HOÀNG KHẮC NGÂN, THPT TRẦN QUỐC TOẢN HỌC SINH: ……………………………………… LỚP 12…… 1 ðỀ THI THỬ HỌC KỲ II Môn thi: TOÁN 12 I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 ñiểm) Câu 1 (3,0 ñiểm) 1) Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2 x (1 - x ) biết rằng F(1) = 0. 2) Tính các tích phân sau a) A = 1 0 x 1 xdx − ∫ b) B = 0 x 1 (2x 1)e dx − − + ∫ . Câu 2 (1,0 ñiểm) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (2 – i )( 1 + 2i ) – 3( 1 - i). Câu 3 (3,0 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho bốn ñiểm A(-1; 1; 2), B(1; 0; 1), C(-1; 1; 0) và D(2; -1; -2). 1. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) ñi qua ba ñiểm B, C và D. 2. Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P). 3. Tìm tọa ñộ ñiểm E nằm trên ñường thẳng CD sao cho B là hình chiếu vuông góc của E trên ñường thẳng AB. II - PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) Học sinh chỉ ñược chọn một trong hai phần (phần cho chương trình chuẩn 4a, 5a, 6a; phần cho chương trình nâng cao 4b, 5b, 6b) . 1. Theo chương trình Chuẩn Câu 4.a (1.0 ñiểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị ( C ) của hàm số y = cos 3 x sin2x, các ñường thẳng x = 0, x = 2 π và y = 0. Câu 5.a (1.0 ñiểm) Giải phương trình 4z 2 - 2z + 1 = 0 trên tập số phức. Câu 6.a (1.0 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñiểm P(1; 2; -3), Q(3; 3; 0), R(2; -3; 1) và S(3; -1; 4). Tìm tọa ñộ ñiểm M nằm trên ñường thẳng PQ và ñiểm N trên ñường thẳng RS, sao cho khoảng cách hai ñiểm M và N ñạt giá trị nhỏ nhất. 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 4.b (1.0 ñiểm) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các ñường y = 2x 2x 1 + , x = 0, x = 1 và y = 0. Tính thể tích khối tròn xoay tạo ra khi quay hình phẳng (H ) xung quanh trục hoành. Câu 5.b (1.0 ñiểm) Tìm mô ñun của số phức z, biết z 2 = 1- 4 3 i. Câu 6.b (1.0 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñiểm A(1; 0; -1), B(0; 1; -1) và mặt cầu ( S ) tâm I (1; 2; -1), bán kính R = 1. Tìm tọa ñộ ñiểm M nằm trên ñường thẳng AB và ñiểm N trên mặt cầu ( S ), sao cho khoảng cách hai ñiểm M và N ñạt giá trị nhỏ nhất. Hết HOÀNG KHẮC NGÂN, THPT TRẦN QUỐC TOẢN H Ọ C SINH: ……………………………………… L Ớ P 12…… 2 II. ðáp án và thang ñiểm I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 ñiểm) Câu 1 Mục ðáp án ðiểm Câu 1 1 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2 x (1 - x ) biết rằng F(1) = 0. 1.0ñ • Phân tích f(x) = - x 4 + x 2 • Nguyên hàm F(x) = - 4 4 x + 3 3 x + C . • F(1) = 1 3 - 1 4 +C = 0 suy ra C = - 1 12 • Vậy F(x) = - 4 4 x + 3 3 x - 1 12 . 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 1 2 a) Tính tích phân a) A = 1 0 x 1 xdx − ∫ 1.0ñ * ðặt u = 1 x − ⇔ u 2 = 1- x hay x = 1 - u 2 ⇔ dx=-2udu. * ðổi cận x 0 1 u 1 0 * ðổi biến A = 0 2 1 (1 u )u( 2udu) − − ∫ = 2 1 2 4 0 (u u )du − ∫ . * Vậy A = 2( 3 3 u - 5 5 u )] 1 0 = 4 15 . 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 1 2 b) Tính tích phân B = 0 x 1 (2x 1)e dx − − + ∫ . 1.0ñ • ðặt u = 2x+1 ⇒ du = 2dx. dv= e x − ⇒ v= -e x − . • Tích phân từng phần B=-(2x+1)e x − ] 0 1 − +2 0 x 1 e dx − − ∫ . • Vậy B= -1-e-2 e x − ] 0 1 − = e-3. 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu Mục ðáp án ðiểm Câu 2 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (2 – i )( 1 + 2i ) – 3( 1 - i). 1.0ñ • Biến ñổi z = 2+4i-i-2i 2 -3+3i • Số phức z = 1+6i. • Phần thực bằng 1 • Phần ảo bằng 6 0.25 0.25 0.25 0.25 HOÀNG KHẮC NGÂN, THPT TRẦN QUỐC TOẢN H Ọ C SINH: ……………………………………… L Ớ P 12…… 3 Câu Mục ðáp án ðiểm Câu 3 Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho bốn ñiểm A(-1; 1; 2), B(1; 0; 1), C(-1; 1; 0) và D(2; -1; -2). 3.0 ñ Câu 3 1 Viết phương trình mặt phẳng ( P ) ñi qua ba ñiểm B, C và D. 1.0ñ • Cặp véc tơ BC =(-2 ;1 ; -1) BD =(1; -1; -3) • Véc tơ pháp tuyến n =[ BC ; BD ]= (-4; -7; 1)=-(4 ;7 ;-1). • Phương trình mặt phẳng (P): 4(x-1)+7(y-0)-1(z-1) = 0. • Vậy phương trình mặt phẳng (P) : 4x+7y-z-3= 0. 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 3 2 Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) 1.0ñ • Phương trình mặt cầu (S) tâm A : (x+1) 2 +(y-1) 2 +(z-2) 2 = 2 R . • Bán kính R = d(A;(P))= 2 2 2 4( 1) 7(1) 1(2) 3 4 7 ( 1) − + − − + + − = 2 66 . • Phương trình mặt cầu (S) : (x+1) 2 +(y-1) 2 +(z-2) 2 = 2 33 0.25 0.5 0.25 Câu 3 3 Tìm tọa ñộ ñiểm E nằm trên ñường thẳng CD sao cho B là hình chiếu vuông góc của E trên ñường thẳng AB. 1.0ñ • Gọi E(x;y;z) ∈ CD: CD = (3 ;-2 ;-2) ⇒ E(-1+3t ;1-2t ;-2t). • ðiều kiện BE ⊥ BA hay BE . BA = 0, với BA =( -2 ;1 ;1) và BE =(-2+3t ;1-2t ;-1-2t). • Suy ra phương trình -2(-2+3t)+1(1-2t)+1(-1-2t)= 0 hay t= 2 5 . • Vậy E( 1 5 ; 1 5 ; 4 5 − ). 0.25 0.25 0.25 0.25 II - PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) 1. Theo chương trình Chuẩn Câu ðáp án ðiểm Câu 4a Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị ( C ) của hàm số y = cos 3 x sin2x, các ñường thẳng x = 0, x = 2 π và y = 0. 1.0ñ • Diện tích S = 2 3 0 cos x sin 2x dx π ∫ = 2 3 0 cos x sin 2x π ∫ . • Bi ế n ñổ i S= 2 2 4 0 cos x sin xdx π ∫ . 0.25 0.25 HOÀNG KHẮC NGÂN, THPT TRẦN QUỐC TOẢN H Ọ C SINH: ……………………………………… L Ớ P 12…… 4 • ðặ t u= cosx ⇒ -du= sinxdx. ðổ i c ậ n x 0 2 π u 1 0 S = - 2 0 4 1 u du ∫ . • Vậy S= 2 5 5 u ] 1 0 = 2 5 0.25 0.25 Câu 5a Giải phương trình 4z 2 - 2z + 1 = 0 trên tập số phức. 1.0ñ • ∆ ’= (-1) 2 -4(1)= -3. • Căn bậc hai của ∆ ’ là ± i 3 . • Phương trình hai nghiệm là z 1,2 = 1 3 4 i ± 0.25 0.25 0.5 Câu 6a Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñiểm P(1; 2; -3), Q(3; 3; 0), R(2; -3; 1) và S(3; -1; 4). Tìm tọa ñộ ñiểm M nằm trên ñường thẳng PQ và ñiểm N trên ñường thẳng RS, sao cho khoảng cách hai ñiểm M và N ñạt giá trị nhỏ nhất. 1.0ñ • Gọi M(x;y;z) ∈ PQ: PQ =(2;1;3) ⇒ M(1+2t; 2+t;-3+3t) . N(x;y;z) ∈ RS: RS =(1;2;3) ⇒ N(2+t’; -3+2t’;1+3t’) ⇒ MN =(1+t’-2t; -5+2t’-t;4+3t’-3t). • ðiều kiện MN PQ MN RS ⊥ ⊥ hay . 