bài giải mạch điện 1 CHUONG 7:phân tích mạch trong miền tần số

bài giảng và bài giải mạch điện 1.môn cơ sở ngành,trường ĐH CÔng Nghiệp TPHCM gồm 7 chương. bài giảng và bài giải mạch điện 1.môn cơ sở ngành,trường ĐH CÔng Nghiệp TPHCM gồm 7 chương. bài giảng và bài giải mạch điện 1.môn cơ sở ngành,trường ĐH CÔng Nghiệp TPHCM gồm 7 chương.

Chương 7 PHÂN TÍCH MẠCH TRONG MIỀN TẦN SỐ

Ở chương 3, ta đã phân tích mạch ở trạng thái xác lập một chiều hoặc điềuhòa, khi đó đáp ứng trên mạch cũng là một chiều hoặc điều hòa cùng tần số Trongthực tế, nguồn tác động (nguồn tín hiệu) không phải đều là điều hòa, mà nó có thểcó hình dạng bất kỳ, bao gồm nhiều thành phần tần số Việc phân tích mạch vớinguồn tác động bất kỳ được gọi là phân tích mạch trong miền tần số

Để phân tích phổ (tần số) của một tín hiệu tuần hoàn, người ta dùng phương

pháp chuỗi Fourier như sau.

7.1 Biểu diễn các quá trình tuần hoàn

Một tín hiệu được gọi là tuần khi: x(t) = X(t + nT)

Trong đó: n là số nguyên ; T là chu kỳ lặp lại giá trị của tín hiệu

Tần số tương ứng với chu kỳ T được gọi là tần số cơ bản của tín hiệu tuầnhoàn và được xác định theo biểu thức: o = 2/T (rad/s)T (rad/T (rad/s)s)

7.1.1 Chuỗi Fourier lượng giác

Chuỗi Fourier lượng giác biểu diễn tín hiệu tuần hoàn x(t) có dạng:

n

T t

n

T t t o

2 b

tdt n cos ) t ( x T

2 a

dt ) t ( x T

1 a

(1*)

Trong đó: n là số nguyên ; to là một điểm bất kỳ trên thang thời gian ; T và o

là các đại lượng đã nói ở trên

Từ (1*) ta nhận thấy rằng: ao không phụ thuộc thời gian, biểu thị trị trung bìnhcủa tín hiệu x(t), đây chính là thành phần một chiều của tín hiệu ; an, bn là biên độcủa các thành phần cos và sin tương ứng với các tần số no Như vậy, tín hiệu tuầnhoàn x(t) được biểu diễn bằng tổng của thành phần một chiều và vô hạn các thànhphần điều hòa có tần số bằng n lần tần số cơ bản

Trong các ứng dụng thực tế, chuỗi Fourier lượng giác được sử dụng chỉ với 1hàm sin hoặc chỉ với 1 hàm cos khi biến đổi tổng sau:

ancosnot + bnsinnot = Cnsin(not + n) = Cncos(not + ψn)

n n

2 n

2 n n

b

a Arctg a

b Arctg

b a C

o C cos( n t ) hay x ( t ) C C sin( n t ) C

) t ( x

Tổng quát hơn, ta có: x(t) = Co + 

x1(t) = C1cos(ot + ψ1) (3*) hay x1(t) = C1sin(ot + 1) (4*)

x1(t) là thàn phần cơ bản, nó có tần số bằng tần số cơ bản của tín hiệu x(t)

t jn

n e oX )

t (

t jn n

o o

o dt e

) t ( x T

1

Nếu tín hiệu x(t) là hàm thực thì: X n   Xn và ArgX  n= - ArgX  n

Mối quan hệ giữa chuỗi lượng giác, chuỗi phức với chuỗi chỉ 1 hàm cos hoặc 1 hàmsin: Xo = Co = ao ; Cn = a  2 b 2 = 2 X  n ; X  n = an 2jbn ; ArgX  n = n = n + 90o

