12 ĐỀ THI VÀO 10 CÓ ĐÁP ÁN

12 THI VO LP 10 GV: Nguyn Vn Huy ******** S 1. Câu 1. ( 2,5 im ) Giải các phơng trình sau a, 2 4 4 2007x x + = b, 2 7( 64) 0x x = Câu 2. ( 2,5 im ) Cho pa ra bol (P): y = 2 1 2 x a, Gọi A, B là hai điểm trên đồ thị (P) có hoành độ lần lợt là -2; 4. Viết ph- ơng trình đờng thẳng đi qua A, B b, Chứng minh rằng đờng thẳng (d): y = mx - 2m + 3 cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Gọi x 1 , x 2 là hoành độ hai giao điểm ấy. Tìm m thoả mãn x 1 2 + x 2 2 = 24 Câu 3. ( 1,5 im ) Một phòng họp có 90 ngời họp đợc sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu ta bớt đi 5 dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm 3 ngời mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế đợc xếp bao nhiêu ngời? Câu 4. ( 3,5 im ) Cho MNK có các góc đều nhọn nội tiếp đờng tròn (O, R). Các đờng cao NE, KF cắt nhau tại H và lần lợt cắt đờng tròn (O, R) tại P, Q a, Chứng minh: EF // PQ b,Chứng minh:OM EF c, Có nhận xét gì về các bán kính của các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác MHN, NHK, MHK P N S 1. Câu 1. a, pt 2 2007x = x - 2 = 2007 hoặc x - 2 = -2007 x = 2009 hoặc x = 2005 b, ĐK: x 7 pt x - 7 = 0 hoặc x 2 - 16 = 0 x = 7 ; x = 8 ĐS: x = 7 ; x = 8 Câu 2. a, Vì A, B thuộc (P) nên A(-2; 2) B(4; 8) Phơng trình đờng thẳng qua A, B có dạng y = ax + b vì đờng thẳng đi qua A, B nên ta có hệ pt 2 2 4 8 a b a b + = + = a = 1; b = 4 đờng thẳng cần tìm là y = x + 4 3 2 1 1 1 1 F H Q E P O K N M b, Hoành độ giao điểm là nghiệm của pt x 2 - 2mx + 4m - 6 = 0 = (m - 2) 2 +2 > 0 với mọi m x 1 2 + x 2 2 = 24 (x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = 24 m 2 - 2m - 3 = 0 m = - 1 ; m = 3 Câu 3. Gọi số dãy ghế có lúc đầu là x (dãy) ĐK: x nguyên dơng và x > 5 Thì mỗi dãy phải xếp 90 x ngời Sau khi bớt 5 dãy thì số dãy ghế là x - 5 dãy Mỗi dãy phải xếp 90 5x ngời Theo bài ra ta có pt : 90 5x - 90 x = 3 x 2 - 5x - 150 = 0 x 1 = 15 ; x 2 = - 10 (loại) Vậy lúc đầu phòng họp có 15 dãy ghế và mỗi dãy có 6 ngời Câu 4. S 2. Câu1. ( 2 im ) Giải các phơng trình sau. a, 2 3 3x x + = b, 2 2 2 1 1 1 1 x x x x + = + Câu 2. ( 3 im ) Cho hàm số: y = (m + 1)x - 2m +5 (m -1) a,Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2 b, Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi. Tìm điểm cố định đó? c,Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua giao điểm của hai đờng thẳng 3x - 2y = -9 và y = 1 - 2x Câu 3. ( 1 im ) Hai tỉnh A, B cách nhau 60 km. Có một xe đạp đi từ A đến B. Khi xe đạp bắt đầu khởi hành thì có một xe máy cách A 40 km đi đến A rồi trở về B ngay. Tìm vận tốc của mỗi xe biết xe gắn máy về B trớc xe đạp 40 phút và vận tốc xe gắn máy hơn vận tốc xe đạp là 15km/h. Câu 4. ( 3 im ) Cho ABC có các góc đều nhọn nội tiếp đờng tròn (O, R). Các đờng cao BE, CF cắt nhau tại H và lần lợt cắt đờng tròn (O, R) tại P, Q a, Chứng minh: EF // PQ b,Chứng minh:OA EF c, Có nhận xét gì về các bán kính của các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác AHB, BHC, AHC Câu 5. ( 1 im ) Cho a, b, clà các số nguyên khác 0 thoả mãn: a b c Z b c a b c a Z a b c + + + + Chứng minh rằng: a b c= = P N S 2. Câu 1. a, pt 2 3 3x x = ĐK: x 3 x 2 - 8x + 12 = 0 x 1 = 6 ; x 2 = 2(loại) b, ĐK: x 1 pt x 2 + x - 3 = 0 x 1,2 = 1 13 2 (t/m) Câu 2. a, m = 3 4 b, m(x - 2) + (x - y +5) = 0 Điểm cố định là (2; 3) c, Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng 3x - 2y = -9 và y = 1 - 2x là (-1 ; 3) Đs: m = 1 Câu3. Gọi vận tốc của ngời đi xe đạp là x(km/h) ĐK: x>0 Vận tốc ngời đi xe gắn máy là: x + 15km/h Thời gan ngời đi xe đạp đã đi là: 60 x (h) Thời gan ngời đi xe máy đã đi là: 100 15x + (h) Do xe máy đến B trớc 40' = 2 3 (h) nên ta có pt 60 x - 100 15x + = 2 3 3 2 1 1 1 1 F H Q E P O C B A x 2 + 75x - 1350 = 0 = 11025 V = 105 x 1 = 15 ; x 2 = - 90 (loại) Vận tốc xe đạp là 15 km/h. Vận tốc ngời đi xe máy là 15 + 15 = 30 km/h Câu 4 a, Tứ giác AFEC nội tiếp à à 1 1 F B= mà à à à à 1 1 1 1 B Q Q F= = EF // PQ b, Ta có à ả 1 2 C B= (góc có cạnh tơng ứng vuông ) ằ ằ AP AQ = OA PQ mà PQ // EF OA EF c,Chứng minh H, Q đối xứng qua AB AQB = AHB chúng có cùng bán kính đờng tròn ngoại tiếp bán kính đờng tròn ngoại tiếp AQB bằng R (bằng bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC ) bán kính đờng tròn ngoại tiếp AHB bằng R Chứng minh tơng tự có bán kính đờng tròn ngoại tiếp BHC; AHC bằng R Vậy các tam giác AHB, BHC, AHC có bán kính đờng tròn ngoại tiếp bằng nhau Câu 5 Đặt x 1 = 2 3 ; ; a b c x x b c a = = Xét f(x) = (x - x 1 )(x - x 2 )(x - x 3 ) = x 3 - ux 2 + vx - 1 Trong đó u = x 1 + x 2 + x 3 = a b c Z b c a + + v = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = a b c c a b + + Z Nhận xét: Nếu đa thức P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a, b, c, d Z ; a 0) có nghiệm hữu tỉ x = p q (p, q Z; q 0; (p, q) = 1) thì p là ớc của d còn q là ớc của a. áp dụng nhận xét trên ta có Đa thức f(x) có 3 nghiệm hữu tỉ x 1 , x 2 , x 3 và các nhiệm này là ớc của 1 1 2 3 1 1 1 x x a b c x = = = = = S 3. Bi 1: ( 1,5 im ) Tớnh giỏ tr ca biu thc vi Bi 2: ( 1,5 im ) Chứng minh rằng n nguyên dương, đều có: chia hết cho 91 Bài 3: ( 2 điểm ) a) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: . Tính giá trị lớn nhất của: b) Chứng minh rằng với mọi a, b, c là các số nguyên không âm: Bài 4: ( 2 điểm ) Cho phương trình: (x là ẩn số) a) Giải phương trình khi a=1 b) Tìm a để phương trình có 4 nghiệm . Khi đó tồn tại hay không giá trị lớn nhất của: Bài 5: ( 3 điểm ) Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự ấy, (O) là đường tròn đi qua B,C. Kẻ từ A các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E, F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC, N là trung điểm của EF. a) Chứng minh E, F nằm trên 1 đường tròn cố định khi (O) thay đổi b) Đường thẳng FI cắt (O) tại E’. Chứng minh EE’ // AB. c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOI nằm trên đường thẳng cố định khi (O) thay đổi. ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 3 B ài 1 .Ta rút gọn x: Ta có: a) b) c) Suy ra: Như vậy: Tính A, ta có: (1) Thay x vào (1) ta được: Bài 2: n nguyên dương, ta có: Ở đó: và Suy ra (1) Lại có: Ở đó: và Suy ra (2) Từ (1) và (2) suy ra và ta có (đpcm.) Bài 3: Ta có: a) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b) Ta có: =3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay là Ta có: Với hoặc , ta có: Với hoặc , ta có: Với hoặc , ta có: Suy ra: Như vậy: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Bài 4: Phương trình đã cho có thể biến đổi thành: a) Với a=1 phương trình đã cho trở thành: b) Mỗi phương trình , có nhiều nhất là 2 nghiệm. Để phương trình đã cho có 4 nghiệm thì mỗi phương trình như trên phải có đúng 2 nghiệm và các nghiệm đó khác 0. Như vậy, để phương trình ban đầu có 4 nghiệm, điều kiện cần và đủ là: *Với phương trình đã cho có 4 nghiệm là: Như thế: = Tuy nhiên và không đạt được giá trị nên S không có giá trị lớn nhất! Bài 5: a) Vì AF là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có: . Xét AFB và , ta có: FAB= FAC Suy ra AFB Suy ra: Suy ra E, F là các điểm nằm trên đường tròn (A, ) b) Vì AF là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có: (1) Mặt khác: (2) Và: (4 điểm A, E, I, F cùng nằm trên đường tròn đường kính AO) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra được: . Suy ra EE’ // AB (Theo dấu hiệu góc đồng vị của hai đường thẳng song song) c) Xét và ta