thức NIU-TƠN Nhóm Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T 1287 8 139 == C . Bài 9 : Tìm hệ số của x 9 trong khai triển ( ) 19 2 x− Giải Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T ( ) 945950722.1.2. 109 19 9 109 1910 −=−=−= CC . Bài 10 : Tìm hệ số của x 7 trong khai triển ( ) 15 23 x− . Giải Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T ( ) 787 15 7 87 158 2.3.2.3. CC −=−= . Bài 11 : Tìm hệ số của 1025 yx trong khai triển ( ) 15 3 xyx + . Giải Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T ( ) ( ) kkk k k k k yxCxyxC 245 15 15 3 151 − − + == . Để tìm hệ số của 1025 yx thì = =− 10 25245 k k . Vậy hệ số của 1025 yx trong khai triển ( ) 15 3 xyx + là T 3003 10 1511 == C . Bài 12 : Biết hệ số của x 2−n trong khai triển n x − 4 1 là 31. Tìm n Giải Hạng tử chứa x 2−n trong khai triển là hạng tử chứa hệ số thứ ba, nên theo đề bài ta có phương trình : 31 4 1 2 2 = − n C ( ) 32.311 =−⇔ nn −= = ⇔=−−⇔ 31 32 0992 2 n n nn .ta nhận n = 32. Vậy hệ số của x 2−n trong khai triển n x − 4 1 là 31 thì n = 32. Bài 13 : Biết hệ số x 2 trong khai triển ( ) n x31− là 90. Tìm n. Giải Theo đề bài ta có phương trình : C 02090)3.( 22 2 =−−⇔=− nn n −= = ⇔ 4 5 n n (loại n = -4) Vậy hệ số x 2 trong khai triển ( ) n x31− là 90 thì n = 5. Bài 14 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 8 3 1 − x x . Giải Theo công thức nhị thức Niu – Tơn ta có T ( ) kk k k k k xC x xC 424 8 8 3 81 . 1 − − + = −= Trang 7 Nhị thức NIU-TƠN Nhóm Để tìm số hạng không chứa x thì 60224 =⇔=− kk . Vậy số hạng không chứa x trong khai triển 8 3 1 − x x là C ( ) 281. 6 6 8 =− . Dạng 5: Sử dụng khai triển Niu-tơn chứng minh đẳng thức-bất đẳng thức: Bài 1: Ta có: ( ) n x+1 = ∑ = n k kk n xC 0 . = 00 .xC n + xC n . 1 + 22 .xC n + … + nn n xC . Thay x = 4, ta được: ( ) n 41+ = ∑ = n k kk n C 0 4. n 5 = 00 4. n C + 4. 1 n C + 22 4. n C + … + nn n C 4. (đpcm !) Bài 2: Ta có: ( ) n x+1 = 00 .xC n + xC n . 1 + 22 .xC n + … + nn n xC . ( ) n 11+ = 0 n C + 1 n C + 2 n C + … + n n C (1) và ( ) n x−1 = 00 .xC n - xC n . 1 + 22 .xC n - 33 .xC n + … + nn n n xC )1(− ( ) n 11− = 0 n C - 1 n C + 2 n C - 3 n C + … + n n n C.)1(− (2) Lấy (1) + (2), ta được: n 2 = 2( 0 n C + 2 n C + 4 n C + …) 1 2 −n = 0 n C + 2 n C + 4 n C + … Lấy (1) - (2), ta được: n 2 = 2( 1 n C + 3 n C + 5 n C + …) 1 2 −n = 1 n C + 3 n C + 5 n C + … Vậy 0 n C + 2 n C + 4 n C + … = 1 n C + 3 n C + 5 n C + … = 1 2 −n Bài 3: 1) CMR: 0 n C + 2 1 n C + … + 1+n C n n = 1 12 1 + − + n n Giải Ta có: ( ) dxx n ∫ + 1 0 1 = 1 0 1 1 )1( + + + n x n = 1 12 1 + − + n n Mặt khác: ( ) n x+1 = 0 n C + xC n . 1 + 22 .xC n + … + nn n xC . Lấy tích phân 2 vế ta được: 1 12 1 + − + n n = 0 n C + 2 1 n C + … + 1+n C n n (đpcm!) 2) CMR: 0 n C - 2 1 n C + … + n )1(− 1+n C n n = 1 1 +n Giải Ta có: ( ) dxx n ∫ − + 0 1 1 = 0 1 1 1 )1( − + + + n x n = 1 1 +n Trang 8 Nhị thức NIU-TƠN Nhóm Mặt khác: ( ) n x−1 = 0 n C - xC n . 1 + 22 .xC n + … + n )1(− nn n xC . Lấy tích phân 2 vế ta được: 0 n C - 2 1 n C + … + n )1(− 1+n C n n = 1 1 +n (đpcm!) Bài 4: Với n là số nguyên dương. CMR: n 1 ( 1 n C + 2 2 n C + … + n n n C ) ≤ n! Giải Ta có: ( ) n x+1 = 0 n C + xC n . 1 + 22 .xC n + … + nn n xC . Lấy đạo hàm 2 vế ta được: n ( ) 1 1 − + n x = 1 n C + 2 22 n Cx + … +n n n n Cx 1− Cho x = 1, ta được: n ( ) 1 11 − + n = 1 n C + 2. 22 1 n C + … +n n n n C 1 1. − n 1 ( 1 n C + 2 2 n C + … + n n n C ) = 1 2 −n Mặt khác: 1 2 −n ≤ 1.2.3…n = n! Vậy n 1 ( 1 n C + 2 2 n C + … + n n n C ) ≤ n! Trang 9 . 2: Tìm số hạng thứ 5 của khai triển 13 3 1 − z z , số hạng nào chứa z với mũ số tự nhi n. Giải Ta có số hạng thứ k+1 của khai triển là T kkk k z zC ) 1 .(. 3 13 131 − = − + Theo. ta có: T kkk k z zC ) 1 .(. 3 13 131 − = − + k k k zC )1.(. 3 439 13 −= − Do đó, z có số mũ tự nhi n 39 – 4k 3 (0 ≤ k ≤13) ⇒ > k k 439 34 ⇔ = = = = 9 6 3 0 k k k k Trang. 56 13 .zC = 1716 5 z + Với k=9 T 10 = - 19 13 .zC = -175 z Vậy các số hạng chứa z với số mũ tự nhi n là T 1 = 13 z , T 3 = -286 9 z , T 7 = 1716 5 z , T 10 = -175 z Bài 3: Viết lại P(x)