ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP LỚP: ĐHSP TOÁN 2008-L2-TV NGƯỜI THỰC HIỆN: 1) CAO THÀNH HIỆP 2) TRẦN HỮU NGHĨA 3) NGUYỄN VĂN THIỆN GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN NGUYỄN DƯƠNG HOÀNG Tên chuyên đề: Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học số học 6 . I/. NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG: Chúng ta đã biết trong quá trình dạy học, việc phát triển tư duy học sinh là một trong những nhiệm vụ quan trọng của giáo dục phổ thông. Trong đời sống và các ngành khoa học khác, toán học đóng vai trò rất quan trọng. Ở các trường phổ thông hiện nay, trong tất cả các môn học thì Toán là một môn học quan trọng nhất, không thể thiếu trong bất cứ kỳ thi nào. Ý thức được tầm quan trọng của toán học, giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ. Toán học đòi hỏi tính trừu tượng cao độ, tính chính xác cao, suy luận logic chặc chẽ. Toán học còn có khả năng dạy học cho học sinh tư duy chính xác, tư duy logic. Việc tìm kiếm lời giải của một bài toán có tác dụng rèn luyện cho học sinh tư duy sáng tạo, tò mò, dự đoán… qua đó rèn luyện cho học sinh trí thông minh biết sáng tạo. Qua thực tiễn giảng dạy cho thấy, để hình thành lời giải, cách trình bày của một bài toán thì học sinh gặp không ít khó khăn nhất là đối với học sinh yếu môn toán. Xuất phát từ tình hình đó, là một giáo viên dạy toán. Bản thân nhận thấy muốn cho học sinh học tốt hơn nhất là môn toán, đặc biệt là tìm ra lời giải và cách trình bày một bài toán thì giáo viên cần phải hướng dẫn cho học sinh giải bài toán theo những bước đã định sẵn, đó cũng là một phương pháp giải toán để tìm ra được kết quả nhanh, trong toán học gọi là thuật toán (Algorit) trong giải toán nói chung, Algorit trong giải toán số học nói riêng. Đó là lý do mà tôi chọn chuyên đề “Rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học số học 6 .” Tư duy là sự phản ánh trong óc ta những sự vật, hiện tượng trong những mối quan hệ và mối quan hệ có tính qui luật của chúng. Trong quá trình tư duy ta dùng các khái niệm. Nếu cảm giác, tri giác, biểu tượng là sự phản ánh các sự vật và hiện tượng cụ thể riêng lẽ thì khái niệm là sự phản ánh những đặc điểm chung, bản chất của một loại sự vật và hiện tượng giống nhau. Như vậy tư duy đó là sự phản ánh thực tế một cách khái quát, gián tiếp. Tư duy phản ánh thực tế một cách khái quát vì nó phản ánh những thuộc tính của hiện thực thông qua các khái niệm mà các khái niệm lại tách ra khỏi những sự vật cụ thể. Những cái chứa đựng những thuộc tính này. Tư duy phản ánh hiện thực một cách gián tiếp vì nó thay thế những hành động thực tế với chính các sự vật bằng hành động tinh thần với những hình ảnh của chúng, nó cho phép giải quyết những nhiệm vụ thực tế thông qua hoạt động tinh thần (lý luận) bằng cách dựa trên những tri thức về các thuộc tính và các quan hệ của các sự vật được củng cố trong khái niệm. 1 Tư duy toán học là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học, toán học và sự vận dụng kiến thức toán học vào thực tế. Mặt khác tư duy toán học có tính chất đặc thù riêng được qui định bởi bản chất toán học của khoa học, bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức các hiện tượng toán học của thế giới hiện thực, cũng như bởi chính các phương thức