Tóm tắt các bài tập toán 11,ôn thi hk2

2/ Khảo sát tính liên tục của hàm số tại 1 điểm, trên tập xác định 3/ Ứng dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh sự tồn tại nghiệm.. 4/ Dùng các qui tắc, tính chất để tính đạo hàm

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KÌ II LỚP 11 CƠ BẢN.

*CÁC DẠNG BÀI TẬP CẦN LƯU Ý

1/ Đại số và Giải tích:

1/ Tìm giới hạn của hàm số ( x→x0hoặc x→ ±∞).

2/ Khảo sát tính liên tục của hàm số tại 1 điểm, trên tập xác định

3/ Ứng dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh sự tồn tại nghiệm 4/ Dùng các qui tắc, tính chất để tính đạo hàm của một hàm số, làm việc với các hệ thức đạo hàm.

5/ Vận dụng đạo hàm để viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (tại hoặc biết hệ số góc k)

2/ Hình học:

1/Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau.

2/Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

3/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau

4/ Xác định và tính góc giữa đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng; mặt phẳng và mặt phẳng

**MỘT SỐ DẠNG TOÁN MẪU:

I/ Đại số và giải tích:

Bài 1: Tính giới hạn các hàm số sau:

x

2)

2

2

-4)

2

7 3

x x

+ − + −

5)

2

8

6)

3

3

3

x

7)

2

2

lim

x

x x

→−∞

−

2

-x

lim

x

+

-=

Bài 2: 1 Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm được chỉ ra: a)



= −



2 4

Õu x 2

f x x

n

tại điểm xo = 2

+ f(2) = 4; +

2

Vậy hàm số liên tục tại x = 2.

b)





Ta có: + f(1)= -2; + → + = → + − = −

− −

f x

x x

x f x x f x f suy ra hàm số liên tục tại x = 1.

2 Tìm m để hàm số sau liên tục tại các điểm đã chỉ ra:

 − + −



Ta có: + f(1)= 3 + m;

Để hàm số liên tục tại x = 1 thì 3+ = ⇔ =m 3 m 0

Vậy khi m = 0 thì hàm số liên tục tại x = 1

3 Tìm số thực m sao cho hàm số:

2

3 ( )

x

f x

mx





nÕu x < 2 nÕu x 2liên tục tại x = 2.

Ta có: xlim ( ) lim 3→2− f x =x→2− x2 =12, lim ( )x→2+ f x =xlim (2→2+ mx+ =1) 4m+ =1 f(2)

f(x) liên tục tại x = 2 khi xlim ( ) lim ( )→2− f x =x→2+ f x = f(2)

suy ra

11

4

Với m = 11

4 thì f(x) liên tục tại x = 2.

Bài 3: Chứng minh phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt:

a) Ta có ( 2)f − = −1; (0) 1; (1)= -1; (2) 3.f = f f =

Vì hàm số y =x3−3x+1 là hàm đa thức nên liên tục trên các khoảng [-2; 0], [0; 1], [1; 2]

Mà : + f(-1).f(0)=-1.1=-1 <0 nên hàm số có ít nhất một nghiệm trên (-2; 0); + f(0).f(1) = 1.-1=-1<0 nên hàm số có ít nhất một nghiệm trên (0; 1); + f(1).f(2)=-1.3= -3<0 nên hàm số có ít nhất một nghiệm trên (1; 2).

Suy ra hàm có ít nhất 3 nghiệm phân biệt trên R mà hàm số là hàm bậc 3 nên

có nhiều nhất là 3 nghiệm Vậy hàm số có đúng 3 nghiệm phân biệt

b) tương tự xem như bài tập

Bài 4 :Đạo Hàm

1 Cho hàm số f(x) = x5 + x3 – 2x - 3 CMR: f’(1) + f’(-1) = - 4f(0)

Ta có: f’(x) = 5x4 + 3x2 – 2 VT = f’(1) + f’(-1) =(5 + 3 - 2) + (5+ 3- 2) = 12

VP = -4f(0) = -4.(-3) = 12 = VT , Suy ra điều phải chứng minh

2 Cho hàm số y =

2 2 5 1

x

−

a) Tính y’ b) Giải bất phương trình y’<0.

a) y’ =

2

x

−

b)

2

2 2

1

1 0

x x

y

≠



− ≠



− − <

Vậy nghiệm của bất phương trình là: (1 2 2; 1 2 2) {1}− + \

3 Tính đạo hàm các hàm số sau:

x

−

=

2

x y'=

2

+ −

b)y=(x2−3x+1).sinx⇒ =y' (2x−3)sinx+(x2−3x+1)cosx

4 Cho hàm số : f x( ) x4 5x3 2x 1

= + − + Tính f (1)′

Ta có: ′( ) 2= 3+5 2+ (2 )' =2 3+5 2+ 1 ⇒ ′(1) 5= + 1

x

5 Cho hàm số f x( ) sin x 1sin 3x 2sin 5x

Ta có : f ' x( )=cosx cos3x 2cos5x+ + Þ f '( )p =- + -1 ( 1) 2.( 1)+ - =- ,4 f(2π) = 0 nên A= - 4

Bài 5: Cho hàm số y x= 3+x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):2

1) Tại điểm có hoành độ bằng -1 2) Tại điểm có tung độ bằng 2.

