Chứng minh một số bài toán hình học bằng cách vẽ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn I/ Đặt vấn đề : Trong giải toán hình học một số bài toán nhiều khi phải vẽ thêm đờng phụ thì mới đi đến lời giải hoặc có khi vẽ thêm đờng phụ giúp lời giải đợc gọn hơn , hay hơn , nh- ng điều khó khăn phức tạp nhất là biết chọn đờng phụ nào cho có lợi khi giải bài toán . Đối với các bài toán hình học mà có hai đờng tròn tiếp xúc nhau nhiều khi vẽ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn làm xuất hiện những yếu tố liên quan đến cả hai đờng tròn , từ đó giúp ta tìm đến lời giải bài toán . Căn cứ vào những lí do trên, nên tôi chọn đề tài là: " Chứng minh một số bài toán hình học bằng cách vẽ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn ". Do nhiều điều kiện cũng nh kinh nghiệm còn hạn chế, hơn nữa, đây là vấn đề tơng đối rộng nên không thể tránh khỏi sai sót. Rất mong sự chí bảo quí báu của các thầy cô và sự đóng góp chân thành của các bạn đồng nghiệp. II. Nội dung 1.Cơ sở khoa học và thực tiễn . - Xuất phát từ đặc điểm , quá trình t duy và nhận thức của học sinh trong chứng minh các bài toán hình học đó là : + T duy của học sinh đang trong quá trình hình thành và phát triển . + Nhìn nhận vấn đề ở các bài toán còn hạn chế . Sáng kiến kinh nghiệm 1 Chứng minh một số bài toán hình học bằng cách vẽ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn - Quan sát quá trình giải toán hình học của học sinh cho thấy việc học sinh loay hoay tìm ra lời giải các bài toán gặp nhiều khó khăn khi bài toán đó cần vẽ đờng phụ : + 80% học sinh giải bài toán mang tính tự phát , cha tìm hiểu kĩ dẫn đến không biết cách vẽ đờng phụ để từ đó tìm ra lời giải. + 20% Thực hiện kế hoạch giải sai , hoặc giải qua loa đại khái cho xong. 2. Nguyên nhân và biện pháp khắc phục. - Khó khăn đầu tiên mà học sinh vấp phải đó là tìm ra hớng chứng minh , cách vẽ đ- ờng phụ . Do trình độ nhận thức còn bột phát hoặc mang tính thụ động ít t duy,nghiên cứu vấn đề cha kĩ ,hoặc t duy cha logic. Bên cạnh đó bài toán hình học các hình vẽ đờng phụ thì có nhiều hớng nên học sinh không biết cách vẽ đờng nào cho đúng để chứng minh. Trong các ví dụ sau đây việc không sử dụng vẽ đờng phụ là Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn dẫn đến chứng minh các bài toán sẽ gặp khó khăn. Ví dụ bài toán 1: Cho đờng tròn (O;R) và đờng tròn (O ;R ) tiếp xúc trong với nhau tại A. Vẽ các dây cung AB , AC của đờng tròn (O) , AB và AC cắt (O ) lần l ợt tại D và E ( D khác A , E khác A ) . Chứnh minh BC // DE . Phân tích : Đối với bài toán này để chứng minh BC // DE cần chứng minh ã ã ADE ABC= ( cặp góc đồng vị bằng nhau ) . Nhng để chứng minh ã ã ADE ABC= thì học sinh Sáng kiến kinh nghiệm 2 Chứng minh một số bài toán hình học bằng cách vẽ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn khó tìm ra cách chứng minh . Thực tế ã ã v ADE ABC là hai góc nội tiếp của đờng tròn (O) và (O) ,ta chỉ cần một động tác chứng minh ã ã v ADE ABC bằng góc thứ ba .Vậy ta cần vẽ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn tại A là xAy khi đó xuất hiện góc ã ã yAE ADE= và ã ã yAC ABC= . H ớng dẫn giải : Vẽ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn là xAy . Xét đờng tròn (O) có : ã ã yAE