chung của tư duy mà nó sử dụng. Tư duy toán học là quá trình phức tạp, nó gồm các dạng cơ bản sau: khái niệm, phán đoán, tiền đề, định lý, suy luận, các quy tắc suy luận, các phương pháp suy luận lý thuyết (phương pháp tiền đề và phương pháp kiến thiết). * Khái niệm: là một thao tác logic nhằm phân biệt đối tượng đang xét với những đối tượng khác và vạch ra nội hàm của khái niệm. Một khái niệm toán học là khó hay dễ đối với sự tiếp thu của học sinh tùy theo độ liên kết logic của khái niệm đó là phức tạp hay đơn giản. * Phán đoán: là một hình thức của tư duy trong đó khẳng định điều là thuộc về hay không thuộc về một đối tượng. Phán đoán có tính chất hoặc đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi. Mỗi khoa học thực chất là một hệ thống các phán đoán về các đối tượng mà mỗi khoa học đó nghiên cứu. Nhiệm vụ của khoa học là xác định tính đúng đắn hay tính sai lầm của các luận điểm. * Suy luận: là nhận thức hiện thực một cách gián tiếp. Đó là quá trình tư duy xuất phát từ một hay nhiều điều đã biết, người ta đi đến những phán đoán mới. Suy luận là quá trình tư duy có quy luật, quy tắc nhất định gọi là quy luật, quy tắc suy luận. Muốn suy luận đúng phải tuân theo quy luật, quy tắc ấy. Đặc điểm cơ bản của tư duy toán học: - Phản ánh hiện thực khách quan một cách chính xác. - Tính trừu tượng. - Có liên quan mật thiết với các lĩnh vực khoa học. Con đường con bản hình thành tư duy toán học: Tư duy toán học cũng là một phần của tư duy biện chứng do đó con đường cơ bản hình thành tư duy toán học cũng chính là con đường nhận thức biện chứng đó là: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng trở về thực tiễn”. Tư duy toán học được hiểu, thứ nhất là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học Toán học hay trong quá trình áp dụng Toán học vào các khoa học khác như kỹ thuật, kinh tế quốc dân v.v Thứ hai, tư duy toán học có các tính chất đặc thù được quy định bởi bản chất của khoa học Toán học, bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức các hiện tượng của thế giới hiện thực, cũng như bởi chính các phương thức chung của tư duy mà nó sử dụng. Tư duy toán học biểu lộ qua hoạt động toán học do vậy tư duy toán học cũng là tư duy khoa học tự nhiên. Tư duy khoa học tự nhiên đặc trưng bởi các kỹ năng thực hiện việc giải quyết các giai đoạn của các vấn đề khoa học, tập hợp của các kỹ năng này xác định phương pháp khoa học tự nhiên của nhận thức. Phương pháp này bao gồm những yếu tố sau: Sự hiểu vấn đề, sự xác định đúng vấn đề và sự giới hạn vấn đề khác với vấn đề khác, sự nghiên cứu tất 2 cả các tình huống liên quan với vấn đề đã cho, sự kế hoạch hóa việc tìm kiếm cách giải quyết vấn đề, sự lựa chọn giải thuyết có xác suất lớn hơn, sự kế hoạch hóa và tiến hành thực nghiệm kiểm tra giả thuyết, sự rút ra kết luận và chứng minh, sự lựa chọn phương án tối ưu để giải quyết vấn đề, sự mở rộng kết luận cho tình huống mới. Như vậy tư duy toán học biểu lộ ở các giai đoạn “tiền lôgic”: hình thành giả thuyết lẫn giai đoạn “lôgic” chứng minh tính đúng đắn của giả thuyết, mở rộng giả thuyết, phát hiện các ứng dụng đa dạng của giả thuyết trong các tình huống mới. Tính chất đặc thù của tư duy toán học biểu lộ không chỉ ở cái vốn có của nó với bản chất là tư duy khoa học mà còn ở tính đặc biệt