đề và đáp án khảo sát lần IV Chuyên Vĩnh Phúc

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KÌ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẠI HỌC LẦN 4 NĂM HỌC 2010-2011; MÔN: TOÁN KHỐI A; LỚP 11 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề I. PHẦN CHUNG CHO MỌI THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) 1. Giải phương trình 9 3 cos 4 6sin cos 2 0 4 4 x x x π π     + + − + =  ÷  ÷     2. Giải phương trình 2 sin 3 2 2 sin 1 4cos 4 4 x x x π π     − + − = −  ÷  ÷     Câu II (2 điểm) 1. Cho A tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc tập A . Tính xác suất sao cho số được chọn chia hết cho 7 . 2. Giải bất phương trình ( ) 2 2 4 2 1 5 2 1 x x x x x x+ − ≥ + − ∈¡ Câu III (1 điểm) Tính giới hạn 3 1 2 3 2 2 lim 1 x x x x A x → − + − − = − Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD); đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, ; 2AB BC a AD a= = = . Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SCD) và tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt đáy của hình chóp S.ABCD, biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD) bằng 0 60 . Câu V (1 điểm) Giải hệ phương trình ( ) 2 2 2 2 2 4 1 1 7 2 10 6 0 ; 1 2 x y y x y xy x x y x  − = + +   + − + − = ∈    ≥  ¡ II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) (Chú ý thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc phần B) Phần A Câu VIa (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy), cho đường tròn ( ) 2 2 : 2 2 1 0C x y x y+ − − − = .Giả sử đường tròn ( ) 'C có tâm ( ) 3;1M và cắt đường tròn ( ) C tại hai điểm ,A B sao cho tam giác IAB đều, trong đó điểm I là tâm của đường tròn ( ) C . Hãy viết phương trình đường thẳng AB 2. Cho hình chóp .S ABC có 3 0; 3; 2 a AB SB SC AC a BC a SA= = = = > = = . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA. Câu VIIa (1 điểm) Cho khai triển ( ) 10 2 3 10 2 100 0 1 2 100 1 x x x x a a x a x a x− + − + + = + + + + . Tính giá trị của biểu thức 3 99 1 3 99 2 2 2P a a a= + + + . Phần B Câu VIb (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy); cho đường tròn ( ) C và hai đường thẳng 1 2 ,d d lần lượt có phương trình là ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 : 4 3 8; : 2 3 0; 1;1C x y d x y P− + − = + − = . Hãy tìm tọa độ điểm M thuộc 1 d sao cho từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến ,MA MB đến đường tròn ( ) C sao cho đường thẳng AB cách điểm P một khoảng bằng 5 13 . 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC thỏa mãn 3 , 4 , 5AB a AC a BC a= = = . Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng đáy, biết ba mặt bên của hình chóp cùng tạo với đáy một góc 0 60 . Câu VIIb (1 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực m phương trình ẩn x sau đây luôn có hai nghiệm phân biệt 4 3 2011 2010 0x mx x− + − = . Hết ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu Nội dung trình bày Điểm I 2điểm 1. (1 điểm) Phương trình đã cho tương đương với cos 4 6sin 2 cos 2 0 4 4 cos4 6sin cos 2 0 cos4 3sin 2 2 0 4 4 2 x x x x x x x x π π π π π π π     + + + + − + =  ÷  ÷           ⇔ − + + + = ⇔ − + + =  ÷  ÷  ÷       0,5 ( ) ( ) 2 2 2cos 2 1 3cos 2 2 0 2cos 2 3cos 2 1 0 2cos2 1 cos2 1 0x x x x x x⇔ − − + = ⇔ − + = ⇔ − − = ( ) cos2 1 1 6 cos2 2 6 x k x x k k x x k π π π π π   = =     ⇔ ⇔ = + ∈   =    = − +  ¢ 0,5 2. (1 điểm) Phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3sin 4sin 4cos 3cos 2 sin cos 1 4cos 5 sin cos 4 sin cos 1 sin cos 1 0 x x x x x x x x x x x x x ⇔ − − − + − = − ⇔ + − + − − = 0,5 Đặt 2 1 sin cos 2 sin ; 2 sin cos 4 2 t t x x x t x x π −   = + = + ≤ ⇒ =  ÷   thay vào pt trên ta được ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 5 4 1 1 0 2 1 0 1 2 2 1 0 2 2 1 1 sin 4 2 2 2 t t t t t t t t x k t x k x k π π π π   − − − − = ⇔ − − = ⇔ − + + =  ÷   =     ⇔ = ⇔ + = ⇔ ∈  ÷  = +    ¢ 0,5 II 2điểm 1. (1 điểm) +) Ta có ( ) 9.10.10 900n A = = 0,25 +) Các số gồm ba chữ số chia hết cho 7 là 105;112; ;994 các số này lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là 105 và công sai 7d = . Do đó số các số gồm ba chữ số chia hết cho 7 bằng 994 105 1 128 7 − + = 0,5 Vậy xác suất cần tìm là 128 32 900 225 = 0,25 2. (1 điểm) ĐK 1 2 x ≥ . Khi đó bpt viết lại dưới dạng ( ) ( ) 2 2 2 1 5 2 1 2 0x x x x+ − − + − + ≥ . Đặt 1 2 1 2 t x x= + − ≥ . Khi đó ta có 0,5 2 2 1 2 1 2 2 5 2 0 1 