SỞ GD VÀ ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT GIA LỘC __________________________________________________ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Không tính thời gian giao đề) ___________________________________________________________________________________________________________ Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số x 1 y x 1 (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng y x và cắt (C) tại A, B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 2 3 (I là giao điểm hai tiệm cận của (C)). Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình cosxcos3x 2sin x cos2x cos4x 2. Giải hệ phương trình 3 3 2y 2x 1 x 3 1 x y x 3x 2y 40 0 Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân 6 0 dx I cosx.cos x 4 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB a,BC a 3. Tam giác SOA cân tại S; mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết góc giữa SD và (ABCD) bằng 0 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC. Câu V (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh C(3;-3) và đỉnh A thuộc đường thẳng :3x y 2 0. Gọi E là trung điểm của BC, đường thẳng DE có phương trình x y 2 0 . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông. 2. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1 x 1 y 2 z 2 d : 2 1 2 , 2 x 2 t d : y 3 t t z 4 t và mặt phẳng (P) : x y z 6 0 . Lập phương trình đường thẳng d song song với (P) và cắt 1 2 d ,d lần lượt tại M và N sao cho MN 3 6. Câu VI (1,0 điểm) Cho khai triển nhị thức Niutơn n 2 n 0 1 2 n 3 4x a a x a x a x . Tìm hệ số 4 a biết rằng 1 3 5 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 C C C C 1024 Câu VII (1,0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn: xy y 3x 1 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 3 3 3 3 3 1 y x 8 8x y A x (y 3) (1 3x) x _____ Hết_____ Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 1 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM HỌC 2013- 2014 Môn: TOÁN Câu Ý Nội dung Điểm 1. Khảo sát sự thiên và vẽ đồ thị của hàm số x 1 y C x 1 1,00 TXĐ: : 1 SBT: , 2 2 y 0 x 1 x 1 0,25 Hàm số nghịch biến trên ;1 và 1; Hàm số không có cực trị x lim y 1 y 1 là tiệm cận ngang x 1 x 1 lim ; lim x 1 là tiệm cận đứng 0,25 Lập BBT 0,25 1 0,25 2. Viết PT đường thẳng đường thẳng y x và cắt (C) tại A, B sao cho IAB có diện tích bằng 2 3 (I là giao điểm 2 tiệm cận của (C)) 1,00 I 2 Ta có I(1;1); : y x m Hoành độ A, B là nghiệm PT: x 1 x m x 1 2 g(x) x m 2 x m 1 0 x 1 * 0,25 x 1 y’ - - y 1 1 2 Câu Ý Nội dung Điểm Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt 2 m 8 0 1 m g(1) 0 0,25 Khi đó 1 1 2 2 A x ;x m B x ;x m với 1 2 x ,x là nghiệm (*) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 AB 2 x x 2 x x 4x x 2 m 8 m d I; 2 0,25 2 IAB m 1 S 2 3 2 m 8 2 3 m 2 2 2 0,25 Giải phương trình: cos xcos3x 2sin x cos2x cos4x 1,00 1 1 (cos4x cos2x) 2sin x (cos6x cos2x) 2 2 0,25 cos4x cos6x 4sin x 0 2sin 5xsin x 4sin x 0 0,25 sin x 0 hoặc sin5x 2 (Loại) 0,25 1 sin x 0 x k 0,25 2. Giải hệ phương trình: 3 3 2y 2x 1 x 3 1 x y x 3x 2y 40 0 1,00 Giải hệ : 3 3 2y 2x 1 x 3 1 x y (1) x 3x 2y 40 0 (2) ĐK: x 1 . 0,25 3 (1) 2y y 2(1 x) 1 x 1 x Xét hàm số 3 f(t) 2t t 2 f '(t) 6t 1 0 t f(t) đồng biến trên Do đó f(y) f 1 x y 1 x 0,25 Thay y 1 x vào (2) ta được 3 x 3x 2 1 x 40 0 Đặt: 3 g(x) x 3x 2 1 x 40 2 1 g '(x) 3x 3 0, x 1 1 x g 3 0 x 3 là nghiệm duy nhất 0,25 0,25 II 2 Vậy nghiệm của hệ là x 3 y 2 0,25 Tính tích phân: 6 0 dx I cosx.cos x 4 . 