của các hình thức riêng rẽ (các biến dạng của sự biểu lộ tư duy). Trong quá trình mô tả các hình thức này, tư duy toán học thường được tách ra bởi các thuật ngữ riêng: Tư duy cụ thể và tư duy trừu tượng, tư duy hàm, tư duy trực giác, tư duy thuật toán, v.v Tư duy thuật toán liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán. *1) Thuật toán: là một hệ thống chặt chẽ và rõ ràng các quy tắc nhằm xác định một dãy các thao tác trên những đối tượng, sao cho sau một số hữu hạn bước thực hiện các thao tác ta đạt được mục tiêu định trước. Các thuật toán phải thỏa mãn ba yêu cầu cơ bản: - Tính xác định ai cũng phải hiểu theo cùng một cách mỗi giai đoạn của quá trình quyết định giai đoạn tiếp theo một cách duy nhất. - Tính số đông: phải dùng được để giải một loạt (kiểu) xác định các bài toán. - Tính kết quả: Nếu hoàn thành đúng các thao tác theo trình tự đã vạch ra thì nhất thiết giải được bài toán theo loại đã chọn. Trong dạy học, thuật toán dạy học là hệ thống những quy định nghiêm ngặt được thực hiện theo một trình tự chặt chẽ và dẫn tới cách giải quyết đúng đắn. Chẳng hạn sử dụng thuật toán dạy học để dạy khái niệm có thể giúp cho học sinh nắm chính xác khái niệm có nghĩa là nắm vững các thuộc tính đặc trưng của các đối tượng được phản ánh vào các khái niệm. Các thuộc tính đặc trưng này hợp thành một hệ thống dấu hiệu có một cấu trúc lôgic nhất định. Khái niệm thuật toán là một yếu tố của một phương thức tư duy được gọi là tư duy thuật toán. - Phương thức tư duy này biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động (T 1 ) - (T 5 ) sau đây: (T 1 ) Thực hiện những thao tác theo một trình tự nhất định phù hợp với một thuật toán. (T 2 ) Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo một trình tự xác định. (T 3 ) Khái quát hóa một quá trình diễn ra trong một số đối tượng riêng lẻ thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng. (T 4 ) Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động. (T 5 ) So sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một công việc và phát hiện thuật toán tối ưu. 3 Mỗi khả năng trên là một thành tố của tư duy thuật toán. Thành phần đầu tiên thể hiện năng lực thực hiện thuật toán, bốn thành phần sau thể hiện năng lực xây dựng thuật toán. Các hoạt đông (T 1 ) - (T 5 ) được gọi là hoạt động tư duy thuật toán. Do vậy việc hình thành và phát triển tư duy thuật toán được hiểu là hình thành và phát triển mỗi thành tố hay tổ hợp các thành tố của tư duy thuật toán. Thuật toán, còn gọi là giải thuật, là một tập hợp hữu hạn của các chỉ thị hay phương cách được định nghĩa rõ ràng cho việc hoàn tất một số sự việc từ một trạng thái ban đầu cho trước; khi các chỉ thị này được áp dụng triệt để thì sẽ dẫn đến kết quả sau cùng như đã dự đoán. Nói cách khác, thuật toán là một bộ các qui tắc hay qui trình cụ thể nhằm giải quyết một vấn đề trong một số bước hữu hạn, hoặc nhằm cung cấp một kết quả từ một tập hợp của các dữ kiện đưa vào. Nó được sử dụng rộng rãi và sâu sắc, trong quá trình giải một bài toán nói riêng và một loạt các bài toán nói chung, theo các bước một cách có hệ thống chặt chẽ, hay nói khác hơn là tuân theo một qui tắc giải toán cụ thể, cho từng loại bài toán cùng loại hay cùng kiểu. *2) Qui trình tựa thuật toán : a) Qui trình dạy học Chẳng hạn, Qui trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm : Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán Bước 2 : Xây dựng thuật giải Bước 3 : Thực hiện thuật giải Bước 4 : Kiểm tra nghiên cứu lời giải. b) Qui trình tựa thuật toán Trong quá trình giải bài tập toán học, người ta thường dùng một tập hợp các hành động dẫn đến lời giải bài toán. Việc mô hình hóa các hoạt động trong giai đoạn đầu của quá trình học tập là một trong những con đường có thể hình thành ở người học khả năng tiến hành các hoạt động giải toán, bởi vì theo các nhà tâm lí học, hiệu quả của mô hình hoạt động theo kiểu trong nhiều trường hợp phụ thuộc rất lớn và tính đầy đủ của việc hình dung được các thành phần cấu trúc và chức năng trong mô hình hoạt động, ta gọi đó là các qui trình tựa thuật toán. Các quy trình này có thể được xem là một động thái tích cực nhằm hình thành ở học sinh văn hóa thuật toán. II/. CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN: 1. Phương pháp thuật toán (Algorit): Ở trường phổ thông học sinh đã làm quen với một số Algorit như: Algorit cộng, trừ, nhân, chia các số tự nhiên, số nguyên,… Algorit tìm ước chung lớn nhất ( ƯCLN ), bội chung nhỏ nhất ( BCNN ) của hai hay nhiều số, Algorit qui đồng mẫu hai hay nhiều phân số. 4 Sau đây là 1 ví dụ nhằm làm sáng tỏ về Algorit: Ví dụ: Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số ( lớn hơn 1 ) ta thực hiện các bước sau: - Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố - Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung - Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm. Đây là một Algorit tìm ƯCLN của hai số a, b. Algorit này có thể chi tiết hoá thành một chuỗi các thao tác thật đơn giản như sau: 5 Phân tích cả hai số a, b ra thừa số nguyên tố Tìm thừa số nhỏ nhất của số thứ nhất Kiểm tra xem trong số thứ hai có thừa số nào bằng thừa số nhỏ nhất của số thứ nhất không ? Kiểm tra xem trong số thứ nhất có còn lại thừa số nào chưa xóa không ? Nhận tất cả các thừa số đã viết riêng: tích đó là ƯCLN của a, b. Kết thúc Không Có Xóa thừa số nhỏ nhất khỏi số thứ nhất Viết riêng thừa số đó Xóa thừa số đó trong cả hai số Không Có Ngoài cách tìm ƯCLN bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố ta còn có thể áp dụng thuật toán Euclid để tìm ƯCLN. Thuật toán Euclid, là một giải thuật giúp tính ƯCLN của hai số một cách hiệu quả. Thuật toán Euclid tìm ƯCLN được thực hiện như sau: a) Trường hợp b\a thì (a,b) = b b) Trường hợp b \ a , giả sử a = b.q +c thì (a,b) = (b,c) Thuật toán Euclid. Giả sử: a = b.q + r 1 ; 0 < r 1 < b b = r 1 .q 1 + r 2 ; 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 .q 2 + r 3 ; 0 < r 3 < r 2 . r n-2 = r n-1 .q n-1 + r n ; 0 < r n < r n-1 r n-1 = r n .q n Thuật toán Euclid phải kết thúc với số dư r n+1 = 0 Theo b) ta có : (a,b) = (b,r 1 ) = (r 1 ,r 2 ) = = (r n-1 ,r n ) = r n Vậy ƯCLN(a,b) là số dư cuối cùng khác 0 trong thuật toán Euclid a b b r 1 q r 1 r 2 q 1 r 3 q 2 r n-1 r n (a,b) 0 q n Ví dụ: Tìm ƯCLN của a = 702 và b = 306 Chia 702 cho 306, có thương là 2, dư là 90 702 = 306.2+90 ⇒ ƯCLN(702,306) = ƯCLN(306,90) 306 = 90.3+36 ⇒ ƯCLN(306,90) = ƯCLN(90,36) 90 = 36.2+18 ⇒ ƯCLN(90,36) = ƯCLN(36,18) 36 = 18.2 ⇒ ƯCLN(36,18) = 18 Cuối cúng có : ƯCLN(702,306) = 18 Trong thực hành, có thể đặt phép tính