Tài liệu cao học toán

1 ÔN THI CAO HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (GV Trần Ngọc Hội - 2011) A- KHÔNG GIAN VÉCTƠ §1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CĂN BẢN 1.1. Định nghĩa. Cho V là một tập hợp khác ∅. Ta nói V là một không gian véctơ trên F (F = Q, R hay C) nếu trong V : i) Tồn tại một phép toán “cộng véctơ”, tức là một ánh xạ V × V → V (u, v) → u + v ii) Tồn tại một phép “nhân vô hướng với véctơ”, tức là một ánh xạ F × V → V (α, u) → αu thỏa các tính chất sau: v ới u, v, w ∈ V và α, β ∈ F: 1. u + v = v + u; 2. (u + v) + w = u + (v + w); 3. ∃ 0 ∈ V, u + 0 = 0 + u = u; 4. ∃ (–u) ∈ V, (–u) + u = u + (–u) = 0; 5. (αβ)u = α(βu); 6. (α + β)u = αu +βu; 7. α(u + v)u = αu + αv; 8. 1.u = u. Khi đó: • Mỗi phần tử u ∈ V là một véctơ. • Mỗi số α ∈ F là một vô hướng. • Véctơ 0 là véctơ không. • Véctơ (–u) là véctơ đối của u. Sau đây ta sẽ đưa ra vài ví dụ cơ bản về không gian véctơ. 1) Tập F n = {u = (x 1 , x 2 , , x n )⏐x i ∈ F, 1 ≤ i ≤ n} (F = R hay C) với phép toán cộng véctơ và phép nhân vô hướng với véctơ định bởi: 2 u + v = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , , x n + y n ), αu = (αx 1 , αx 2 , , αx n ), với u = (x 1 , x 2 , , x n ), v = (y 1 , y 2 , , y n )∈ V và α ∈ F, là một không gian véctơ trên F với véctơ không là 0 = (0, 0, 0) và véctơ đối của véctơ u = (x 1 , x 2 , , x n ) là (–u) = (−x 1 , −x 2 , , −x n ) 2) Tập V = M mxn (F) gồm các ma trận mxn với các hệ số trong F là một không gian véctơ trên F với phép cộng véctơ là phép cộng ma trận thông thường và nhân vô hướng với véctơ là phép nhân thông thường một số với ma trận, trong đó véctơ không là ma trận không và véctơ đối của A = (a ij ) là (–A) = (–a ij ). 3) Tập V = F[x] = {p(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 x + a 0 ⏐ n ∈ N, a i ∈ F, 1 ≤ i ≤ n} gồm các đa thức theo x với các hệ số trong F là một không gian véctơ trên F với phép cộng véctơ là phép cộng thông thường các đa thức và phép nhân vô hướng với véctơ là phép nhân thông thường một số với một đa thức. 4) Với mỗi số nguyên n ≥ 1, tập V = F n [x] = {p(x) = a n x n + + a 1 x + a 0 ⏐a i ∈ F, 1 ≤ i ≤ n} gồm các đa thức theo x bậc ≤ n, với các hệ số trong F là một không gian véctơ trên F với cộng véctơ và phép nhân vô hướng với véctơ là các phép cộng đa thức và nhân một số với đa thức thông thường (như trong 3) là một không gian véctơ trên trường F. 1.2. Mệnh đề. Cho V là một không gian véctơ trên F. Khi đó với mọi u ∈ V và α ∈ F ta có: i) αu = 0 ⇔ (α = 0 hay u = 0). ii) (–1)u = –u. T ừ đây về sau ta ký hiệu V là một không gian véctơ trên trường F (F = Q, R hay C) §2. TỔ HỢP TUYẾN TÍNH 2.1. Định nghĩa. Cho u 1 , u 2 , , u k ∈ V. Một tổ hợp tuyến tính của u 1 , u 2 , , u k là một véctơ có dạng: u = α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α k u k với α i ∈ F (1 ≤ i ≤ k). 2.2. Tính chất. 1) u là tổ hợp tuyến tính của u 1 , u 2 , , u k khi và chỉ khi phương trình α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α k u k = u có nghiệm (α 1 , α 2 , , α k )∈ F k . 