ĐỒ THỊ PHẲNG VÀ và TÔ MÀU ĐỒ THỊ

Một đồ thị được gọi là phẳng nếu nó có thể vẽ trên một mặt phẳng mà không có cạnh nào cắt nhau ở một điểm không phải là đầu mút của các cạnh... • Chỉ ra một đồ thị là phẳng bằng cách bi

I ĐỒ THỊ PHẲNG

• ĐỊNH NGHĨA 1. Một đồ thị được gọi là phẳng nếu nó có thể

vẽ trên một mặt phẳng mà không có cạnh nào cắt nhau (ở một điểm không phải là đầu mút của các cạnh)

• Ví dụ 1: Đồ thị K 4 với 2 cạnh cắt nhau có là đồ thị phẳng

không?

• Giải: K4 là đồ thị phẳng

•

I ĐỒ THỊ PHẲNG

• Ví dụ 2 Đồ thị Q3 có là đồ thị phẳng không?

• Chỉ ra một đồ thị là phẳng bằng cách biểu diễn phẳng của nó

• Chứng tỏ đồ thị là không phẳng khó khăn hơn nhiều

I ĐỒ THỊ PHẲNG

• Ví dụ 3 K3,3 có là phẳng không?

• v1 v2 v3 v1 v5 v1 v5

I ĐỒ THỊ PHẲNG

• mặt phẳng thành 2 miền R1 và R2 Đỉnh v3 nằm trong

R1 hoặc R2. Khi v3 nằm trong R2, cạnh v3v4 và v3 v5

chia R2 thành 2 miền con R21 và R22

• Tiếp theo, khg có cách đặt đỉnh v6 mà không tạo ra

các cạnh cắt nhau Vì nếu v6 nằm trong R1 thì cạnh v6

v3 sẽ cắt các cạnh khác

• Nếu v6 nằm trong R21 thì v6v2 sẽ cắt một cạnh nào đó

• Tương tự nếu v3 nằm trong R1, ta cũng không vẽ được

đồ thị phẳng

• Định lý 1 Công thức Euler Gọi G là một đồ thị đơn phẳng

liên thông với e cạnh và v đỉnh Gọi r là số miền trong biểu diễn phẳng của G Khi đó r = e-v+2.

• Chứng minh Trước tiên ta xác định biểu diễn phẳng của G

I ĐỒ THỊ PHẲNG

• Xây dựng lần lượt các đồ thị con G 1 , G 2 ,…, G e = G mỗi bước ghép thêm một cạnh vào đồ thị ở bước trước

• Lấy tùy ý 1 cạnh của G để được G 1

• Để nhận được G n từ G n-1 ta thêm tùy ý một cạnh liên thuộc với 1 đỉnh của G n-1 và thêm một đỉnh khác liên thuộc với cạnh mới đó, nếu nó chưa có trong G n-1

• Điều này làm được vì G liên thông G sẽ nhận được sau khi e cạnh được ghép thêm vào các đồ thị tạo ra trước

• Gọi r n , e n , v n là số miền, số cạnh và số đỉnh của biểu

diễn phẳng của G n

phải ở trên biên của miền chung R Nếu không thì không thể gộp cạnh này vào G n mà không có các cạnh cắt nhau

I ĐỒ THỊ PHẲNG

• Giải Ta có: 2.e = 3.v = 3.20 =60 nên e=30

Theo công thức Euler số miền là:

r = e –v +2 = 30-20+2 =12 c

Bậc của miền là số cạnh trên b 7

biên của miền Khi một cạnh R 1 3 dxuất hiện hai lần trên biên – a R 2

tức là nó được vẽ 2 lần khi vẽ g 6 ebiên Nó sẽ góp 2 đơn vị vào f R 3

bậc của miền

I ĐỒ THỊ PHẲNG

• Nếu đồ thị có cạnh bội thì sẽ có miền bậc 2 Nếu đồ thị có khuyên thì trong biểu diễn phẳng sẽ có miền bậc 1

• Hệ quả 1.Nếu G là đơn đồ thị phẳng liên thông có e cạnh và v đỉnh, trong đó v ≥ 3 khi đó e ≤ 3v -6

bội, không có khuyên nên khi vẽ G trên một mặt

phẳng sẽ chia mặt phẳng thành r miền

• Bậc của mỗi miền ít nhất bằng 3 Đặc biệt bậc của miền vô hạn ít nhất là 3 vì có 3 đỉnh trong đồ thị

I ĐỒ THỊ PHẲNG

• Ta cũng thấy tổng số bậc của các miền đúng bằng 2 lần số cạnh của đồ thị vì mỗi cạnh xuất hiện trên biên của các miền đúng 2 lần (hoặc trên biên của 2 miền hoặc hai lần trên biên của một miền) Và vì mỗi miền

e deg( ) 3

3 2

• Hệ quả 2 Nếu một đơn đồ thị phẳng liên thông có e

cạnh, v đỉnh trong đó v≥ 3, và không có chu trình độ dài

3 thì e ≤ 2v – 4.