Từ (5*) ta nhận thấy rằng: chuỗi phức Fourier bao gồm thành phần một chiều

ứng với n = 0 và 2 chuỗi vô hạn các hàm đều hòa liên hợp phức ứng với các cặp n.Các cặp hàm điều hòa phức có biên độ bằng nhau còn argument thì trái dấu nhau.Việc biểu điễn biên độ và argument của các hàm điều hòa phức trên thanh tần số`sẽ cho ta phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu tuần hoàn Và bởi vì n là các sốnguyên nên phổ biên độ và phổ pha của tin hiệu tuần hoàn là phổ vạch (rời rạc)

Ví dụ 1 Cho tín hiệu tuần hoàn là dãy xung vuông trên hình 1 Hãy xác định

chuỗi lượng giác và chuỗi phức Fourier

2

x(t)

t -1

1

-T -T/2 0 T/2 T

Hình 1

Giải: Tín hiệu tuần hoàn x(t) có biểu thức giải tích trong 1 chu kỳ:

0 t 2

T 1 ) t ( x

Vì x(t) là hàm lẻ nên:





0 2 / T

2 / T

2 / T 0

2 / T

o o

n

2 tdt n sin T

4 tdt n sin T

2 tdt n sin ) 1 ( T

2 b

n sin n

4 )

t ( x

t 5 sin 3

t 3 sin t (sin

4 ) t ( x

- Bây giờ nếu ta dịch chuyển tín hiệu hình 1 trên thanh thời gian một khỏang to,

ta có tín hiệu mới hình 2:

y(t) = x(t – to) = ao + [ a cos n o( t to) bnsin n o( t to)]

trong đó:  = oto là độ dịch pha của tín hiệu

Ta thấy rằng khi tín hiệu dịch chuyển trên thang thời gian thì các hệ số khaitriển Fourier của nó không thay đổi, mà chỉ thay đổi pha một lượng  = oto

y(t)

t -1

1

0

Hình 2 T/4

Chẳng hạn cho to = - /T (rad/s)4 thì  = ) 2

4

T ( T

n

4 )

2 t ( n sin n

4 )

t ( y

) 5

t 5 cos 3

t 3 cos t (cos

4 ) t ( y

1 ] dt e

dt e

) 1 ( [ T

1

2 / T

2 / T 0

t jn t

; n n

2 j

n 0

2 j )

t ( x

và có argumen trái dấu nhau: ψn = ArgX  n = - /T (rad/s)2

Vậy, phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu x(t) được vẽ như sau:

jn

n e o ; y ( t ) Y e oX

) t (

) m n ( j m n

m

t jm T

0

T 0n

t jn

T

1 Y X

dt e Y e

X T

1 dt ) t ( y ) t (

x

T

1

o o

t ) m n ( j ( e

4

-1 -2 -3 -4

Arg

- /2

/2

t ( y ) t ( x T

n Y X x(t)y(t)

T

(7*) Biểu thức (7*) được gọi là đẳng thức Parseval của tín hiệu tuần hoàn, và nó được phát biểu như sau: « Trị trung bình của tích 2 tín hiệu tuần hoàn cùng chu kỳ bằng tổng vô hạn các tích của hệ số khai triển chuỗi Fourier phức của tín hiệu thứ nhất với phức liên hợp của hệ số khai triển chuỗi Fourier phức của tín hiệu thứ hai »

THĐB: Khi x(t) = y(t)  X  n Y  n, trung bình bình phương của tín hiệutuần hoàn bằng tổng vô hạn các bình phương môđun của hệ số khai triển chuỗiFourier phức: T 2

2 (t)dt X x

và công suất của tín hiệu tuần hoàn trong miền tần số, thông qua các hệ số khaitriễn Fourier

Bây giờ ta áp dụng đẳng thức Parseval để tính trị hiệu dụng của tín hiệutuần hoàn trong miền tần số

Theo định nghĩa, trị hiệu dụng của tín hiệu tuần hoàn là căn bậc 2 của trịtrung bình bình phương:



 T 0

2

hd x ( t ) dt T

1 X

2 n 2

n

2 n

1 n

2 n 2

2

X 2 X

X 2

2 n 2

C X

2 hdn 2

X

Tóm lại, trị hiệu dụng của một tín hiệu tuần hoàn bằng căn bậc 2 của tổngbình phương thành phần một chiều và bình phương các trị hiệu dụng của hài thànhphần

7.2 Phân tích mạch xác lập với nguồn tác động tuần hoàn không sin

Để tìm đáp ứng của mạch (dòng, áp), ta áp dụng phương pháp chuỗi Fourier,

biểu diễn quá trình tuần hoàn bằng chuỗi lượng giác có dạng (3*) hoặc (4*), và sau

đó, áp dụng các phương pháp phân tích mạch đã nêu trong chương 3

7.2.1 Biểu diễn quá trình tuần hoàn bằng biên độ phức

Nguồn tác động có thể là nguồn áp hoặc nguồn dòng, là các quá trìnhtuần hoàn, được biểu diễn bằng chuỗi Fourier gồm thành phần một chiều và vô hạncác hàm điều hòa Ví dụ, một nguồn áp lý tưởngcó chuỗi Fourier lượng giác sauđây:

e(t) = Eo + E1cos(ot + 1) + E2cos(2ot + 2) + …Các thành phần điều hòa biểu diễn bằng biên độ phức:

o

Sau đây ta xét một vài ví dụ:

- Mạch R, L nối tiếp, trở kháng phức của mạch (ứng với hài thứ n):

n n

n

) L n ( R

E Z

Trong đó: n = ArgE  n ; n = ArgZn

Thành phần một chiều: Io = ERo

Dòng tức thời trong mạch: i(t) = Io +    

 1

n Imcos( n ot in)

Trong đó: Im = 2

o 2

n

) L n ( R

n n

n

) C n (

1 R

E Z

Thành phần một chiều: Io = 0

Dòng tức thời trong mạch: i(t) =    

 1

n Imcos( n ot in)

Trong đó: Im =

2 o 2

n

) C n (

1 R

C n

1 L n ( R Z

1 L n Arctg

o n

2

n n

n

) C n

1 L n ( R

E Z

Thành phần một chiều: Io = 0

Dòng tức thời trong mạch: i(t) =    

 1

n Imcos( n ot in)

2 o o

2

) C n

1 L n ( R

7.2.3 Ví dụ về phân tích mạch trong miền tần số

Ví dụ 2 Xét mach RLC nối tiếp (hình 3) với nguồn tác động e(t) là dãy xung

vuông trên hình 4 Cho biết: R = 100 () ; L = 0,01 (H) ; C = 250 (nF)

Hãy xác định và vẽ phổ biên độ của nguồn tác động e(t) và đáp ứng của mạchi(t)

Giải:

Tần số cơ bản của tín hiệu tuần hoàn: o = 2T 0,6282.103 = 104 (rad/T (rad/s)s)

Tín hiệu e(t) la hàm chẵn, do đó khai triễn Fourier của nó chỉ gồm thành phần

một chiều và các thành phần chẵn cosin Theo các công thức (1*) và (2*):

8

T ( T

200 dt 100 T

200 ) 8

T n (sin Tn

400 dt

n cos 100 T

4

o

8 / T

n 4

n sin 8

1 ( 200 ) t (

C

e(t) i(t)

Hình 3

T/8 T=0,628ms

100 e(t)(V)

t(s)

Hình 4

Vì sin(n4 ) = 0 khi n là bội của 4, do đó các hài thứ n là bội của 4 đều bằng 0.Sau đây, ta áp dụng nguyên lý xếp chồng để tính các thành phần dòng điệntrong mạch.

