Vẽ các tia Ot và Ot' theo thứ tự là tia phân giác của các góc ãxOy và ãxOz... Vẽ các tia Ot và Ot' theo thứ tự là tia phân giác của các góc ãxOy và ãxOz... Sau khi bỏn một giỏ cam th
Trang 1Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
toán 6 ngày 23-4-2009 Câu 1 ( 2.5 đ)
Cho các số 16 ; 12 ; 30
a) Tìm số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho các số đó
b) Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho mỗi số đó đều d 1
Câu 2 ( 2 đ)
a) Chứng minh rằng 2 + 22 + 23 + 24 + …… + 2100 chia hết cho 31
b) Biết rằng A = ( 717 + 17 3 - 1) chia hết cho 9
Chứng minh rằng B = ( 718 + 18 3 - 1) chia hết cho 9
Câu 3 ( 2 đ)
a) Tìm số nguyên n sao cho 2n + 1 chia hết cho 6 - n
b) Tìm x và y là các số nguyên sao cho 2x.y + 3y = 31
Câu 4 ( 1,5 đ) Tìm số tự nhiên x biết : 1 1 1 2 2
21 28 36 + + + + x x( 1) = 9
+
Câu 5 ( 2 đ) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox ta vẽ các tia Oy , Oz sao cho
xOy = xOz = Vẽ các tia Ot và Ot' theo thứ tự là tia phân giác của các góc
ãxOy và ãxOz Chứng minh rằng Oy là tia phân giác của ãtOt ′
Bài giải Câu 1 ( 2.5 đ)
Cho các số 16 ; 12 ; 30
a) Tìm số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho các số đó
b) Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho mỗi số đó đều d 1
giải
16 = 24
12 = 22 3 ⇒ BCNN ( 16 ; 12 ; 30 ) = 24 3 5 = 240
30 = 2 3 5
BC ( 16 ;12 ; 30 ) = B( 240 ) = {0; 240, 480;720;960 }
Do đó số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho các số 16 ; 12 ; 30 là 960
b) Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho mỗi số đó đều d 1
Theo câu a ta có BC ( 16 ;12 ; 30 ) = B( 240 ) = {0; 240, 480;720;960;1200 }
Do đó số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho mỗi số đó đều d 1 là 1201
Câu 2 ( 2 đ) a) Chứng minh rằng 2 + 22 + 23 + 24 + + 2100 chia hết cho 31
Tổng trên có 100 - 1 + 1 = 100 số hạng , ta chia tổng thành 20 nhóm , mỗi nhóm có 5 số hạng
2 + 22 + 23 + 24 + + 2100
= ( 2 + 22 + 23 + 24 + 25 ) + ( 26 + 27 + 28 + 29 + 210 ) + + ( 296 + 297 +298 + 299 + 2100 )
= 2( 1 + 2 + 22 + 23 + 24 ) + 26( 1 + 2 + 22 + 23 + 24 ) + …….+ 299( 1 + 2 + 22 + 23 + 24 )
= 2 31 + 26 31 + …….+ 296 31
= 31 ( 2 + 26 + … + 296 ) chia hết cho 31
b) Biết rằng A = ( 717 + 17 3 - 1 ) chia hết cho 9
Chứng minh rằng B = ( 718 + 18 3 - 1) chia hết cho 9
Giải
Ta có A = ( 717 + 17 3 - 1 ) M 9 A = 717 + 50 chia hết cho 9
Trang 2A = 717 + 5 + 45 chia hết cho 9 mà 45 chia hết cho 9 nên 717 + 5 chia hết cho 9
Do 717 + 5 chia hết cho 9 ⇒ 7.( 717 + 5 ) cũng chia hết cho 9
⇒ 718 + 35 chia hết cho 9 mà 18 M9
⇒ 718 + 35 + 18 cũng chia hết cho 9
⇒ 718 + 53 chia hết cho 9 ⇒ 718 + 18 3 - 1 chia hết cho 9 Vậy B chia hết cho 9