như sau: 702 306 306 90 2 90 36 3 36 18 2 0 2 2. Áp dụng Algorit vào những bài toán số học: a) Algorit để tìm BCNN của hai hay nhiều số ta làm như sau: - Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố - Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng - Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm. 6 Bài toán 1: Tìm BCNN ( 30; 45; 60 ) - Bước 1: Phân tích 30; 45; 60 ra thừa số nguyên tố 30 2 45 3 60 2 15 3 15 3 30 2 5 5 5 5 15 3 1 1 5 5 1 30 = 2.3.5 45 = 3 2 .5 60 = 2 2 .3.5 - Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng là: 2, 3, 5 - Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm: 2 2 .3 2 .5 = 180 ⇒ BCNN ( 30; 45; 60 ) = 180 b) Algorit tìm ƯCLN của hai hay nhiều số ta làm như sau: Bài toán 2: Tìm ƯCLN ( 84; 168 ) - Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố 84 2 168 2 42 2 84 2 21 3 42 2 7 7 21 3 1 7 7 1 84 = 2 2 .3.7 168 = 2 3 .3.7 - Bước 2: Các thừa số nguyên tố chung của 84 và 168 là 2; 3; 7 - Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm: 2 2 .3.7 = 84 ⇒ ƯCLN ( 84; 168 ) = 84 c) Algorit quy đồng mẫu số nhiều phân số ta làm như sau: - Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu ( thường là BCNN ) để làm mẫu chung. - Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu ( bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu ) - Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng. Bài toán: Quy đồng mẫu số các phân số: 90 64 ; 18 5 ; 60 17 −− - Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu 60, 18, 90 60 = 2 2 .3.5 18 = 2.3 2 90 = 2.3 2 .5 BCNN ( 60,18,90 )= 2 2 .3 2 .5 = 180 - Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu 180 : 60 = 3 180 : 18 = 10 180 : 90 = 2 - Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng. 180 51 3.60 3.17 60 17 == 7 180 50 10.18 10.5 18 5 − = − = − 180 128 2.90 2.64 90 64 − = − = − c) Thuật toán thực hiện phép cộng hai số nguyên khác 0: Bước Tiến trình giải Áp dụng (−35) + (−10) (−35) + 10 35 + (−10) 1 Nếu hai số nguyên cùng dấu thì csb2 (nếu không csb 6 ) Cùng dấu, csb2 Khác dấu, csb6 Khác dấu, csb6 2 Nếu cùng mang dấu cộng thì csb3 (nếu không csb 4) Không cùng mang dấu “+”, csb4 3 Cộng hai số tự nhiên, csb12 4 Nếu cùng mang dấu “ − ”, csb5 Nếu cùng mang dấu “−”, csb5 5 Cộng hai giá trị tuyệt đối và đặt dấu “−” trước kết quả, csb12 (−35) + (−10) = −(35 +10), csb12 6 Nếu hai số nguyên khác dấu đối nhau, csb7 (nếu không đối nhau, csb8) Không đối nhau, csb8 Không đối nhau, csb8 7 Tổng của chúng bằng 0, csb 12 8 Nếu hai số nguyên khác dấu không đối nhau, số âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn, csb9 (nếu không csb10) Số âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn, csb9 Số âm không có giá trị tuyệt đối lớn, csb10 9 Tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối của chúng (số lớn trừ số nhỏ), và đặt dấu “ − ” trước kết quả, csb 12 (−35) + 10 = −(35 −10), csb12 10 Nếu hai số nguyên khác dấu không đối nhau, số dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn, csb11 Số dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn, csb11 11 Tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối của chúng (số lớn trừ số nhỏ), và đặt dấu “ + ” trước kết quả, csb 12 35 + (−10) = 35 − 10, csb12 12 Quá trình thực hiện phép tính kết thúc −45 −20 20 Lưu