Phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếm quy luật khi giải toán

Việc học toán là một quá trình mang tính sáng tạo chứ không phải là tiếp thu một thực thể kiến thức đã có sẵn

Lời Cảm ơn

Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu sắc

đến thầy giáo hướng dẫn PGS TS Trần Vui đã tận tình

hướng dẫn, giúp đỡ tơi trong quá trình làm khố luận Tơi xin chân thành cảm ơn các thầy cơ giáo trong khoa Tốn trường ĐHSP Huế đã tận tình giảng dạy và chỉ bảo tơi trong suốt 4 năm học vừa qua.

Tơi xin chân thành cảm ơn các thầy cơ giáo trường THPT Hai Bà Trưng (đặc biệt là tổ Tốn) đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tơi tiến hành thực nghiệm sư phạm phục vụ cho khố luận.

Nhân dịp này, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã giúp đỡ, động viên để tơi yên tâm học tập và hồn thành khố luận này

Huế, tháng 5 năm 2008

Sinh viên Bùi Thị Đức

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các ký hiệu viết tắt

MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 7

1 Tư duy toán học 7

1.1 Các mức độ của tư duy toán học 7

1.2 Nhiệm vụ của dạy học môn Toán 10

2 Phương pháp giải quyết vấn đề 11

2.1 Giới thiệu về phương pháp GQVĐ 11

2.2 Các phương án GQVĐ cơ bản 13

3 Sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán 14

3.1.Tìm quy luật bằng cách xét các trường hợp riêng, đặc biệt, dễ thấy nhất 16

3.2 Phân loại mẫu để tìm ra quy luật khi giải toán 19

3.3 Nhìn một bài toán với nhiều khía cạnh khác nhau của toán học, ta có nhiều cách để tìm ra quy luật của một bài toán 21

3.4 Sử dụng các mô hình toán để tìm kiếm quy luật 25

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG ÁN TÌM KIẾM QUY LUẬT TRONG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 33

1 Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết các vấn đề từ các tình huống thực tế hàng ngày 33

2 Áp dụng phương án tìm kiếm quy luật trong giải toán 36

2.1 Tìm quy luật của một dãy số 36

2.2 Sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật để giải bài toán hình học 43

2.3 Giải hệ phương trình bằng phương án tìm kiếm một quy luật 52

2.4 Bài toán tính tổng 54

2.5 Một số bài toán khác 56

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 58

1 Mục đích và ý nghĩa thực nghiệm 58

1.1 Mục đích 58

1.2 Ý nghĩa 58

2 Quá trình thực nghiệm 58

2.1 Phương pháp thực nghiệm 58

2.2 Nội dung thực nghiệm 59

2.3 Thu thập dữ liệu 59

2.4 Phân tích dữ liệu 60

3 Kết quả phiếu thăm dò ý kiến giáo viên và học sinh 62

4 Kết luận sư phạm 69

KẾT LUẬN 70

TÀI LIỆU THAM KHẢO 72

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

với bản chất của toán học Việc học toán là một quá trình mang tính sáng tạo

chứ không phải là tiếp thu một thực thể kiến thức đã có sẵn.

Vì vậy, yêu cầu đặt ra là phải đổi mới phương pháp dạy học, cần phải thay đổiphương pháp dạy học truyền thống (lối truyền thụ tri thức áp đặt, một chiều từngười dạy đến người học, người học tiếp thu một cách thụ động theo phươngthức tái hiện) đến các phương pháp dạy học tích cực, sáng tạo, người dạy tổchức, định hướng nhận thức, phát huy vai trò chủ động, tích cực của HS để HS

tự chiếm lĩnh tri thức và hình thành kỹ năng Phương pháp giải quyết vấn đề(GQVĐ) là phương pháp dạy học đáp ứng phần nào những yêu cầu này Đây làphương pháp dạy học mà chúng ta đang rất quan tâm Tìm kiếm quy luật là mộtphương án hiệu quả trong các phương án của GQVĐ và một số người còn gọi

đó là nghệ thuật của toán học (art of maths).

Nhiều lần, một nhà khoa học đã tiến hành các quan sát, khám phá ra các quyluật và thiết lập các kết luận khoa học Nhiều lần, các em học sinh (HS) đã tìmtòi, khám phá ra các quy luật, giải được các bài tập không quen thuộc Khi thựchiện việc tìm kiếm một quy luật, tư duy của các em đã được rèn luyện và pháttriển, đặc biệt là tư duy phê phán và sáng tạo – hai loại tư duy mà chúng ta đangquan tâm nhiều để dạy cho HS

Tuy nhiên, chưa có nghiên cứu nào thật chi tiết và sâu sắc về phương án tìmkiếm quy luật và sự phát triển của tư duy toán thông qua việc tim kiếm quy luật,

để giáo viên và học sinh có thể hiểu rõ và vận dụng một cách linh hoạt và cóhiệu quả phương án này trong giải toán

Với những lý do như vậy, tôi quyết định chọn đề tài: “Phát triển tư duy toán

thông qua tìm kiếm quy luật khi giải toán” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp

của mình

II Mục đích nghiên cứu

 Nghiên cứu phương án tìm kiếm quy luật, vai trò và hiệu quả của nó trongGQVĐ;

 Nghiên cứu sự phát triển tư duy toán của học sinh thông qua việc tìm kiếmquy luật khi giải toán

III Đối tượng nghiên cứu

 Các tài liệu liên quan đến đề tài, SGK THPT;

 Các hoạt động thiết kế phục vụ cho việc tìm quy luật;

 HS và GV ở trường THPT

IV Nhiệm vụ nghiên cứu

 Nghiên cứu cơ sở lý luận của sự phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếmquy luật khi giải toán;

 Nghiên cứu vị trí của phương án tìm kiếm quy luật trong GQVĐ;

 Nghiên cứu về khó khăn và thuận lợi của HS trong việc tìm quy luật khi giảitoán;