Câu 3 ( 2 đ) a) Tìm số nguyên n sao cho 2n + 1 chia hết cho 6 - n
b) Tìm x và y là các số nguyên sao cho 2x.y + 3y = 31
Giải
a) Vì 2n + 1 chia hết cho 6 - n mà 2 ( 6 - n ) cũng chia hết cho 6 - n nên suy ra
tổng ( 2n + 1) + 2 ( 6 - n ) chia hết cho 6 – n ⇒ 2n + 1 + 12 - 2n chia hết cho 6 - n
⇒ 13 chia hết cho 6 - n ⇒ 6 - n là ớc của 13 Ta có Ư( 13 ) = { 1; 1;13; 13 − − }
Vậy để 2n + 1 chia hết cho 6 - n thì n ∈ −{ 7;5;7;19}
b) Tìm x và y là các số nguyên sao cho 2x.y + 3y = 31
Từ 2x.y + 3y = 31 ⇒ ( 2x + 3 ) y = 31 ⇒
Câu 4 ( 1,5 đ) Tìm số tự nhiên x biết : 1 1 1 2 2
21 28 36+ + + + x x( 1) = 9
+
2.( )
42 56 72+ + + + x x( 1) = 9
+
42 56 72+ + + + x x( 1) = 9
+
6.7 7.8 8.9+ + + + x x( 1) = 9
+
1 1 1 1 1 1 1
6 7 7 8− + − + + −x x 1 9=
+
1 1 1
6− x 1 9=
+
1 1 1
6 9− = x 1
+
3 2 1
18 18− = x 1
+
1 1
18 = x 1
+
x + 1 = 18
x = 17
Câu 5 ( 2 đ)Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox ta vẽ các tia Oy , Oz sao cho
xOy = xOz = Vẽ các tia Ot và Ot' theo thứ tự là tia phân giác của các góc
ãxOy và ãxOz Chứng minh rằng Oy là tia phân giác của ãtOt ′
y z
t t'
Trang 3xOy = xOz = ⇒ xOy xOz ã < ã (500 < 150 )0 ⇒ Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox
và Oz ⇒ ã xOy yOz xOz + ã = ã tính đợc ã yOz = 1000
.tính đợc t Oz ã ′ = 750 , ã yOt = 250 , ã yOt ′ = 250
⇒ Oy là tia phân giác của ãtOt ′
Ngày thi: 20 tháng 04 năm 2010
(Thời gian làm bài: 90 phút Không kể thời gian giao đề)–
Bài 1: ( 2.0 điểm )
a) Rỳt gọn phõn số:
42 2 5 3
8 7 5 3 ) 2 (
4 3
3 3 3
− b) So sỏnh khụng qua quy đồng: 2005 2006 2005 102006
7 10
15 10
15 10
7 + − = − + −
−
A
Bài 2: ( 2.0 điểm )
Khụng quy đồng hóy tớnh hợp lý cỏc tổng sau:
a)
90
1 72
1 56
1 42
1 30
1 20
1
A= − +− + − + − + − + −
b)
4 15
13 15 2
1 2 11
3 11 1
4 1 2
5
Bài 3: ( 2.0 điểm )
Một người bỏn năm giỏ xoài và cam Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg Sau khi bỏn một giỏ cam thỡ số lượng xoài cũn lại gấp ba lần số lượng cam cũn lại Hóy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài?
Bài 4: ( 3.0 điểm )
Cho gúc AOB và gúc BOC là hai gúc kề bự Biết gúc BOC bằng năm lần gúc AOB
a) Tớnh số đo mỗi gúc
b) Gọi OD là tia phõn giỏc của gúc BOC Tớnh số đo gúc AOD
c) Trờn cựng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thờm 2006 tia phõn biệt (khụng trựng với cỏc tia OA;OB;OC;OD đó cho) thỡ cú tất cả bao nhiờu gúc?
Bài 5: ( 1.0 điểm ) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố( p > 3)
Chứng minh rằng p + 8 là hợp số
Hớng dẫn chấm học sinh giỏi toán lớp 6
Năm học 2009-2010
A Một số chú ý khi chấm bài:
• Hớng dẫn chấm dới đây dựa vào lời giải sơ lợc của một cách Thí sinh giải cách khác mà cho kết quả đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang điểm của Hớng dẫn chấm.
