ĐỒ THỊ PHẲNG VÀ và TÔ MÀU ĐỒ THỊ

Chương 3 ĐỒ THỊ PHẲNG VÀ TÔ MÀU ĐỒ THỊ I.ĐỒ THỊ PHẲNG II. TÔ MÀU ĐỒ THỊ I. ĐỒ THỊ PHẲNG • Có thể vẽ K3,3 trên một mặt phẳng sao cho không có 2 cạnh nào cắt nhau? • Nếu có, khi nào có thể tìm được ít nhất một cách biểu diễn đồ thị không có cạnh cắt nhau? I. ĐỒ THỊ PHẲNG • ĐỊNH NGHĨA 1. Một đồ thị được gọi là phẳng nếu nó có thể vẽ trên một mặt phẳng mà không có cạnh nào cắt nhau (ở một điểm không phải là đầu mút của các cạnh). • Hình vẽ như thế gọi là biểu diển phẳng của đồ thị. • Ví dụ 1: Đồ thị K4 với 2 cạnh cắt nhau có là đồ thị phẳng không? • Giải: K4 là đồ thị phẳng • I. ĐỒ THỊ PHẲNG • Ví dụ 2. Đồ thị Q3 có là đồ thị phẳng không? • Chỉ ra một đồ thị là phẳng bằng cách biểu diễn phẳng của nó. • Chứng tỏ đồ thị là không phẳng khó khăn hơn nhiều. I. ĐỒ THỊ PHẲNG • Ví dụ 3. K3,3 có là phẳng không? • v1 v2 v3 v1 v5 v1 v5 • R2 R1 R21 v3 R1 • R22 • v4 v5 v6 v4 v2 v4 v2 • Giải: Không thể vẽ K3,3 trong một mặt phẳng khg có cạnh cắt nhau. Nguyên nhân: • Trong mọi biểu diễn phẳng thì v1, v2 đều nối với v4, v5. Bốn đỉnh này tạo thành đường cong khép kín chia I. ĐỒ THỊ PHẲNG • mặt phẳng thành 2 miền R1 và R2. Đỉnh v3 nằm trong R1 hoặc R2. Khi v3 nằm trong R2, cạnh v3v4 và v3 v5 chia R2 thành 2 miền con R21 và R22. • Tiếp theo, khg có cách đặt đỉnh v6 mà không tạo ra các cạnh cắt nhau. Vì nếu v6 nằm trong R1 thì cạnh v6 v3 sẽ cắt các cạnh khác. • Nếu v6 nằm trong R21 thì v6v2 sẽ cắt một cạnh nào đó. • Tương tự nếu v3 nằm trong R1, ta cũng không vẽ được đồ thị phẳng. I. ĐỒ THỊ PHẲNG • CÔNG THỨC EULER. • Biểu diễn phẳng của một đồ thị chia mặt phẳng thành các miền. Ví dụ • R1 R2 • R3 R4 R5 R6 • • Định lý 1. Công thức Euler. Gọi G là một đồ thị đơn phẳng liên thông với e cạnh và v đỉnh. Gọi r là số miền trong biểu diễn phẳng của G. Khi đó r = e-v+2. • Chứng minh. Trước tiên ta xác định biểu diễn phẳng của G. I. ĐỒ THỊ PHẲNG • Xây dựng lần lượt các đồ thị con G1, G2,…, Ge = G mỗi bước ghép thêm một cạnh vào đồ thị ở bước trước. • Lấy tùy ý 1 cạnh của G để được G1. • Để nhận được Gn từ Gn-1 ta thêm tùy ý một cạnh liên thuộc với 1 đỉnh của Gn-1 và thêm một đỉnh khác liên thuộc với cạnh mới đó, nếu nó chưa có trong Gn-1. • Điều này làm được vì G liên thông. G sẽ nhận được sau khi e cạnh được ghép thêm vào các đồ thị tạo ra trước. • Gọi rn, en, vn là số miền, số cạnh và số đỉnh của biểu diễn phẳng của Gn. I. ĐỒ THỊ PHẲNG • Ta sẽ chứng minh công thức Euler bằng quy nạp. • n=1; Hệ thức r1= e1-v1+2 là đúng với G1 vì e1=1, • v1=2, và r1=1 • a1 R1 a2 • Giả sử rn=en-vn+2 • Gọi (an+1, bn+1) là cạnh gộp vào Gn để có Gn+1. Có 2 khả năng. Cả 2 đỉnh an+1 và bn+1 đã thuộc Gn. Khi đó chúng phải ở trên biên của miền chung R. Nếu không thì không thể gộp cạnh này vào Gn mà không có các cạnh cắt nhau I. ĐỒ THỊ PHẲNG • (do Gn+1 là phẳng) . Cạnh này chia R thành 2 miền con. Do đó rn+1=rn+1 và en+1 = en +1 và vn+1=vn. Từ đó ta có rn+1= en+1 – vn+1 +2; • an+1 • • an+1 bn+1 • bn+1 [...]... phải tô bằng màu thứ 4 màu nâu a đỏ b lam • Ví dụ 2 Tìm số màu tô đồ thị Kn; • Giải: Có thể tô màu Kn bằng e nâu c lục n màu và không thể ít hơn Vì mọi cặp đỉnh của đồ thị d vàng đều liền kề Đồ thị K5 là không phẳng nên không mầu thuẫn với Định lý 4 màu II TÔ MÀU ĐỒ THỊ • Ví dụ 3 Tìm số màu của đồ thị phân đôi, đầy đủ Km,n • Giải: Ta chỉ cần 2 màu, a đỏ b đỏ c đỏ Tập m đỉnh tô bằng 1 màu Tập n tô bằng... toán tô màu bản đồ là tương đương bài toán tô màu đồ thị đối ngẫu sao cho không có 2 đỉnh liền kề cùng màu II TÔ MÀU ĐỒ THỊ • ĐỊNH NGHĨA 1 Tô màu đơn đồ thị là sự gán màu cho các đỉnh sao cho không có 2 đỉnh liền kề được gán cùng một màu • Một đồ thị được tô màu bằng cách gán các màu khác nhau cho các đỉnh của nó Tuy nhiên với hầu hết các đồ thị ta có thể tô bằng số màu ít hơn số đỉnh Vậy số màu ít... nhau và không có phản ví dụ nào Cách chứng minh dùng gần 1000 giờ máy II TÔ MÀU ĐỒ THỊ • Ví dụ 1 Số màu của đồ thị G và H bằng bao nhiêu? • • • b a e d c b g f a e d c g f • Số màu của G ít nhất bằng 3 vì các đỉnh a,b,c phải được gán bởi các màu khác nhau Để G có thể tô bằng 3 màu ta gán cho a- màu đỏ, b -màu lam va c- màu vàng • Khi d phải tô bằng màu đỏ; e- vàng; f – lam; g- đỏ II TÔ MÀU ĐỒ THỊ •... • Một bài toán đặt ra là: xác định số màu tối thiểu cần có để tô một bản đồ sao cho các miên kề nhau không cùng màu? II TÔ MÀU ĐỒ THỊ • Ví dụ: B A G D A B C C E F E Bốn màu là đủ, Ba màu là không đủ D Ba màu là đủ, Hai màu là không đủ Bản đồ ↔ đồ thị đối ngẫu Một miền biểu diễn bằng 1 đỉnh Các cạnh nối 2 đỉnh nếu các miền có biên giới chung nhau II TÔ MÀU ĐỒ THỊ • (Hai miền chung nhau chỉ 1 điểm không... là bao nhiêu? • ĐỊNH NGHĨA 2 Số màu của một đồ thị là số tối thiểu các màu cần thiết để tô màu đồ thị này II TÔ MÀU ĐỒ THỊ • ĐỊNH LÝ 1 ĐỊNH LÝ 4 MÀU Số màu của một đồ thị phẳng là không lớn hơn bốn • 1850 phỏng đoán • Nhiều chứng minh sai, đặc biệt 1879, Alfred Kempe • 1890 Percy Heawood chỉ ra Alfred Kempe sai • Dựa trên cách chứng minh của Heawood, 1976 Kenneth Appel và Wolfgang Haken đã chứng minh... biên Nó sẽ góp 2 đơn vị vào 7 g f 6 R3 e I ĐỒ THỊ PHẲNG • Nếu đồ thị có cạnh bội