Hướng dẫn giải bài tập về tính đơn điệu của hàm số cực hay

Hướng dẫn giải bài tập về tính đơn điệu của hàm số cực hay, Hướng dẫn giải bài tập về tính đơn điệu của hàm số cực hay, Hướng dẫn giải bài tập về tính đơn điệu của hàm số cực hay, Hướng dẫn giải bài tập về tính đơn điệu của hàm số cực hay

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TOÁN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

Quy tắc:

1 Tìm TXĐ của hàm số

2 Tính đạo hàm f’(x) Tìm các điểm x i mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

3 Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần và lập BBT

4 Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 1 Xét chiều biến thiên các hàm số sau:

;1 2

  b) Hàm số y  x2   x 20 nghịch biến trên khoảng    ; 4  và đồng biến trên khoảng  5;  

Bài 4 Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

Vậy hàm đồng biến trên R

VẤN ĐỀ 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MIỀN K

Phương pháp: Sử dụng các kiến thức sau đây:

1 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

 Nếu f '(x)    0, x K thì f(x) đồng biến trên K

 Nếu f '(x)    0, x K thì f(x) nghịch biến trên K

2 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức   b2 4ac Ta có:

Đạo hàm:

2 2

Bài 1 Tìm các giá trị của tham số a để hàm số   1 3 2

a) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng  1;  

VẤN ĐỀ 3:

SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Phương pháp: Sử dụng kiến thức sau:

 f(x) đồng biến trên đoạn   a; b thì f a        f x  f b ,   x   a; b

 f(x) nghịch biến trên đoạn   a; b thì f a        f x  f b ,   x   a; b

Bài 1

Cho hàm số f x    2sin x  tan x  3x

a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0;

a) Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng 0;

Bài 1 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) sin x    x, x 0 và sin x    0, x 0

b)

2x

2

   c)

SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ

CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM DUY NHẤT

Bài 1

Cho hàm số   2

f x  2x x  2

a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng  2;  

b) Chứng minh rằng phương trình 2x2 x   2 11 có một nghiệm duy nhất

Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng  2;  

b) NX: Hàm số liên tục trên [2;3] và có f(2) = 0, f(3) = 18 Vì 0 < 11 < 18 nên   c   2;3 sao cho f(c) = 11 Số thực c là một nghiệm của phương trình và vì f đồng biến trên  2;   nên

c là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

x + cosx = m có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn   0; 

Giải:

a) Hàm số đã cho liên tục trên   0;  và có đạo hàm

f’(x) = 2sinxcosx – sinx = sinx(2cosx – 1), x    0; 

vì khi đó sinx > 0 nên f '(x) 0 cos x 1 x

b) Hàm số liên tục trên đoạn ;

  Theo định lí về giá trị trung

Bài 4

Giải phương trình: 2 3 x    x2 8x 14  (4)

Giải:

Điều kiện xác định của phương trình : x  3

f (x)  2  và g(x)    x2 8x 14  xác định và liên tục trên   ;3 , ta có:

và liên tục trên khoảng  3;  , ta có:

 f(x) là tổng của hai hàm số đồng biến nên là hàm số đồng biến

x 2

1 1

5 t

Ta có f(x) là hàm liên tục trên khoảng    1;  và có đạo hàm

Chú ý Cho f(x) là hàm số liên tục trên T, thì:

a) f x    a với mọi x    T a max f x  

b) f x    a với mọi x    T a min f x  

t 2 2

1 Vậy với x   0,1  3   thì 1 t   2

Do đó, yêu cầu bài toán trở thành tìm m để (1) có nghiệm t[1,2] 

x – 1

2

 1 f’(x) + 0 

f(x)

3

2  12



Từ bảng biến thiên ta thấy:

Yêu cầu bài toán xảy ra khi

f(x)

 2

– –

Từ BBT ta thấy :

Yêu cầu bài toán xảy ra khi m > 2 Đó là các giá trị cần tìm của tham số

Bài 4 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2004)

t    t 2 2m có nghiệm t [1;2] Xét hàm số f(t) = t2

+ t – 2 với t [1;2]  Ta có : f’(x) = 2t + 1 > 0, với mọi t [1;2] Vậy yêu cầu bài toán xảy ra khi :

t 2 2

0 Vậy với x [ 1;1]   thì t   0; 2  

Từ t  1 x  2  1 x  2  2 1 x  4   2 t2 Khi đó, phương trình đã cho tương đương với :

Bài tập làm thêm

Bài 1: Tìm điều kiện của tham số m sao cho

a y = x3 – mx2 –(2m2 – 7m+7)x+2(m-1)(2m-3) đồng biến trên khoảng [2;+)

     đồng biến trên khoảng (1;+)

b y = x3 – 3(2m + 1)x2 +(12m + 5)x +2 đồng biến trên khoảng (2;+)

b Hàm số tăng trên khoảng [2;+)

c Nghịch biến trên khoảng [ 1 1; ]

a Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b Tăng trên khoảng (0;+)

a Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0;1) và (2;4)

Bài 9: Tìm tham số m sao cho y = 4mx3

– 6x2 +(2m-1)x + 1 tăng trên khoảng (0;2)