2) Tổng của hai tổ hợp tuyến tính, tích của một số với một tổ hợp tuyến tính cũng là các tổ hợp tuyến tính (của u 1 , u 2 , , u k ): kkk 1i 1i i i i i1 i1 i1 uu()u === α+β= α+β ∑∑∑ ; kk ii i i i1 i1 u()u == ⎛⎞ αα=αα ⎜⎟ ⎝⎠ ∑∑ . 3 3) Véctơ không 0 luôn luôn là một tổ hợp tuyến tính của u 1 , u 2 , , u k vì 0 = 0u 1 + 0u 2 + + 0u k . 4) Mỗi véctơ u i , 1 ≤ i ≤ k là một tổ hợp tuyến tính của u 1 , u 2 , , u k vì u i = 0u 1 + + 0u i–1 + 1u i + 0u i+1 + + 0u k Tổng quát hơn, mọi tổ hợp tuyến tính của u 1 , u 2 , ,u j (1 ≤ j ≤ k) đều là tổ hợp tuyến tính của u 1 , u 2 , ,u j , u j+1 , , u k vì: α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α j u j = α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α j u j + 0u j+1 + + 0u k 4) Mọi tổ hợp tuyến tính của u 1 , u 2 , ,u k-1 , u k đều là tổ hợp tuyến tính của u 1 , u 2 , , u k-1 khi và chỉ khi u k là một tổ hợp tuyến tính của u 1 , u 2 , , u k-1 . 2.3. Hệ quả. Cho u 1 , u 2 , , u k là k véctơ trong F n với u j = (u 1j , u 1j , , u nj ), 1 ≤ j ≤ k: u 1 = (u 11 , u 21 , u n1 ) u 2 = (u 12 , u 22 , u n2 ) u k = (u 1k , u 2k , u nk ) Khi đó véctơ u = (b 1 , b 2 , , b n ) ∈ F n là tổ hợp tuyến tính của u 1 , u 2 , , u k khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính UX = B, trong đó: 11 12 1k 1 1 21 22 2k 2 2 n1 n2 nk n k uu u b uu u b U;B;X uu u b α ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ α ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ === ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ α ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ có nghiệm X. Ví dụ. Trong không gian R 4 cho các véctơ: u 1 = (1, 1, 1, 1); u 2 = (2, 3, –1, 0); u 3 = (–1, –1, 1, 1); u 4 = (1, 2, 1, –1) Tìm điều kiện để véctơ u = (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) là một tổ hợp tuyến tính của: a) u 1 , u 2 , u 3 ; b) u 1 , u 2 , u 3 , u 4 . Đáp số: a) a 1 + a 4 = a 2 + a 3 . b) Mọi véctơ u = (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) ∈ R 4 đều là tổ hợp tuyến tính của u 1 , u 2 , u 3 , u 4 . §3. ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH – PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 3.1. Định nghĩa. 1) Cho u 1 , u 2 , , u k ∈ V. Xét phương trình: 4 α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α k u k = 0 (1) Nếu (1) chỉ có nghiệm tầm thường α 1 = α 2 = = α k = 0 thì ta nói u 1 , u 2 , , u k (hay {u 1 , u 2 , , u k }) độc lập tuyến tính. Nếu ngoài nghiệm tầm thường, (1) còn có nghiệm khác thì ta nói u 1 , u 2 , , u k (hay {u 1 , u 2 , , u k } ) phụ thuộc tuyến tính. Nói cách khác, • u 1 , u 2 , , u k độc lập tuyến tính khi và chỉ khi với mọi α 1 , α 2 , , α k ∈F ta có: α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α k u k = 0 ⇒ α 1 = α 2 = = α k = 0. • u 1 , u 2 , , u k phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại α 1 , α 2 , , α k ∈ F không đồng thời bằng 0 sao cho: α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α k u k = 0. 