 Vận dụng cơ sở lý luận vào tìm quy luật để giải một số bài toán

V Phương pháp nghiên cứu

1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

 Nghiên cứu nội dung và lý luận về phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán;

 Phân tích sự phát triển tư duy toán thông qua việc tìm quy luật khi giải toán

2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

 Thực hành giảng dạy;

 Điều tra, phỏng vấn, thu thập ý kiến;

 Nghiên cứu hoạt động

VI Cấu trúc khoá luận

Mở đầu

Chương 1: Cơ sở lý luận

1 Tư duy toán học

2 Phương pháp giải quyết vấn đề

3 Sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán

Chương 2: Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết vấn đề

1 Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết các vấn đề từ các tình

huống thực tế hằng ngày

2 Áp dụng phương án tìm kiếm quy luật trong giải toán

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN

Polya (1887 - 1985) là một trong những nhà nghiên cứu giáo dục Toán nổi tiếng

có nhiều đóng góp cho giáo dục Đặc biệt là những nghiên cứu của ông tậptrung nhiều vào phương pháp và các bước để giải quyết bài toán Polya đã cho

rằng Euler là nhà Toán học vĩ đại nhất trong những nhà Toán học bởi vì Euler

luôn giải thích bằng cách nào ông tìm ra kết quả Polya cũng thường nói với họcsinh mình rằng: “Tôi biết chứng minh của em là hoàn toàn đúng nhưng hãy giảithích cho tôi bằng cách nào em đã tìm ra nó” Điều này chứng tỏ Polya đặc biệt

quan tâm đến con đường để mỗi học sinh có thể tiếp cận một bài toán hơn là kết

quả mà học sinh đó đưa ra Tìm kiếm một quy luật là một con đường hiệu quả

để HS tiếp cận, giải quyết một bài toán Một số người còn gọi đó là nghệ thuậtcủa Toán học Đây là một phương án được quan tâm hàng đầu trong các phương

án của GQVĐ

Vậy hiệu quả của phương án này như thế nào? Chúng ta tiến hành tìm quy luậtnhư thế nào? Thông qua quá trình tìm kiếm quy luật phát triển tư duy toán củahọc sinh như thế nào? Chúng ta sẽ tiến hành nghiên cứu và lần lượt trả lờinhững câu hỏi này

Trước hết chúng ta sẽ tìm hiểu một số vấn đề về tư duy toán và nhiệm vụ pháttriển tư duy toán của dạy học môn Toán hiện nay

1 Tư duy toán học

1.1 Các mức độ của tư duy toán học

Hiện thực xung quanh có rất nhiều cái mà con người chưa biết Nhiệm vụ củacuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu thấu nhữngcái chưa biết đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch rađược cái bản chất và những quy luật tác động của chúng Quá trình nhận thức

đó gọi là tư duy Bản chất của quá trình tư duy được thúc đẩy do nhu cầu của xãhội, tức ý nghĩ con người được hướng vào giải quyết các nhiệm vụ nóng hổinhất của giai đoạn lịch sử đó

Tư duy được nảy sinh khi trong hoạt động thực tiễn xuất hiện một mục đíchmới, một vấn đề mới mà những phương tiện, phương pháp hoạt động quenthuộc không đủ để giải quyết (những hoàn cảnh (tình huống) như thế gọi là hoàncảnh có vấn đề).

Thuật ngữ tư duy dùng để chỉ khả năng của HS để đạt đến một kết luận có cơ sở

từ những dữ liệu đã cho HS phải đặt giả thuyết, những tính chất trừu tượng từnhững mối liên hệ trong những tình huống có vấn đề, sau đó đi đến kết luận và

lý giải các kết quả đạt được Những kết luận này sẽ được tổng hợp để hình thànhnhững ý tưởng mới Chúng ta cần phân biệt hai thuật ngữ “suy luận” và “tưduy” Suy luận được xem là một bộ phận của tư duy, nó nằm trên mức độ kiếnthức hay nhắc lại

Các khối tư duy toán học được xếp theo mức độ từ thấp đến cao như hình vẽdưới đây:

Chúng ta chia tư duy thành bốn thành phần chính: nhắc lại, hiểu, phê phán, sángtạo Giữa các mức độ tư duy có sự tương tác qua lại, mỗi mức độ tư duy sử dụngrộng rãi những kỹ năng bên dưới nó Ngay trong những mức độ của tư duy bậccao cũng đã có sự tương tác qua lại rất lớn giữa tư duy phê phán và tư duy sángtạo

Suy luận

Bậc cao

Sáng tạo Phê phán

Hiểu

Nhắc lại

 Nhắc lại: bản chất dường như là tự động và phản xạ Những phép tính nhẩm,

những công thức, những định lý, những thuật toán, … mà học sinh đã được học

sẽ được học sinh thu nhận và nỗ lực một cách có nhận thức để chuyển vào bộnhớ Việc gọi lại một sự kiện cơ bản hoặc thể hiện một thuật toán gọi là tư duynhắc lại Khu vực gọi ra được mở rộng một cách thường xuyên khi cá nhân xúctiến quá trình học tập của mình

 Hiểu: đây là loại tư duy cơ bản, gồm việc hiểu các khái niệm toán và nhận ra

sự áp dụng của chúng vào giải toán, vào thực tiễn cuộc sống Ví dụ: Ta có khái

niệm: “Trung bình điều hoà của hai số là nghịch đảo của trung bình cộng củahai nghịch đảo của hai số đã cho” Từ khái niệm này HS hiểu rằng trung bình

điều hoà của hai số a và b là

b a ab b

Và nhận ra sự áp dụng của công thức này là để tính vận tốc trung bình của haivận tốc trên cùng một đoạn đường Xét các vận tốc v1, v2 tương ứng với cácthời gian t1, t2 trên cùng một đoạn đường s Khi đó vận tốc trung bình trên

toàn bộ các đoạn đường đi được là:

2 1 2 1

2

2 2

2

v v v

s v s

s t

Đó chính là trung bình điều hoà

 Phê phán: là tư duy xem xét, liên hệ và đánh giá tất cả mọi khía cạnh của tình

huống hoặc bài toán Các kỹ năng của tư duy phê phán bao gồm:

- tập trung vào những yếu tố của bài toán hay tình huống khó khăn;

- thu thập và sắp xếp thông tin trong bài toán;

- nhớ và kết hợp với thông tin đã học

Bản chất của tư duy phê phán là phân tích và phản ánh Đây là loại tư duy đóngvai trò quan trọng trong giải toán của người học, giúp người học đọc hiểu đượcbài toán

 Sáng tạo: là tư duy có tính khởi đầu, hiệu quả và sản sinh ra một sản phẩm

phức tạp Tư duy sáng tạo có tính phát minh, trực giác và tưởng tượng Các kỹnăng của tư duy sáng tạo bao gồm:

- tổng hợp các ý tưởng;

- tổng quát các ý tưởng;

- áp dụng các ý tưởng

1.2 Nhiệm vụ của dạy học môn Toán

Chúng ta đang đổi mới cách dạy học toán từ thụ động một chiều sang dạy họctích cực hoá nhằm phát triển tư duy toán học Lớp học toán được chuyển đổi từ

mô hình dạy học truyền thống với thầy giáo làm trung tâm sang dạy học lấy HSlàm trung tâm Đây là một sự chuyển đổi tích cực, hy vọng về một nền giáo dụcphát triển của Việt Nam trong tương lai

Nhiệm vụ của người giáo viên (GV) là mở rộng trí tuệ cho HS chứ không phải

là làm đầy trí tuệ cho các em bằng cách truyền thụ các tri thức đã có Việc mởrộng trí tuệ cho học sinh đòi hỏi GV phải biết cách dạy cho HS tự suy nghĩ đểGQVĐ mà HS gặp phải trong quá trình học và trong cuộc sống

Thông qua dạy học GQVĐ, giáo viên sẽ dạy học sinh suy luận Những chươngtrình toán thí điểm hiện nay chú trọng đến những nhu cầu dạy những kỹ năng

“tư duy bậc cao” bao gồm tư duy phê phán, tư duy sáng tạo cho HS thông qua

dạy học theo phương pháp giải quyết vấn đề và khảo sát toán học Chúng ta dạy

cho HS biết con đường mà kiến thức toán được thiết lập, chứ không chỉ là nộidung của các kiến thức toán mà những nhà toán học đã thiết lập được

Ví dụ: không phải chúng ta dạy HS chứng minh tổng của n số tự nhiên liên tiếp

là n( n2 1) mà chúng ta dạy HS đi tìm tổng của n số tự nhiên liên tiếp Tức là

chúng ta đang dạy HS tư duy Chúng ta luôn mong muốn những kỹ năng tư duybậc cao này được phát triển thông qua việc dạy GQVĐ theo cả hai khía cạnh.Thứ nhất là giải quyết vấn đề như là một đối tượng của dạy học và thứ hai là sửdụng nó như là một phương pháp dạy học GQVĐ thông qua tất cả các hoạt động

Tư duy sáng tạo, tư duy phê phán và tư duy GQVĐ là tất cả các khía cạnh họctập của HS Chúng sẽ trở thành một phần chính trong hoạt động dạy học hằngngày của chúng ta Chúng ta phải làm cho lớp học toán phản ánh được yêu cầunày về hiểu biết toán và năng lực toán Năng lực toán phải bao gồm khả năng

“khám phá, đặt giả thuyết và suy luận logic cũng như khả năng sử dụng các

phương pháp toán học khác nhau một cách có hiệu quả để giải quyết các bài toán không quen thuộc trước đó” Phát triển và rèn luyện cho HS những kỹ

năng suy luận và GQVĐ sẽ là nhiệm vụ chính mà các GV toán phải thườngxuyên thực hiện trong lớp học toán

Tóm lại, dạy có hiệu quả là dạy như thế nào để làm cho HS hiểu thế nào là Toánhọc và có tư duy toán học để phát triển

2 Phương pháp giải quyết vấn đề

2.1 Giới thiệu về phương pháp GQVĐ

Trong những năm gần đây, phương pháp GQVĐ đã trở thành một trong nhữngphương pháp chính được sử dụng để dạy học môn Toán ở tất cả các bậc học tạinhiều nước trên thế giới Hội đồng những người hướng dẫn bộ môn Toán của

Mỹ (The National Counsil of Supervisors of Mathermatics) đã khẳng định rằng

“Học phương pháp để giải quyết bài toán là mục đích chính của việc học

 Bài tập: một tình huống liên quan đến luyện tập và thực hành để cũng cố

những kỹ năng và thuật toán đã được học trước đó;

 Bài toán: là một tình huống đòi hỏi tư duy và sự tổng hợp các kiến thức đã

được học trước đó để giải Khi đứng trước một bài toán HS không thấy đượcngay các phương pháp hoặc con đường thu được lời giải

Để trả lời một câu hỏi, giải một bài tập, thường học sinh giải quyết dựa trênnhững kinh nghiệm sẵn có, có thể đó là dạng toán mà học sinh đã gặp, đã làm,bài toán đã được cung cấp thuật toán sẵn Nhưng khi gặp dạng toán mới (bàitoán) yêu cầu sử dụng những phân tích hợp lý để đi đến kết quả thì học sinh sẽgặp phải trở ngại và rơi vào thế bị động GQVĐ là một phương pháp giúp họcsinh khắc phục được điều này Mục đích chính của phương pháp này là hướngdẫn và rèn luyện học sinh lúc đứng trước một tình huống phải biết phân tích và

tư duy một cách linh hoạt để tìm ra con đường tốt nhất để giải quyết

Về cơ bản, GQVĐ là quá trình tìm tòi “phương án” (strategy) để giải bài toán không quen thuộc Phương án khác với thuật toán (algorithm) Có phương án tốt

chưa chắc đã giải đúng Còn thuật toán nó có tính chất quy trình giải toán

(procedure), nếu áp dụng đúng bảo đảm có lời giải đúng.

