BT So phuc

TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 TẬP 4 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC Năm 2009 Số phức Trần Só Tùng Trang 102 1. Khái niệm số phức · Tập hợp số phức: C · Số phức (dạng đại số) : zabi =+ (a, b R Ỵ , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vò ảo, i 2 = –1) · z là số thực Û phần ảo của z bằng 0 (b = 0) z là thuần ảo Û phần thực của z bằng 0 (a = 0) Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. · Hai số phức bằng nhau: ' ’’(,,',') ' aa abiabiababR bb ì = +=+ÛỴ í = ỵ 2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b ) R Ỵ được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi (;) uab = r trong mp(Oxy) (mp phức) 3. Cộng và trừ số phức: · ( ) ( ) ( ) ( ) ’’’’ abiabiaabbi +++=+++ · ( ) ( ) ( ) ( ) ’’’’ abiabiaabbi +-+=-+- · Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi · u r biểu diễn z, ' u r biểu diễn z' thì ' uu + rr biểu diễn z + z’ và ' uu - rr biểu diễn z – z’. 4. Nhân hai số phức : · ( ) ( ) ( ) ( ) '' ’–’’ ’ abiabiaabbabbai ++=++ · ()() kabikakbikR +=+Ỵ 5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là zabi =- · 11 22 ;'';.'.'; zz zzzzzzzzzz zz ỉư =±=±== ç÷ èø ; 22 . zzab =+ · z là số thực Û zz = ; z là số ảo Û zz =- 6. Môđun của số phức : z = a + bi · 22 zabzzOM =+== uuuur · 0,,00 zzCzz ³"Ỵ=Û= · .'.' zzzz = · ' ' zz z z = · ''' zzzzzz -£±£+ 7. Chia hai số phức: · 1 2 1 zz z - = (z ¹ 0) · 1 2 ''.'. ' . zzzzz zz zzz z - === · ' ' z wzwz z =Û= I. SỐ PHỨC CHƯƠNG IV SỐ PHỨC Trần Só Tùng Số phức Trang 103 8. Căn bậc hai của số phức: · zxyi =+ là căn bậc hai của số phức wabi =+ Û 2 zw = Û 22 2 xya xyb ì -= í = ỵ · w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0 · w 0 ¹ có đúng hai căn bậc hai đối nhau · Hai căn bậc hai của a > 0 là a ± · Hai căn bậc hai của a < 0 là . ai ±- 9. Phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A 0 ¹ ). 2 4 BAC D=- · 0 D¹ : (*) có hai nghiệm phân biệt 1,2 2 B z A -±d = , ( d là 1 căn bậc hai của D) · 0 D= : (*) có 1 nghiệm kép: 12 2 B zz A ==- Chú ý: Nếu z 0 Ỵ C là một nghiệm của (*) thì 0 z cũng là một nghiệm của (*). 10. Dạng lượng giác của số phức: · (cossin) zri =j+j (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z ¹ 0) 22 cos sin rab a r b r ì ï =+ ï ï Ûj= í ï ï j= ï ỵ · j là một acgumen của z, (,) OxOM j= · 1cossin() zziR =Û=+Ỵ jjj 11. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác Cho (cossin),''(cos'sin') zrizri =j+j=j+j : · [ ] .''.cos(')sin(') zzrri =j+j+j+j · [ ] cos(')sin(') '' zr i zr =j-j+j-j 12. Công thức Moa–vrơ: · [ ] (cossin)(cossin) n n rirnin j+j=j+j , ( * nN Ỵ ) · ( ) cossincossin n inin j+j=j+j 13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: · Số phức (cos sin) zri =+ jj (r > 0) có hai căn bậc hai là: cossin 22 cossincossin 2222 ri vàriri ỉư jj + ç÷ èø éù ỉưỉưỉư jjjj -+=+p++p ç÷ç÷ç÷ êú èøèøèø ëû · Mở rộng: Số phức (cos sin) zri =+ jj (r > 0) có n căn bậc n là: 22 cossin,0,1, ,1 n kk rikn nn ỉư ++ +=- ç÷ èø jpjp Số phức Trần Só Tùng Trang 104 VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn bậc hai của số phức. Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân. Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: a) ( ) ( ) ( ) 4–23–5 iii +++ b) 1 22 3 ii ỉư -+- ç÷ èø c) ( ) 25 23 34 ii ỉư ç÷ èø d) 131 32 322 iii ỉưỉư -+-+- ç÷ç÷ èøèø e) 3153 4545 ii ỉưỉư + + ç÷ç÷ èøèø f) ( ) ( ) 233 ii -+ g) i i i i - - + - 2 1 3 h) i 2 1 3 + i) i i - + 1 1 k) mi m l) aia aia - + m) )1)(21( 3 ii i +- + o) 1 2 i i + - p) ai bia + q) 23 45 i i - + Bài 2. Thực hiện các phép toán sau: a) ( ) ( ) 22 11– ii +- b) ( ) ( ) 33 23 ii + c) ( ) 2 34 i + d) 3 1 3 2 i ỉư - ç÷ èø e) 22 22 )2()23( )1()21( ii ii +-+ + f) ( ) 6 2 i - g) 33 (1)(2) ii -+- h) 100 (1) i - i) 5 (33) i + Bài 3. Cho số phức zxyi =+ . Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: a) 2 24 zzi -+ b) 1 - + iz iz Bài 4. Phân tích thành nhân tử, với a, b, c Ỵ R: a) 2 1 a + b) 2 23 a + c) 42 49 ab + d) 22 35 ab + e) 4 16 a + f) 3 27 a - g) 3 8 a + h) 42 1 aa ++ Bài 5. Tìm căn bậc hai của số phức: a) 143 i -+ b) 465 i + c) 126 i d) 512 i -+ e) 45 32 i f) 724 i - g) 4042 i -+ h) 1143. i + i) 12 42 i + k) 512 i -+ l) 86 i + m) 3356 i - VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức Giả sử z = x + yi. Giải các phương trình ẩn z là tìm x, y thoả mãn phương trình. Bài 1. Giải các phương trình sau (ẩn z): a) 0 2 =+ zz b) 0 2 2 =+ zz c) izz 422 -=+ d) 0 2 =- zz e) 218 zzi -= f) ( ) 452 izi -=+ Trần Só Tùng Số phức Trang 105 g) 1 4 = ÷ ø ư ç è ỉ - + iz iz h) i i z i i + + - = - + 2 31 1 2 i) 23112 zzi -=- k) ( )( ) 2 323 izii -+= l) 0) 2 1 ](3)2[( =+++- i izizi m) 11 33 22 zii ỉư -=+ ç÷ èø o) 35 24 i i z + =- p) ( ) ( ) 2 3250 zizz +-+= q) ( ) ( ) 22 910 zzz +-+= r) 32 235330 zzzi -++-= Bài 2. Giải các phương trình sau (ẩn x): a) 01.3 2 =+- xx b) 02.32.23 2 =+- xx c) ( ) 2 3430 xixi +-= d) 2 3.240 ixxi += e) 2 320 xx -+= f) 2 .2.40 +-= ixix g) 3 3240 x -= h) 4 2160 x += i) 5 (2)10 x ++= k) 2 7 0 x += l) ( ) 2 21420 xixi ++++= m) ( ) 2 221840 xixi ++= o) 2 440 ixxi ++-= p) ( ) 2 230 xix +-= Bài 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là: a) 2313 ivài +-+ b) 244 ivài -+ Bài 4. Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận a làm nghiệm: a) 34 i =+ a b) 73 i a=- c) 25 i =- a d) 23 i a= e) 32 i a=- f) i =- a g) (2)(3) ii =+- a h) 51804538 234 iiii =+++ a i) 5 2 i i + = - a Bài 5. Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm z 1 , z 2 thoả mãn điều kiện đã chỉ ra: a) 222 1212 10,:1 zmzmđkzzzz -++=+=+ b) 233 12 350,:18 zmziđkzz -+=+= c) 222 12 30,:8 xmxiđkzz ++=+= Bài 6. Cho 12 , zz là hai nghiệm của phương trình ( ) ( ) 2 123210 izizi +-++-= . Tính giá trò của các biểu thức sau: a) 22 12 Azz =+ b) 22 1212 Bzzzz =+ c) 12 21 zz C zz =+ Bài 7. Giải các hệ phương trình sau: a) ỵ í ì -=+ +=+ izz izz 25 4 2 2 2 1 21 b) ỵ í ì +-=+ = izz izz .25 .55. 2 2 2 1 21 c) 35 12 24 12 0 .()1 zz zz ì += ï í = ï ỵ d) 123 123 123 1 1 1 zzz zzz zzz ì ++= ï ++= í ï = ỵ e) 125 83 4 1 8 z zi z z ì - = ï - ï í - ï = ï - ỵ f) 1 1 3 1 z zi zi zi ì - = ï - ï í - ï = ï + ỵ Số phức Trần Só Tùng Trang 106 g) 22 12 12 52 4 zzi zzi ì ï +=+ í +=- ï ỵ h) 2 1 ziz ziz ì -= ï í -=- ï ỵ i) 22 1212 12 40 2 zzzz zzi ì ï ++= í += ï ỵ Bài 8. Giải các hệ phương trình sau: a) 212 3 xyi xyi ì +=- í +=- ỵ b) 22 5 88 xyi xyi ì +=- í +=- ỵ c) 4 74 xy xyi ì += í =+ ỵ d) 22 1111 22 12 i xy xyi ì +=- ï í ï +=- ỵ e) 22 6 112 5 xy xy ì +=- ï í += ï ỵ f) 32 11171 2626 xyi i xy ì +=+ ï í +=+ ï ỵ g) 22 5 12 xyi xyi ì +=- í +=+ ỵ h) 33 1 23 xy xyi ì += í += ỵ VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển điểm M(x; y). Tìm tập hợp các điểm M là tìm hệ thức giữa x và y. Bài 1. Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a) 34 zz ++= b) 12 zzi -+-= c) 22 zzizi -+=- d) 2.123 -=+ izz e) 2221 izz -=- f) 31 z += g) 23 zizi += h) 3 1 zi zi - = + i) 12 zi -+= k) 2 ziz +=- l) 11 z +< m) 12 zi <-< Bài 2. Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a) 2 zi + là số thực b) 2 zi -+ là số thuần ảo c) .9 zz = VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức Sử dụng các phép toán số phức ở dạng lượng giác. Bài 1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau: a) i.322 +- b) 4 – 4i c) 13. i - d) 4 sin. 4 cos p p i- e) 8 cos. 8 sin p p i f) )1)(3.1( ii +- Bài 2. Thực hiện các phép tính sau: a) ( ) ( ) 3cos20 sin20cos25 sin25 oooo ii++ b) 5cos.sin.3cos.sin 6644 ii ỉưỉư pppp ++ ç÷ç÷ èøèø c) ( ) ( ) 3cos120sin120cos45sin45 ++ oooo ii d) 5cossin3cossin 6644 ỉưỉư ++ ç÷ ç÷ èø èø pppp ii Trần Só Tùng Số phức Trang 107 e) ( ) ( ) 2cos18sin18cos72sin72 ++ oooo ii f) cos85sin85 cos40sin40 i i + + oo oo g) )15sin.15(cos3 )45sin.45(cos2 00 00 i i + + h) 2(cos45sin45) 3(cos15sin15) i i + + oo oo i) ) 2 sin. 2 (cos2 ) 3 2 sin. 3 2 (cos2 pp pp i i + + k) 22 2cossin 33 2cossin 22 ỉư + ç÷ èø ỉư + ç÷ èø pp pp i i Bài 3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: a) 31 i- b) 1 i + c) )1)(31( ii +- d) )3.(.2 ii - e) i i + - 1 31 f) i 2 2 1 + g) j j cos.sin i + h) 22 i + i) 13 i + k) 3 i - l) 30 i + m) 5 tan 8 i p + Bài 4. Viết dưới dạng đại số các số phức sau: a) cos45sin45 oo i+ b) 2cossin 66 ỉư + ç÷ èø pp i c) ( ) 3cos120sin120 oo i+ d) 6 (2) i + e) 3 (1)(12) i ii + +- f) 1 i g) 1 21 i i + + h) ( ) 60 13 i-+ i) 40 7 13 (22). 