2) Tập con S ⊆ V được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi {u 1 , u 2 , , u k } ⊆ S (k ∈ N tuỳ ý) đều độc lập tuyến tính. Nếu S không độc lập tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ 1) Trong không gian R 3 cho các véctơ: u 1 = (1, 2, −3); u 2 = (2, 5, −1); u 3 = (1, 1, −8) ta có: • u 1 , u 2 độc lập tuyến tính. • u 1 , u 2 , u 3 phụ thuộc lập tuyến tính. 3.2. Nhận xét. Các véctơ u 1 , u 2 , , u k phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại véctơ u i “phụ thuộc” vào các véctơ khác theo nghĩa véctơ u i được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các u j , 1 ≤ j ≠ i ≤ k. Với u 1 , u 2 , , u k là k véctơ trong F n : u 1 = (u 11 , u 21 , u n1 ) u 2 = (u 12 , u 22 , u n2 ) u k = (u 1k , u 2k , u nk ) ta có: u 1 , u 2 , , u k độc lập tuyến tính khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính UX = 0, trong đó: 11 12 1k 21 22 2k n1 n2 nk uu u uu u U uu u ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ chỉ có nghiệm tầm thường X = 0. Mặt khác, Hệ UX = 0 chỉ có nghiệm tầm thường X = 0 ⇔ Ma trận U có hạng là r(U) = k. 5 ⇔ Ma trận A = U T có hạng là r(A) = k (do hai ma trận chuyển vị có cùng hạng). Nhận xét rằng ma trận U có được bằng cách dựng u 1 , u 2 , , u k thành các cột, nên ma trận A = U T có được bằng cách xếp u 1 , u 2 , , u k thành các dòng. 3.3. Hệ quả. Cho u 1 , u 2 , , u k là k véctơ trong F n . Gọi A là ma trận có được bằng cách xếp u 1 , u 2 , , u k thành các dòng. Khi đó: u 1 , u 2 , , u k độc lập tuyến tính ⇔ A có hạng là r(A) = k. 3.4. Chú ý. Trong thực hành, ta kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các véctơ u 1 , u 2 , , u k trong F n như sau: Bước 1: Lập ma trận A bằng cách xếp u 1 , u 2 , , u k thành các dòng. Bước 2: Dùng các phép BĐSCTD đưa A về dạng bậc thang R. Khi đó: • Nếu R không có dòng 0 thì u 1 , u 2 , , u k độc lập tuyến tính. • Nếu R có ít nhất một dòng 0 thì u 1 , u 2 , , u k phụ thuộc tuyến tính. Trường hợp k = n, ta có A là ma trận vuông. Khi đó có thể thay Bước 2 bằng Bước 2′ như sau: Bước 2′: Tính định thức detA: • Nếu detA ≠ 0 thì u 1 , u 2 , , u k độc lập tuyến tính. • Nếu detA = 0 thì u 1 , u 2 , , u k phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ 1. Trong không gian R 5 cho các véctơ: u 1 = (1, 2, −3, 5, 1); u 2 = (1, 3, −13, 22, −1); u 3 = (3, 5, 1, −2, 5); u 4 = (2, 3, 4, −7, 4); Hãy xét xem u 1 , u 2 , u 3 , u 4 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính. Đáp số: Phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ 2. Trong không gian R 3 cho các véctơ: u 1 = (2m + 1, − m, m + 1) u 2 = (m − 2, m – 1, m – 2) u 3 = (2m − 1, m – 1, 2m –1) Tìm điều kiện để u 1 , u 2 , u 3 độc lập tuyến tính trên R. Đáp số: m ≠ 0; m ≠ ± 1. §4. KHÔNG GIAN CON – TẬP SINH – CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU 6 4.1. Định nghĩa (không gian véctơ con). Cho W là một tập con khác ∅ của V. Ta nói W là một không gian véctơ con của V, kí hiệu W ≤ V, nếu W với phép cộng véctơ và phép nhân vô hướng với véctơ cảm sinh từ V, cũng là một không gian véctơ trên trường F. 4.2. Định lý. Cho W là một tập con khác ∅ của V. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: i) W ≤ V. ii) Với u, v ∈ W và α ∈ F, u + v ∈ W và αu ∈ W. iii) Với u, v ∈ W và α ∈ F, αu + v ∈ W. Ví dụ.1) W = {0} và V là các véctơ con của V. Ta gọi đây là các không gian con tầm thường của V. 2) Trong không gian R 3 , đường thẳng (D) đi qua gốc tọa độ O là một không gian con của R 3 . 