Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2.. Cho tam giác ABC có trọng tâm G, O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.. Tìm toạ độ điểm G’ đối xứng với G qua AC.. Chứng minh H là tr
Trang 1Sở GD & ĐT Bắc Ninh
Trờng THPT Quế Võ I
( Đề thi có 1 trang )
đề thi chọn học sinh giỏi cấp trờng
Năm học 2009 2010– Môn: Toán Khối 10 Thời gian làm bài : 150 phút Câu I: ( 2 điểm )
Cho hàm số y = 4 x2 − 8 x − 5
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2 Tìm m để phơng trình 4 x 2 − 8 x m = có 2 nghiệm phân biệt
Câu II: ( 2 điểm )
1 Giải phơng trình x + 17 − x 2 + x 17 − x 2 = 9
2 Tìm m để hệ phơng trình sau có nghịêm duy nhất
( 1)
2 2
x y
x y
Câu III: ( 2 điểm )
1 Tìm m khác 0 để phơng trình x2 − + x 3 m = 0(1) Có một nghiệm gấp hai lần một nghiệm của phơng trình x2 − + = x m 0( 2)
2 Tính giá trị của biểu thức
(tan cot ) (tan cot )
P = α + α − α − α (Với α khác 00, 900, 1800 )
Câu IV: ( 3 điểm )
1 Cho tam giác ABC có trọng tâm G, O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lấy các điểm M,N, H sao cho
3 MA uuur + 4 MB uuur r = 0, uuur NB − 3 uuur r NC = 0
OH OA OB OC uuur uuur uuur uuur = + +
a Chứng minh rằng: 2
7
GM uuuur = − GN uuur
b Giả sử A(-1; 1 ); B( 1; 3 ); C( 3; 1 ) Tìm toạ độ điểm G’ đối xứng với G qua
AC
c Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC.
Câu V: ( 1 điểm )
a ≥ − b ≥ − c ≥ − và a+b+c = 1.
Chứng minh rằng 2 a + + 1 2 b + + 1 2 c + < 1 4
( Thí sinh không dùng tài liệu trong quá trình làm bài )
đáp án
đề thi học sinh giỏi cấp trờng năm học 2009 – 2010
Môn: Toán Khối 10 Ngời soạn: Trần Đình Thắng
Trang 21 TXĐ
Toạ độ đỉnh
Tính đồng biến, nghịch biến
Bảng biến thiên
Đồ thị
0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm Câu I 2 Phơng trình tơng đơng 4 x2 − 8 x − = − 5 m 5
y = x − x − Vẽ đúng đồ thị Xét hàm y2 = − m 5 là đờng thẳng ( d ) song song hoặc
trùng trục 0x
Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của 2 đồ thị hàm số và đơng thẳng d Vậy để phơng trình có 2 nghiệm
− > − >
0.25 điểm 0.25 điểm
0.25 điểm 0.25 điểm
1 Đk: − 17 ≤ ≤ x 17
Đặt y = 17 − x2 ta có hệ phơng trình
x y xy x y xy
⇔
Giải tìm đợc 1
4
x x
=
=
0.25 điểm 0.25 điểm
0.5 điểm
Câu II
x y
Hệ trở thành ( 1)
( 2) 2 2( 1)
m u mv m
Tính
2 2 2
4 2
2 2
u v
Để hệ có nghiệm duy nhất thì D, D u , D v ≠ 0.
Tìm đợc m ≠ 0,2,2 ± 6, 1 − ± 3
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm 0.25 điểm
1 Gọi x 1 là một nghiệm của phơng trình (2) Suy ra phơmg trình (1) có một nghiệm là 2x 1
Vậy ta có:
0
0.25 điểm
Trang 3Câu III
1 0 1 1
Theo gt suy ra m= -2
Thật vậy với m=-2 phơng trình (1) có nghiệm -2 và 3
Phơng trình (2) có nghiệm -1 và 2
Vậy m= -2.
0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm
2 P = 4 tan cot α α
sin cos
cos sin
0.5 điểm 0.5 điểm
1 Ta có 3( GA GM uuur uuuur − ) 4( + GB GM uuur uuuur − ) 0 = r ⇔ 3 GA uuur + 4 GB uuur = 7 GM uuuur ( 1)
Mà ( GB GN uuur uuur − ) 3( − GC GN uuur uuur − ) 0 = r ⇔ GB uuur − 3 GC uuur = − 2 GN uuur
GB GA GB GN
GA GB GN
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Từ (1) và (2) suy ra điều phảI chứng minh
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm 0.25 điểm
Câu IV 2 Ta có AB = 2 2; BC = 2 2
ΔABC cân tại B ⇒ BG ⊥ AC
Gọi G’( x;y) là điểm đối xứng với G qua AC Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành ⇒ GA CG uuur uuuur = '
Tìm ra đợc 1
' 1;
3
G
0.25 điểm
0.25 điểm 0.5 điểm
3 uuur uuur AH BC = ( OH OA OC OB uuur uuur uuur uuuur − )( − )
= ( OB OC OC OB uuur uuur uuur uuur + )( − ) 0 = ⇒ AH ⊥ BC
Tơng tự BH ⊥ AC CH ; ⊥ AB
Vậy H là trực tâm tam giác ABC.
0.25 điểm 0.25 điểm 0.5 điểm
Câu V Đặt x = 2 a + 1; y = 2 b + 1; z = 2 c + 1
Ta thấy x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0
⇒ + + = x y z 2( a b c + + + = ) 3 5.
Ta phải chứng minh x + y + z < 4 (1)
⇔ + + + x y z 2( xy + yz + zx ) 16 <
11
2
xy yz zx
0.25 điểm 0.25 điểm
Trang 4; ;
VËy ⇔ xy + yz + zx ≤ + + = x y z 5
®pcm
0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm