Sử dụng phép toán véc tơ và hình giải tích giải một số bài toán cơhọc và điện xoay chiều

Sở giáo dục và đào tạo Hà TĩNH SNG KIN KINH NGHIM: S DNG PHẫP TON VẫC T V HèNH GII TCH GII MT S BI TON C HC V IN XOAY CHIU NĂM HọC 2011-2012 1 Sở giáo dục và đào tạo Hà TĩNH SNG KIN KINH NGHIM: S DNG PHẫP TON VẫC T V HèNH GII TCH GII MT S BI TON C HC V IN XOAY CHIU NĂM HọC 2011-2012 Sở giáo dục và đào tạo Hà TĩNH S DNG PHẫP TON VẫC T V HèNH GII TCH GII MT S BI TON C HC V IN XOAY CHIU Bộ MÔN: VậT Lý SNG KIN KINH NGHIM Giỏo viờn thc hin: LÊ MINH ĐứC n v cụng tỏc: trờng thpt nghèn NĂM HọC 2011-2012 MỞ ĐẦU Trong các đại lượng vật lý, các đại lượng véc tơ chiếm một số lượng khá nhiều như: véc tơ độ dời, vận tốc, gia tốc, lực, động lượng, cường độ điện trường, cảm ứng từ, véc tơ biểu diễn dao động điều hoà Khi học vật lý việc giải các bài toán là việc làm hết sức quan trọng trong việc hiểu rõ bản chất vật lý của các hiện tượng. Đa số học sinh thường dùng phương pháp đại số để giải quyết các bài toán còn phương pháp véc tơ thì học sinh rất ngại dùng. Điều đó là rất đáng tiếc vì phương pháp véc tơ dùng giải các bài toán trong nhiều trường hợp rất hay và ngắn gọn. Có nhiều bài toán khi giải bằng phương pháp đại số rất dài dòng và phức tạp còn khi giải bằng phương pháp sử dụng các phép toán véc tơ thì tỏ ra rất hiệu quả. Trong các tài liệu hiện có, các tác giả thường đề cập đến hai phương pháp, phương pháp véc tơ buộc và phương pháp véc tơ trượt. Hai phương pháp đó là kết quả của việc vận dụng hai quy tắc cộng véc tơ trong hình học: quy tắc hình bình hành và quy tắc đa giác. Trong hội nghị giảng dạy vật lý toàn quốc, Hà Nội, 09-11/11/2010, tác giả Chu Văn Biên, Đại học Hồng Đức đã trình bày tham luận về việc sử dụng véc tơ trượt giải một số bài toán điện xoay chiều. Theo tôi, sử dụng kiến thức véc tơ như vậy là chưa phát huy hết những tiện lợi mà nó mang lại khi giải bài tập vật lý. Trên cơ sở đó, tôi đã mạnh dạn đề xuất nghiên cứu và triển khai đề tài: ‘‘ Sử dụng phép toán véc tơ và hình giải tích giải một số bài toán cơ học và điện xoay chiều’’ Nội dung nghiên cứu được trình bày theo cấu trúc sau: Phần 1: Nhắc lại một số kiến thức về véc tơ Phần 2: Sử dụng véc tơ trong một số bài toán cơ học. Áp dụng giải các bài toán ném xiên. Phần 3: Sử dụng véc tơ trong một số bài toán điện xoay chiều. 2 Kết luận. PHẦN I: VÉC TƠ – CÁC PHÉP TOÁN VỀ VÉC TƠ 1.1. Véc tơ Véc tơ là một đoạn thẳng có: + Một đầu được xác định là gốc, còn đầu kia là ngọn. + Hướng từ gốc đến ngọn gọi là hướng của véctơ. + Độ dài của đoạn thẳng gọi là độ dài của véctơ (Mô đun) Véctơ có gốc A, ngọn B được kí hiệu là AB uuur ; độ dài của AB uuur kí hiệu là AB uuur Một véc tơ còn có kí hiệu bởi một chữ cái in thường phía trên có mũi tên như: a,b,c r r r … 1.2. Các phép toán về vector 1.2.1. Phép cộng véctơ: Định nghĩa: Tổng của hai véctơ b;a là một véctơ được xác định như sau: + Từ một điểm O tùy ý trên mặt phẳng dựng véctơ aOA = . + Từ điểm A dựng véctơ bAB = + Khi đó véctơ OB gọi là véctơ tổng hợp của hai véctơ b;a : baOB += Hệ thức Chasles (Qui tắc ba điểm): Với 3 điểm A, B, C bất kì, ta luôn luôn có: ACBCAB =+ (Hệ thức Chasles có thể mở rộng cho n điểm liên tiếp) Phép cộng hai véctơ đồng qui (Qui tắc hình bình hành): ACADAB =+ (với ABCD là hình bình hành) Tính chất: - Giao hoán: abba +=+ - Kết hợp: ( ) ( ) cbacba ++=++ 1.2.2. Phép trừ véctơ: )b(aba −+=− Với cbacba +=⇔=− 3 Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm O, A, B bất kì ta có: OAOBAB −= 1.2.3. Tích vô hướng Định nghĩa: a.b a b cos(a,b)= r r r r r r . Tính chất: a b a.b 0⊥ ⇔ = r r r r a.b b.a= r r r r (a b)(c d) a.c a.d b.c b.d+ + = + + + r r r r r r r r r r r r 1.2.4. Tích hữu hướng Định nghĩa: a b c   ∧ =   r r r , với : c a b sin(a,b)= r r r r r c r có chiều được xác định theo quy tắc bàn tay phải Tính chất: a // b a b 0   ⇔ ∧ =   r r r r r (a b) (c d) a c a d b c b d           + ∧ + = ∧ + ∧ + ∧ + ∧           r r r r r r r r r r r r 1.3. Kết luận: Trên đây là những kiến thức cơ bản và khá đơn giản đối với đa số học sinh. Do đó tôi sẽ sử dụng nó làm cơ sở lý thuyết cho việc giải các bài toán bằng phương pháp véc tơ sẽ được trình bày trong phần II và phần III. Trong hai phần này tôi sẽ tập trung vào việc giải một số bài toán cụ thể để minh họa cho phương pháp giải toán đã đặt ra. c r b r a r 4 PHẦN II: SỬ DỤNG VÉC TƠ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ HỌC Trong chương trình vật lý lớp 10, phần cơ học, bài toán ném xiên là một trong những dạng bài toán khó nhất. Phương pháp giải thông thường như đã được giới thiệu trong sách giáo khoa là xét chuyển động theo hai phương vuông góc. Đây là một cách làm tổng quát mà về nguyên tắc có thể giải được tất cả các bài toán. Nhưng đối với một số bài toán thì cách giải này tỏ ra quả phức tạp và dài dòng. Trong phần này chúng tôi xin giới thiệu một cách giải mới là sử dụng các tích véctơ (cả tích vô hướng và hữu hướng). Với phương pháp giải mới này, lời giải của các bài toán trên sẽ trở nên đơn giản và ngắn gọn. 1.1. Một số bài toán cơ bản Bài toán 1: Một hòn đá được ném từ điểm O trên mặt đất với vận tốc ban đầu hướng tới điểm A. Hai điểm O và A cùng nằm trong một mặt phẳng thẳng đứng và điểm A cách mặt đất một khoảng AH = h. Một giây sau khi ném hòn đá rơi trúng điểm H. Bỏ qua sức cản không khí, lấy g= 10m/s 2 . Tìm h? Giải: - Phương pháp tọa độ: Chọn hệ trục xOy như hình vẽ. Gọi α là góc ném. Các phương trình chuyển động của hòn đá là:      −= = 2 .sin .cos 2 0 0 gt tvy tvx α α 5 x A O y h α A Khi t = 1s thì:      =−= === 0 2 sin cos 0 0 g vy LOHvx α α ⇔        =− + = = + = 0 2 . 22 0 22 0 g hL h vy L hL L vx Suy ra h = g 2 = 5m - Phương pháp véc tơ: Véc tơ vị trí của hòn đá là: 2 )( 2 00 t gtvrtr  ++= 2 2 0 t gtv  += )0( 0 =r  Từ hình vẽ ta thấy: )(5 2 1.10 2 2 2 m gt h === Bài toán 2: Một hòn đá được ném từ điểm O trên mặt đất, sau 1s nó đến điểm B. Biết rằng vận tốc tại B vuông góc với vận tốc ban đầu. Hãy xác định khoảng cách OB. Bỏ qua sức cản không khí, lấy g = 10m/s 2 . Giải: - Phương pháp tọa độ: Chọn hệ trục xOy như hình vẽ. Gọi α là góc ném. 6 O  x y tv . 0  2/. 2 tg  )(tr  A y O x α β v 0 t v Các phương trình chuyển động của hòn đá là:      −= = 2 .sin .cos 2 0 0 gt tvy tvx α α Khi t = 1s thì: 0 0 x v cos OH L g y v sin 2 = α = =    = α −   Gọi khoảng cách OB = S, ta có: α sin 4 0 2 2 0 222 gv g vyxS −+=+= (1) Gọi vận tốc của hòn đá tai B là t v uur , t v uur hợp với phương ngang một góc là β , ta có: α cos 0 vv x = và gvgtvv y −=−= 00 Do vận tốc tại B vuông góc với vận tốc ban đầu nên α α αβ cos sin cot 0 0 v vg v v gtg x y − === g v 0 sin =⇒ α (2) Từ (1) và (2) ta được: mS g S 5 4 2 2 =⇒= - Phương pháp Véc tơ : Véc tơ độ dời: 2 .)()( 2 00 t gtVrtrts    +=−= t VV t tgVV t 22 )( 000    + =⋅ ++ = ⇒ t VV ts t 2 )( 0   + = Từ hình vẽ ta thấy: 0 t t 0 v v v v gt+ = − = uur uur uur uur Do đó: OB = )(5 2 )( 2 m t gts ==  . 7 tv 0  t v  t vv  + 0 tg.  Bài toán 3: Chú chuột Jerry đang ở đầu một nóc nhà (điểm B) còn mèo Tom ở dưới đất (điểm A). Tom định dùng súng cao su bắn vào Jerry nhưng Jerry phát hiện ra và quyết định bắn trả lại. Hai viên đạn bắn ra đồng thời, hai viên đạn va vào nhau ở chính giữa đoạn AB. Tính độ cao H của nóc nhà. Biết góc hợp bởi AB với phương ngang là ϕ = 30 0 , vận tốc viên đạn từ súng của Tom là 7m/s còn Jerry bắn theo phương ngang. Bỏ qua sức cản không khí, lấy g = 10m/s 2 .[3] Giải: - Phương pháp tọa độ: Chọn hệ trục xOy như hình vẽ. Gọi α là góc bắn của Tom. Các phương trình chuyển động của đạn do Tom bắn là:      −= = 2 .sin .cos 2 11 11 gt tvy tvx α α Các phương trình chuyển động của đạn do Jerry bắn là:        −= −=−= 2 . 2 2 222 gt Hy tv tg H tvLx ϕ Khi hai viên đạn va vào nhau thì:        ===−= === 222 .sin 2 .cos 2 2 2 11 211 gtH y gt tvy tg H xtvx α ϕ α 1 2 2 1 H v cos .t x 2tg v sin .t H gt  α = =  ϕ ⇔   α = =  Từ đó: 2 2 2 22 1 4 . H tg H tv += ϕ ⇒ m tgg tgv H 8,2 )41( 4 2 22 1 = + = ϕ ϕ 8 y x H ϕ y α 1 v  y L O B - Phương pháp véc tơ: Véc tơ vị trí của hai viên đạn khi gặp nhau: 1 2 2 2 1 2 r r gt gt AB v t AB v t 2 2 2 = ⇔ + = + + = ur r uuur r r uuur r r Từ hình vẽ ta thấy: 2 gtH = (1) 22222 1 )cos 2 ()()( ϕ AB HOKHtv +=+=  ϕ 2 2 2 4tg H H += (2) Từ (1) và (2) suy ra: m tgg tgv H 8,2 )41( 4 2 22 1 = + = ϕ ϕ Bài toán 4: Từ độ cao h, hai vật được ném theo phương ngang với vận tốc đầu lần lượt là 01 v uur và 02 v uuur . Sau bao lâu thì vận tốc của hai vật có phương vuông góc với nhau? Giải: - Phương pháp đại số thông thường: Gọi góc hợp bởi vector vận tốc của hai vật sau thời gian t với phương ngang lần lượt là α và β , ta có: y x 01 v gt tan v v α = = và y x 02 v gt tan v v β = = Từ giả thiết ta có: 2 π α +β = ⇒ tan .tan 1α β = Hay: 2 2 01 02 g t 1 v v = ⇒ 01 02 v v t g = 9 y x H ϕ tv 1  tv 2  O 2 2 tg  K B Nghiệm bài toán chỉ được chấp nhận khi 2h t g ≤ tức là 01 02 v v h 2 ≥ - Phương pháp véc tơ: Phương trình vận tốc của hai vật: 1 01 v v gt= + uur uur r và 2 02 v v gt= + uur uuur r Ta có: 1 2 v v⊥ uur uur 1 2 v .v 0⇒ = uur uur 2 2 01 02 v .v g t 0⇒ − + = ⇒ 01 02 v v t g = Nghiệm bài toán chỉ được chấp nhận khi 2h t g ≤ tức là 01 02 v v h 2 ≥ Bài toán 5: Tìm tầm xa L và thời gian chuyển động T của một vật được ném xiên lên một góc α từ mặt đất. Giải: -Véc tơ vị trí của vật: 2 0 1 r v t gt 2 = + r uur r - Tầm xa: 0 0 r.v L r v cos = = α ruur r - Khi vật chạm đất: r g⊥ r r hay r.g 0= r r 2 2 0 1 v .gt g t 0 2 ⇒ + = uur r 0 2v sin T g α ⇒ = Tầm xa L: 2 2 0 0 0 1 v t g.v t 2 L v cos + = α r uur 2 2 0 0 0 1 v T gv sin T v 2 L sin 2 cos g − α ⇒ = = α α Biểu thức này giống với kết quả trong SGK tuy nhiên cách giải ngắn gọn hơn nhiều. Bài toán 6: Ném một vật từ mặt đất với vận tốc ban đầu v 0 lập với phương nằm ngang một góc α . Sau bao lâu vận tốc của vật vuông góc với phương ban đầu? 10 [...]... sử dụng phương pháp véc tơ trong các bài toán ném xiên Chúng tỏ ra hữu hiệu và ngắn gọn so với 12 phương pháp tọa độ quen thuộc Trong phần sau tôi sẽ đề cập đến một cách khác trong việc sử dụng các kiến thức về véc tơ để giải các bài toán vật lý, ở đây tôi trình bày thông qua giải các bài toán điện xoay chiều PHẦN III: SỬ DỤNG GIẢN ĐỒ VECTOR TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU Đa số học sinh thường... pháp đại số để giải các bài toán điện xoay chiều còn phương pháp giản đồ véc tơ thì học sinh rất ngại dùng Điều đó là thật đáng tiếc vì phương pháp giản đồ véc tơ dùng giải các bài toán rất hay và ngắn gọn đặc biệt là các bài toán liên quan đến độ lệch pha và bài toán hộp đen Có nhiều bài toán khi giải bằng phương pháp đại số rất dài dòng và phức tạp còn khi giải bằng phương pháp giản đồ véc tơ thì tỏ... trong quá trình giảng dạy người giáo viên cần hình thành cho học sinh các phương pháp khác nhau khi tiếp cận và giải quyết các bài toán So sánh lời giải các bài toán trên bằng hai phương pháp thì rõ ràng việc sử dụng phương pháp véctơ để giải các bài tập làm cho lời giải gọn gàng hơn nhiều so với phương pháp toạ độ truyền thống Việc sử dụng véctơ còn làm cho bài toán trở nên trực quan hơn mà vẫn không làm... quả Khi giải bài toán điện bằng phương pháp giản đồ véc tơ có thể chia thành hai phương pháp: phương pháp véc tơ buộc và phương pháp véc tơ trượt Trong quá trình giảng dạy, tôi đã cố gắng đưa phương pháp này vào trong các tiết học, nhất là các tiết bài tập Tôi thấy, học sinh rất hứng thú và nắm bắt khá nhanh trong việc giải các bài tập, nhất là các bài tập trắc nghiệm 2.1 Phương pháp giản đồ véc tơ -... = = = F ωZC1 100π.40 4π Bài toán 3: Trên đoạn mạch xoay chiều không phân nhánh có bốn điểm theo đúng thứ tự A, M, N và B Giữa hai điểm A và M chỉ có điện trở thuần, giữa hai điểm M và N chỉ có tụ điện, giữa hai điểm N và B chỉ có cuộn cảm Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều 120V – 50 Hz thì u MB và uAM lệch pha nhau π/3, uAB và uMB lệch pha nhau π/6 Điện áp hiệu dụng trên R là: A 40 3 (V)... gian thõa mãn điều kiện đầu bài thì góc ném α phải lớn hơn hoặc bằng 450 1.2 Một số bài toán nâng cao Trong phần này tôi đề cập đến một số bài toán phải dùng đến phép tính tích hữu hướng của hai véc tơ Với kiến thức này, học sinh lớp 10 chưa được học nhưng ta có thể đưa vào bồi dưỡng những học sinh khá, giỏi sau khi đã bổ túc phép toán này Bài toán 1: Chứng minh rằng từ một độ cao nào đó so với mặt... quan đến dữ kiện của bài toán *Biểu diễn các số liệu lên giản đồ *Dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác để tìm các điện áp hoặc góc chưa biết 2.2 Một số bài toán cơ bản Bài toán 1: (CĐ-2010) Đặt điện áp u = 200 2 cos100πt (V) vào hai đầu đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp Đoạn AM gồm cuộn cảm thuần L mắc nối tiếp với điện trở thuần R, đoạn MB chỉ có tụ điện C Biết điện áp giữa hai... mạch AM và điện áp giữa hai đầu đoạn mạch MB có giá trị hiệu dụng bằng nhau nhưng lệch pha nhau 2π/3 Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch AM bằng A 200 2 V B 200/ 3 V C 200 V D 110 V Hướng dẫn: Vẽ mạch điện và vẽ giản đồ véc- tơ ∆AMB là tam giác đều (tam giác cân có một góc bằng 60 0) ⇒ U AM = U = 220V Bài toán 2: Đoạn mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần 30 (Ω) mắc nối tiếp với cuộn dây Điện áp... Phạm Xuân Linh, “ Sử dụng máy tính bỏ túi Casio fx - 570ES để giải nhanh một số bài toán về các đại lượng vectơ trong chương trình Vật lý phổ thông ’’) Trong các năm học vừa qua, tác giả đã chú tâm thực hiện việc hình thành phương pháp này cho một số lớp học sinh và thấy kết quả rất tốt, học sinh hứng thú hơn, giải bài tập nhanh hơn so với một số lớp đối chứng không thực hiện việc hình thành phương... 3: Đặt điện áp xoay chiều u = 120 6 cosωt (V) vào hai đầu đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp Đoạn AM là cuộn dây có điện trở thuần r và có độ tự cảm L, đoạn MB gồm điện trở thuần R mắc nối tiếp với tụ điện C Điện áp hiệu dụng trên đoạn MB gấp đôi điện áp hiệu dụng trên R và cường độ hiệu dụng của dòng điện trong mạch là 0,5 A Điện áp trên đoạn MB lệch pha so với điện áp hai đầu đoạn