Đề thi và đáp án thi HSG Toán 6

Phòng Giáo dục- Đào tạo ***** đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008 - 2009 môn: Toán 6 (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi này gồm 1 trang Bài 1: (6 điểm) Câu 1: Tính: a) [ ] [ ] 2008.57 1004.( 86) : 32.74 16.( 48) + + b) 1 + 2 3 4 + 5 + 6 7 8 + 9 + 10 + 2006 2007 2008 + 2009 Câu 2: Cho: A = 309 1 308 1 . 5 1 4 1 3 1 2 1 ++++++ B = 308 1 307 2 306 3 . 3 306 2 307 1 308 ++++++ Tính B A ? Bài 2: (5 điểm) Câu 1: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25 ; 28 ; 35 thì đợc các số d lần lợt là 5 ; 8 ; 15. Câu 2: Tìm x biết: 0 16 1 3 21 2 = x Bài 3: (3 điểm) Cho a ; b là hai số chính phơng lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng: (a 1).( b 1) 192 Bài 4: (4 điểm) Tìm số tự nhiên có 4 chữ số abcd biết nó thoả mãn cả 3 điều kiện sau: 1) c là chữ số tận cùng của số M = 5 + 5 2 + 5 3 + + 5 101 2) abcd 25 3) 2 ab a b= + B i 5: (2 điểm) Câu 1: Có hay không một số nguyên tố mà khi chia cho 12 thì d 9? Giải thích? Câu 2: Chứng minh rằng: Trong 3 số nguyên tố lớn hơn 3, luôn tồn tại 2 số nguyên tố mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 12. đề chính thức Phòng Giáo dục- Đào tạo ***** đáp án và hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 môn: Toán 6 Bài 1: (6 điểm) Câu 1: a) Kết quả : 251 2 = - 1 25,5 (2 điểm) b) Kết quả: 1 (2 điểm) Câu 2: (2 điểm) B = 308 1 307 2 306 3 . 3 306 2 307 1 308 ++++++ B = 1 308 1 1 307 2 1 306 3 1 . 4 305 1 3 306 1 2 307 1 + ++ ++ +++ ++ ++ + (0,75đ) B = 309 309 308 309 307 309 4 309 3 309 2 309 ++++++ (0,5đ) B = 309. ++++++ 309 1 308 1 . 5 1 4 1 3 1 2 1 B = 309.A (0,5đ) 309 1 .309 == A A B A (0,25đ) Bài 2: (5đ) a) (2,75 đ) Gọi số tự nhiên phải tìm là x. - Từ giả thiết suy ra (x 20) 25+ và (x 20) 28+ và (x 20) 35+ x+ 20 là bội chung của 25; 28 và 35. (1 đ) - Tìm đợc BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700 ( ) k N . (1 đ) - Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy ra x 999 x 20 1019 + suy ra k = 1 suy ra x + 20 = 700 suy ra x = 680. (0,75 đ). b) (2,25 đ) - Từ giả thiết ta có: 2 1 2 1 x 3 16 = ữ (1) (0,25 đ). - Vì 2 1 1 16 4 = ữ nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1 x 3 4 = hoặc 1 2 1 x 3 4 = (1 đ) - Từ đó tìm ra kết quả x = 11 12 hoặc x = 5 12 (1 đ) Bài 3: (3đ) - Chỉ ra dạng của a,b là: a = ( ) 2 12 k và b = ( ) 2 2 1k + (Với k * N ) (0,5đ) - Suy ra a 1 = (2k 1)(2k 1) 1 = . = 4k 2 4k + 1 1 = 4k.(k 1) (0,5đ) b 1 = (2k + 1)(2k + 1) 1 = . = 4k 2 + 4k + 1 1 = 4k(k + 1) (0,5đ) (a 1)(b 1) = 16k(k 1)k(k + 1) (0,5đ) Từ đó lập luận k(k 1)k(k + 1) 4 và k(k 1)(k + 1) 3 (0,75đ) mà (4; 3 ) = 1 k (k 1)k(k + 1) 4.3 suy ra (a 1)(b 1) 16.4.3 (a 1)(b 1) 192 (đpcm) (0,25đ) Bài 4: (4đ) - Từ giả thiết dẫn đến điều kiện: a,b,c,d N; 1 a 9; 0 b;c;d 9 (0,5 đ) - Lý luận dẫn đến M có chữ số tận cùng là 5 c = 5 (0,75 đ) - Từ điều kiện: abcd 25, lý luận dẫn đến (10c + d) 25, từ đó tìm đợc d = 0 ( 0,75 đ) - Từ điều kiện: ab = a + b 2 10a + b = a + b 2 9 a = b 2 b 9a = b(b 1) (0,5 đ) Lý luận dấn đến b(b 1) 0 và b(b 1) 9 (0,5 đ) Mà b và b -1 là hai số nguyên tố cùng nhau; 0 < b 1< 9 b(b 1) 9 chỉ khi b 9 a=8 (0,75 đ) Kết luận: Số cần tìm 8950 (0,25 đ) Bài 5: (2 điểm):. Câu 1: - Không thể có một số nguyên tố mà khi chia cho 12 thì d 9. Vì: nếu có số tự nhiên a mà khi chia cho 12 d 9 thì a = 12.k + 9 ; ( ) k N a 3 và a 3> a là hợp số, không thể là số nguyên tố. (0,75 đ). Câu 2: (1,25 đ). - Một số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 12 thì có số d là một trong 12 số sau: 0; 1; 2; .; 11 - Chứng minh tơng tự câu 1 ta có: một số nguyên tố lớn hơn 3 (bất kỳ) khi chia cho 12 không thể có số d là 2; 3; 4; 6; 8; 10. (0,25 đ) - Suy ra một số nguyên tố lớn hơn 3 khi đem chia cho 12 thì đợc số d là một trong 4 giá trị : 1; 5; 7; 11. (0,25 đ) - Chia các số nguyên tố lớn hơn 3 thành hai nhóm : + Nhóm 1: Gồm các số nguyên tố khi chia cho 12 thì d 1 hoặc 11 . + Nhóm 2: Gồm các số nguyên tố khi chia cho 12 thì d 5 hoặc 7. (0,25 đ) - Giả sử p 1 ; p 2 ; p 3 là ba số nguyên tố bất kỳ lớn hơn 3. Có ba số nguyên tố, chỉ nằm ở hai nhóm, theo nguyên lý Dirichle thì trong ba số nguyên tố trên, tồn tại ít nhất hai số nguyên tố cùng thuộc một nhóm , chẳng hạn p 1 và p 2 cùng thuộc một nhóm: + Nếu p 1 và p 2 khi chia cho 12 có số d khác nhau (tức là d 1 và 11; hoặc 5 và 7) thì p 1 + p 2 = 12 k 1 + 1 + 12 k 2 + 11 = 12(k 1 + k 2 ) + 12 ; ( ) 1 2 ;k k N suy ra p 1 + p 2 12 . hoặc p 1 + p 2 = 12 n 1 + 5 + 12 n 2 + 7 = 12(n 1 + n 2 ) + 12 ; ( ) 1 2 ;n n N suy ra p 1 + p 2 12 . + Nếu p 1 và p 2 khi chia cho 12 có số d bằng nhau thì hiệu p 1 p 2 12 . (0,5 đ) . hết cho 12. đề chính thức Phòng Giáo dục- Đào tạo ***** đáp án và hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 môn: Toán 6 Bài 1: (6 điểm) Câu. Đào tạo ***** đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008 - 2009 môn: Toán 6 (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi này gồm