• Giám khảo cần bám sát yêu cầu giữa phần tính và phần lí luận của bài giải của thí sinh để cho
điểm
• Tổ chấm nên chia điểm nhỏ đến 0, 25 Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn
B Đáp án và biểu điểm
Trang 4Bµi 1: ( 2.0 ®iÓm )
a) Rút gọn phân số:
42 2 5 3
8 7 5 3 ) 2 (
4 3
3 3 3
− b) So sánh không qua quy đồng: 2005 2006 2005 102006
7 10
15 10
15 10
7 + − = − + −
−
A
0.5
B A 10
8 10
8
10
7 10
8 10
7 10
7 10
15
B
10
7 10
8 10
7 10
15 10
7
A
)
b
2005 2006
2006 2005
2005 2006
2005
2006 2006
2005 2006
2005
>
⇒
−
>
−
− +
− +
−
=
− +
−
=
− +
− +
−
=
− +
−
0.5
Bµi 2: ( 2.0 ®iÓm )
Không quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau:
a)
90
1 72
1 56
1 42
1 30
1 20
1
A= − +− + − + − + − + −
b)
4 15
13 15 2
1 2 11
3 11 1
4 1 2
5
20
3 ) 10
1 4
1 ( ) 10
1 9
1
7
1 6
1 6
1 5
1 5
1 4
1 (
) 10 9
1
7 6
1 6 5
1 5 4
1 ( 90
1
42
1 30
1 20
1 A
)
a
−
=
−
−
=
− + + + +
− +
−
−
=
+ + + +
−
=
− + +
− +
− +
−
=
0.5 0.5
4
1 3 4
13 ) 28
1 2
1 (
7 ) 28
1 15
1 15
1 14
1 14
1 11
1 11
1 7
1 7
1 2
1
.(
7
) 28 15
13 15 14
1 14 11
3 11 7
4 7 2
5 (
7 4 15
13 15 2
1 2 11
3 11 1
4 1
.
2
5
B
)
b
=
=
−
=
− +
− +
− +
− +
−
=
+ +
+ +
= +
+ +
+
0.5
Bµi 3: ( 2.0 ®iÓm )
Một người bán năm giỏ xoài và cam Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg Sau khi bán một giỏ cam thì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài?
®iÓm
Tổng số xoài và cam lúc đầu: 65+ 71+ 58+ 72+ 93 = 359 (kg)
Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại là số
chia hết cho 4, mà 359 chia cho 4 dư 3 nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho 4
dư 3
Trong các số 65; 71; 58; 72; 93 chỉ có 71 chia cho 4 dư 3
Vậy giỏ cam bán đi là giỏ 71 kg
Số xoài và cam còn lại : 359 - 71= 288 (kg)
Số cam còn lại : 288:4 = 72(kg)
0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25
Trang 5Vậy: cỏc giỏ cam là giỏ đựng 71 kg ; 72 kg
cỏc giỏ xoài là giỏ đựng 65 kg ; 58 kg; 93 kg
Bài 4: ( 3.0 điểm )
Cho gúc AOB và gúc BOC là hai gúc kề bự Biết gúc BOC bằng năm lần gúc AOB
a) Tớnh số đo mỗi gúc
b) Gọi OD là tia phõn giỏc của gúc BOC Tớnh số đo gúc AOD
c) Trờn cựng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thờm 2006 tia phõn biệt (khụng trựng với cỏc tia OA;OB;OC;OD đó cho) thỡ cú tất cả bao nhiờu gúc?
điểm
Vẽ hỡnh đỳng
a)Vỡ gúc AOB và gúc BOC là hai gúc kề bự nờn: AOB + BOC =1800
mà BOC = 5AOB nờn: 6AOB = 1800
Do đú: AOB = 1800 : 6 = 300 ; BOC = 5 300 = 1500 b)Vỡ
OD là tia phõn giỏc của gúc BOC nờn BOD = DOC =
2
1
BOC = 750 Vỡ gúc AOD và gúc DOC là hai gúc kề bự nờn: AOD + DOC =1800
Do đú AOD =1800 - DOC = 1800- 750 = 1050 c) Tất
cả cú 2010 tia phõn biệt Cứ 1 tia trong 2010 tia đú tạo với 2009 tia cũn lại thành
2009 gúc Cú 2010 tia nờn tạo thành 2010.2009gúc, nhưng như thế mỗi gúc được
tớnh hai lần Vậy cú tất cả
2
2009 2010
=2 019 045 gúc
0.5 0.5 0.5
0.5 0.5 0.5
Bài 5: ( 1.0 điểm )
Cho p và p + 4 là các số nguyên tố( p > 3)
Chứng minh rằng p + 8 là hợp số
điểm
P có dạng 3k + 1; 3k + 2 k∈N
Dạng p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số trái với đề bài
⇒p = 3k + 1 ⇒ p + 8 = 3k + 9 M 3 ⇒ p + 8 là hợp số
0.5 0.5
đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2003 2004 – Môn : Toán Lớp 6–
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: (2 đ)
1) So sánh: 31 7 8
23 32 2
A= − +
và
1 12 13 79 28
3 67 41 67 41
B= + + − −
2) Tính : N = 2003 2004( 9 + 2004 8 + + 2004 2 + 2005)+ 1
Câu II: (2 đ)
1) Chứng tỏ rằng: 1000n + 53 chia hết cho 9
2) Xét trên Z Cho n – 6 và n + 1.
