Đề tài về : Phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếm quy luật khi giải toán
PHÁT TRIỂN TƯ DUY TOÁN THÔNG QUA TÌM KIẾM QUY LUẬT KHI GIẢI TOÁN Sinh viên thực hiện BÙI THỊ ĐỨC Giảng viên hướng dẫn PGS. TS. TRẦN VUI LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Với phương pháp dạy học truyền thống (truyền thụ một chiều từ giáo viên, sự tiếp thu thụ động của học sinh) khiến các em học sinh có suy nghĩ rằng toán học đã tồn tại từ lâu với những công thức và thuật toán bất di bất dịch. Đáng tiếc là những suy nghĩ như vậy hoàn toàn không đúng với bản chất của toán học. Việc học toán là một quá trình mang tính sáng tạo chứ không phải là tiếp thu một thực thể kiến thức đã có sẵn. Yêu cầu đặt ra cho giáo dục Việt Nam hiện nay là phải đổi mới phương pháp dạy học, cần phải thay đổi phương pháp dạy học truyền thống đến các phương pháp dạy học tích cực, sáng tạo, người dạy tổ chức, định hướng nhận thức, phát huy vai trò chủ động, tích cực của HS để HS tự chiếm lĩnh tri thức và hình thành kỹ năng. Phương pháp giải quyết vấn đề (GQVĐ) là phương pháp dạy học đáp ứng phần nào những yêu cầu này. Tìm kiếm quy luật là một phương án hiệu quả trong các phương án của GQVĐ và một số người còn gọi đó là nghệ thuật của toán học (art of maths). Khi thực hiện việc tìm kiếm một quy luật, tư duy các em đã được rèn luyện và phát triển, đặc biệt là tư duy phê phán và sáng tạo – hai loại tư duy mà chúng ta đang quan tâm nhiều để dạy cho HS. Tuy nhiên, chưa có nghiên cứu nào thật chi tiết và sâu sắc về phương án tìm kiếm quy luật và sự phát triển của tư duy toán thông qua việc tìm kiếm quy luật khi giải toán, để giáo viên và học sinh có thể hiểu rõ và vận dụng một cách linh hoạt và có hiệu quả phương án này trong giải toán. Với những lý do như vậy, tôi quyết định chọn đề tài: “Phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếm quy luật khi giải toán” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp của mình. Mở đầu Chương 1: Cơ sở lý luận 1. Tư duy toán học 2. Phương pháp giải quyết vấn đề 3. Sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán Chương 2: Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết vấn đề 1. Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết các vấn đề từ các tình huống thực tế hằng ngày 2. Áp dụng phương án tìm kiếm quy luật trong giải toán Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 1. Mục đích và ý nghĩa thực nghiệm 2. Quá trình thực nghiệm 3. Thu thập dữ liệu, phân tích và lý giải các dữ liệu của thực nghiệm 4. Kết luận sư phạm Kết luận CẤU TRÚC KHOÁ LUẬN 3. Sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán 3. Nhìn một bài toán với nhiều khía cạnh khác nhau của toán học, ta có nhiều cách để tìm ra quy luật của một bài toán 2. Phân loại mẫu để tìm ra quy luật khi giải toán 1. Tìm quy luật bằng cách xét các trường hợp riêng, đặc biệt, dễ thấy nhất 4. Sử dụng các mô hình toán để tìm kiếm quy luật Ví dụ 3.1.2: Hãy tìm số dương n và , , …, nguyên dương thoả: và tích . … lớn nhất có thể. 2 3 4 5 6 7 8 9 n 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 Các = 2 = 3 = 4 = 2 = 2 = 2 = 3 = 3 = 3 = 3 = 4 = 2 = 2 = 3 = 2 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 ∑ = n i i a 1 i a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 3 a 3 a 3 a 1 a 2 a n a ∑ = = n i i a 1 1000 1 a 2 a n a Khi bài toán có thông số biến đổi ta phân tích một cách thích hợp những mảng dữ liệu để thay bằng mảng dữ liệu có thể quản lý tốt hơn. Trong bài toán này, chúng ta có thể bắt đầu bằng cách kiểm tra một dãy các trường hợp đặc biệt thay cho 1000 là các số 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; … Kết quả thu được cho ở bảng sau: Công việc này mất khá nhiều thời gian. Từ bảng trên, ta nhận thấy rằng, trường hợp tích lớn nhất thoã mãn: • Không có nào lớn hơn 4; • Không có nào bằng 1; • Tất cả các có thể đổi thành 2 hoặc 3 (vì và ); • Nhiều nhất có 2 bằng 2 (vì và ). i a i a i a i a 224 ×= 224 += 33222 ×<×× 33222 +=++ Mỗi điều trên đều dễ chỉ ra là đúng. Như vậy, khi thông số của ta 1000 thì tích lớn nhất của chúng ta cần phải là . 2332 23 × Ví dụ 3.1.3: Trên giấy kẻ ôly, hãy nối các đỉnh ôly để có các đa giác có diện tích bằng 5. Giả sử độ dài cạnh ôly bằng 1. Cách làm của chúng ta là cố gắng vẽ tất cả các hình thoả mãn bài toán. Tuy nhiên đây không phải là công việc dễ vì chúng ta có thể bỏ sót một số hình. Chúng ta hãy quan sát một số hình vẽ thoả mãn yêu cầu của bài toán: Nếu gọi A, T, N lần lượt là diện tích của đa giác, số đỉnh ôly nằm ở miền trong của hình đa giác, số đỉnh ôly nằm trên các cạnh đa giác. Bây giờ chúng ta hãy cố gắng tìm biểu thức liên hệ giữa A, N, T. N và T ứng với các hình vẽ trên được cho ở bảng sau: N 12 10 8 6 4 T 0 1 2 3 4 A 5 5 5 5 5 Chúng ta tìm được quy luật với bảng trên như sau: Thiết lập được công thức này, chúng ta sẽ vẽ được tất cả các hình vẽ thoả mãn bài toán. Trường hợp T = 5 , khi đó N = 2 và khi T = 6 thì N = 0, những trường hợp này rõ ràng không có hình vẽ thoả mãn. 1 2 −+= T N A CHƯƠNG 2 PHƯƠNG ÁN TÌM KIẾM QUY LUẬT TRONG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết các vấn đề từ các tình huống thực tế hàng ngày Bài toán 1: Bản đồ của một khu vực thành phố Huế được cho như ở Hình vẽ 1.1. Để tiện theo dõi, chúng ta ký hiệu đường Đoàn Thị Điểm là đường số 1, đường Đinh Tiên Hoàng là đường số 2, đường Lê Thánh Tôn là đường thứ 3, đường Ngô Đức Kế là đường thứ 4, đường Xuân 68 là đường số 5. Trang sống tại vị trí giao nhau của đường thứ 5 và đường Mai Thúc Loan. Nhi sống tại vị trí giao nhau của đường thứ 1 và đường Đinh Công Tráng. Nhi quyết định một lần tới thăm Trang, cô ấy sẽ đi bằng một tuyến đường khi cô ấy đã tìm ra được mọi tuyến đường khác nhau để tới nhà Trang. Cô ấy chỉ được đi về phía hướng Đông và hướng Bắc. Có bao nhiêu tuyến đường khác nhau để Nhi tới nhà Trang? 543 2 1 Hình vẽ 1.1 Lời giải: Thường thì nhiều học sinh cố gắng thử vẽ các tuyến đường có thể có và đếm xem có bao nhiêu tuyến đường như thế. Tuy nhiên, đây không phải là một công việc dễ và chắc chắn một vài tuyến đường sẽ bị bỏ sót. Một số học sinh khác nhận ra rằng ở đây có bốn con đường phía Đông và năm con đường phía Bắc là đi được. Do đó, họ tìm tất cả các cách sắp xếp có thể được của 5 con đường B và 4 con đường Đ. Với cách này, nhiều học sinh bắt đầu liệt kê danh sách tất cả các cách sắp xếp có thể được, như: ĐĐBBĐĐBBB; BĐBĐBĐBĐB; BBBĐBBĐĐĐ; … Rõ ràng có quá nhiều cách sắp xếp. Một số học sinh có thể nhận ra rằng bài toán này tương tự như bài toán quen thuộc sau: “Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái ở trong từ song song?” Những học sinh này cố gắng tìm xem có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái ĐĐĐĐBBBBB (tổng cộng 9 chữ cái, 4 chữ Đ, 5 chữ B) và sẽ có: (tức bằng 126) cách sắp xếp. Hãy xem chúng ta có thể giải bài toán này như thế nào với phương án tìm kiếm một quy luật. Để làm theo cách này chúng ta phải kết hợp phương án này với phương án giải bài toán đơn giản hơn. Giả sử chúng ta xét bài toán đơn giản hơn là nhà Trang ở vị trí giao nhau của đường số 2 và đường Đinh Công Tráng - chỉ có một con đường để Nhi tới đây. Cũng như vậy, nếu nhà Trang được “di chuyển” tới vị trí giao nhau của đường thứ 3 và đường Đinh Công Tráng hay tới bất kỳ vị trí nào trên đường Đinh Công Tráng hay bất kỳ vị trí nào trên đường số 1 – có đúng một con đường. Bây giờ chúng ta hãy xem có bao nhiêu tuyến đường khác nhau mà Nhi có thể tới nhà Trang nếu chúng ta “chuyển” nhà của Trang tới vị trí giao nhau của đường số 2 và đường Hàn Thuyên – chỉ có hai con đường. !5!4 !9 “Chuyển” nhà tới vị trí giao nhau của đường số 3 và đường Hàn Thuyên – có ba con đường (cũng giống như vậy nếu nhà được “chuyển” tới vị trí giao nhau giữa đường thứ 2 và đường Nguyễn Chí Diễu). Chúng ta hãy xem có bao nhiêu tuyến đường mà Nhi có thể đi nếu nhà của Trang được “chuyển” lần lượt tới mỗi điểm trên lưới ô vuông (xem hình vẽ). 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 6 35155 20 10 4 5 6 21 56 70 35 15 10 43 2 126 Chú ý rằng các số này là các hệ số của tam giác Pascal (Hình vẽ 1.2). Khi chúng ta nhận ra quy luật này thì câu trả lời dễ dàng được tìm thấy, tức là có 126 tuyến đường khác nhau mà Nhi có thể đi để tới nhà Trang. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 Hình vẽ 1.2 [...]... án tìm kiếm quy luật khi giải toán ở trường phổ thông; + Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính hiệu quả của việc sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán ở trường THPT; + Thu thập dữ liệu để kiểm tra, đánh giá sự phát triển tư duy toán của HS thông qua việc tìm kiếm quy luật khi giải toán PHÂN TÍCH DỮ LIỆU Mức độ 1: Không hiểu nội dung bài toán Mức độ 2: Hiểu nội dung bài toán. ..2 Áp dụng phương án tìm kiếm quy luật trong giải toán 2.1 Tìm quy luật của dãy số 2.2 Sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật để giải bài toán hình học 2.3 Giải hệ phương trình bằng phương án tìm kiếm một quy luật 2.4 Bài toán tìm tổng 2.5 Một số bài toán khác Bài toán 2.1.4: Tìm số hạng tiếp theo của dãy số: 1; 5; 14; 30; 55; 91; … Lời giải: Quá trình tìm các sai khác giữa các dãy số... về tư duy, về phương án tìm kiếm một quy luật trong các phương án giải quy t vấn đề Qua những ví dụ cụ thể, khóa luận đã cho thấy tác động của việc sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật đối với sự phát triển tư duy toán của học sinh, đặc biệt là tư duy phê phán và tư duy sáng tạo 2 Về mặt vận dụng Khóa luận đã giới thiệu nhiều bài toán mà học sinh thường bắt gặp trong quá trình làm toán (tìm quy luật. .. lý luận nào về sự phát triển