TỔNG HỢP CÁC CHỦ ĐỀ ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Vấn đề 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1. Định lí : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a; b) Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) là f’(x) ≥ 0 (hoặc f’(x) ≤ 0), ∀ x ∈ (a; b), dấu đẳng thức xảy ra tại một số hữu hạn điểm x 0 ∈ (a; b) hoặc không xảy ra trên (a; b). 2. Các dạng bài toán thường gặp: 1. Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) trên tập xác định của nó. Phương pháp: B1. Tìm tập xác định D của f(x) B2. Tìm y’. Tìm các điểm 0 x mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm. Xét dấu y’. Lập bảng biến thiên của y trên D B3. Dựa vào bảng biến thiên suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số theo định lí ở phần tóm tắt. 2. Dạng 2. Tìm tham số m để hàm y = f(x; m) đồng biến, nghịch biến hoặc không đổi trên các khoảng xác định của nó. Phương pháp: B1. Tìm TXĐ D của hàm số y = f(x; m) B2. Tìm y’ = f’(x; m) theo x. B3. * Nếu f(x) là hàm số đa thức bậc 3, 4 hoặc hàm số dạng f(x) = 2 ax bx c dx e + + + , ad ≠ 0 thì điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên các khoảng xác định của nó là y’ ≥ 0, ∀x ∈D) (hoặc y’ ≤ 0, ∀x ∈ D). * Nếu f(x) = ax b cx d + + thì điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên các khoảng xác định của D là y’> 0, ∀x ∈D (hoặc y’ < 0, ∀x ∈ D) 1 * Điều kiện để 1 hàm số bất kỳ nào đó là hàm số không đổi trên từng khoảng xác định của nó là: y’ = 0, ∀x ∈ D. B4. Từ điều kiện ở (B 3 ) ta chuyển về bài toán đại số (thường là bài toán tam thức bậc 2) để giải tìm m. BÀI TẬP Bài 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số: 3 2 3 2 2 2 4 2 a / y x 3x 2 ; b / y x 3x 2 c / y x (4 x ) ; d / y x 2x 3 = − − + = − + = − = − + Phương pháp: B1. Tìm tập xác định D của f(x) B2. Tìm y’. Tìm các điểm 0 x mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm. Xét dấu y’. Lập bảng biến thiên của y trên D B3. Dựa vào bảng biến thiên suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số theo định lí ở phần tóm tắt. Bài 2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số: 2 2 2x 1 x 4 a / y ; b / y x 2 x 2 x x 2 x 4 c / y ; d / y 2 x x − + = = − − − − + + = = − Phương pháp làm như bài 1. Bài 3. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số: 2 2 2 x 1 a / y 4 3x x ; b / y x x 1 1 c / y ; d / y | x 3x 4 | x 1 + = − − = − + = = − − + Phương pháp làm như bài 1. Bài 4. Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên các khoảng xác định của nó: a/ y = 4x 3 + (m + 3)x 2 + mx (ĐS: m = 3) b/ 3 2 mx y mx 4x 1 3 = − + − (ĐS: 0 ≤ m ≤ 4) c/ mx 1 y x m + = + (ĐS: m < - 1 ∨ m > 1) 2 d/ 2 x mx 1 y x 1 + − = − (ĐS: -5 ≤ m ≤ 1 3 ) Thực hiện theo các bước nêu ở dạng 2 Bài 5. Tìm m để hàm số 2 3 2 ( 5 ) 6 6 1y m m x mx x= − + + + + đồng biến trên R. HD: y’ ≥ 0, x R∀ ∈ Bài 6. Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. a/ y = mx 3 + 3x 2 + 3mx (ĐS: m ≤ -1) b/ y = mx 1 x m + + (ĐS: -1 < m < 1) c/ 2 2 x 2mx 3m y x 2m − + = − + (ĐS: m = 0) Thực hiện theo các bước nêu ở dạng 2 Vấn đề 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1. Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D và có đạo hàm trên (a; b) ⊂ D (có thể trừ điểm x 0 ) * Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0      f' x > 0 trên a; x f' x < 0 trên x ; b thì x 0 là điểm cực đại của hàm số * Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0      f' x < 0 trên a; x f' x > 0 trên x ; b thì x 0 là điểm cực tiểu của hàm số 2. Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D, có đạo hàm cấp 2 trên (a; b) ⊂ D và f’(x 0 ) = 0 Khi đó a/ Nếu f”(x 0 ) < 0 thì x 0 là điểm cực đại của hàm số b/ Nếu f”(x 0 ) > 0 thì x 0 là điểm cực tiểu của hàm số 3. Các dạng bài toán thường gặp: 1. Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số y = f(x) Phương pháp 1: B1. Tìm TXĐ D. B2. Tìm y’. Tìm các điểm 0 x mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm 3 , tìm giá trị của hàm số tại các điểm 0 x , lập bảng biến thiên của y trên D. B3. Dựa vào bảng biến thiên và định lí 1 ⇒ các giá trị CĐ, CT. Phương pháp 2: Chỉ xét đối với các hàm số có đạo hàm các cấp liên tục trên miền xác định của nó B1. Tìm TXĐ D. B2. Tìm y’, y” B3. Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm x 1 , x 2 và tìm y”(x 1 ), y”(x 2 ) … * Nếu y”(x i ) < 0 (hoặc y”(x i ) > 0) thì hàm số đạt cực đại (hoặc đạt cực tiểu) tại x i , i = 1, 2, 2. Dạng 2: Tìm m để hàm số y = f(x) đạt cực đại hay đạt cực tiểu tại điểm x = x 0 cho trước nào đó. Phương pháp 1: (Sử dụng đối với các hàm có đạo hàm cấp 2 phức tạp) B1. Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) B2. Tìm y’ B3. Để hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại x = x 0 điều kiện cần là y’(x 0 ) = 0 hay y’(x) không tồn tại tại điểm x 0 , từ điều kiện này ⇒ m. B4. Thử lại ứng với các giá trị vừa tìm của m, ứng với giá trị m nào bài toán thỏa mãn thì nhận giá trị m đó. Phương pháp 2: (Sử dụng đối với hàm số đạo hàm cấp 2 đơn giản) B1. Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) B2. Tìm y’, y” B3. Dựa vào các điều kiện sau, tìm được 1 hệ phương trình đối với m, giải tìm m. * y đạt cực đại tại x = x 0 ( ) ( ) 0 0 0 0  =  ⇔  <   y' x y" x * y đạt cực tiểu tại x = x 0 ( ) ( ) 0 0 0 0  =  ⇔  >   y' x y" x 3. Dạng 3: Tìm m để hàm số y = f(x) luôn luôn có cực đại hay có cực tiểu. Phương pháp: 4 1. Đối với hàm bậc 3 : y = f(x; m) = ax 3 +bx 2 + cx+d, a ≠ 0 Hay hàm: ( ) + + = = + 2 ax bx c y f x; m dx e , ad ≠ 0 B1. Tìm y’ B2. Vì dấu của y’ cùng dấu với (1 biểu thức bậc 2) nên để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ đổi dấu đúng hai lần ⇒ (tam thức bậc 2) = 0 có 2 nghiệm phân biệt thuộc tập xác định ⇒ m. 2. Đối với hàm bậc 4: y = f(x; m) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e, a≠ 0 B1. Tìm y’ (y’ là hàm bậc 3) B3. *Vì y’ là 1 biểu thức bậc 3 nên để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ phải đổi dấu 3 lần. ⇒ y’ = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt ⇒ m * Để hàm số chỉ có cực tiểu không có cực đại thì y’ đổi dấu đúng 1 lần từ - sang +. ⇒ a > 0 ⇒ m y’ = 0 có 1 nghiệm hoặc chỉ có 2 nghiệm * Để hàm số chỉ có cực đại, không có cực tiểu thì y’ chỉ có một lần đổi dấu từ + sang - ⇒ a < 0 ⇒ m y’ = 0 có 1 nghiệm hoặc chỉ có 2 nghiệm. 4. Dạng 4: Tìm m để hàm số y = f(x) có cực đại hay có cực tiểu với x CĐ , x CT hay y CĐ , y CT thỏa mãn một điều kiện hay một hệ thức cho trước. Phương pháp: Sử dụng đối với hàm số bậc 3, hàm phân thức ; B1. Tìm TXĐ D. B2. Tìm y’, dấu y’ cùng dấu với một tam thức bậc 2. B3. Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ biểu thức bậc 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa điều kiện. a ≠ 0 ⇔ ∆ > 0 (∆’ > 0) ⇒ tham số m (1) nghiệm thỏa điều kiện B4. * Khi đó nếu ∆ hay ∆’ = bình phương một biểu thức thì tìm trực tiếp x CĐ, x CT . 5 (bậc 2) (bậc 1) (bậc 2) (bậc 2) * Nếu ∆ không như trên thì sử dụng định lí Viet tìm { 1 2 1 2 x x x .x + B5. Biến đổi hệ thức đã cho về hệ thức chỉ chứa tổng tích của x 1 , x 2 . Rồi thay biểu thức tổng, tích ở bước 4 vào hệ thức ở bước 5 ta được 1 phương trình hay bất phương trình đối với m, giải tìm m. Kết hợp với điều kiện m ở bước 3 suy ra các giá trị m cần tìm. Chú ý: Cách tìm y CĐ, y CT của các hàm số thường gặp: a/ Đối với hàm số dạng: ( ) ( ) u x y v x = nếu có cực trị thì y CĐ = ( ) ( ) ( ) ( ) = CD CT CT CD CT u' x u' x ; y v' x v' x Vì tại x CĐ , x CT có 2 0 0 0 u' v uv' u' u y' u' v uv' v' v v − = ⇒ = ⇒ − = ⇒ = b/ Đối với hàm số bậc 3: y = f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, a ≠ 0 Nếu x CĐ , x CT đơn giản thì thay x CĐ , x CT vào y = f(x) để tìm y CĐ , y CT . Nếu x CĐ , x CT phức tạp hoặc không tính cụ thể x CĐ , x CT để tìm y CĐ , y CT như sau: * Phân tích hàm số về dạng y = (Ax + B).y’ + Cx + D (Bằng cách chia y cho y’, có thương là Ax + B và phần dư là Cx+D) * Nếu hàm số có cực trị thì y CĐ = Cx CĐ + D; y CT = Cx CT + D vì tại x CĐ , x CT có y’ = 0. BÀI TẬP Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau: 3 2 4 2 4 2 3 2 3 12 5 4 5 2 2 3 4 1 = − − + = − − + − + = − + = − = = − x a / y x x x ; b / y x x x x x c / y x ; d / y x e / y x.e ; f / y lnx x Phương pháp 1: B1. Tìm TXĐ D. 6 B2. Tìm y’. Tìm các điểm 0 x mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm, tìm giá trị của hàm số tại các điểm 0 x , lập bảng biến thiên của y trên D. B3. Dựa vào bảng biến thiên và định lí 1 ⇒ các giá trị CĐ, CT. Phương pháp 2: Chỉ xét đối với các hàm số có đạo hàm các cấp liên tục trên miền xác định của nó B1. Tìm TXĐ D. B2. Tìm y’, y” B3. Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm x 1 , x 2 và tìm y”(x 1 ), y”(x 2 ) … * Nếu y”(x i ) < 0 (hoặc y”(x i ) > 0) thì hàm số đạt cực đại (hoặc đạt cực tiểu) tại x i , i = 1, 2, Bài 2. Tìm m để hàm số sau: a/ y =x 3 + 2mx 2 + mx + 1 đạt cực đại tại x = -1 (ĐS: m =1) b/ y = -3x 4 + mx 2 - 1 đạt cực đại tại 3 3 =x (ĐS: m = 2) c/ y = x 3 - 3mx 2 + (m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2 (ĐS: m = 1) d/ y = x 3 - mx 2 + 2 3   −  ÷   m x + 5 đạt cực tiểu tại x =1 (ĐS: m= 7 3 ) e) 2 1+ + = + x mx y x m đạt cực đại tại x = 2 (ĐS: m = -3) 2 3 2 − = − mx mx f / y x đạt cực tiểu tại x = 1 (ĐS: không có m) g/ 2 2 2 2 2 + + = − + x x m y x x đạt cực đại tại x = 2 (ĐS: m = 2) Thực hiện các bước theo dạng 2 Bài 3. Tìm các giá trị của m, n sao cho hàm số: ( ) 1 = = + + + n y f x x m x đạt cực đại tại x = -2 và có f(-2) = -2. HD: '( 2) 0 ''( 2) 0 ( 2) 2 y y y − =   − <   − = −  Bài 4. Cho haìm säú ( ) 2 1 1 1 x m x m y x + + + + = + 7 Chổùng minh rũng m R õọử thở haỡm sọỳ luọn coù cổỷc õaỷi, cổỷc tióứu vaỡ khoaớng caùch giổợa hai õióứm õoù bũng 20 . HD: + Xỏc nh m hm s cú cc i, cc tiu: y = 0 cú 2 nghim phõn bit khỏc -1. + Chng minh 2 2 ( ) ( ) 20 B A B A AB x x y y= + = , vi A, B l im cc i, cc tiu. Bi 5. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m hm s sau õy: a/ y = x 3 - 3mx 2 + 3(2m - 1)x + 1 cú cc i, cc tiu v tỡm ta cỏc im cc i, cc tiu ca th hm s. Vit phng trỡnh ng thng qua hai im cc i, cc tiu ca th hm s. (S: m 1) b/ y = (x + m) 3 + (x + 2m) 3 - x 3 cú cc i, cc tiu (S: m 0) c/ ( ) 2 2 1 + + = + x m x m y x cú cc i, cc tiu, tỡm ta ca im cc i, cc tiu ca th hm s. Vit phng trỡnh ng thng qua hai im cc i, cc tiu ca th hm s. (S: m < - 1 2 , y = 2x + m +2) Vn 3 GI TR LN NHT V GI TR NH NHT CA HM S A. Túm tt lý thuyt: 1. S M gi l giỏ tr ln nht ca f(x) trờn tp I. ( ) ( ) 0 0 f x M, x I x I:f x M = (Kớ hiu : M = Max f(x)) I 2. S m gi l giỏ tr nh nht ca f(x) trờn tp I. ( ) ( ) 0 0 f x m, x I x I:f x m = (Kớ hiu : m = Min f(x)) B. Cỏc dng toỏn thng gp: ng dng ca o hm tỡm GTLN v GTNN ca hm s: y = f(x) trờn I. 8 Trường hợp 1: Tập I đã cho là 1 khoảng (a; b) hoặc nửa khoảng (a; b]; [a; b) với a, b có thể là ± ∞ Phương pháp: B 1 : Tìm y’ B 2 : Tìm các điểm mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm: x 1 , x 2 , ∈ I. Tìm giá trị f(x 1 ), f(x 2 ), và tính ( ) ( ) x a x b , lim limf x f x + − → → B 3 : Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập I. Dựa vào bảng biến thiên suy ra ( ) ( ) II , Max Minf x f x Trường hợp 2: Tập I đã cho là đoạn [a; b]. Phương pháp: B 1 : Tìm y’ B 2 : Tìm các điểm thuộc (a; b) mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm: x 1 , x 2 ∈ I (nếu có) và tìm các giá trị f(x 1 ), f(x 2 ), , f(a), f(b). B 3 : So sánh các giá trị: f(x 1 ), f(x 2 ), , f(a), f(b) suy ra [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 2 x I Max f x ,f x , ,f a ,f b Max f x ∈ = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 2 x I Min f x ,f x , ,f a ,f b Minf x ∈ = Trường hợp 3: Không cho biết tập I, tức là tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên tập xác định D của hàm số: (Tức là I ≡ D). B 1 : Tìm tập xác định D của hàm số. B 2 : Chuyển bài tập về trường hợp 1 hoặc 2. BÀI TẬP Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 3 4 ( ) 4 3f x x x= − . HD: Tìm tập xác định Sử dụng trường hợp 1 Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 4 2 ( ) 2 3 3f x x x= + − . HD: Tìm tập xác định Sử dụng trường hợp 1 Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a. ] 3 2 ( ) 6 9 , 0;4f x x x x x  = − + ∈  b. ] 3 2 ( ) 6 9 , 2;4f x x x x x  = − + ∈  c. ] 4 2 ( ) 2 3, 0;2f x x x x  = − + ∈  d. ] 4 2 ( ) 2 3, 2;3f x x x x  = − + ∈ −  HD: Sử dụng trường hợp 2 9 Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = x 2 4 x − . HD: Tìm tập xác định Sử dụng trường hợp 2 Bài 5. Cho hàm số f(x) = x + 2 4 x − . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. HD: Tìm tập xác định Sử dụng trường hợp 2 Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a. ( ) sinx os2f x c x= + HD: Đặt t = sinx b. ( ) 2 osx os2f x c c x= + HD: Đặt t = cosx Vấn đề 4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Phương pháp tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị hàm số y = f(x) (B 1 ): Tìm tập xác định của hàm số đã cho. (B 2 ): Dựa vào các định nghĩa và định lí sau để tìm các đường tiệm cận (B 3 ): Kết luận 1. Tiệm cận đứng : (⊥ Ox) Nếu ∃x 0 (hữu hạn) sao cho ( ) 0 x x lim f x + → = ±∞ (hoặc ( ) 0 x x lim f x − → = ±∞ ) thì đường thẳng có phương trình x = x 0 là tiệm cận đứng bên phải (hoặc bên trái) của đồ thị hàm số. 2. Tiệm cận ngang: (⊥ Oy) Nếu ( ) ( ) 0 x x f x y lim →−∞ →+∞ = (hữu hạn) thì đường thẳng có phương trình y = y 0 là tiệm cận ngang bên trái (hay bên phải) của đồ thị hàm số. 3. Tiệm cận xiên: 10 [...]... với các hàm số vô tỉ hoặc hàm số khác để tìm tiệm cận xiên (nếu có) ta sử dụng định lí 4 BÀI TẬP Bài 1 Tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị của các hàm số sau: x+2 x −3 x 2 − 2x + 1 c/y= x +1 a/y= ; ; 2x x −1 x2 + x +1 d/y= x −1 b/y= Bài 2 Tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị của các hàm số sau: 11 x3 x2 −1 x3 + x + 1 ; d/y = x2 − 1 1 Bài 3 Tìm m để hàm số y = mx + có cực trị và khoảng cách... x thuộc khoảng (a;b) ta có: F'(x) = f(x) 2 Các tính chất của nguyên hàm: 2.1 ( ∫ f ( x) dx ) ' = f ( x) ∫ kf ( x) dx = k ∫ f ( x) dx (k ≠ 0) 2.3 ∫ [ f ( x) ± g ( x) ] dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx 2.2 2.4 Mọi hàm số liên tục trên khoảng K đều có nguyên hàm trên K 3 Các nguyên hàm cơ bản: Nguyên hàm của các hàm số thường gặp 34 Nguyên hàm của các hàm số hợp u = u(x) ∫ 0dx = C ∫ dx = ∫ 1dx = x + C... 4 − 2x 2 + 1 Bài 4: Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị các hàm số: a/ y = x4 - 4x2 + 1 ; b/ y = -x4 + 2x2 1 2 c/ y = x 4 − 3x 2 + 3 2 d/ y = -x4 + 10x2 - 9 ; Bài 5: Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị các hàm số: a/y= x+3 x +1 ; b/y = x−4 x−2 c/ y = 3x + 2 x+2 ; d/y= x+2 2x + 1 e/ y = 2x − 4 x −3 ; f /y= −x + 1 x+2 g/y= x+2 −2x + 1 ; h/y= 3x + 1 2x + 2 * * * Vấn đề 6 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Phương... trình , bất phương trình có hai vế chỉ chứa tích, thương của hàm mũ (không chứa tổng và hiệu) 3/ Phương pháp 3: Phân tích phương trình , bất phương trình về dạng: f ( x).g ( x).h( x ) = 0(≥, >, ≤, . của hàm số tại các điểm 0 x , lập bảng biến thi n của y trên D. B3. Dựa vào bảng biến thi n và định lí 1 ⇒ các giá trị CĐ, CT. Phương pháp 2: Chỉ xét đối với các hàm số có đạo hàm các cấp liên. Tìm y’. Tìm các điểm 0 x mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm, tìm giá trị của hàm số tại các điểm 0 x , lập bảng biến thi n của y trên D. B3. Dựa vào bảng biến thi n và định lí 1 ⇒ các giá trị. bảng biến thi n của hàm số trên tập I. Dựa vào bảng biến thi n suy ra ( ) ( ) II , Max Minf x f x Trường hợp 2: Tập I đã cho là đoạn [a; b]. Phương pháp: B 1 : Tìm y’ B 2 : Tìm các điểm thuộc