ý : Thuật toán thực hiện phép cộng hai số nguyên khác 0 giúp học sinh tính nhanh phép cộng hai số nguyên. III/. KẾT LUẬN : 1. Làm thế nào để phát triển tư duy thuật toán cho học sinh: 8 Ðây là vấn đề đặc biệt quan trọng trong dạy học hiện nay. Trong dạy học người ta luôn luôn tìm kiếm nhiều phương pháp để phát triển tư duy cho học sinh. Ở từng giai đoạn nội dung phát triển tư duy có khác nhau. Nó phụ thuộc vào trình độ khoa học kỹ thuật, quan điểm triết học. Chúng ta đã từng quen thuộc với các khái niệm về tư duy trừu tượng, tư duy logic, tư duy biện chứng. Vào thời cổ đại, tư duy của con người gần như là tư duy cụ thể, toán học thời bấy giờ chỉ là các khái niệm thực nghiệm, trong giai đoạn này chưa có khái niệm về tư duy logic. Về sau toán học phát triển cao hơn, con người không những biết thành lập những mệnh đề toán học mà còn biết chứng minh tính đúng đắn của nó, tư duy logic xuất hiện. Vào thời đại ngày nay bước sang giai đoạn tự động hóa, máy vi tính trở thành công cụ đắc lực cho mọi hoạt động. Ðể nắm vững tin học nhằm hòa nhập tích cực vào cuộc sống con người cần có tư duy thuật toán. 2. Sự liên hệ giữa tư duy thuật toán và tư duy sáng tạo: Sự liên hệ giữa tư duy thuật toán và tư duy sáng tạo có nhiều quan điểm trái ngược nhau. Có quan điểm cho rằng dạy thuật toán cho học sinh là làm cho học sinh hoạt động máy móc, rập khuôn, thiếu linh hoạt nhưng chúng ta cần xem xét vấn đề trên trên nhiều góc độ khác nhau. Tư duy thuật toán là tiền đề chuẩn bị cho sự sáng tạo.Trước khi có sự sáng tạo người ta cần phải nắm vững tri thức, thành thạo các kỹ năng cơ bản. Tư duy thuật toán rất cần thiết trong giai đoạn này. Chúng ta dễ dàng nắm được các khái niệm khoa học nhờ tư duy thuật toán vì biết vạch ra các dấu hiệu của khái niệm, biết xây dựng thuật giải cho các bài toán. Từ đó dễ dàng hình thành các kỷ năng, kỹ xảo. Trên cơ sở thuật toán cho trước ta có thể xây dựng nhiều bài toán cụ thể khác nhau. Tư duy thuật toán giúp chúng ta không dừng lại ở một cách giải bài toán nào đó mà luôn nghĩ đến nhiều lớp bài tập càng lúc càng rộng hơn, tổng quát hơn. Bản thân việc phát hiện ra thuật toán để giải một bài tập nào đó cũng là một sự sáng tạo. Tư duy thuật toán cũng góp phần phát triển phẩm chất trí tuệ, rèn luyện thao tác, tư duy. o Phân tích: Thông qua phân tích các bài toán (xét mọi trường hợp có thể xảy ra) phân tích một hoạt động lớn thành nhiều hoạt động thành phần. o Tổng hợp: Là quá trình sắp xếp một cách hợp lý các hành động thành một quy trình cụ thể, có thể miêu tả bằng lời hoặc sơ đồ khối. o Khái quát: Là xuất phát từ bài toán cụ thể có thể khái quát thành bài toán tổng quát cho một dạng bài tập nào đó. 9 . duy thuật toán. 2. Sự liên hệ giữa tư duy thuật toán và tư duy sáng tạo: Sự liên hệ giữa tư duy thuật toán và tư duy sáng tạo có nhiều quan điểm trái ngược nhau. Có quan điểm cho rằng dạy thuật. hình thức này, tư duy toán học thường được tách ra bởi các thuật ngữ riêng: Tư duy cụ thể và tư duy trừu tượng, tư duy hàm, tư duy trực giác, tư duy thuật toán, v.v Tư duy thuật toán liên hệ. nhất định. Khái niệm thuật toán là một yếu tố của một phương thức tư duy được gọi là tư duy thuật toán. - Phương thức tư duy này biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động (T 1 ) - (T 5 ) sau đây: (T 1 )