3) Trong không gian R 3 , mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O là một không gian véctơ con của R 3 . 4) Cho a 1 , , a n ∈ F và b ∈ F\{0} Đặt: W 1 = {(x 1 , , x n ) ∈ F n | a 1 x 1 + + a n x n = 0}; W 2 = {(x 1 , , x n ) ∈ F n | a 1 x 1 + + a n x n = b} Ta có W 1 ≤ F n nhưng n 2 W ≤  4.3. Định lý. Giao của một họ tuỳ ý các không gian con của V cũng là một không gian con của V. Chú ý . Hợp của hai không gian con của V không nhất thiết là một không gian con của V. Bây giờ cho S ⊆ V. Gọi {W i } i ∈ I là họ tất cả những không gian con của V có chứa S (họ này khác rỗng vì có chứa V). Đặt: i Ii WW ∈ = ∩ Khi đó: • W là không gian con nhỏ nhất của V có chứa S. Ta gọi • W là không gian con sinh bởi S, kí hiệu W = < S >. • S là tập sinh của W. • Nếu S hữu hạn S = {u 1 , u 2 , , u n } thì ta nói W = < S > là không gian con hữu hạn sinh bởi u 1 , u 2 , , u n và kí hiệu W = < u 1 , u 2 , , u n >. 4.4. Định lý. Cho ∅ ≠ S ⊆ V. Khi đó không gian con của V sinh bởi S là tập hợp tất cả những tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn nhưng tùy ý các véctơ trong S, nghĩa là: < S > = {u = α 1 u 1 + + α n u n | n ∈ N, u i ∈ S, α i ∈ F, ∀ 1 ≤ i ≤ n} 7 Chú ý. 1) Nếu S = ∅ thì <S> = {0}. 2) Nếu S = {u 1 , u 2 , , u n } thì < S > = {α 1 u 1 + α 2 u 2 + + α n u n ⏐ α i ∈ F, 1 ≤ i ≤ n}. 3) Nếu S ≤ V thì < S > = S. 4) Cho S ⊆ V và W ≤ V. Khi đó: S ⊆ W ⇔ < S > ≤ W. 5. Nếu S 1 ⊆ S 2 ⊆ V thì < S 1 > ≤ < S 2 >. 4.5. Định nghĩa. Một tập hợp con B của không gian véctơ V được gọi là một cơ sở của V nếu B là một tập sinh độc lập tuyến tính. 4.6. Bổ đề. Giả sử V sinh bởi m véctơ u 1 , u 2 , , u m : V = < u 1 , u 2 , , u m >. Khi đó mọi tập hợp con độc lập tuyến tính của V có không quá m phần tử. 4.7. Hệ quả và định nghĩa. Nếu V có một cơ sở B hữu hạn gồm m phần tử: B = {u 1 , u 2 , , u m } thì mọi cơ sở khác của V cũng hữu hạn và có đúng m phần tử. Khi đó ta nói V là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên F và m được gọi la số chiều (dimension) của V trên F, kí hiệu dim F V = m hay dimV = m. Trong trường hợp ngược lại, ta nói V là một không gian véctơ vô hạn chiều trên F, kí hiệu dim F V = ∞ hay dimV = ∞. Ví dụ. 1) Không gian F n là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên F với dimF n = n do F n có một cơ sở là B 0 = {e 1 , e 2 , , e n } trong đó: e 1 = (1, 0, 0, , 0) e 2 = (0, 1, 0, , 0) e = (0, 0, , 0, 1) Ta gọi B 0 là cơ sở chính tắc của F n trên F. 2) Không gian M mxn (F) là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên F với dim M m×n (F) = mn với cơ sở B 0 = {E ij | , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}, trong đó E ij là ma trận loại m×n chỉ có một hệ số khác 0 là 1 tại dòng i cột j. Ta gọi B 0 = {E ij | , 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ i ≤ n} là cơ sở chính tắc của M mxn (F) trên F. 3) Không gian F n [x] gồm các đa thức theo x bậc ≤ n với hệ số trong F, là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên F với dimF n [x] = n + 1 với một cơ sở là B 0 = {1, x, x n }. Ta gọi B 0 = {1, x, x n } là cơ sở chính tắc của F n [x]. 