Đối với thành phần một chiều của nguồn (n = 0), Zo = , do tụ điện hở mạch,dòng một chiều Io = 0

Đối với các thành phần xoay chiều, ta áp dụng phương pháp biên độ phức đểtìm các hài dòng điện Với mạch RLC nối tiếp, hài dòng điện thứ n được xác địnhnhư sau: n in

n n

n n n

n

Z

E Z

1 L n ( j R Z

; n

4

n sin 200 E

o o

n 1

1 L n Arctg

; ) C n

1 L n ( R

o n

2 o o

9 4

2 4 2

n

100 )

10 250 10 n

1 10

10 n ( 100

100n.10 .250.10

1 10

10 n

2 4

2 2

1

) 4 n ( n

4

n sin 2

) t n cos(

) 4 n ( n n 100

n 4

n sin 200

)

t

(

i

7.3 Tính công suất trong mạch có nguồn tác động tuần hoàn

Với các quá trình dòng và áp bất kỳ, công suất tức thời được định nghĩa:

Khi dòng và áp trên hai cực là những quá trình tuần hoàn cùng chu kỳ, chúngđược biểu diễn bằng chuỗi Fourier:

t jn j nm n

t jn

2

U e

U )

t (

t jn ) ( j nm n

t jn

2

I e

I )

Trong đó: U  n , I  nlà hệ số khai triển chuỗi Fourier phức của u(t), i(t) ; Unm, Inm

là biên độ của các hài điện áp và hài dòng điện (tương ứng với các hệ số Cn trongchuỗi Fourier lượng giác) ; n và (n - n) là các góc pha đầu tương ứng của điện ápvà dòng điện

Theo đẳng thức Parseval (7*), công suất tác dụng được định nghĩa bằng trị

trung bình tích của 2 hàm tuần hoàn cùng chu kỳ u(t), i(t), được xác định như sau:

) ( j nm j nm

*

2

I e 2

U I

U dt

) t ( i ) t ( u T

j nm nm j

nm nm o

4

I U e

4

I U I

U P

j j

nm nm o

2

1 I U ) 2

e e ( 2

I U I

U

P = Po + Pn (W) (8*) Như vậy, theo (8*), cơng suất tác dụng lên 2 cực cĩ các đáp ứng tuần hồn,

bằng tổng cơng suất của thành phần một chiều và cơng suất của các hài thành phần

Tương tự như với mạch xác lập điều hịa, với mạch xác lập tuần hồn, người tacũng đưa ra khái niệm về cơng suất tác dụng, cơng suất phản kháng, cơng suất

biểu kiến Cơng suất tác dụng được xác định theo (8*) và là cơng suất tác dụng của 2

cực cĩ chứa điện trở Với 2 cực cĩ chứa điện trở thì P > 0, cịn với 2 cực thuầnđiện kháng thì P = 0

Cơng suất phản kháng của mạch cĩ tác động tuần hồn được xác định bằng tổngcơng suất phản kháng thành phần và được ký hiệu Q:

1 Q

Cơng suất biểu kiến cũng được xác định như đối với các quá trình điều hịa vàđược ký hiệu S : S = UhdIhd (VA)

Với một quá trình điều hịa, P, Q và S làm nên một tam giác cơng suất:

P2 + Q2 = S 2

Tuy nhiên với một quá trình tuần hồn thì đẳng thức này khơng hồn tồn đúngnữa, vì tồn tại những hài của một trong các quá trình dịng hay áp Trong trường hợpnày: P2 + Q2 = S 2 – T2

Đại lượng T, tính bằng VA, được gọi là cơng suất méo dạng.

Ví dụ 3 Hãy tính cơng suất các loại và hệ số cơng suất của mạch RLC cho trong

ví dụ 2, giới hạn đến hài bậc 5

Với n  5, nguồn tác động bao gồm các thành phần:

e(t) = 25 + 45cosot + 32cos2ot + 15cos3ot – 9cos5ot (V)Dòng trong mạch:

i(t) = 0,142cos(ot + 71o34’) + 0,318cos2ot + 0,077cos(3ot – 59o02’)

– 0,021cos(5ot – 76o36’)

Do thành phần một chiều Io = 0 nên Po = 0 Công suất tác dụng được xác định theo công thức:

o o

n nm

nm [ 45 ( 0 , 142 ) sin 71 34 ' 32 ( 0 , 318 ) sin 0

2

1 sin

I E

2

1

Q

) VAR ( 63 , 2 ] ' 36 76 sin ) 021 , 0 ( 9 ' 02 59 sin ) 077 , 0 (



Trị hiệu dụng của nguồn áp và của dòng điện tuần hoàn:

) V ( 98 , 47 9 15 32 45 ( 2

1 25

) A ( 253 , 0 ) 021 , 0 077 , 0 318 , 0 142 , 0 ( 2

1

Công suất biểu kiến: S = EhdIhd = 47,98(0,253) = 12,14 (VA)

Hệ số công suất: cos = 0 , 53

14 , 12

42 , 6 S

P S

T  2 2 2  2 2 2 

BÀI TẬP CHƯƠNG 7 Bài 7.1: Xác định khai triển chuỗi Fourier dạng lượng gíác của tín hiệu tuần hoàn

f(t) có dạng như hình 1

ĐS: f(t) =  - 



 1 n

nt sin n 2

Bài 7.2: Xác định khai triển chuỗi Fourier dạng lượng gíác của tín hiệu tuần hoàn

1 n 2

1 2

2 1

Bài 7.3: Xác định khai triển chuỗi Fourier dạng lượng gíác của tín hiệu tuần hoàn

) 1 n 2 (

t ) 1 n 2 cos(

6 4 9

Bài 7.4: Xác định khai triển chuỗi Fourier dạng lượng gíác của tín hiệu tuần hoàn

f(t) có dạng như hình 4

1 n 2

2 t ) 1 n 2 cos(

) 1 n 2 (

4 [

Bài 7.5: Xem mạch điện hình 5 Biết: e(t) = 100 + 50sin500t + 25sin1500t (V).

Tìm dòng điện i(t) trong mạch và công suất tác dụng của nguồn

ĐS: i(t) = 20 + 4,47sin(500t – 63,4o) + 0,822sin(1500t – 80,54o) (A) ; P = 2052 W

Bài 7.6: Điện áp: u(t) = 120 + 195sint – 60sin3t (V), f = 50 (Hz), được nối

vào mạch nối tiếp RLC, với R = 10 () ; L = 0,05 (H) ; C = 22,5 (F) Hãy xác địnhcác quá trình dòng và áp trên tụ điện cùng giá trị hiệu dụng của chúng

ĐS: i(t) = 1,54sin(t + 85,5o) – 6sin3t (A) ; uC(t) = 120 + 218sin(t – 4,5o) –283sin(3t – 90o) (V) ; Ihd = 4,38 (A) ; UChd = 279,6 (V)

Bài 7.7: Xem mạch điện hình 6 Hãy xác định số chỉ của vôn kế đo trị hiệu

dụng và vôn kế đo trị trung bình điện áp u(t) trên điện trở R1 Cho biết: R1 = 1 (K) ; R2

= 4 (K) ; L = 8 (mH) ; Eo = 5 (V) ; e(t) = 10cos(103t + 90o) + 4cos(2.103t) (V)

ĐS: Uo = - 5 (V) ; Uhd = 7,18 (V)

Bài 7.8: Xem mạch điện hình 7 Hãy xác định các dòng điện iL(t) ; iC(t), côngsuất tác dụng và công suất phản kháng trên hai nhánh của mạch Biết: j(t) = 4 + 2cosot+ 0,4cos2ot (mA) ; RL = 4 () ; RC = 1 () ; oL = 1/oC = 500 ()

ĐS: iL(t) = 4 + 200cos(ot – 90o) + 0,133cos(2ot – 180o) (mA) ;

iC(t) = 200cos(ot + 90o) + 0,53cos2ot (mA) ; PL = 0,8 (W) ; QL = 10 (VAr) ;

PC = 0,02 W ; QC = - 10 VAr

Bài 7.9: Trên hai cực có đặt điện áp: u(t) = 3 + 3 2cos(ot + 30o) + 2 2

cos2ot (V) Qua ha cực có dòng điện: i(t) = 1 + 2 2cos(ot - 30o) +

2 cos(2ot + 60o) (A) Hãy xác định giá trị hiệu dụng của áp và dòng, công suất tácdụng, công suất phản kháng, công suất biểu kiến và công suất méo dạng của hai cực