ADE= (1) ( Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn cung ằ AE ) Xét đờng tròn (O) có ã ã yAC ABC= (2) ( Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn cung ằ AC ) Từ (1) và (2) suy ra ã ã ADE ABC= BC // DE Ví dụ bài toán 2 : Cho hai đờng tròn (O;R) và đờng tròn (O ;R ) tiếp xúc ngoài với nhau tại A . Vẽ cát tuyến chung BAC và DAE ( B , D thuộc (O) ; C , E thuộc (O ). ) Chứng minh : BD // CE Phân tích : Tơng tự bài toán 1 để chứng minh BD // EC ta cần chứng minh ã ã ACE DBA= hoặc ã ã BDA AEC= . Vậy ta cần chứng minh ã ACE và ã DBA bằng góc thứ ba Sáng kiến kinh nghiệm 3 x O y O A B C D E Chứng minh một số bài toán hình học bằng cách vẽ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn nào đó . Để chứng minh ã ACE và ã DBA bằng góc thứ ba thì ta tạo ra gó đó bằng cách vẽ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn tại A là yAy. H ớng dẫn giải : - Vẽ tiếp tuyến chung trong yAy của hai đờng tròn (O) và (O). Xét đờng tròn (O) ta có : ã ã 'y AD DBA= (1) (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn cung ằ AD ). Xét đờng tròn (O) ta có : ã ã yAE ACE= (2) ( Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn cung ằ AE ). Mặt khác : ã ã 'yAE y AD= (3) ( đối đỉnh) Từ (1) , (2) , (3) suy ra : ã ã ACE DBA= (hai góc ở vị trí so le trong) DB // CE Ví dụ bài toán 3: Cho hai đờng tròn (O;R) và đờng tròn (O ;R ) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của đờng tròn (O) và đờng tròn (O ) ( B (O); C (O ) ). Chứng minh : ã BAC = 90 0 . Phân tích : Với bài toán này học sinh muốn chứng minh ã BAC = 90 0 có nhiều em lúng túng tìm cách giải bởi tác động hình vẽ khó tìm dữ kiện để chứng minh ã BAC = 90 0 . Vậy để hình vẽ nh vậy khó có thể tìm ra lời giải . Thực chất ã BAC = 90 0 tức là Sáng kiến kinh nghiệm 4 A B O O C D E y y Chứng minh một số bài toán hình học bằng cách vẽ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn ABC vuông tại A , muốn chứng minh ABC vuông tại A ta cần tạo ra đờng trung tuyến từ đỉnh A của ABC bằng 1 2 cạnh ấy . Vậy ta cần phải vẽ đờng phụ là tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn (O) và (O) tại A. H ớng dẫn giải : Vẽ tiếp tuyến chung trong của đờng tròn (O) và (O) tại A và cắt BC tại D Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau Ta có : DA = DB ; DA = DC ABC có AD là trung tuyến và AD = 1 2 BC nên ABC vuông tại A. => ã BAC = 90 0 Ví dụ bài toán 4: Cho hai đờng tròn tiếp xúc trong tại điểm A . Gọi BC là một dây của đ- ờng tròn lớn tiếp xúc với đờng tròn nhỏ tại điểm D. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc BAC. Phân tích : Với yêu cầu chứng minh AD là phân giác của góc BAC hầu hết các em có t duy là chứng minh ã ã BAD DAC= nhng để chứng minh đợc thì đa phần các em gặp khó khăn . Đối với bài toán này các em khó phát hiện cách vẽ đờng phụ để chứng minh.Nhng thực tế để chứng minh đợc đơn giản ta phải vẽ đờng phụ là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn tại A. Sáng kiến kinh nghiệm 5 O O A B C D Chứng minh một số bài toán hình học bằng cách vẽ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn H ớng dẫn giải : Vẽ tiếp tuyến chung Ax của hai đờng tròn (O) và (O). Ax cắt BC tại E. Nên ta có : EA = ED ( T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy ra : ã