có: OAI = ANK= AIO=90 0 Suy ra OAI KAN (1) Mặt khác (2) Từ (1) và (2) suy ra AK.AI = AB.AC = const Suy ra K là điểm cố định Dễ dàng nhận thấy đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI cũng chính là đường tròn ngoại tiếp tứ giác OIKN, suy ra tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI nằm trên đường trung trực của KI là đường thẳng cố định. Từ đó ta có (đpcm). ĐỀ SỐ 4. Bài 1: ( 2,5 điểm ) a) Chứng minh rằng biểu thức: Không phụ thuộc vào x và y b) Chứng minh rằng: Bài 2: ( 2,5 điểm ) Chứng minh bất đẳng thức: a) A =   ≤  ÷   a - b b - c c - a 1 1 + + - c a b 2007 2008 Với b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Bài 3: ( 2 điểm ) Giải phương trình căn thức: Bài 4: ( 3 điểm ) Trên mặt phẳng tọa độ xOy cho điểm A(-3;0) và B(-1;0). Xét điểm M, N thay đổi trên trục tung sao cho AM vuông góc với BN. a)Chứng minh rằng AN vuông góc với BM và OM.ON không đổi. Từ đó suy ra đường tròn đường kính MN luôn đi qua hai điểm cố định. Tìm tọa độ hai điểm cố định đó. b)Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Xác định vị trí của M, N sao cho tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất. ®¸p ¸n ĐỀ SỐ 4. Bài 1. a) Chứng minh rằng biểu thức: A= Không phụ thuộc vào x và y. b)Chứng minh rằng: Lời giải: a) Điều kiện để A có nghĩa: . Với và . Ta có: (Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm) Và như vậy: A=0, A không phụ thuộc vào x,y. ĐPCM. Với và . Thay . Ta đuợc và ta có: Như kết quả ở trường hợp ban đầu, ta được A=0, không phụ thuộc vào x, y. ĐPCM. b) Ta có Vì là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và chia hết cho 6. Hay nói cách khác chia hết cho 6. Từ đó dễ dàng suy ra chia hết cho 6. ĐPCM. Bài 2. a) Chứng minh bất đẳng thức: Với b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Lời giải: Ta có: Như thế: Bây giờ, không mất tính tổng quát, ta giả sử: Ta cố định giá trị hai biến a, c và tìm giá trị của b: sao cho A đạt giá trị lớn nhất. Vì a, c cố định, biểu thức A đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi đạt giá trị lớn nhất. Ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Như thế: Hay là : (Vì ) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a; b; c) là một hoán vị của b) Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với: Điều này hiển nhiên đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Trở lại bài toán, ta có: Ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: [...]... y; z) = (0; 6; 0) có 1 số A thỏa mãn bài toán Với (x; y; z) = (2; 3; 1) có Với (x; y; z) = (4; 0; 2) có Với (x; y; z) = (1; 0; 5) có số A thỏa mãn bài toán số A thỏa mãn bài toán số A thỏa mãn bài toán Vậy có tất cả 1 + 60 + 15 + 6 = 82 số thỏa mãn bài toán c) Ta giả sử tồn tại cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình Ta có: Vì p, q là số nguyên tố nên p>0, q>0 (1) Suy ra và đều có chữ số tận cùng... 2 hệ đã cho: (loại) Vì Nên ta có bộ 2 bộ nghiệm toán là: Thử lại, ta có: và không lặp khi hoán vị thỏa mãn bài Và: b) Ta có, với hệ: Vì nên hoặc trong trường hợp này: Thử lại, ta có: Và , và có 2 bộ nghiệm không lặp khi hoán vị và Ta có, với hệ: Đẳng thức (9) không thể xảy ra trong trường hợp với c) Ta có, với hệ: Đẳng thức (10) không thể xảy ra trong trường hợp Ta có, với hệ: với Vì và sẽ xảy ra... cố định c)Tìm quỹ tích điểm N ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 6 Bài 1: Tính tổng Lời giải: Xét biểu thức Ta có: Thay giá trị của vào S, ta được: Vậy Bài 2: a) Giải phương trình theo tham số m: (1) Lời giải: Điều kiện: Do đó, điều kiện cần để phương trình đã cho có nghiệm là: Với ta chứng minh phương trình đã cho có nghiệm, hơn nữa đó là nghiệm duy nhất Thật vậy, với , xét phương trình Ta