1 i i i ỉư + - ç÷ - èø k) 133 cossin 44 2 i ỉư + ç÷ èø pp l) 100 1 cossin 144 i i i ỉưỉư + + ç÷ ç÷ -èø èø pp m) ( ) 17 1 3 i - Bài 5. Tính: a) ( ) 5 cos12 sin12 oo i+ b) ( ) 16 1 i + c) 6 )3( i- d) ( ) 7 00 2cos30sin30i éù + ëû e) 5 (cos15sin15) oo i+ f) 20082008 (1)(1)ii++- g) 21 321 335 ÷ ÷ ø ư ç ç è ỉ - + i i h) 12 2 3 2 1 ÷ ÷ ø ư ç ç è ỉ + i i) 2008 1 ÷ ø ư ç è ỉ + i i k) 57 (cossin).(13) 33 iii pp -+ l) 2008 2008 11 ,1 zbiếtz z z ++= Bài 6. Chứng minh: a) 53 sin516sin20sin5sin tttt =-+ b) 53 cos516cos20cos5cos tttt =-+ c) 23 sin33cossin ttt =- d) 3 cos34cos3cos ttt =- Số phức Trần Só Tùng Trang 108 Bài 1. Thực hiện các phép tính sau: a) (2)(32)(54) iii +- b) 66 1317 22 ii ỉưỉư -+- + ç÷ç÷ èøèø c) 168 11 11 ii ii ỉưỉư +- + ç÷ç÷ -+ èøèø d) 3758 2323 ii ii +- + +- e) (24)(52)(34)(6) iiii -+++ f) 232009 1 iiii +++++ g) 200019992018247 iiiii ++++ h) 2 1 ,(1) n iiin ++++³ i) 232000 iiii k) 571310094 ()()() iiiii -+-++- Bài 2. Cho các số phức 123 12,23,1 zizizi =+=-+=- . Tính: a) 123 zzz ++ b) 122331 zzzzzz ++ c) 123 zzz d) 222 123 zzz ++ e) 123 231 zzz zzz ++ f) 22 12 22 23 zz zz + + Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau: a) 432 (12)313,23 Azizizzivớizi =+-++++=+ b) 232 1 (2)(2),(3) 2 Bzzzzzvớizi =-+-+=- Bài 4. Tìm các số thực x, y sao cho: a) (12)(12)1 ixyii -++=+ b) 33 33 xy i ii += +- c) 2222 1 (43)(32)4(32) 2 ixixyyxxyyi -++=-+- Bài 5. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau: a) 86 i + b) 34 i + c) 1 i + d) 724 i - e) 2 1 1 i i ỉư + ç÷ - èø f) 2 13 3 i i ỉư - ç÷ ç÷ - èø g) 12 22 i - h) i, –i i) 3 13 i i - + k) 11 22 i + l) ( ) 213 i-+ m) 11 11 ii + +- Bài 6. Tìm các căn bậc ba của các số phức sau: a) i - b) –27 c) 22 i + d) 186 i + Bài 7. Tìm các căn bậc bốn của các số phức sau: a) 212 i- b) 3 i + c) 2 i - d) 724 i -+ Bài 8. Giải các phương trình sau: a) 3 1250 z -= b) 4 160 z += c) 3 640 zi += d) 3 270 zi -= e) 743 220 ziziz = f) 63 10 zizi ++-= g) 105 (2)20 zizi +-+-= Bài 9. Gọi 12 ; uu là hai căn bậc hai của 1 34 zi =+ và 12 ; vv là hai căn bậc hai của 2 34 zi =- . Tính 12 uu + 12 vv ++ ? II. ÔN TẬP SỐ PHỨC Trần Só Tùng Số phức Trang 109 Bài 10. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) 2 5 0 z += b) 2 2 2 0 zz ++= c) 2 4 10 0 zz ++= d) 2 5 9 0 zz -+= e) 2 2 3 1 0 zz -+-= f) 2 3 2 3 0 zz -+= g) ()()0 zzzz +-= h) 2 20 zz ++= i) 2 2 zz =+ k) 2323 zzi +=+ l) ( ) ( ) 2 2+2230 zizi ++-= m) 3 zz = n) 2 2 488 zz += o) 2 (12)10 iziz +++= p) 2 (1)2110 izi +++= Bài 11. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) 2 44 560 zizi zizi ỉư ++ -+= ç÷ èø b) ( )( ) ( ) 2 5330 zizzz +-++= c) ( ) ( ) 22 26 2160 zzzz +-+-= d) ( ) ( ) 32 1330 zizizi -+++-= e) ( ) ( ) 2 2 2 0 zizz +-+= f) 2 2210 zizi -+-= g) ( ) ( ) 2 51421250 zizi += h) 2 8040991000 zzi -+-= i) ( ) ( ) 2 363130 zizi + +-+= k) ( ) 2 cossincossin0 zizi -j+j+jj= Bài 12. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) ( ) 2 34510 xixi -++-= b) ( ) 2 120 xixi ++ = c) 2 320 xx ++= d) 2 10 xx ++= e) 3 10 x -= Bài 13. Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a) 32 220 ziziz = b) ( ) ( ) 32 344440 zizizi +-+ += Bài 14. Tìm m để phương trình sau: ( ) ( ) 22 220 zizmzmm +-+-= a) Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b) Chỉ có đúng 1 nghiệm thực c) Có ba nghiệm phức Bài 15. Tìm m để phương trình sau: 32 (3)3()0 zizzmi ++ += có ít nhất một nghiệm thực Bài 16. Tìm tất cả các số phức z sao cho (2)() zzi -+ là số thực. Bài 17. Giải các phương trình trùng phương: a) ( ) 42 8163160 zizi +-= b) ( ) 42 2413081440 zizi +-= c) 42 6(1)560 zizi ++++= Bài 18. Cho 12 , zz là hai nghiệm của phương trình: ( ) 2 12230 zizi -++-= . Tính giá trò của các biểu thức sau: a) 22 12 zz + b) 22 1212 zzzz + c) 33 12 zz + d) 12 2112 1212 zz zzzz ỉưỉư +++ ç÷ç÷ ç÷ç÷ èøèø e) 33 2112 zzzz + f) 12 21 zz zz + Bài 19. Cho 12 , zz là hai nghiệm của phương trình: 2 10 xx -+= . Tính giá trò của các biểu thức sau: a) 20002000 12 xx+ b) 19991999 12 xx+ c) 12 , nn xxnN +Ỵ Bài 20. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức sau: Số phức Trần Só Tùng Trang 110 a) 3 z zi = - b) 22 1 zz += c) 1 z z = Bài 21. Hãy tính tổng 231 1 n Szzzz - =++++ biết rằng 22 cossinzi nn pp =+ . Bài 22. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: a) 432 1 iiii ++++ b) (1)(2) ii -+ c) 2 1 i i + - d) 1sincos,0 2 i -+<< p aaa e) 3cossin 66 i ỉư -+ ç÷ èø pp f) cot, 2 i +<< p apa g) sin(1cos),0 2 i +-<< p aaa Bài 23. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau: a) ( ) ( ) 8 6 68 232(1) (1) 232 ii i i ++ + - - b) ( ) ( ) 4 104 (1)1 3232 i ii -+ + -+ c) ( ) ( ) 1313 nn ii++- d) sincos 88 i-+ pp e) cossin 44 i- pp f) 223 i -+ g) 1sincos,0 2 i -+<< p aaa h) 1cossin ,0 1cossin2 i i ++ << +- aap a aa i) 43 i - Bài 24. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau: a) ( ) ( ) 8 6 68 232(1) (1) 232 ii i i ++ + - - b) ( ) ( ) 4 104 (1)1 3232 i ii -+ + -+ c) ( ) ( ) 1313 nn ii++- Bài 25. Chứng minh các biểu thức sau có giá trò thực: a) ( ) ( ) 77 2525 ii++- b) 197205 976 nn ii ii ỉưỉư ++ + ç÷ç÷ -+ èøèø c) 66 1313 22 ii ỉưỉư -+ + ç÷ç÷ èøèø d) 55 1313 22 ii ỉưỉư -+ + ç÷ç÷ èøèø e) 66 33 22 ii ỉưỉư +- + ç÷ç÷ èøèø Bài 26. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện 3 23 2 zi -+= . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. Bài 27. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức sau: 426 ; (1)(12); 13 ii ii ii + -+ a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân. b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông. Bài 28. Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a) 32 (22)(54)100 zizizi +-+ = b) 32 (1)(1)0 zizizi +++ = c) 32 (45)(820)400 zizizi +-+ = Bài 29. Cho đa thức 32 ()(36)(1018)30 Pzzizizi =+-+-+.