Quá trình GQVĐ thách thức đối với người học, đến đây người học phải thể hiện

tư duy toán của mình Các bước để giải một bài toán (vấn đề):

1 Đọc hiểu bài toán;

2 Lên phương án giải toán;

3 Giải toán;

4 Xem lại (kiểm tra, mở rộng bài toán)

Trong tác phẩm nổi tiếng của George Polya là: “How to solve it” đã giới thiệu

những phương pháp GQVĐ rất hiệu quả Phương pháp của Polya được gọi với

một thuật ngữ chung là “hueristics” (GQVĐ bằng cách đánh giá kinh nghiệm

và tìm lời giải qua thử nghiệm) Polya cũng từng nói rằng: “ Vấn đề của bạn cóthể là đơn giản nhất, nhưng nếu nó tạo cho bạn sự tò mò, mang lại những ýtưởng sáng tạo và bạn giải quyết nó bằng năng lực bản thân thì điều đó sẽ đemlại những kinh nghiệm cùng niềm vui của sự khám phá”

Khi nói đến GQVĐ chúng ta cần phải hiểu rằng:

- Đối với học sinh, đó chính là phương pháp để hình thành con đường tiếp cậnbài toán;

Tìm quy

ngược

Xét trường hợp đặc biệtMinh họa

bằng hình vẽĐoán và thử

Các phương án GQVĐ:

Nhìn theo mộtcách khác

Trong mười phương án này, chúng ta sẽ đi sâu vào nghiên cứu phương án tìmkiếm quy luật Thông qua việc giải một số bài toán bằng phương án tìm kiếmmột quy luật, chúng ta sẽ phân tích quá trình tìm kiếm để thấy được hiệu quảcủa phương án này trong GQVĐ và thấy được sự phát triển tư duy thông quaviệc tìm kiếm quy luật Hơn nữa, qua đây chúng ta tích luỹ thêm kinh nghiệmcủa việc sử dụng phương án này nói riêng và kinh nghiệm giải toán nói chung.

3 Sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán

Có những bài toán thiết lập bởi một quá trình lặp đi lặp lại nhưng với kết quả làbất biến theo một nghĩa nào đó Trong thực tế luôn xảy ra một quá trình lặp lại

và phổ biến theo một quy luật nào đó Nhiệm vụ của chúng ta là phải tìm nhữngbất biến trong quá trình hoặc những kết quả hội tụ của quá trình đó Chúng ta cóthể gọi công việc này là tìm kiếm quy luật trong giải toán

Ví dụ 3.1: Tìm số hạng tiếp theo của dãy số sau:

3; 6; 13; 24; 39; …Các sai khác giữa các số hạng liên tiếp

của dãy số đã cho tạo thành dãy số thứ

hai: 3; 7; 11; 15; … Các sai khác giữa

các số hạng liên tiếp của dãy số thứ hai

này tạo thành dãy số: 4; 4; 4;

Đến đây thì ta đã tìm được một sự bất biến, đó là một dãy hằng, số hạng thứ tưcủa dãy thứ ba này là 4 Do đó số hạng tiếp theo của dãy thứ hai là 19 (=15 + 4)

Do đó, số hạng tiếp theo của dãy số đã cho là 58 (= 39 + 19)

Như vậy, điều quan trọng để giải quyết bài toán này là tìm ra sai khác thứ hai làmột dãy hằng, tức là tìm ra bất biến Mỗi dãy số có thể đều tồn tại một bất biếntiềm ẩn đang nằm đâu đó, chúng ta hãy đi tìm kiếm bất biến đó Một cách suyluận tương tự như thế chúng ta có thể giải quyết được nhiều bài toán khác.Tìm ra quy luật của một bài toán phụ thuộc rất nhiều yếu tố: sự khéo léo trongquan sát, sự nhảy cảm dự đoán và kiểm tra của chúng ta Từ những kinh nghiệm

4 4

4 4

19 15

11 7

3

58 39

24 13 6

3

đã trải qua trong tính toán và các bài toán tương tự, từ khả năng liên hệ bài toántương tự với điều kiện mới, vv…

Chúng ta xét một ví dụ khác:

Ví dụ 3.2: Cho trước số tự nhiên n Hãy tìm tổng của các số tự nhiên 1; 2; …; n.

Ta ký hiệu S n là tổng phải tìm, nghĩa là:

n

S n  1  2  3   (3.2)

Mục đích của chúng ta là tìm ra công thức ngắn gọn để tính tổng trên, công thức

đó giúp ta tính nhanh gọn hơn là phải thực hiện các phép cộng trong tổng

Bây giờ, ta sẽ tính tổng S n từ đẳng thức (3.2) với một vài số tự nhiên liên tục,chẳng hạn bắt đầu từ 1 Kết quả thu được ở bảng sau:

; 5  6  2  15 Như vậy, ta đã tìm ra quy luật với các trường hợp riêng 1; 2; 3;

… Mở rộng quy luật trên cho bảng số với các số tự nhiên bất kỳ ta đưa ra giảthuyết thích hợp với quy luật vừa tìm được:

2

) 1 ( 

n n

Để chứng minh công thức này ta dùng phương pháp quy nạp

Để tìm một quy luật chúng ta cần so sánh và đối chiếu Chúng ta phải so sánh đểtìm nét đặc trưng tồn tại trong các phần tử của tập hợp chứa quy luật Còn phépđối chiếu để tìm ra những yếu tố thay đổi Quy luật có thể xuất hiện ở nhiềudạng: quy luật của các số, quy luật của hình học, quy luật của từ ngữ, vv …Như chúng ta đã nói “tìm kiếm quy luật” là một bài toán thách thức khả năng tưduy của chúng ta Đòi hỏi chúng ta phải biết phân tích, so sánh, đối chiếu, suyđoán, … Chúng ta phải có trực giác, sự trải nghiệm, … tức chúng ta phải có tưduy và ở đây quan trọng là tư duy phê phán, tư duy sáng tạo và tư duy giải quyết

vấn đề Thật sự thì cũng không có một quy trình nào thật cụ thể cho quá trìnhtìm kiếm quy luật “Quy luật từ trên trời rơi xuống” và chúng ta phải đi tìm Tuynhiên, chúng ta có thể đưa ra ở đây một số cách mà chúng ta thường làm để tìmkiếm một quy luật ẩn chứa trong bài toán.