ĐS: Uhd = 4,7 (V) ; Ihd = 2,45 (A) ; P = 7 (W) ; Q = 3,47 (VAr) ; S = 11,5 (VA) ;

T = 8,44 (VA)

Bài 7.10: Xem mạch điện hình 8 Hãy xác định dòng điện i(t), công suất tác dụng

trên điện trở và trị hiệu dụng của dòng điện iR(t) Cho biết: R = 100 () ; L = 0,1 (H) ;

C = 5 (F)

ĐS: i(t) = 12,65cos(103t + 101,57o) + 10cos(2.103t + 96,87o) (mA) ;

PR = 7,9 (mW) ; IRhd = 8,9 (mA)

Bài 7.11: Xem mạch điện hình 9 Nguồn e(t) tác động lên mạch có dạng như

hình 10 Biết: R = 10 () ; L = 31,8 (mH) ; C = 318 (F) Hãy xác định biểu thức củatín hiệu u(t) và trị hiệu dụng của nó nếu ta chỉ xét đế hài bậc 7 của tín hiệu ngõ ra u(t)

ĐS: u(t) = 50 + 63,6sin(100t – 90o) + 2,48sin(300t – 159,4o) + 0,519sin(500t– 168,2o) + 0,186sin(700t – 171,7o) (V) ; Uhd = 67,3 (V)

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 7.1: Với tín hiệu g(t) như hình 11, f(t) =  + g(t)

o 0

o

n

t n cos ( ]

n

) t n cos )(

t (

Bài 7.2: Với tín hiệu g(t) như hình 12, f(t) =

2

1 + g(t)g(t) là hàm đối xứng lẻ  các hệ số ao = 0 ; an = 0

0 t 2 2

1 4

2

1

2 n

t 2 n cos [ 2

1 n 2

1 2

1 n 2

1 2

1 t 0 t 3

; T = 2 ; o = 

Các hệ số: ao = 

1 0

tdt 3 T

1

2 1

dt 3 T

t [ 3 2

1

] t [ 3 2

0

] n

t n sin

} dt n

t n sin

1

] n

t n sin [ 3 2

t n cos

dt ) n

t n cos

1

] n

t n cos [ 3 2

t n

0 2





- (cos 2 n cos n ) n

 f(t) = ao +    

 1

) t n sin b t n cos a (

) 1 n 2 (

t ) 1 n 2 cos(

6

Bài 7.4: Ta có:

f(t) =    

2t

tt 0 t ; T = 2 ; o = 1Các hệ số: ao = 

 0

tdt T

t [ 2

t [ 2

 ] 0

n

nt sin

} dt n

nt sin

nt sin ) t {[(

nt cos [

1

) 1 n 2 (

2 [

2 [

b n =  



tdt n sin t T

=  

 )] 0

n

nt cos

} dt ) n

nt cos (

t {[(

n

nt cos (

n

n cos

nt sin [ } +1 {n

1 n 2

2 t ) 1 n 2 cos(

) 1 n 2 ( 4

Bài 7.5: Phức hóa sơ đồ mạch như hình 13,

n In, với Io là thành phần D.C.; In

là các thành phần hài bậc n, ở đây, theo biểuthức e(t) đã cho, ta chỉ xét 2 bậc n = 1 và n =3

1

2

1 ) cos(

I E 2

1

3 i 3 e m

3 m 3 1

i 1 e m

1 m

= 2000 + 21{50.4,47cos[0o- (- 63,43o)] + 25.0,822cos[0o – (- 80,54o)]} = 2052 (W)

Tính P theo cách khác: P = R.Ihd2, với Ihd =  

 1 n

2

2

1 I

1

1 Z

 1

n CnCo

Thành phần D.C của điện áp trên tụ điện: UCo = Uo = 120 (V)

Các thành phần hài của điện áp trên tụ: U  Cn I  n Z Cn, vói ZCn = - jn 1C

2 Cn

''

1 R

' I

jn o L