có: Ta chứng minh Thật vậy, vì... cùng dấu Trở lại bài toán ban đầu: Theo bổ đề (2), đẳng thức Xảy ra khi và chỉ khi và chỉ khi , , , cùng dấu Mặt khác: Do đó Ta có: Từ (4) và (5) suy ra (8) Từ (4) và (6) suy ra (9) (8) và (9) mâu thuẫn lẫn nhau, từ đó suy ra hệ (I) vô nghiệm (III) Từ (10) và (11) suy ra Từ (10) và (12) suy ra (14) (15) Từ (14) và (15) và điều kiện ban đầu Với , thay vào (III) ta được Với , thay vào (III) ta được suy... nghĩa, để chứng minh điều này, ta chỉ cần chứng minh: Điều này hiển nhiên đúng Suy ra các căn thức đều có nghĩa Trở lại bài toán đã cho, ta có: Do đó: Do đó: A= Vậy A=1 b) Ta có: Do đó: S= Lại có ĐPCM Bài 2: a) Giải phương trình: b) Cho a, b thỏa mãn: nhất của biểu thức: A= Lời giải: Ta có: Vậy x=0 hoặc x=1 b)Ta có: Do đó:A= và Tính giá trị lớn nhất và nhỏ Với Dễ dàng nhận thấy a, b thỏa mãn các điều kiện... thức đã cho chỉ có thể phân tích thành một trong các dạng sau đây: Bây giờ, nhận thấy k, m, n có vai trò như nhau trong đa thức ban đầu, từ điều kiện của bài toán, ta có thể giả sử (*) Trong cả 2 trường hợp (I) và (II) ta đều có: (7) Mặt khác: Dễ dàng nhận thấy dấu đẳng thức đến không thể xảy ra, vì khi đó sẽ dẫn Trái với điều kiện ban đầu k, m, n khác nhau của bài toán Vậy (8) Thay (8) vào (7) ta được:... phương trình có các hệ số nguyên và có nghiệm hữu tỉ, nên các nghiệm đó đều phải là nghiệm nguyên Ta có: Điều này vô lý vì theo đề bài Từ đó suy ra giả thi t phương trình ĐPCM không phải là số nguyên tố có nghiệm hữu tỉ là sai Suy ra Bài 4: Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên AB sao cho , Đường thẳng qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn đường kính AB tại D Dựng đường tròn tâm J bán kính tiếp... tròn tâm J bán kính tiếp xúc với CA, CD và tiếp xúc với nửa đường tròn đường kính AB Dựng đường tròn tâm K bán kính tiếp xúc với CB, CD và tiếp xúc với nửa đường tròn đường kính AB, Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABD a)Tính , theo a,b b)Tìm đẳng thức liên hệ giữa ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 5 Bài 1: a) Tính: A= b)Chứng minh rằng: Lời giải: a) Trước hết ta chứng minh các căn thức có nghĩa, để... xác định vị trí của M để bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD nhỏ nhất ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 9 Bài 1: Xét dãy số với: và Chứng minh rằng: Lời giải: Với , ta có: (1) Bằng quy nạp, dễ dàng suy ra: Suy ra Hay là: Suy ra: (2) Với n=145, ta có: (3) Từ (2), kết hợp với suy ra (4) Từ (1) và (4) suy ra: Và cũng bằng quy nạp, ta dễ dàng suy ra: Hay là: Suy ra Và do đó, với n=145, ta có: (5) Từ (3) và (5) suy... cho 4 Khi đó x có dạng 4k+2 Suy ra sẽ có dạng 8t+4 Mặt khác y lẻ, y =2r+1 Khi đó luận tương tự Suy ra có dạng 8t+1 Lý cũng có dạng 8t+1 Và như vậy vế phải của biểu thức đã cho chia 8 dư 1 còn vế trái chia 8 dư 5 Điều này vô lý! Vậy x chia hết cho 4, suy ra xy chia hết cho 4 Kết hợp với kết quả câu a) ta cũng suy ra được xy chia hết cho 12 Và ta có ĐPCM Bài 5: Cho đường tròn tâm O, bán kính R và đường . thay đổi. ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 3 B ài 1 .Ta rút gọn x: Ta có: a) b) c) Suy ra: Như vậy: Tính A, ta có: (1) Thay x vào (1) ta được: Bài 2: n nguyên dương, ta có: Ở đó: và Suy ra (1) Lại có: Ở. và ta có (đpcm.) Bài 3: Ta có: a) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b) Ta có: =3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay là Ta có: Với hoặc , ta có: Với hoặc , ta có: Với hoặc , ta có: . R (bằng bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC ) bán kính đờng tròn ngoại tiếp AHB bằng R Chứng minh tơng tự có bán kính đờng tròn ngoại tiếp BHC; AHC bằng R Vậy các tam giác AHB, BHC, AHC có bán kính