0 . 0 MN PQ MN RS = = • Suy ra hệ phương trình 13 ' 14 9 14 ' 13 3 t t t t − = − − = − hay 25 ' 9 29 9 t t = = • Vậy M( 67 9 ; 47 9 ; 20 3 ) và N( 43 9 ; 23 9 ; 84 9 ). 0.25 0.25 0.25 0.25 1. Theo chương trình Nâng cao Câu ðáp án ðiểm Câu 4b Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các ñường y = 2x 2x 1 + , x = 0, x = 1 và y = 0. Tính thể tích khối tròn xoay tạo ra khi quay hình phẳng (H ) xung quanh trục hoành. 1.0ñ • Thể tích V = π 1 2 0 2x ( ) dx 2x 1+ ∫ . • Bi ế n ñổ i V = π 1 2 0 1 (1 ) dx 2x 1 − + ∫ = π 1 2 0 2 1 [1 ]dx 2x 1 (2x 1) − + + + ∫ 0.25 0.25 0.25 HOÀNG KHẮC NGÂN, THPT TRẦN QUỐC TOẢN H Ọ C SINH: ……………………………………… L Ớ P 12…… 5 • Nguyên hàm V= π [x-ln 2 1 x + - 1 2 1 2 1 x + ] 1 0 • Vậy V= π ( 4 3 -2ln3) ( ñvtt) 0.25 Câu 5b Tìm mô ñun của số phức z, biết z 2 = 1- 4 3 i. 1.0ñ • Gọi z= x+yi, x,y ∈ ℝ : 1- 4 3 i= (x+yi) 2 = x 2 -y 2 +2xyi. • Hệ phương trình 2 2 1 2 4 3 x y xy − = = − ⇔ 2 3 x y = = − hoặc 2 3 x y = − = • Do ñó z = 2- 3 i hay z = -2+ 3 i. • Vậy z = 7 . 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 6b Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñiểm A(1; 0; -1), B(0; 1; -1) và mặt cầu ( S ) tâm I (1; 2; -1), bán kính R = 1. Tìm tọa ñộ ñiểm M nằm trên ñường thẳng AB và ñiểm N trên mặt cầu ( S ), sao cho khoảng cách hai ñiểm M và N ñạt giá trị lớn nhất. 1.0ñ • Gọi M(x;y;z) ∈ AB: AB =(-1;1;0) ⇒ M(1-t; t;-1) ⇒ IM =(-t; t-2; 0). ðiều kiện IM ⊥ AB ⇒ IM AB =0 ⇒ -1(-t)+1(t-2)=0 ⇒ t= 1 ⇒ M(0; 1; -1). • N(x;y;z) ∈ IM ∩ (S). Ta có N ∈ IM: IM =(-1;-1; 0) ⇒ N(1-t;2-t;-1). N(1-t;2-t;-1) ∈ (S): (x-1) 2 +(y-2) 2 +(z+1) 2 = 1 ⇒ (-t) 2 +(-t) 2 =1 ⇒ t= ± 2 2 ⇒ N(1- 2 2 ;2- 2 2 ;-1) hoặc N(1+ 2 2 ;2+ 2 2 ;-1). • Với N(1- 2 2 ;2- 2 2 ;-1) ⇒ MN= 2 -1. Với N(1+ 2 2 ;2+ 2 2 ;-1) ⇒ MN= 2 +1. • Vậy M(0; 1; -1) và N(1- 2 2 ;2- 2 2 ;-1) thì MN= 2 -1 nhỏ nhất 0.25 0.25 0.25 0.25 . (x-1) 2 +(y -2) 2 +(z+1) 2 = 1 ⇒ (-t) 2 +(-t) 2 =1 ⇒ t= ± 2 2 ⇒ N(1- 2 2 ;2- 2 2 ;-1) hoặc N(1+ 2 2 ;2+ 2 2 ;-1). • Với N(1- 2 2 ;2- 2 2 ;-1) ⇒ MN= 2 -1. Với N(1+ 2 2 ;2+ 2 2 ;-1) ⇒ MN= 2 +1 • Bán kính R = d(A;(P))= 2 2 2 4( 1) 7(1) 1 (2) 3 4 7 ( 1) − + − − + + − = 2 66 . • Phương trình mặt cầu (S) : (x+1) 2 +(y-1) 2 +(z -2) 2 = 2 33 0 .25 0.5 0 .25 Câu 3 3 Tìm tọa ñộ. ; -2 ; -2) ⇒ E(-1+3t ;1-2t ;-2t). • ðiều kiện BE ⊥ BA hay BE . BA = 0, với BA =( -2 ;1 ;1) và BE =( -2+ 3t ;1-2t ;-1-2t). • Suy ra phương trình -2( -2+ 3t)+1(1-2t)+1(-1-2t)=