tư duy toán thông qua việc tìm kiếm một quy luật khi giải toán một cách hoàn thiện Đề tài có thể đi sâu theo hướng này + Phần vận dụng có thể mở rộng nghiên cứu các bài toán có thể giải bằng phương án tìm kiếm một quy luật trong chương trình SGK của các cấp học + Quá trình thực nghiệm của đề tài chỉ diễn ra ở một trường THPT, trên các đối tư ng HS tư ng đối đồng đều Do đó,... động rất lớn tới sự phát triển tư duy của học sinh (tư duy của học sinh vốn rất tốt, sáng tạo nhưng do chưa được khai thác) Lời kiến nghị + Để việc sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật vào giải toán được phổ biến và thật sự có tác động tích cực tới sự phát triển tư duy của học sinh, chúng ta nên phát huy tính độc lập suy nghĩ của học sinh, tạo điều kiện để các em có môi trường học toán tốt + Cần tăng... (tìm quy luật của dãy số, giải hệ phương trình, tìm tổng) với nhiều cách giải khác nhau để qua đó cho học sinh thấy được ưu thế của phương án tìm kiếm một quy luật trong giải toán Tác giả đã cố gắng đưa vào các mô hình minh họa để giúp học sinh dễ nắm bắt quy luật hơn 3 Về mặt thực nghiệm Khóa luận đã kiểm chứng tác động của việc sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật vào giải toán Dữ liệu thu được nói... được lời giải Về cơ bản, GQVĐ là quá trình tìm tòi “phương án” (strategy) để giải bài toán không quen thuộc Phương án khác với thuật toán (algorithm) Có phương án tốt chưa chắc đã giải đúng Còn thuật toán nó có tính chất quy trình giải toán (procedure), nếu áp dụng đúng bảo đảm có lời giải đúng Các bước để giải một bài toán (vấn đề): 1 Đọc hiểu bài toán; 2 Lên phương án giải toán; 3 Giải toán; 4 Xem... dung bài toán nhưng không có ý tư ng thực hành đo đạc trên dụng cụ GV đã chuẩn bị (quấn trục số quanh đường tròn, lăn đường tròn trên trục số) để lấy số liệu, tìm quy luật để giải toán Mức độ 3: Có ý tư ng, nhưng không tìm được quy luật từ các số liệu đo được (khả năng tổng quát hoá) Mức độ 4: Tìm ra được quy luật từ các số liệu đo được, đưa ra đáp án chính xác cho bài toán QUÁ TRÌNH THỰC NGHIỆM Bài... của một dãy số là không duy nhất Với một bài toán chúng ta có thể khám phá ra nhiều quy luật khác nhau, với các quy luật tìm được có thể cho các kết quả khác nhau nhưng cũng có thể chúng đều đưa đến cùng một kết quả Chúng ta xét bài toán sau: Bài toán 2.1.6: Tìm số hạng tiếp theo của dãy số sau: 1; 2; 4; 6; 8; 16; … Lời giải: Số tiếp theo, theo hầu hết mọi người đó là 32 Quy luật được nhận ra ở đây... tìm kiếm quy luật của một bài toán, cần để học sinh luyện tập nhiều + Vì hạn chế về mặt thời gian của một tiết học GV có thể thiết kế các đồ dùng dạy học để hỗ trợ quá trình tìm kiếm được thuận lợi hơn, mặt khác còn làm cho tiết học sinh động hơn Hướng mở rộng đề tài + Mặc dù phương án tìm kiếm một quy luật được giáo viên và học sinh sử dụng khá rộng rãi nhưng chưa có nghiên cứu lý luận nào về sự phát . này trong giải toán. Với những lý do như vậy, tôi quy t định chọn đề tài: Phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếm quy luật khi giải toán làm. kiếm quy luật khi giải toán ở trường THPT; + Thu thập dữ liệu để kiểm tra, đánh giá sự phát triển tư duy toán của HS thông qua việc tìm kiếm quy luật khi