4) Không gian F[x] gồm tất các đa thức theo x bậc với hệ số trong F, là một không gian véctơ vô hạn chiều với một cơ sở vô hạn B 0 = {1, x, x 2 , }. 4.8. Hệ quả. Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều trên F với dim V = n. Khi đó: i) Mọi tập con của V có nhiều hơn n phần tử đều phụ thuộc tuyến tính. ii) Mọi tập con của V có ít hơn n phần tử không thể là tập sinh của V. 8 4.9. Bổ đề. Cho S là một tập con độc lập tuyến tính của V và u ∈ V là một véctơ sao cho u ∉ < S >. Khi đó tập hợp S 1 = S ∪ {u} độc lập tuyến tính. 4.10. Định lý. Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều với dim V = n. Khi đó: i) Mọi tập hợp con độc lập tuyến tính gồm n phần tử của V đều là cơ sở của V. ii) Mọi tập hợp sinh của V gồm n phần tử đều là cơ sở của V. Nhận xét. Vì dim F n = n nên mọi cơ sở của F n phải gồm đúng n véctơ. Hơn nữa, do Định lý 4.10: Với B = {u 1 , u 2 , , u n } là một tập con gồm đúng n véctơ của F n , ta có: B = {u 1 , u 2 , , u n } là một cơ sở của F n ⇔ u 1 , u 2 , , u n độc lập tuyến tính ⇔ detA ≠ 0, trong đó A là ma trận có được bằng cách xếp u 1 , u 2 , , u n thành các dòng. Ví dụ. 1) Trong không gian R 4 , các véctơ u 1 = (1, 1, 1, 1) u 2 = (2, 3, –1, 0) u 3 = (–1, –1, 1, 1) u 4 = (1, 2, 1, –1) tạo thành cơ sở của R 4 . 2) Trong không gian R 3 , các véctơ u 1 = (2m + 1, − m, m + 1) u 2 = (m − 2, m – 1, m – 2) u 3 = (2m − 1, m – 1, 2m –1) tạo thành một cơ sở của R 3 khi và chỉ khi m0,1 ≠ ± . 4.11. Định lý (về cơ sở không toàn vẹn). Cho V là một không gian véctơ hữu hạn chiều và S là một tập con độc lập tuyến tính của V. Khi đó, nếu S không phải một cơ sở của V thì ta có thể thêm vào S một số véctơ để được một cơ sở của V. 4.12. Định lý. Cho V là một không gian véctơ hữu hạn chiều sinh bởi S. Khi đó tồn tại một cơ s ở B của V sao cho B ⊆ S. Nói cách khác, nếu S không phải là một cơ sở của V thì ta có thể loại bỏ ra khỏi S một số véctơ để được một cơ sở của V. 4.13. Hệ quả. Mọi không gian con W của một không gian véctơ V hữu hạn chiều đều hữu hạn chiều, hơn nữa nếu W ≤ V và W ≠ V thì dim W < dim V. 9 §5. KHÔNG GIAN DÒNG 5.1. Định nghĩa. Cho ma trận A = (a ij ) loại m×n với hệ số trong F: 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn a a a a a a A a a a ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ Đặt: u 1 = (a 11 , a 12 , , a 1n ) u 2 = (a 21 , a 22 , , a 2n ) u m = (a m1 , a m2 , , a mn ) và W A = <u 1 , u 2 , , u m >. Ta gọi u 1 , u 2 , , u m là các véctơ dòng của A, và W A là không gian dòng của A. Ghi chú. dimW A còn được gọi là hạng của hệ véctơ u 1 , u 2 , , u m . 