thì sẽ có miền bậc 2 Nếu đồ thị có khuyên thì trong biểu diễn phẳng sẽ có miền bậc 1 • Hệ quả 1.Nếu G là đơn đồ thị phẳng liên thông có e cạnh và v đỉnh, trong đó v ≥ 3 khi đó e ≤ 3v -6 • Chứng minh Vì G là đơn đồ thị nên không có cạnh bội, không có khuyên nên khi vẽ G trên một mặt phẳng sẽ chia mặt phẳng thành r miền • Bậc... dụ 6 Chứng tỏ K3,3 là không phẳng • Giải: K3,3 không có chu trình độ dài 3, nên có thể áp dụng hệ quả 2 K3,3 có 6 đỉnh, 9 cạnh Vì e=9, 2v-4 =8 Hệ quả 2 không thỏa mãn Vậy đồ thị không là phẳng II TÔ MÀU ĐỒ THỊ • MỞ ĐẦU • Khi một bản đồ được tô màu, hai miền có chung biên giới được tô bằng hai màu tùy ý miễn là khác nhau Nếu bản đồ có nhiều miền thì sẽ khó phân biệt những màu gần giống nhau • Một bài... cần 3 màu d xanh II TÔ MÀU ĐỒ THỊ • ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÔ MÀU • Ví dụ 5 • Lập lịch thi Hãy lập lịch thi trong trường sao cho không có sinh viên nào thi 2 môn cùng lúc • Giải Bằng bài toán tô màu Đỉnh là môn thi Có cạnh nối 2 đỉnh nếu có sinh viên thi cả hai môn Thời gian thi của mỗi môn là màu của đỉnh • Ví dụ có 7 môn thi và các sinh viên có môn thi chung biểu diễn trên hình vẽ II TÔ MÀU ĐỒ THỊ •... Hệ quả 1chứng tỏ đồ thị đầy đủ K5 là không phẳng • Giải K5 có 5 đỉnh và 10 cạnh Vì bất đẳng thức • e ≤ 3v-6 không thỏa mãn vì e=10 còn 3v-6=9 Do đó K5 không là phẳng • Hệ quả 2 Nếu một đơn đồ thị phẳng liên thông có e cạnh, v đỉnh trong đó v≥ 3, và không có chu trình độ dài 3 thì e ≤ 2v – 4 • Chứng minh:Vì đồ thị không có chu trình độ dài 3 nên bậc của một miền ít nhất là 4 I ĐỒ THỊ PHẲNG • Vì vậy •...I ĐỒ THỊ PHẲNG • Trường hợp thứ 2, một trong 2 đỉnh của cạnh mới an+1 thuộc Gn còn bn+1 thì không Thêm cạnh này không sinh ra một miền mới Do đó rn+1 = rn Nhưng en+1=en+1 và vn+1= vn+1 Từ đó ta vẫn có công thức rn+1= en+1 – vn+1 +2; • Đl đcm • Ví dụ 4 Đơn đồ thị phẳng liên thông có 20 đỉnh Mỗi đỉnh có bậc bằng 3 Biểu diễn phẳng của đồ thị này có bao nhiêu miền? I ĐỒ THỊ PHẲNG • Giải Ta . Chương 3 ĐỒ THỊ PHẲNG VÀ TÔ MÀU ĐỒ THỊ I.ĐỒ THỊ PHẲNG II. TÔ MÀU ĐỒ THỊ I. ĐỒ THỊ PHẲNG • Có thể vẽ K3,3 trên một mặt phẳng sao cho không có 2 cạnh nào cắt nhau? • Nếu. là biểu diển phẳng của đồ thị. • Ví dụ 1: Đồ thị K4 với 2 cạnh cắt nhau có là đồ thị phẳng không? • Giải: K4 là đồ thị phẳng • I. ĐỒ THỊ PHẲNG • Ví dụ 2. Đồ thị Q3 có là đồ thị phẳng không? • Chỉ. D • Bài toán tô màu bản đồ là tương đương bài toán tô màu đồ thị đối ngẫu sao cho không có 2 đỉnh liền kề cùng màu. II. TÔ MÀU ĐỒ THỊ • ĐỊNH NGHĨA 1. Tô màu đơn đồ thị là sự gán màu cho các