KỲ THI QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: Toán; ĐỀ SỐ 03 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1(2,0 điểm). Cho hàm số y = x 3 − 3x + 1(1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1). 2. Tìm điểm C trên đường thẳng d : y = 2x −7 sao cho C cùng với hai điểm cực trị của (1) tạo thành một tam giác cân tại C. Câu 2(1,0 điểm). Giải phương trình cos x − sin 2 x + 1 sin x = 2 tan 3π 2 − x . Câu 3(1,0 điểm). Tính tích phân I = 1 0 x 3 + e 2x + 2x 3 e x 1 + 2e x dx. Câu 4(1,0 điểm). a) Giải phương trình 1 4 log 1 √ 2 (x + 3) = log 1 4 (2 x + x 3 + x 2 ). b) Có 12 cặp vợ chồng tham gia lễ hội. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 4 cặp (mỗi cặp gồm 1 nam và 1 nữ) để khiêu vũ và bất kỳ 2 trong 8 người chọn ra này không là vợ chồng của nhau? Câu 5(1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, BAC = 120 0 . Cạnh bên SA = a √ 3 và vuông góc với mặt đáy (ABC); góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và côsin góc giữa hai đường thẳng SC và BI, với I là trung điểm của cạnh AC. Câu 6(1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(2; 1; 1) và mặt phẳng (P) : x + y + z − 4 = 0, mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 6x − 6y − 8z + 18 = 0. Chứng minh rằng (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M nằm trong mặt phẳng (P) và cắt (S) theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Câu 7(1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A. Đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C có phương trình 2x + y −13 = 0. Biết E(7; 1),F 11 5 ; 13 5 lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh B và C của tam giác ABC. Tìm toạ độ đỉnh A. Câu 8(1,0 điểm). Giải hệ phương trình 1 2y − x + 1 2y + x = 1 √ x + y + 1 3y − x 81 x + √ x 2 − 1 = 8(y + 2 ) 2 y −2 (x, y ∈ R). Câu 9(1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 3 a 2 + 8b 2 + b 3 b 2 + 8c 2 + 3c 3 2 ( c 2 + 8a 2 ) . ——HẾT—— Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: KỲ THI QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: Toán; ĐỀ SỐ 04 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1(2,0 điểm). Cho hàm số y = 2x x −1 (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1). 2. Giả sử M là điểm thuộc (1) sao cho tam giác IOM cân (với O là gốc toạ độ và I là hình chiếu của M lên Ox). Viết phương trình tiếp tuyến của (1) tại M. Câu 2(1,0 điểm). Giải phương trình (1 + 2sin 3 x) cos x + (1 + 2cos 3 x) sin x cos 2x = 1. Câu 3(1,0 điểm). Tính tích phân I = π 4 0 sin x cos x(2sin 2 x −5 sin 2x + 12cos 2 x) dx. Câu 4(1,0 điểm). a) Tìm số phức z thoả mãn z 2 + i. z = 0. b) Giải phương trình 1 C 4 4 + 1 C 4 5 + + 1 C 4 n = 136 105 . Câu 5(1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a √ 3. Mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy (ABC); mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 30 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. Câu 6(1,0 điểm). Trong không gian với trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng d 1 : x −1 1 = y −1 2 = z −1 2 ; d 2 : x 1 = y + 1 2 = z −3 −2 Tìm toạ độ giao điểm I của d 1 , d 2 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 3; 1) và tạo với d 1 , d 2 một tam giác cân tại I. Câu 7(1,0 điểm). Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R = √ 10. Giả sử E(4; 4), F(3; 1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh B, C; điểm G 11 3 ; 7 3 là trọng tâm tam giác ABC. Tìm toạ độ các đỉnh tam giác ABC. Câu 8(1,0 điểm). Giải hệ phương trình x 3 − 3x + 2 = y 3 + 3y 2 √ x −2 + x 3 − 3x 2 + y + 2 = x 2 − 3y (x, y ∈ R). Câu 9(1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 5 x 3 + 2yz + y 5 y 3 + 2zx + z 5 z 3 + 2xy ——HẾT—— Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: K› THI QU»C GIA NãM 2015 Môn: Toán; ó S» 08 ThÌi gian làm bài: 180 phút, không k∫ thÌi gian phát ∑ Câu 1(4,0 i∫m). Cho hàm sË y = x 4 2mx 2 + m 2 2 ( 1 ) . 1. Kh£o sát s¸ bi∏n thiên và v≥ Á th‡ hàm sË (1) vÓi m = 1. 2. Vi∏t ph˜Ïng trình ti∏p tuy∏n d cıa (1) t§i giao i∫m cıa ( 1 ) vÓi trˆc tung, bi∏t d i qua i∫m A ( 0; 2 ) . 3. Tìm m ∫ ( 1 ) có 3 i∫m c¸c tr‡ t§o thành mÎt tam giác vuông. Câu 2(4,0 i∫m). 1. Gi£i ph˜Ïng trình sin x ( 4cos 2 2x + 2cos2x 3 )= p 3cos5x. 2. Gi£i bßt ph˜Ïng trình log 1 p 2 ( x 1 ) 2 x 2 + 4 0. 3. Tìm giá tr‡ lÓn nhßt và nh‰ nhßt cıa hàm sË y = x 2 + p 4 x 2 x trên o§n [ 1; 2 ] . Câu 3(1,5 i∫m). Tính tích phân I = 1 R 0 ( x 1 ) 2 ln ( x + 1 ) dx. Câu 4(1,5 i∫m). Cho sË ph˘c z tho£ mãn i.z +( 2 i ) z = 10 + 4i. Tìm sË ph˘c liên hÒp cıa w = 2 + 4i 1 + i .z 2 5iz + 1. Câu 5(1,0 i∫m). Tìm sË t¸ nhiên n ∫ C n 23 ; C n + 1 23 ; C n + 2 23 theo th˘ t¸ l™p thành cßp sË cÎng. Câu 6(1,5 i∫m). Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác cân t§i A, m∞t bên SBC là tam giác ∑u c§nh 2a và m∞t phØng ( SBC ) vuông góc vÓi m∞t áy ( ABC ) . C§nh bên SA t§o vÓi áy góc 60 0 . Tính theo a th∫ tích khËi chóp S.ABC và kho£ng cách gi˙a hai ˜Ìng thØng SA, BC. Câu 7(3,5 i∫m). 1. Trong không gian vÓi trˆc to§ Î Oxyz cho ˜Ìng thØng d : x 2 1 = y 1 = z + 1 2 . Vi∏t ph˜Ïng trình ˜Ìng thØng i qua i∫m M ( 2; 2; 0 ) c≠t Oz và vuông góc vÓi d. 2. Trong m∞t phØng to§ Î Ox y cho hình vuông ABCD có i∫m E ( 1; 2 ) là trung i∫m cıa c§nh CD. GÂi F là mÎt i∫m trên o§n AC sao cho CF = 3AF. Bi∏t ph˜Ïng trình ˜Ìng thØng BF là x 3y 5 = 0. Vi∏t ph˜Ïng trình c§nh AB. Câu 8(1,5 i∫m). Gi£i hª ph˜Ïng trình ( p 2x 2 + 3xy + 4y 2 + p 2y 2 + 3xy + 4x 2 = 3 ( x + y ) x 3 x 2 + 9x + 1 =( y + 2 ) p y + 3 +( y + 3 ) p 3 2y . Câu 9(1,5 i∫m). Cho x, y, z là