3) Biết hệ số góc k = 1

4) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y=5x.

5) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆: x – 5y -9 = 0.

Giải: Ta có y x= 3+x2⇒ =y' 3x2+2x

0 1

'( 1) 1

y x

y

=



y= x+ + ⇔ = +y x

2) Ta có 3 2

tuyến là : y = 5(x – 1) + 2 ⇔y = 5x – 3

3) Gọi Gọi x y( ; ) là toạ độ của tiếp điểm Vì tiếp tuyến có hệ số góc k = 10 0

 = −



0 0

0

1

3

x

x

+ Với x0 = − ⇒1 y0 =0 ⇒ PTTT: y x= +1

+ Với 0 = ⇒1 0 = 4

Vậy có hai tiếp tuyến có k =1 là y x= +1.và = − 5

27

y x

4) Vì tiếp tuyến song song với d: y=5x nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 5 Gọi x y( ; ) là toạ độ của tiếp điểm.0 0

x

x

0 2

0 0

0

1

3

 =





+ Với x0 = ⇒1 y0 =2 ⇒ PTTT: y=5x−3

27

Vậy có hai tiếp tuyến song song với d là : y=5x−3 và y 5x 175

27

x + y − = ⇔ y= − + ⇔ = −x y x+ ⇒k∆ = −

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, Vì tiếp tuyến vuông góc với ∆ nên ta có :

1

5

k k∆ = − ⇔k − = − ⇔ =k

(Có k = 5 làm giống câu 4: Gọi x y( ; ) là toạ độ …).0 0

II Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

bằng a và SA ⊥ (ABCD) và SA = a 6

3 1) Chứng minh BD ⊥ SC

2) Chứng minh BC⊥(SAB) 3) Chứng minh (SAD) ⊥ (SCD)

4) Tính góc giữa SC và (ABCD) 5) Tính góc giữa (SBD) và (ABCD).

1) (Để chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng ta chứng minh đường

Ta có :

(ABCD là hìn ô )

trong (SAC)

BD SC





thẳng này vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng).

Ta có

(vì ABCD là hìn ô )

trong (SAB)





chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia).

Ta có :

( vì ABCD là hìn ô )

trong (SAD)





4) (Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ta phải tìm hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng, khi đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng).

Ta có :Hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC nên:

(SC,(ABCD))=(SC,AC)= SAC ( vì SA⊥(ABCD))= ·SCA Trong tam giác

6

a a

Vậy (SC,(ABCD)) = 300

mặt phẳng tìm đường vuông góc với giao tuyến Khi đó góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường vuông với giao tuyến đó).

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, ta có:

·





Trong tam giác vuông SAO ta có:

6

2 3 3

3 2 2

a SA

OA a

***CÁC ĐỀ THI THỨ HỌC KÌ II

ĐỀ 1:

Bài 1: Tính các giới hạn sau:

1) 2

1

lim

1

x

x

→

− +

2 lim

7 3

x

x x

→

− + −

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số

3 3

x

khi x

khi x





tại x = 3

Bài 3: Cho hàm số y=f x( )=2x3+4x2- có đồ thị 1 ( )C

1) Giải bất phương trình f ' x( )³ 0

2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại điểm có hoành độ x0= 2

3) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại điểm có tung độ bằng 1- 4) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C , biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2-

Bài 4: Cho hai hàm số : f x( ) sin= 4x+cos4x và ( ) 1cos 4

4

Chứng minh rằng: '( )f x =g x'( ) (∀ ∈ℜx )

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O,

· = °30

BAC , SA SB SC SD a= = = = a Chứng minh rằng: SO⊥(ABCD).

b Tính góc giữa SC và (ABCD) c Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB

và BC Chứng minh rằng: (SMN) (⊥ SBD).

ĐỀ 2:

Bài 1: Tính các giới hạn sau:

1)

2

3

9

lim

1 2

x

x

x

→

−

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số

2

7 1

x x

khi x

khi x

+ − >

≤







Bài 3: Cho hàm số y f x( ) 2x 1

x 2

+ có đồ thị ( )C

( )

- 2) Giải bất phương trình f ' x( )> 0 3) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại giao điểm của đồ thị ( )C với trục hoành

4) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d :5x 4y 3- + = 0

5) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d ' :x 5y 4+ - = 0

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc

· = °60

BAD , SA= a23 Hình chiếu H của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của ∆ABD 1).Chứng minh rằng: BD⊥(SAC) Tính SH, SC.

2) Tính góc giữa (SBD) và (ABCD) 3) Chứng minh AB ⊥SD