3.1.Tìm quy luật bằng cách xét các trường hợp riêng, đặc biệt, dễ thấy nhất

Nhiều bài toán khi xuất phát giải ta không biết bắt đầu từ đâu, trong nhữngtrường hợp đó người ta thường nghiên cứu bài toán dưới những trường hợp đặcbiệt Nghiên cứu, phân tích trên những trường hợp đặc biệt của bài toán, chúng

ta có thể phát hiện ra quy luật của một số yếu tố trong bài toán và từ đó gợi ýcho ta khẳng định của bài toán hoặc hé mở một cách giải trong trường hợptổng quát

Cách này được vận dụng nhiều trong quy nạp toán học để tìm giả thiết quy nạp

Ví dụ 3.1.1: Giả sử ta đã có công thức:

2

) 1 (

3 2

1     n n

n (3.1.1)

Ta đi tìm công thức tính tổng của n bình phương đầu tiên:

12 + 42 + 92 + … + n2.Chúng ta hãy phát hiện một tính chất song trùng nào đó giữa 2 tổng sau đây vàxét chúng đồng thời:

3 .

1 2

2 1

1 (

1 (

6

) 1 ( 6 ) 1 2 ( ) 1 (

) 1 ( 6

) 1 2 )(

1 (

) 1 (

2 1

2

2 2

2 2

k

k k

k k

k k

k k

k k

Như vậy, công thức (3.1.2) đúng trong trường hợp n = k + 1 Vậy ta đã chứng

minh được công thức (3.1.2)

Ví dụ 3.1.2: Hãy tìm số dương n và a1, a2, …, a n nguyên dương thoả:

Khi bài toán có thông số biến đổi ta phân tích một cách thích hợp những mảng

dữ liệu để thay bằng mảng dữ liệu có thể quản lý tốt hơn Trong bài toán này,chúng ta có thể bắt đầu bằng cách kiểm tra một dãy các trường hợp đặc biệt thaycho 1000 là các số 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; … Kết quả thu được cho ở bảng sau:

1

a =4

1

a =2

1

a =2

1

a =3

1

a =3

1

a =2

1

a =2

1

a =3

a =3

2

a =4

2

a =23

a =3

2

a =33

a =3

2

a =33

a =3Công việc này mất khá nhiều thời gian Từ bảng trên, ta nhận thấy rằng, trườnghợp tích lớn nhất thoã mãn:

 Không có a i nào lớn hơn 4;

Chúng ta hãy xét một ví dụ khá thú vị sau đây:

Ví dụ 3.1.3: Trên giấy kẻ ôly, hãy nối các đỉnh ôly để có các đa giác có diện

tích bằng 5 Giả sử độ dài cạnh ôly bằng 1

Cách làm của chúng ta là cố gắng vẽ tất cả các hình thoả mãn bài toán Tuynhiên đây không phải là công việc dễ vì chúng ta có thể bỏ sót một số hình.Chúng ta hãy quan sát một số hình vẽ thoả mãn yêu cầu của bài toán:

Nếu gọi A, T, N lần lượt là diện tích của đa giác, số đỉnh ôly nằm ở miền trong

của hình đa giác, số đỉnh ôly nằm trên các cạnh đa giác Bây giờ chúng ta hãy

cố gắng tìm biểu thức liên hệ giữa A, N, T.

N và T ứng với các hình vẽ trên được cho ở bảng sau:

Thiết lập được công thức này, chúng ta sẽ vẽ được tất cả các hình vẽ thoả mãn

bài toán Trường hợp T = 5 , khi đó N = 2 và khi T = 6 thì N = 0, những trường

hợp này rõ ràng không có hình vẽ thoả mãn

3.2 Phân loại mẫu để tìm ra quy luật khi giải toán

Ví dụ 3.2.1: (Tam giác Pascal)

Kí hiệu S n, 0 ; S n, 1; S n, 2là những tổng cách ba phần tử trong hàng thứ n của

tam giác Pascal S n, 0 bắt đầu từ phần tử thứ nhất bên trái, S n, 1 bắt đầu phần tử thứ 2 và S n, 2 bắt đầu từ phần tử thứ 3 tương ứng Hãy nghiên cứu dãy số tạo ra

và tính giá trị của S100 , 1?

Ta bắt đầu từ trường hợp với chỉ số thấp với hy vọng tìm được mẫu chung tổng

quát đó Trong Bảng 3.2.1, những phần tử không gạch dưới là thuộc tổng S n, 0; một gạch dưới là S n, 1; hai gạch dưới là S n, 2 Ba cột bên phải chỉ ra rằng trong

mọi trường hợp của n ta đều có hai cột bằng nhau, còn cột thứ 3 hoặc là lớn hơn

(dấu +) một đơn vị hoặc là nhỏ hơn (dấu -) một đơn vị Ta cũng thấy rằng phần

tử không bằng sẽ thay đổi theo vòng tròn 6 lần Như vậy, từ mẫu trong dòng ban

đầu ta sẽ phát hiện ra phần tử khác hai phần tử kia ở n bằng 8 là ở cột giữa và

nhỏ hơn 2 phần tử kia

Bảng 3.2.1 Tam giác Pascal n S n,0 S n, 1 S n, 2

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

0 1+ 0 0

1 1 1 0

2 1 2+ 1

3 2- 3 3

4 5 5 6+

5 11 10- 11

6 22+ 21 21

7 43 43 42

-Ta nhận thấy: S n, 0 + S n, 1 + S n, 2 = 2n

Và vì 100 = 6 x 16 + 4 nên ta phát hiện ra ngay trên phần tử không bằng ở cộtthứ ba (S100 , 2) và lớn hơn hai số kia 1 đơn vị.