1 1 2 1 2 2 2 t x x x t t t x x x  ≥ ≥   + − ≥    − + ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔    ≤ = + − ≤     0,5 Vậy tập nghiệm của bpt là [ ) 1 1; 2 S   = +∞     U III 1điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 4 2 1 3 3 2 1 3 2 1 lim 1 1 2 1 3 2 1 lim 1 3 2 1 1 2 2 1 x x x x x A x x x x x x x x x x x x → →   − − − − = +   − −       − − − − = +     − − +   − − + − +       0,5 ( ) ( ) 3 2 2 1 3 3 1 3 13 lim 6 3 2 1 2 2 1 x x x x x x x x x →     − + + + = + =     − +   − + − +       0,5 IV 1điểm Ta tính được 2 2 2 2; 2AC a CD a AC CD AD AC CD= = ⇒ + = ⇒ ⊥ . Mặt khác CD SA⊥ , do đó ( ) ( ) ( ) CD SAC SAC SCD⊥ ⇒ ⊥ . 0,5 Ta lần lượt kẻ ;AH SC AK SD⊥ ⊥ . Do đó ( ) AH SCD AH SD SD HK⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ kết hợp với ( ) ( ) ( ) · ( ) · 0 0 2 2 2 2 2 2 ; ; 60 3 1 3 1 1 1 1 sin 60 2 4 4 AK SD SCD SAD AK HK AKH AK AH SA a AH AK SA AC SA AD ⊥ ⇒ = = =   = ⇔ = ⇔ + = + ⇒ =  ÷   0,5 V 1điểm ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 1 1 2 2 4 1 1 2 1 4 1 7 2 10 6 0 7 2 10 6 0 7 2 10 6 0 1 1 1 2 2 2 x y x y y x y x y xy x x y xy x x y xy x x x x    = + + − = + + = + +       + − + − = ⇔ + − + − = ⇔ + − + − =          ≥ ≥ ≥    0,5 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 3 2 2 3 2 2 5 10 10 6 0 2 3 4 3 5 4 1 5 2 1 0 1 1 1 2 2 y x x y x x x x x x x x x x x x x   = −  = −     − + + − = ⇔ − + − + − + − =       ≥ ≥    Ta thấy hệ phương trình (1) vô nghiệm. Vậy hệ pt ban đầu vô nghiệm. 0,5 VIa 2điểm 1. (1 điểm) Gọi là giao điểm của MI và AB. Ta có đường tròn ( ) C có tâm ( ) 1;1 ; 3I R = . Do tam giác IAB đều nên 3 3 2 IA IB AB HA= = = ⇒ = . 0,25 +) TH1 Nếu M và I nằm về hai phía của đường thẳng AB. Khi đó 2 2 2 2 3 1 1 2 2 IH IA AH MH MI IH MA AH MH= − = ⇒ = − = ⇒ = + = . Do đó phương trình đường tròn ( ) 2 2 ' : 6 2 9 0 : 2 5 0.C x y x y AB x+ − − + = ⇒ − = 0,5 +) TH 2 Nếu M và I nằm cùng một phía của đường thẳng AB 0,25 2. (1 điểm) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và SA. Ta chứng minh được HK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BC và SA 0,5 Áp dụng định lí Pitago trong các tam giác SHC và SHK ta có 0,5 2 2 2 2 ; 2 4 a a SH SC HC HK SH SK= − = = − = VIIa 1điểm Xét 1x ≠ − ta có 10 11 2 100 0 1 2 100 1 1 x a a x a x a x x   + = + + + +  ÷ +   . Lần lượt thay 2x = và 2x = − vào đẳng thức này sau đó trừ từng vế cho nhau ta được 0,5 ( ) 10 10 10 11 11 11 10 11 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 P P         + − + = − ⇒ = − −    ÷  ÷  ÷ + −           0,5 VIb 2điểm 1. (1 điểm) Do 2 M d∈ nên ( ) 3 2 ;M t t− và đường tròn (C) có tâm ( ) 4;3 , 8I R = . Áp dụng định lí Pitago trong tam giác MAI ta có: 2 2 2 2 5 2 1MA MI R t t = − = − + . Do đó đường tròn tâm M, bán kính MA có pt: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ' : 2 3 5 2 2 4 6 2 10 7 0C x t y t t t x y t x ty t+ − + − = − + ⇔ + + − − − + = Do A, B là giao của ( ) ( ) , 'C C nên phương trình đường thẳng ( ) ( ) : 2 1 3 5 5 0AB t x t y t+ + − − − = 0,5 Do đường thẳng AB cách điểm ( ) 1;1P một khoảng bằng 5 13 nên 2 4 1 5 237 1; 83 13 5 2 10 t t t t t + = ⇔ = = − − + . Do đó ( ) 723 237 1;1 ; ; 83 83 M M   −  ÷   0,5 2. (1 điểm) Gọi I là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC). Từ giả thiết ta chỉ ra được I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên 0,5 0 3 .4 tan 60 3 3 4 5 S a a r a SI r a p a a a = = = ⇒ = = + + 0,5 VIIb 1điểm Đặt ( ) 4 3 2011 2010f x x mx x= − + − hàm số này liên tục trên ¡ và ( ) 0 2010f = − . Do ( ) lim 0, 0 x f x a b →±∞ = +∞ ⇒ ∃ > < sao cho ( ) ( ) 0; 0f a f b> > 0.5 Từ đó ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 0; 0 . 0f f a f f b< < nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. 0,5 . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KÌ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẠI HỌC LẦN 4 NĂM HỌC 2010-2011; MÔN: TOÁN KHỐI A; LỚP 11 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề I. PHẦN. Nếu M và I nằm cùng một phía của đường thẳng AB 0,25 2. (1 điểm) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và SA. Ta chứng minh được HK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BC và SA 0,5 Áp. điểm) Gọi là giao điểm của MI và AB. Ta có đường tròn ( ) C có tâm ( ) 1;1 ; 3I R = . Do tam giác IAB đều nên 3 3 2 IA IB AB HA= = = ⇒ = . 0,25 +) TH1 Nếu M và I nằm về hai phía của đường