• Chứng minh:Vì đồ thị không có chu trình độ dài 3 nên bậc của một miền ít nhất là 4

• Giải: K3,3 không có chu trình độ dài 3, nên có thể áp dụng

hệ quả 2 K 3,3 có 6 đỉnh, 9 cạnh Vì e=9, 2v-4 =8 Hệ quả

2 không thỏa mãn Vậy đồ thị không là phẳng

r R

e

R

4 )

deg(

II TÔ MÀU ĐỒ THỊ

• MỞ ĐẦU

• Khi một bản đồ được tô màu, hai miền có chung biên giới được tô bằng hai màu tùy ý miễn là khác nhau Nếu bản đồ có nhiều miền thì sẽ khó phân biệt những màu gần giống nhau

• Một bài toán đặt ra là: xác định số màu tối thiểu cần

có để tô một bản đồ sao cho các miên kề nhau không cùng màu?

II TÔ MÀU ĐỒ THỊ

Một miền biểu diễn bằng 1 đỉnh

II TÔ MÀU ĐỒ THỊ

• (Hai miền chung nhau chỉ 1 điểm không gọi là kề

II TÔ MÀU ĐỒ THỊ

• ĐỊNH NGHĨA 1 Tô màu đơn đồ thị là sự gán màu cho các đỉnh sao cho không có 2 đỉnh liền kề được gán cùng một màu

• Một đồ thị được tô màu bằng cách gán các màu khác nhau cho các đỉnh của nó Tuy nhiên với hầu hết các

đồ thị ta có thể tô bằng số màu ít hơn số đỉnh Vậy số màu ít nhất cần thiết là bao nhiêu?

• ĐỊNH NGHĨA 2 Số màu của một đồ thị là số tối thiểu các màu cần thiết để tô màu đồ thị này

II TÔ MÀU ĐỒ THỊ

phẳng là không lớn hơn bốn.

• 1850 phỏng đoán

• Nhiều chứng minh sai, đặc biệt 1879, Alfred Kempe

• 1890 Percy Heawood chỉ ra Alfred Kempe sai

• Dựa trên cách chứng minh của Heawood, 1976 Kenneth Appel và Wolfgang Haken đã chứng minh Họ phân tích cẩn thận nhờ máy tính, nếu ĐL sai thì sẽ có một phản ví

dụ thuộc gần 2000 loại khác nhau và không có phản ví

dụ nào Cách chứng minh dùng gần 1000 giờ máy.

II TÔ MÀU ĐỒ THỊ

• Ví dụ 1 Số màu của đồ thị G và H bằng bao nhiêu?

• b e b e

• c f c f

• Số màu của G ít nhất bằng 3 vì các đỉnh a,b,c phải

được gán bởi các màu khác nhau Để G có thể tô bằng

3 màu ta gán cho a- màu đỏ, b-màu lam va c- màu

vàng

• Khi d phải tô bằng màu đỏ; e- vàng; f – lam; g- đỏ

II TÔ MÀU ĐỒ THỊ

• G là H thêm cạnh (a,g); Làm như trước trừ đỉnh g phải

tô bằng màu thứ 4 màu nâu a đỏ b lam

• Giải: Có thể tô màu Kn bằng e nâu c lục

n màu và không thể ít hơn

Vì mọi cặp đỉnh của đồ thị d vàng đều liền kề

Đồ thị K5 là không phẳng nên không mầu thuẫn với Định lý 4 màu

II TÔ MÀU ĐỒ THỊ

II TÔ MÀU ĐỒ THỊ

II TÔ MÀU ĐỒ THỊ

• Ví dụ 5

• Lập lịch thi Hãy lập lịch thi trong trường sao cho

không có sinh viên nào thi 2 môn cùng lúc

nối 2 đỉnh nếu có sinh viên thi cả hai môn Thời gian thi của mỗi môn là màu của đỉnh

• Ví dụ có 7 môn thi và các sinh viên có môn thi chung biểu diễn trên hình vẽ

II TÔ MÀU ĐỒ THỊ

• Dùng bài toán tô màu để lập lịch thi

II TÔ MÀU ĐỒ THỊ

• Các kênh truyền hình từ số 1 đến số 13 được phân chia cho các đài truyền hình không cách nhau quá 150 km lại dùng cùng 1 kênh Có thể chia kênh truyền hình như thế nào bằng mô hình bài toán tô màu đồ thị.

• Giải: Mỗi đài phát là một đỉnh Hai đỉnh được nối với nhau bằng một cạnh nếu chúng ở cách nhau không quá

150 km Việc phân chia kênh tương ứng bằng việc tô

màu đồ thị, trong đó mỗi màu biểu thị một kênh.

HẾT CHƯƠNG 5