các sË th¸c d˜Ïng tho£ mãn ( z y ) 3 y 2 ( 2y + 3x ) .Tìm giá tr‡ nh‰ nhßt cıa bi∫u th˘c P = 16 y x + z + z x + y + 9x 2 z ( 11x + z 2y ) ( x + y )( x + z ) ——HòT—— Thí sinh không ˜Òc s˚ dˆng tài liªu. Cán bÎ coi thi không gi£i thích gì thêm. H và tên thí sinh: ; SË báo danh: c http://www.mathlinks.vn 2 K THI QUằC GIA NóM 2015 Mụn: Toỏn; ú Sằ 06 Thèi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thèi gian phỏt Cõu 1(2,0 im). Cho hm sậ y = x + 3 x + 2 ( 1 ) . 1. KhÊo sỏt sá bin thiờn v v th hm sậ ( 1 ) . 2. 2. Vit phẽng trỡnh èng thỉng d song song vểi èng thỉng y = 2x 1, bit d ct ( 1 ) tĐi hai im phõn biêt A v B thoÊ món ! OA. ! OB = 4 (vểi O l gậc toĐ ẻ). Cõu 2(1,0 im). GiÊi phẽng trỡnh 8cos 2 x = cos 3x + 6cosx. Cõu 3(1,0 im). Tớnh tớch phõn I = 3 R 0 sin 8x cos x dx. Cõu 4(1,0 im). a) GiÊi hê phẽng trỡnh ( y 2 2 ( x 2 + x )= y ln ( y x ) 2x 3 y 3 = 3xy ( x y ) . b) Mẻt lểp hc cú 30 hc sinh gm 12 nam v 18 n, trong ú cú nam sinh Bỡnh. Thảy giỏo gi ngđu nhiờn 4 hc sinh lờn bÊng kim tra bi c. Tớnh xỏc suòt Bỡnh khụng ềc gi lờn bÊng v 4 hc sinh gi lờn bÊng cú cÊ nam v n. Cõu 5(1,0 im). Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng tĐi B, BA = a, AC = 2a v tam giỏc SAB u. Hỡnh chiu ca S lờn mt ỏy (ABC) trựng vểi trung im M ca AC. Tớnh th tớch khậi chúp S.ABC v khoÊng cỏch gia hai èng thỉng SA v BC. Cõu 6(1,0 im). Trong khụng gian vểi hê trc toĐ ẻ Oxyz cho èng thỉng d : x 1 = y 1 2 = z + 1 1 . Tỡm toĐ ẻ giao im A ca d v mt phỉng ( Ox y ) . Vit phẽng trỡnh èng thỉng d 0 năm trong mt phỉng ( Ox y ) ct d v vuụng gúc vểi d. Cõu 7(1,0 im). Trong mt phỉng toĐ ẻ Oxy cho hỡnh ch nht ABCD cú diên tớch băng 4. Hỡnh chiu ca B, D xuậng AC lản lềt l H ( 1; 1 ) , K ( 3; 3 ) . ứnh D cú honh ẻ nguyờn năm trc Ox. Tỡm toĐ ẻ ứnh C. Vit phẽng trỡnh èng trũn ngoĐi tip tam giỏc DHK. Cõu 8(1,0 im). GiÊi bòt phẽng trỡnh 2 p x + 1 + 2 ( x 7 ) 3 p 6 2x 2x 2 + 29x 65. Cõu 9(1,0 im). Cho a, b l hai sậ thác dẽng thoÊ món iu kiên a 2 + b 2 + a + b = 4. Tỡm giỏ tr nh nhòt ca biu thc P = a 2 + 1 a 2 + a 3 + b 2 + 1 b 2 + b 3 + a + b q ( a + b ) 2 + 4 HũT Thớ sinh khụng ềc s dng ti liêu. Cỏn bẻ coi thi khụng giÊi thớch gỡ thờm. H v tờn thớ sinh: ; Sậ bỏo danh: . KỲ THI QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: Toán; ĐỀ SỐ 03 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1(2,0 điểm). Cho hàm số y = x 3 − 3x + 1(1). 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ. liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: KỲ THI QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: Toán; ĐỀ SỐ 04 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1(2,0 điểm) 2xy ——HẾT—— Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: K› THI QU»C GIA NãM 2015 Môn: Toán; ó S» 08 ThÌi gian làm bài: 180 phút, không