ã EAD EDA= (1) Mặt khác ã ã ã EAD EAB BAD= + (2) ã ã ã EDA ACD DAC= + (3)( Vì ã EDA là góc ngoài của ADC) Xét đờng tròn (O) ta có : ã ã EAB ACD= (4) (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn cung ằ AB ). Từ (2) và (3) ta có : ã ã ã BAD EAD EAB= ã ã ã DAC EDA ACD= Do ã ã EAD EDA= , ã ã EAB ACD= nên ã ã BAD DAC= Vậy AD là tia phân giác của góc ã BAC . Ví dụ bài toán 5 : Cho hai đờng tròn (O) và (O ) tiếp xúc ngoài tại D. Từ một điểm A trên đ - ờng tròn (O) kẻ tiếp tuyến với đờng tròn (O) và cắt đờng tròn (O ) tại hai điểm B và C. Chứng minh điểm A cách đều hai đờng thẳng BD và CD. Phân tích : Đối với bài toán này sau khi vẽ hình các em nhiều khi lúng túng tìm ra cách chứng minh , các em khó phát hiện cách chứng minh . Nhng để chứng minh A Sáng kiến kinh nghiệm 6 D A B C E x O O Chứng minh một số bài toán hình học bằng cách vẽ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn cách đều BD và CD thì cần phải chứng minh A thuộc tia phân giác BDx => Phải vẽ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn tại D từ đó ta chứng minh ã ã ADx ADB= Huớng dẫn giải : Vẽ tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn (O) và (O) tại D cắt AB tại E Khi đó ta có : EA = ED ( Tính chất hai tiếp tiếp tuyến cắt nhau ) Nên suy ra : ã ã EAD EDA= Mặt khác: ã ã ã ADx EAD DCA= + (1)( ã ADx là góc ngoài của ADC ) ã ã ã ADB EDA EDB= + (2) Ta thấy : ã ã EDB ACD= (3) (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn cung ằ BD ). Từ (1),(2),(3) suy ra : ã ã ADx ADB= A thuộc tia phân giác của góc ã BDx Vậy A cách đều hai đờng thẳng BD và CD . III. Kết luận : Trong quá trình giảng dạy môn toán THCS mỗi bài toán đặt ra trớc hết phải phục vụ cho mục tiêu dạy học .Việc xây dựng và sử dụng cách giải phơng pháp nhận dạng các bài toán chứng minh hình học có sử dụng vẽ đờng phụ mà tôi trình bày ở trên là nhằm mục đích giúp học sinh có khả năng t duy khi giải các bài toán chứng minh có hai đờng tròn tiếp xúc nhau một cách đơn giản hơn,đồng thời kích thích cho học sinh biết t duy sáng tạo trong các bài chứng minh hình học.Tuy nhiên để giải một bài Sáng kiến kinh nghiệm 7 O O B A E D x C Chứng minh một số bài toán hình học bằng cách vẽ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn toán nó thờng đợc bắt đầu bởi những kiến thức cơ bản,từ đó bản thân vận dụng sáng tạo có hiệu quả vào để chứng minh một cách hợp lý nhất,nhanh nhất, gọn nhất . ( Trong quá trình viết còn nhiều khiếm khuyết mong độc giả thông cảm và góp ý )./. Sáng kiến kinh nghiệm 8 Chứng minh một số bài toán hình học bằng cách vẽ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn Sáng kiến kinh nghiệm 9 . tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn cung ằ AE ) Xét đờng tròn (O) có ã ã yAC ABC= (2) ( Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn cung ằ AC ) Từ (1) và (2) suy ra. phụ là tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn (O) và (O) tại A. H ớng dẫn giải : Vẽ tiếp tuyến chung trong của đờng tròn (O) và (O) tại A và cắt BC tại D Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt. tròn (O) ta có : ã ã yAE ACE= (2) ( Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn cung ằ AE ). Mặt khác : ã ã 'yAE y AD= (3) ( đối đỉnh) Từ (1) , (2) , (3) suy ra : ã ã ACE DBA= (hai