1,00 6 6 2 0 0 dx dx cos x I 2 2 cosx(cosx-sinx) 1-tanx 0,25 III Đặt t = tanx 2 dx dt cos x 0,25 3 Câu Ý Nội dung Điểm 1 x 0 t 0;x t 6 3 1 1 3 3 0 0 dt I 2 2 ln t 1 1-t 0,25 3 3 I 2 ln 3 0,25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB a,BC a 3. Tam giác SOA cân tại S; mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết góc giữa SD và (ABCD) bằng 0 60 . Tính thể tích S.ABCD và khoảng cách giữa SB và AC. 1,00 A S C B E K O I H D Kẻ SH AD . Vì (SAD) (ABCD) SH (ABCD) SH AO. Gọi I là trung điểm AO SI AO. Do đó HI AO và 0 SDH 60 Ta có OA OB AB a AOB đều BI AO Vậy B, I, H thẳng hàng 0,25 Ta có 0 1 a AI a AI AO ;AH 2 2 cos30 3 0 3 S.ABCD ABCD 2a HD SH HD tan60 2a 3 1 2a 3 V SH.S 3 3 0,25 Ta có AC (SBI) . Trong (SBI) kẻ IK SB (K SB) IK là đoạn vuông góc chung của AC và SB Kẻ HE SB (E SB). Ta có 2 2 2a HB AB AH 3 2 2 2 2 1 1 1 1 HE a HE BH SH a IK IB IB 3a IK HE. HE BH BH 4 0,25 IV Vậy d SB; AC 3a 4 0,25 V 1 1. Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm BC, phương trình DE: x y 2 0, đỉnh C(3;-3); đỉnh A :3x y 2 0. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông. 1,00 4 Câu Ý Nội dung Điểm Gọi A(a;2 3a) . Ta có d(A,DE) 2d(c;DE) a 3 4a 4 4 2 a 1 2 2 A(3; 7) hoặc A(-1;5) 0,25 Vì A và C khác phía đối với DE nên A(-1;5) thỏa mãn 0,25 Gọi DE ADD d (d 1;d, ) 2 7 d CD (d 3;d 1) ABCD là hình vuông nên AD.CD 0 AD CD 2 2 2 2 (d 1)(d 3) (d 7)(d 1) 0 (d 1) (d 7) (d 3) (d 1) d 5 D(5;3). Ta có AB DC B( 3; 1) 0,25 Vậy A(-1;5) B(-3;-1) D(5;3) 0,25 2. Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng 1 x 1 y 2 z 2 d : 2 1 2 và 2 x 2 t d y 3 t t z 4 t ; mặt phẳng (P) : x y z 6 0 . Lập phương trình đường thẳng (d) song 1,00 Phương trình tham số của 1 x 1 2u d y 2 u z 2 2u (P) có VTPT p n (1; 1;1) 1 2 M d M(1 2u; 2 u;2 2u) N d N(2 t;3 t;4 t) MN ( t 2u 1;t u 5;t 2u 2) 0,25 p MN / /(P) MN.n 0 t u 2 Do đó 2 MN 3 2u 2u 2 0,25 2 u 1 MN 3 6 2u 2u 2 6 u 2 + Với u 1:M( 1; 3; 4) (loại do M (P)) + Với u 2:M(5;0; 2);MN (3; 3; 6) 0,25 2 Vậy x 5 y z 2 (d): 1 1 2 0,25 Cho khai triển nhị thức Niutơn n 2 n 0 1 2 n 3 4x a a x a x a x . Tìm hệ số 4 a biết rằng 1 3 5 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 C C C C 1024 1,00 Khai triển: 2n 1 2n 1 k k 2n 1 k 0 (1 x) c x (1) 0,25 VI Thay x = 1 và x = -1 vào (1) rồi trừ từng vế ta được 1 3 2n 1 2n 2n 1 2n 1 2n 1 C C C 2 1024 n 5 0,25 5 Câu Ý Nội dung Điểm Do đó 5 5 k 5 k k 5 k 0 (3 4x) c 3 ( 4x) Hệ số của x 4 ứng với k = 4 0,25 Hệ số đó là 4 4 5 c .3.( 4) 3840 0,25 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 3 3 3 3 3 1 y x 8 8x y A x (y 3) (1 3x) x 1,00 Từ xy y 3x 1 0 đặt a = 1 x ta được (a + 1)(y + 1) = 4 S + P = 3 P = 3 – S => S 2 P = 3 3 2 2 a y 8 a y y 3 a 3 0,25 3 2 2 a y 2 a y y 3 a 3 = 3 2 S 3S 2P S 2 3S P 9 2 0,25 = 3 2 S 3S 2(3 S) S 2 3S (3 S) 9 2 = 3 3 2 S 5S 6 S S 1 S 2 2 2S 12 2 2 2 = 3 (S 1) S ,S 2 4 2 0,25 VII f’(S) = 3 4 (S – 1) 2 – 1 2 > 0, S 2 1 minP f(2) 2 4 Dấu “=” xảy ra chẳng hạn khi a = y = 1 hay x = y = 1. 0,25 ________HẾT________ . ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT GIA LỘC __________________________________________________ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM HỌC 20 13 - 2014 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Không tính thời gian. danh: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 1 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM HỌC 20 13- 2014 Môn: TOÁN Câu Ý Nội dung Điểm 1. Khảo sát sự thi n và vẽ đồ thị. = 3 P = 3 – S => S 2 P = 3 3 2 2 a y 8 a y y 3 a 3 0,25 3 2 2 a y 2 a y y 3 a 3 = 3 2 S 3S 2P S 2 3S