Hãy chỉ ra rằng: x * y = y * x với mọi x, y  S.

Lời giải: Trong lời giải ngắn gọn dưới đây, để đưa đến kết quả cuối cùng thì

phải qua các bước biến đổi nhỏ Công việc này được mô tả như là việc tìm kiếmquy luật (nguyên tắc của quy luật là vòng tự nhiên của nhân tố trong điều kiệnthứ hai)

3.3 Nhìn một bài toán với nhiều khía cạnh khác nhau của toán học, ta có nhiều cách để tìm ra quy luật của một bài toán

Ví dụ 3.3.1: Một tập gồm n phần tử (phân biệt) có bao nhiêu tập con (khác

nhau)?

Lời giải 1: Chúng ta bắt đầu từ các tập chứa lần lượt 0; 1; 2; 3; … phần tử Kết

quả được thể hiện ở trong Bảng 3.3.1.1.

Mục đích xây dựng bảng này là để tìm ra công thức cho trường hợp tổng quát

Trong trường hợp này chú ý, khi n = 3 dòng thứ nhất là các tập con của tập {x1;

x2}, sau đó ở dòng thứ hai, ta có tập con được xây dựng bằng cách thêm vào các

tập con ở dòng trên một phần tử x3 Đây là chìa khoá trong ý tưởng để cho phép

chúng ta tiếp tục với các giá trị của n cao hơn Ví dụ, khi n = 4 các tập con của tập S = {x1, x2, x3, x4} là 8 tập con của tập {x1, x2, x3} (Bảng 3.3.1.1) thêm x4 vàomỗi tập con trong 8 tập con trên ta được thêm 8 tập con nữa Vậy một tập có 4phần tử có tất cả 16 tập con (= 24) Theo quy luật này ta có số tập con (phân

Lời giải 2: Với mỗi n, kí hiệu A n là số tập con (phân biệt) của một tập với n phần tử Xét S là tập có n + 1 phần tử và x là một phần tử của S Lúc đó, tồn tại tương ứng 1 - 1 giữa các tập con của S mà không chứa x và các tập con của S mà chứa x (một tập con T không chứa x của S đặt tương ứng với tập T {x}) Như vậy, tất cả các dạng tập con tạo bởi S \ {x} là những tập hợp tạo bởi n phần tử.

Vì vậy, trong trường hợp này: A n+1 = 2 A n.

Đẳng thức này đúng với n = 0; 1; 2; 3; … Kết hợp với kết quả hiển nhiên là

A0 = 1, đưa đến A n = 2n (A n = 2A n-1 = 22 A n-2 = … = 2n A0 = 2n )

Lời giải 3: Một cách khác là liệt kê có hệ thống các tập con bằng cách lập một

hình nhánh cây (nhị phân) Trường hợp n = 3 và tập S = {a; b; c} ta có cây như

Hình vẽ 3.3.1 Mỗi nhánh của cây tương ứng với một tập con khác nhau của S

(dấu gạch dưới phần tử là không tính phần tử đó vào tập hợp trong nhánh này)

Cây được xây dựng ba tầng tương ứng với ba phần tử trong S Mỗi phần tử của

S đều có hai khả năng: hoặc là nằm trong tập con hoặc không nằm trong tập hợp

con và như vậy chia làm hai nhánh vì mỗi phần tử ta phải đều xem xét ngangnhau nên số nhánh gấp đôi lên Vì vậy, với 4 tập gồm 3 phần tử, số nhánh bằng

2 2  2 = 8 Cho nên tập gồm n phần tử số nhánh là: 2  2  …  2 = 2n

Vì vậy, với một tập với n phần tử thì có 2 n tập con

Hình vẽ 3.3.1 Tập con

Lời giải 4: Giả sử chúng ta liên kết các tập con theo số phần tử:

Ví dụ, khi S = {a; b; c; d}, các tập con là:

Số các phần tử Các tập con của S Số các tập con

{a; b}; {a; c}; {a; d}; {b; c}; {b; d}; {c; d}

{a; b; c}; {a; b; d}; {a; c; d}; {b; c; d}

{a; b; c; d}

14641

Điều này gợi cho chúng ta đi đến lập luận sau: Xét S là tập gồm n phần tử

Khi đó, số các tập con của S = 



n

k 0 (số các tập con của S có k phần tử)

= 





n k

n k n

k n

011011100101110111

01234567

Để hiểu được quy luật, chú ý là tương ứng chỉ số ở cột đầu tiên là thứ mấy thì ởcột thứ hai có số 1 ở vị trí đó

Đặc biệt, nếu A là một tập con của S = {x1; x2; … ; xn }, a i (i = 1; … ; n) được xác

1

i i

A x a

Rõ ràng, bây giờ ta có thể đồng nhất một tập hợp con A của S với bộ (a1; … ; a n )

n số gồm 0 và 1 Ngược lại, mỗi bộ n số cho tương ứng duy nhất với một tập

con của S Như vậy, số những tập con của S bằng số bộ n số của 0 và 1 Nhưng

những tập này cũng tương ứng 1 - 1 với tập những số nhị phân không âm nhỏhơn 2n Như vậy, mỗi số nguyên không âm nhỏ hơn 2n tương ứng đúng với một

tập con của S và do đó S có 2 n

tập con

Thông thường chúng ta chỉ tìm một lời giải cho một bài toán sau khi đã cânnhắc Tuy nhiên, trong ví dụ vừa rồi khẳng định cho chúng ta thấy rằng, với mộtbài toán ta có thể linh hoạt sử dụng nhiều cách để làm Chúng ta cần linh hoạttrong giai đoạn đầu khám phá bài toán Nếu một cách tiếp cận mà không dẫnđến đâu, đừng thất vọng, hãy tìm một ý tưởng mới Hãy nhìn lại bài toán theonhiều khía cạnh sẽ có phong phú ý tưởng thay thế Mỗi cách tiếp cận là một ýtưởng để khám phá bài toán Tư duy sáng tạo được đánh dấu bởi những tiếp cận