5.2. Định lý. Nếu A và B là hai ma trận tương đương dòng thì W A = W B , nghĩa là A và B có cùng không gian dòng. 5.3. Nhận xét. Vì các véctơ dòng khác 0 của một ma trận dạng bậc thang luôn luôn độc lập tuyến tính nên chúng tạo thành một cơ sở của không gian dòng. Từ đây ta suy ra cách tìm số chiều và một cơ sở của không gian dòng của ma trận A như sau: • Dùng các phép BĐSCTD đưa A về dạng bậc thang R. • Số chiều của không gian dòng W A bằng số dòng khác 0 của R (do đó bằng r(A)) và các véctơ dòng khác 0 của R tạo thành một cơ sở của W A . Ví dụ. Tìm số chiều và một cơ sở của không gian dòng của ma trận: 12 11 25 1 4 A 511 2 8 920 314 − ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ = ⎜⎟ − ⎜⎟ − ⎝⎠ Giải tóm tắt. Dùng các phép BĐSCTD ta có 12 11 12 11 25 1 4 0132 A R 511 2 8 00 0 1 920 314 0000 −− ⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ == ⎜⎟⎜⎟ − ⎜⎟⎜⎟ − ⎝⎠⎝⎠ ∼ . R có dạng bậc thang với 3 dòng khác 0. Do đó dim W A = 3 và một cơ sở của W A là: {(1, 2, −1, 1); (0, 1, 3, 2); (0, 0, 0, 1)} 10 5.4. Cách tìm số chiều và cơ sở của một không gian con của F n khi biết một tập sinh: Giả sử W = <u 1 , u 2 , , u m > ≤ F n (u 1 , u 2 , , u m không nhất thiết độc lập tuyến tính). Để tìm số chiều và một cơ sở của W ta tiến hành như sau: • Lập ma trận A bằng cách xếp u 1 , u 2 , , u m thành các dòng. • Dùng các phép BĐSCTD đưa A về dạng bậc thang R. • Số chiều của W bằng số dòng khác 0 của R (do đó bằng r(A)) và các véctơ dòng khác 0 của R tạo thành một cơ sở của W. Ví dụ. 1) Tìm một cơ sở cho không gian con của R 4 sinh bởi các véctơ u 1 , u 2 , u 3 , u 4 trong đó: u 1 = (1, 2, 1, 1) u 2 = (3, 6, 5, 7) u 3 = (4, 8, 6, 8) u 4 = (8, 16, 12, 20) Giải tóm tắt. Không gian W sinh bởi u 1 , u 2 , u 3 , u 4 là không gian dòng của ma trận: 12 1 1 1211 36 5 7 0012 A R 4 8 6 8 0001 8161220 0000 ⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ == ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ∼ Do đó W có dimW = 3 với cơ sở là : B = {(1, 2, 1, 1); (0, 0, 1, 2); (0, 0, 0, 1)} Nhận xét. Có thể kiểm chứng u 1 , u 2 , u 3 độc lập tuyến tính. Do đó {u 1 , u 2 , u 3 } cũng là một cơ sở của W (do dimW = 3). 2) Tìm một cơ sở cho không gian con của R 4 sinh bởi các véctơ u 1 , u 2 , u 3 trong đó: u 1 = (1, –2, –1, 3) u 2 = (2, –4, –3, 0) u 3 = (3, –6, –4, 4) Không gian W sinh bởi u 1 , u 2 , u 3 là không gian dòng của ma trận: 1213 1213 A 2430 00 16 R 3644 0001 −− −− ⎛⎞⎛ ⎞ ⎜⎟⎜ ⎟ =−− −−= ⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟ −− ⎝⎠⎝ ⎠ ∼ W có dimW = 3 và một cơ sở B = {v 1 , v 2 , v 3 }, trong đó: v 1 = (1, –2, –1, 3) v 2 = (0, 0, –1, –6) [...]... Hệ quả Nếu A là ma trận vuông cấp n và có n trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được 5.4 Thuật toán chéo hóa ma trận Thuật toán chéo hóa ma trận A ∈ Mn(R) gồm các bước sau: Bước 1: Tìm đa thức đặc trưng ϕA(λ) • Nếu ϕA(λ) không thể phân tích được thành tích các đa thức bậc 1 thì A không chéo hóa được và thuật toán kết thúc • Trường hợp ngược lại, phân tích ϕA(λ) thành tích các đa thức bậc 1: r r r ϕA... ⎝ 32 1 − 5n 2 1 + 5n 2 0 ⎞ 0⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 5n ⎟ ⎟ ⎠ §6 CHÉO HÓA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH 6.1 Định nghĩa Cho f là một toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V hữu hạn chiều Số λ ∈ R được gọi là một trị riêng của f nếu tồn tại vectơ u ∈ V\{0} sao cho f(u) = λu Khi đó vectơ u được gọi là vectơ riêng của f ứng với trị riêng λ 6.2 Định