Hướng dẫn giải bài tập về tính đơn điệu của hàm số cực hay

Hướng dẫn giải bài tập về tính đơn điệu của hàm số cực hay, Hướng dẫn giải bài tập về tính đơn điệu của hàm số cực hay, Hướng dẫn giải bài tập về tính đơn điệu của hàm số cực hay, Hướng dẫn giải bài tập về tính đơn điệu của hàm số cực hay

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 1 HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TOÁN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Quy tắc: 1. Tìm TXĐ của hàm số. 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm x i mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. 3. Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần và lập BBT. 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Bài 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau: 2 3 2 4 2 3x 2 x 2x + 3 a)y 2x + 3x + 1 b) y = x 2x 3 c)y d)y x 1 x 1        Bài 2. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: 3 2 22 x x x a) y 25 x b) y c) y d) y x 100 16 x x 6        Bài 3. Chứng minh rằng: a) Hàm số 2 y x 1 x   đồng biến trên khoảng 1 1; 2     và nghịch biến trên khoảng 1 ;1 2    . b) Hàm số 2 y x x 20   nghịch biến trên khoảng   ;4  và đồng biến trên khoảng   5; . Bài 4. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:   5 a) y x sinx, x 0;2 b) y x 2cosx, x ; 66            Bài 5. Chứng minh rằng: a)   f x cos2x 2x 3   nghịch biến trên R. >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 2 b)   2 f x x cos x đồng biến trên R. Giải: a) Ta có: f '(x) 2(sin2x 1) 0, x R      và f '(x) 0 sin2x 1 x k , k Z 4            Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn   k ; k 1 44            và có đạo hàm f’(x) < 0 với mọi   x k ; k 1 , k Z 44              . Do đó, hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn   k ; k 1 , k Z 44             . Vậy hàm nghịch biến trên R. b) Ta có: f’(x) = 1 – sin2x; f '(x) 0 sin2x 1 x k , k Z 4          NX: Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn   k ; k 1 44          và có đạo hàm f’(x) > 0 với mọi   x k ; k 1 , k Z 44            . Do đó hàm số đồng biến trên mỗi đoạn   k ; k 1 , k Z 44           . Vậy hàm đồng biến trên R. VẤN ĐỀ 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MIỀN K Phƣơng pháp: Sử dụng các kiến thức sau đây: 1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.  Nếu f '(x) 0, x K   thì f(x) đồng biến trên K.  Nếu f '(x) 0, x K   thì f(x) nghịch biến trên K. >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 3 2. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c có biệt thức 2 b 4ac   . Ta có:  a0 f(x) 0, x R 0           a0 f(x) 0, x R 0          3. Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K”. Ta thực hiện theo các bước sau:  B1. Tính đạo hàm f’(x,m).  B2. Lý luận: Hàm số đồng biến trên K f '(x,m) 0, x K      m g(x), x K m g(x)      B3. Lập BBT của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m. Bài 1 Với giá trị nào của a, hàm số   32 1 f(x) x 2x 2a 1 x 3a 2 3        nghịch biến trên R ? Giải: TXĐ: R Ta có: 2 f '(x) x 4x 2a 1     , 2a 5   Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi 5 f '(x) 0, x R 0 a 2          . Bài 2 Với giá trị nào của m, hàm số   32 f(x) mx 3x m 2 x 3     nghịch biến trên R ? Giải: TXĐ: R Ta có: 2 f '(x) 3mx 6x m 2    Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi 2 f '(x) 3mx 6x m 2 0, x R       >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 4  m = 0, khi đó f’(x) = 1 6x 2 0 x 3       : không thỏa xR .  