để giải quyết bài toán mang tính tưởng tượng và phân kỳ Ở thời điểm đầu thì sốlượng, sự phong phú của tư duy là quan trọng và tri giác khởi đầu cũng là mộtnguồn kiến thức hữu ích

3.4 Sử dụng các mô hình toán để tìm kiếm quy luật

Trước hết chúng ta hãy làm quen với các dãy số tạm đặt tên là “dãy số đa giác”thông qua các hình vẽ được sắp xếp theo mô hình được cho trong bảng dưới

đây Số hạng thứ r của mỗi dãy số đa giác chính là số các điểm nằm trên đa giác thứ r tương ứng của dãy.

Sau khi cho học sinh quan sát mô hình về các “dãy số đa giác” Giáo viên đặt ramột số câu hỏi như sau:

nếu nếu

1 Tìm quy luật cho số hạng thứ n của các dãy số đa giác (tính số hạng tổng quát

của các dãy số đa giác);

2 Tính tổng n số hạng đầu tiên của các dãy số đa giác.

Học sinh sẽ sử dụng nhiều phương án khác nhau để giải quyết các câu hỏi này

và phương án tìm kiếm một quy luật được sử dụng ra sao, chúng ta sẽ bắt đầuvới dãy số tam giác

Thông thường học sinh sẽ đếm số các điểm nằm trên các tam giác thứ nhất, thứ

2, thứ 3, thứ 4, thứ 5, … và sẽ tìm một quy luật trong các số liệu này Gọi t là n

số các điểm nằm trên tam giác thứ n Ta có:

t = t + 3 = 1 + 2 + 3; (Thay 2 t bởi 1 + 2) 2 4

t = t + 4 = 1 + 2 + 3 + 4; 3 5

có một điểm, hàng thứ hai có 2 điểm … Tương

tự, tam giác thứ năm được tạo ra bằng cách

ghép 5 hàng điểm, theo thứ tự trên xuống có 1

điểm, 2 điểm, 3 điểm, 4 điểm, 5 điểm (hình

Để tìm quy luật và tính số hạng tổng quát của dãy số tam giác ta sẽ biểu diễn

dãy số này theo một cách khác bằng mô hình sau:

Từ những tam giác trên, nếu hoán đổi các dòng thành cột, ta được một mảngmới mà khi ghép với mảng tam giác ban đầu ta được một mảng hình chữ nhật.Trong trường hợp tổng quát, dễ thấy mảng chữ nhật tạo thành có các cạnh lần

lượt chứa n và n + 1 điểm, nên số các điểm có trong mảng này là n(n + 1) điểm.

4 3 2 1

4 3 2

3 2 2

1 1 1 1

n

t được biểu diễn là tổng của tất cả các số có trong mảng trên.

Do tổng các số có trên cột thứ i (i = 1; 2; … ; n) là t Áp dụng công thức ở trên i

n+1

n+1 n+1

n+1 n+1

4 4 4

3 3 2

n+1 n+1

n+1 n+1 n+1

4 3 2 3 2 2

5 4 3 2 1

1 1 1 1

5 5 5 5

4 4 4

3 3 2

Sử dụng công thức của dãy số tam giác, ta có kết quả:

 

2

1 ) 1 ( ) 1 (

3   1 n n n 

t n

Chú ý: Sau đây là một cách khác để tiếp cận bài toán trên Ta sẽ tiến hành ghép

mảng điểm t và 2 t , 3 t và 3 t , 4 t và 4 t như sau:5

t + 2 t 3 t + 3 t 4 t + 4 t5

Từ đây chúng ta sẽ phát hiện ra quy luật: nếu ghép 2 mảng điểm t n1 và t ta n

được mảng điểm hình vuông mà số các điểm trong mảng này là n2 điểm

Vậy:

1

n

t  + t = n n 2.Viết lại:

t = t + 1 t + … + 2 t n1 + t n

2

t + t = 21 2 3

4 4

3

3 2

4 3 2 1

Từ đây, ta có thể nghĩ đến việc kết hợp với mảng t để được mảng n s + n t như n

hình bên

Từ cách sắp xếp này, ta nhận thấy tổng các số

hạng trên mỗi hàng của mảng s + n t chính n

là tổng của n số tự nhiên đầu tiên

Mảng có n + 1 hàng nên:

n

n

5 4 3 2 1

n

4 3

3 2 2

1 1

5 5 4

dãy số khác Phần này được trình bày trong tài liệu “Khám phá đại số và giải

tích 11” của tác giả Trần Vui (chủ biên).