lý Cho f là một toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V với cơ sở B = {u1,... một đẳng cấu giữa V và W ta nói V đẳng cấu với W, ký hiệu V ≅ W Trường hợp W = V thì ánh xạ tuyến tính f: V → V được gọi là một toán tử tuyến tính hay một phép biến đổi tuyến tính trên V Ký hiệu: • L(V,W): Tập tất cả các ánh xạ tuyến tính từ V vào W • L(V): Tập tất cả các toán tử tuyến tính trên V Nhận xét Hai tính chất 1) và 2) ở trên tương đương với tính chất sau: ∀u, v ∈ V,∀α ∈ F, f(αu + v) = αf(u)... vectơ (x1, x2, , xn) ∈ Rn\{0} là vectơ riêng của A (ứng với trị riêng λ) 6.3 Định nghĩa Cho f là một toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V hữu hạn chiều Ta nói f chéo hóa được nếu tồn tại một cơ sở B của V sao cho [f]B là ma trận chéo Khi đó B được gọi là cơ sở làm chéo hóa f 6.4 Định lý Cho f là một toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V với cơ sở B1= {u1, u2, , un} và A = [f ]B Ta có f chéo... bội ri tương ứng (1 ≤ i ≤ k) Bước 3: Với mỗi 1 ≤ i ≤ k, tìm cơ sở Bi và số chiều dimV(λi) của các không gian riêng V(λi): • Nếu tồn tại 1 ≤ i ≤ k sao cho dimV(λi) < ri thì A không chéo hóa được và thuật toán kết thúc • Trường hợp ngược lại, nghĩa là dimV(λi) = ri với mọi 1 ≤ i ≤ k thì A chéo hóa được, và chuyển sang Bước 4 Bước 4: Đặt P là ma trận có được bằng cách lần lượt dựng các vectơ trong B1, B2... det(P–1BP – λI) = det[P–1(B – λI)P] = det(P–1)det(B – λI)det(P)= (det(P))–1ϕB(λ)det(P)= ϕB(λ) 4.7 Định lý Số thực λ là trị riêng của A ∈ Mn(F) khi và chỉ khi λ là nghiệm của đa thức đặc trưng ϕA(λ) 4.8 Thuật toán tìm trị riêng, vectơ riêng và không gian riêng của ma trận 1) Lập đa thức đặc trưng ϕA(λ) = |A – λI| 2) Giải phương trình ϕA(λ) = 0 để tìm các trị riêng của ma trận A 3) Ứng với mỗi trị riêng λ, không... của hai ánh xạ tuyến tính và tích αf (α ∈ F) của một vô số với một ánh xạ tuyến tính như sau: ∀v ∈ V, (f + g)(v) = f(v) + g(v) ∀v ∈ V, (αf)(v) = αf(v) Khi đó f + g và αf đều thuộc L(V,W) và với các phép toán trên, L(V,W) là một không gian véctơ trên F 1.7 Mệnh đề Cho V, W, T là các không gian véctơ trên F và f ∈ L(V,W); g∈ L(W,T) Khi đó: 1) Nếu f là song ánh thì f-1 là một ánh xạ tuyến tính từ W vào V... khi đó nếu P là ma trận làm chéo hóa A, nghĩa là P–1AP = D với D là ma trận chéo, thì [f ]B = D với B2 là cơ sở của V thỏa PB → B = P , nghĩa là P là ma trận chuyển cơ sở từ B1 2 1 2 sang B2 Ví dụ Cho toán tử tuyến tính f: R3 → R3 định bởi: f(x, y, z) = (3x – 2y, –2x + 3y, 5z) Xét xem f có chéo hóa được không Tìm cơ sở B làm chéo hóa f (nếu có) Giải Ma trận biểu diễn của f theo cơ sở chính tắc B0 = . 1 ÔN THI CAO HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (GV Trần Ngọc Hội - 2011) A- KHÔNG GIAN VÉCTƠ §1. ĐỊNH NGHĨA. → V được gọi là một toán tử tuyến tính hay một phép biến đổi tuyến tính trên V. Ký hiệu: • L(V,W): Tập tất cả các ánh xạ tuyến tính từ V vào W. • L(V): Tập tất cả các toán tử tuyến tính trên. gian véctơ. 1) Tập F n = {u = (x 1 , x 2 , , x n )⏐x i ∈ F, 1 ≤ i ≤ n} (F = R hay C) với phép toán cộng véctơ và phép nhân vô hướng với véctơ định bởi: 2 u + v = (x 1 + y 1 , x 2 +