m0 , khi đó m0 f '(x) 0, x R 9 3m(m 2) 0              2 m0 m0 m1 m 1 v m 3 3m 6m 9 0                    Vậy, với m1 thì thỏa mãn bài toán. Bài 3 Với giá trị nào của m, hàm số   2 3x mx 2 fx 2x 1      nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. Giải: TXĐ: 1 D R \ 2     Đạo hàm:   2 2 6x 6x 4 m f '(x) 2x 1       Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi 1 f '(x) 0, x 2    2 1 11 6x 6x 4 m 0, x ' 9 6(4 m) 0 m 22                 Bài 4 Định m để hàm số mx 1 y xm    luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. Giải: TXĐ:   D R \ m >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 5 Đạo hàm:   2 2 m1 y' xm    . Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi 2 y' 0, x m m 1 0 m 1 v m 1           Bài 5 Tìm m để hàm số     32 11 y mx m 1 x 3 m 2 x 33       đồng biến trên   2; . Giải: Ta có:     2 y' mx 2 m 1 x 3 m 2     Hàm số đồng trên       2 2; y' 0, x 2 mx 2 m 1 x 3 m 2 0, x 2               2 2 6 2x m x 2x 3 2x 6 0, x 2 m , x 2 x 2x 3               (vì x 2 – 2x + 3 > 0) Bài toán trở thành: Tìm m để hàm số   2 6 2x f x m, x 2 x 2x 3       Ta có       2 2 2 2 2x 12x 6 f ' x , f ' x 0 2x 12x 6 0 x 3 6 x 2x 3            BBT: x 2 36  f’(x) 0 f(x) 2 3 0 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 6 Ta cần có:   2; 2 max f(x) m m 3   . Đó là các giá trị cần tìm của tham số m. Bài 6 Tìm m để hàm số 2 mx 6x 2 y x2    nghịch biến trên nửa khoảng   1;  . Giải: Ta có:   2 2 mx 4mx 14 y' x2    Hàm số nghịch biến trên   2 1; y' 0, x 1 mx 4mx 14 0, x 1             2 2 14 m x 4x 14, x 1 m , 1 x 4x             Bài toán trở thành: Tìm m để hàm số   2 14 f x m, x 1 x 4x       Ta có:   2 2 14(2x 4) f '(x) 0, x 1 x 4x       x 1  f’(x) f(x) 0 14 5  Ta cần có:   1; 14 min f(x) m m 5      . Vậy 14 m 5  là các giá trị cần tìm của m. Bài tập tự giải: >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 7 Bài 1. Tìm các giá trị của tham số a để hàm số   32 1 f x x ax 4x + 3 3    đồng biến trên R Bài 2. Với giá trị nào của m, hàm số m y x 2 x1     đồng biến trên mỗi khoảng xác định ? Bài 3. Định a để hàm số     2 3 2 1 y a 1 x a 1 x 3x 5 3       luôn đồng biến trên R ? ĐS: a 1v a 2   Bài 4. Cho hàm số   2 m 1 x 2x 1 y x1      . Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. ĐS: 1 m 2 Bài 5. Cho hàm số     3 2 2 y x m 1 x m 2 x m       . Chứng minh rằng hàm số luôn nghịch biến trên R với mọi m. Bài 6. Tìm m để hàm số y = 3x 3 – 2x 2 + mx – 4 đồng biến trên khoảng   0; . ĐS: 4 m 9  . Bài 7. Tìm m để hàm số y = 4mx 3 – 6x 2 + (2m – 1)x + 1 tăng trên khoảng (0;2). ĐS: 9 m 10  . Bài 8. Cho hàm số 2 x 2mx m 2 y xm      . a) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng   1;  . VẤN ĐỀ 3: SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 8 Phƣơng pháp: Sử dụng kiến thức sau:  f(x) đồng biến trên đoạn   a; b thì         f a f x f b , x a; b     f(x) nghịch biến trên đoạn   a; b thì         f a f x f b , x a; b    Bài 1 Cho hàm số   f x 2sinx tanx 3x   . a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; 2      . b) Chứng minh rằng: 2sinx tanx 3x, x 0; 2         . Giải: a) Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng 0; 2      và có     2 22 1 cosx 2cosx 1 1 f '(x) 2cosx 3 0, 0; cos x cos x 2            . Do đó, hàm số f đồng biến trên nửa khoảng 0; 2      (đpcm). b) Từ câu a) suy ra f(x) > f(0) = 0, x 0; 2sinx tanx 3x, x 0; 22                     (đpcm). Bài 2 a) Chứng minh rằng hàm số   f x tanx x đồng biến trên nửa khoảng 0; 2      . b) Chứng minh rằng 3 x tanx x , x 0; 32         . Giải: >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 9 a) Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng 0; 2      và có 2 2 1 f '(x) 1 tan x 0, cos x     x 0; 2      . Do đó, hàm số f đồng biến trên nửa khoảng 0; 2      . b) Từ câu a) suy ra f(x) > f(0) = 0, x 0; tanx x, x 0; 22                    . Xét hàm số 3 x g(x) tanx x 3    trên nửa khoảng 0; 2      . Hàm số này liên tục trên nửa khoảng 0; 2      và có đạo hàm 2 2 2 2 1 g'(x) 1 x tan x x 0, x 0; cos x 2             , do tanx x, x 0; 2        . Do đó, hàm số g đồng biến trên nửa khoảng 0; 2      nên g(x) > g(0) = 0 x 0; 2      3 x tanx x , x 0; 32          (đpcm). Bài 3 Chứng minh rằng : 2(x 1) lnx x1    , với mọi x > 1. Giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với 2(x 1) lnx 0, x 1 x1       Xét hàm số   2(x 1) f(x) lnx , x 0; x1       . Ta có:         2 22 x1 14 f '(x) 0, x 0; x x 1 x x 1          Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng   0; nên cũng đồng biến trên khoảng   1;  . Vậy ta luôn có f(x) > f(1) = 0 với mọi x > 1. Đó cũng là điều phải chứng minh. Bài tập tự giải: >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 10 Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) sinx x, x 0   và sinx 0, x 0   b) 2 x cosx 1 , x 0 2     c) 3 x sinx x , x 0 6     và 3 x sinx x , x 0 6     d) sinx tanx 2x, x 0; 2         e) 2x sinx , x 0; 2         f) tanx sinx với 0x 2   Bài 2. Cho hàm số   4 f x x tanx, x 0; 4         . a) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn 0; 4     . b) Từ đó suy ra rằng: tanx x, x 0; 44        . Bài 3. Chứng minh rằng: 2 1 x 1 1 x 1 x 1 x 2 8 2       với   x 0;  VẤN ĐỀ 4: SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM DUY NHẤT Bài 1 Cho hàm số   2 f x 2x x 2 . a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng   2; . b) Chứng minh rằng phương trình 2 2x x 2 11 có một nghiệm duy nhất. [...]... ; ) 2x 1 2 Bài 5: Xác định m để hàm số y = 3x3 +- 2x2 + mx -4 đồng biến trên khoảng (-1;+  ) Bài 6: Cho hàm số y = 4x3 + (m+3)x2 + mx Tìm m để: a Hàm số tăng trên R b Hàm số tăng trên khoảng [2;+  ) 1 1 c Nghịch biến trên khoảng [  ; ] 2 2 d Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 Bài 7: Cho hàm số y = x 1 Tìm m để hàm số: xm a Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó b Tăng... Bài 8: Cho hàm số y = x 2  x  m2 Với giá trị nào của m x 1 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 22 a Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó b Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0;1) và (2;4) Bài 9: Tìm tham số m sao cho y = 4mx3 – 6x2 +(2m-1)x + 1 tăng trên khoảng (0;2) Bài 10 Cho hàm số y = - x4 + 2mx2 – m2 Với giá trị nào của. .. của tham số Bài tập làm thêm Bài 1: Tìm điều kiện của tham số m sao cho a y = x3 – mx2 –(2m2 – 7m+7)x+2(m-1)(2m-3) đồng biến trên khoảng [2;+  ) b y = mx 2  (m  1) x  1 đồng biến trên khoảng (1;+  ) 2x  m Đáp số: a, 1  m  5 2 b, 0  m  1 Bài 2: Tìm điều kiện của tham số m sao cho: y = x3 – (m+1)x2 – (2m2 -3m+2)x+m(2m – 1) đồng biến trên [2;+  ) Đáp số: 2  m  2 3 Bài 3: Tìm điều kiện của. .. 2)  5(x  1) (5) Giải: Điều kiện xác định của phương trình: x > 3 Khi đó: (5)  log 2 (x  3)  log 3 (x  2)  5(x  1) 4(x  2) Xét hai hàm số f (x)  log 2 (x  3)  log3 (x  2) và g(x)  5(x  1) là hai hàm xác định 4(x  2) và liên tục trên khoảng  3;  , ta có:  f(x) là tổng của hai hàm số đồng biến nên là hàm số đồng biến  vì g '(x)   45 4  x  2 2  0 nên g(x) là hàm nghịch biến Mặt.. .Giải:  a) TXĐ: D  2;    x 2  x  5x  8  0, x   2;   Đạo hàm: f '(x)  2  2 x  2   2 x2  x2  Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng  2;  b) NX: Hàm số liên tục trên [2;3] và có f(2) = 0, f(3) = 18 Vì 0 < 11 < 18 nên c   2;3 sao  cho f(c) = 11 Số thực c là một nghiệm của phương trình và vì f đồng biến trên 2;  nên c là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho Bài. .. phương trình : x  3 Xét hai hàm số f (x)  2 3 x  và g(x)  x  8x  14 xác định và liên tục trên  ;3 , ta 2 có: f '(x)  2 3 x  1    ln 2  0 và g'(x)  2x  8  0 với mọi x   ;3 2 3 x    Như vậy f(x) là hàm số nghịch biến, còn g(x) là hàm số đồng biến trên  ;3 Mặt khác f(3) = g(3) = 1 nên x = 3 là nghiệm của (4) và đó là nghiệm duy nhất Bài 5   Giải phương trình: 4(x  2)... đạo hàm 3 f '(x)  5x 4  3x 2   3 1  0, x  3 2 1  3x   1 Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng  ;  Mặt khác f(-1) = 0, nên x = -1 là một 3  nghiệm của (3) và cũng là nghiệm duy nhất của phương trình này Bài 4 Giải phương trình: 2 3 x  x 2  8x  14 (4) Giải: >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 12 Điều kiện xác định của. .. Anh – Văn tốt nhất! 16 t2  2 Xét hàm số f(t)  với t [1;2] Ta có: t 1 f’(t)  t 2  2t  2 (t  1)2  0, x  [1;2] Vậy hàm số f tăng trên [1; 2] Do đó, yêu cầu bài toán trở thành tìm m để (1) có nghiệm t[1,2]  2 m  max f(t)  f(2)  t1;2  3   Đó là giá trị cần tìm của tham số Bài 2 Tìm m để phương trình 4 x 4  13x  m  x  1  0 có đúng một nghiệm Giải: Ta có: 4 x 4  13x  m  x ... nghiệm của hệ)    xy  1  x  y   x 1  x   2x  x 2 x 2  2x  1 m  m () x x 2  2x  1 1 Xét hàm số f (x)   x  2  trên tập D   ;1 \ 0 x x Ta có hàm số f(x) liên tục trên D và có đạo hàm f '(x)  1  1  0, x   ;0    0;1 x2 Giới hạn : lim f (x)  ; lim  ; lim   và f(1) = 2   x  x 0 x 0 BBT : x – f’(x) 0 1 + +  2 f(x) – – Từ BBT ta thấy : Yêu cầu bài. ..   Vậy, hàm số đồng biến trên đoạn  0;  và nghịch biến trên đoạn  ;    3 3  >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 11    5 b) Hàm số liên tục trên đoạn  ;   và f    ,f     1 Theo định lí về giá trị trung 3  3 4   ;   sao cho f(c) = 3    0 Số c là nghiệm của phương trình sin2x + cosx = m Vì hàm f nghịch . đoạn   k ; k 1 , k Z 44           . Vậy hàm đồng biến trên R. VẤN ĐỀ 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MIỀN K Phƣơng pháp: Sử dụng các kiến thức sau đây: 1. Cho hàm số. g(x), x K m g(x)      B3. Lập BBT của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m. Bài 1 Với giá trị nào của a, hàm số   32 1 f(x) x 2x 2a 1 x 3a 2 3        . Văn tốt nhất! 6 Ta cần có:   2; 2 max f(x) m m 3   . Đó là các giá trị cần tìm của tham số m. Bài 6 Tìm m để hàm số 2 mx 6x 2 y x2    nghịch biến trên nửa khoảng   1;  .