Từ ví dụ trên, chúng ta nhận thấy rằng việc thiết kế và sử dụng các mô hình hìnhhọc là một phương tiện hỗ trợ đắc lực cho việc tiến hành giải quyết vấn đề bằngphương án tìm kiếm một quy luật Chúng ta cũng lưu ý rằng, đối với mỗi bàitoán có thể sử dụng nhiều mô hình tương ứng với nhiều cách giải khác nhau Do

đó, chúng ta cần tìm kiếm những mô hình mới, không nên gò bó theo mộtkhuôn mẫu đã định sẵn

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG ÁN TÌM KIẾM QUY LUẬT TRONG

cụ hỗ trợ đắc lực cho việc nhớ các con số của chúng ta

Khám phá các quy luật cũng được dùng trong vấn đề thực tiễn “đi tới một địađiểm bằng xe hơi” Giả sử khi lái xe qua một thành phố, ở đây hầu hết các conđường nằm trong một mạng lưới hình chữ nhật, một người lái xe giỏi sẽ xem xétcác vấn đề như đèn đỏ trong bao nhiêu giây, đèn xanh trong bao nhiêu giây, đènvàng trong bao nhiêu giây, khoảng cách từ các địa điểm có đèn giao thông làbao nhiêu, … để tìm kiếm một quy luật Dựa vào quy luật này người lái xe sẽđiều chỉnh tốc độ, chọn đường đi thích hợp để tránh các đèn đỏ nhiều nhất cóthể và để giảm tối thiểu thời gian chờ đợi

Một vấn đề thực tiễn khác là “tìm đến một số nhà nằm trên một con đường trongmột thành phố” Để giải quyết vấn đề này, chúng ta phải chú ý tới một quy luật:các số nhà lẻ thường được đánh ở một phía của con đường, các số nhà chẵn ởphía còn lại của con đường hoặc cũng có thể các ngôi nhà được đánh theo thứ tự

từ đầu đường cho đến cuối đường Kết hợp với nhiều yếu tố khác, chúng ta cóthể xác định được hướng đi để tới địa chỉ mình cần tìm một cách nhanh nhất Cónhiều con đường để tới địa chỉ đó nhưng chúng ta sẽ thiết lập một quy luật đểtìm ra con đường ngắn nhất và thuận tiện nhất để tới đó

Trong thực tế hằng ngày, khi đối mặt với các vấn đề của cuộc sống đặt ra, conngười luôn sử dụng tư duy và kinh nghiệm vốn có của mình để giải quyết cácvấn đề đó một cách nhanh nhất, đem lại hiệu quả nhiều nhất Trong nhiều vấn

đề, phương án tìm kiếm một quy luật là một phương án rất hữu ích Con ngườicũng thường nghĩ tới phương án này khi đứng trước các vấn đề Sau đây là mộtbài toán thực tế được giải bằng phương án tìm kiếm một quy luật:

Bài toán 1: Bản đồ của một khu vực thành phố Huế được cho như ở Hình vẽ 1.1 Để tiện theo dõi, chúng ta ký hiệu đường Đoàn Thị Điểm là đường số 1,

đường Đinh Tiên Hoàng là đường số 2, đường Lê Thánh Tôn là đường thứ 3,đường Ngô Đức Kế là đường thứ 4, đường Xuân 68 là đường số 5 Trang sốngtại vị trí giao nhau của đường thứ 5 và đường Mai Thúc Loan Nhi sống tại vị trígiao nhau của đường thứ 1 và đường Đinh Công Tráng Nhi quyết định một lầntới thăm Trang, cô ấy sẽ đi bằng một tuyến đường khi cô ấy đã tìm ra được mọituyến đường khác nhau để tới nhà Trang Cô ấy chỉ được đi về phía hướngĐông và hướng Bắc Có bao nhiêu tuyến đường khác nhau để Nhi tới nhàTrang?

5 4 3 2 1

Hình vẽ 1.1 Lời giải:

Thường thì nhiều học sinh cố gắng thử vẽ các tuyến đường có thể có và đếmxem có bao nhiêu tuyến đường như thế Tuy nhiên, đây không phải là một công

1 1 1 1

3

1

6

35 15 5

20 10 4

5

70 35

15 10 4 3

2

126

Một số học sinh khác nhận ra rằng ở đây có bốn con đường phía Đông và nămcon đường phía Bắc là đi được Do đó, họ tìm tất cả các cách sắp xếp có thểđược của 5 con đường B và 4 con đường Đ Với cách này, nhiều học sinh bắtđầu liệt kê danh sách tất cả các cách sắp xếp có thể được, như: ĐĐBBĐĐBBB;BĐBĐBĐBĐB; BBBĐBBĐĐĐ; … Rõ ràng có quá nhiều cách sắp xếp

Một số học sinh có thể nhận ra rằng bài toán này tương tự như bài toán quen

thuộc sau: “Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái ở trong từ song song?”

Những học sinh này cố gắng tìm xem có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái

ĐĐĐĐBBBBB (tổng cộng 9 chữ cái, 4 chữ Đ, 5 chữ B) và sẽ có:

! 5

! 4

! 9

(tứcbằng 126) cách sắp xếp

Hãy xem chúng ta có thể giải bài toán này như thế nào với phương án tìm kiếmmột quy luật Để làm theo cách này chúng ta phải kết hợp phương án này vớiphương án giải bài toán đơn giản hơn Giả sử chúng ta xét bài toán đơn giản hơn

là nhà Trang ở vị trí giao nhau của đường số 2 và đường Đinh Công Tráng - chỉ

có một con đường để Nhi tới đây Cũng như vậy, nếu nhà Trang được “dichuyển” tới vị trí giao nhau của đường thứ 3 và đường Đinh Công Tráng hay tớibất kỳ vị trí nào trên đường Đinh Công Tráng hay bất kỳ vị trí nào trên đường

số 1 – có đúng một con đường Bây giờ chúng ta hãy xem có bao nhiêu tuyếnđường khác nhau mà Nhi có thể tới nhà Trang nếu chúng ta “chuyển” nhà củaTrang tới vị trí giao nhau của đường số 2 và đường Hàn Thuyên – chỉ có hai conđường “Chuyển” nhà tới vị trí giao nhau của đường số 3 và đường Hàn Thuyên– có ba con đường (cũng giống như vậy nếu nhà được “chuyển” tới vị trí giaonhau giữa đường thứ 2 và đường Nguyễn Chí Diễu)

Chúng ta hãy xem có bao nhiêu tuyến

đường mà Nhi có thể đi nếu nhà của

Trang được “chuyển” lần lượt tới mỗi

điểm trên lưới ô vuông (xem hình vẽ)