A
B
C O
D
Trang 6a) Tìm n∈Z để n – 6 là ớc của n + 1
b) Tìm giá trị lớn nhất của 1
6
n n
+
−
Câu III: (1.5 đ)
1) Tìm x : 4 6
5 7
x+ = 2) Tìm a,b ∈Z sao cho : a.b = a + b
Câu IV: (2.5 đ) Cho đoạn thẳng OA Trên tia đối của OA lấy điểm B Kẻ tia Ot sao cho
ã 140 0
BOt= Trên cùng phía với tia Ot vẽ tia Oz sao cho ãzOA= 20 0
a) Hình vẽ có bao nhiêu góc (Viết tên các góc đó)
b) Chứng tỏ Oz là tia phân giác của góc tOA
c) Lấy M là trung điểm của OA So sánh số đo đoạn thẳng BM với trung bình cộng số đo 2
đoạn thẳng của BO và BA
Câu V: (2 đ)
Cho n số a1, a2, , a… n biết rằng mỗi số trong chúng bằng 1 hoặc -1 và :
a1 a2 + a2 a3+ + a… n-1 an+ an a1 = 0.
Chứng tỏ rằng n chia hết cho 4
đề thi học sinh giỏi cấp huyện
năm học 2004 2005–
Môn : Toán Lớp 6– Thời gian làm bài: 120 phút
.Câu I: (3 đ)
1) So sánh 2 phân số : 200420042004
200520052005 và 20042004
20052005
2) Điền số thích hợp vào dấu * :
1 2 x
7 *
* * *
8 4
* * * 3) Tìm x : 30 - x− 7 = 8
Câu II: (1 5 đ)
Ngày chủ nhật bạn An đi về thăm ông bà nội Bạn đi từ nhà đến nhà ông bà hết 4 giờ Giờ đầu bạn đI đợc 1
3 quãng đờng, giờ thứ 2 đI kém hơn giờ đầu 1
12 quãng đờng Giờ thứ ba đI kém hơn giờ thứ 2 là 1
12 Hỏi giờ thứ 4 đI đợc mấy phần quãng đờng
Câu III: (1.5 đ)
Cho đoạn thẳng AB Điểm O nằm trên đoạn thẳng Ab
a) Tìm vị trí của O để OB có số đo nhỏ nhất
b) Tìm vị trí của O để AB + OB = 2 OB
c) Tìm vị trí của O để AB + OB = 3 OB
Câu IV: (2 đ)Chứng tỏ rằng với mọi n thuộc N thì : 8n + 14 2 43
chữ số
111 11
n chia hết cho 9
Câu V: (2 đ)
Cho a là một hợp số khác 0 Khi phân tích a ra thừa số nguyên tố chỉ chứa 2 thừa số
nguyên tố khác nhau là p và q Biết a3 có 40 ớc số Hỏi a2 có bao nhiêu ớc số ?
đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Trang 7năm học 2007 2008–
Môn : Toán Lớp 6– Thời gian làm bài: 120 phút
Câu I: (2 đ)
1) Tính nhanh: = + +− + +
−
9 15 11 9 15
A
2) So sánh hai phân số : 200720072007
2008520082008 và 20072007
20082008
3) Rút gọn phân số = +
−
71.52 53 530.71 180
A mà không cần thực hiện phép tính ở tử
Câu II: (3 đ)
1) Tìm x, y ∈Z:
a) − =
−
4 4 với x - y = 5
3 3
x
y b) (x + 1).(y - 2) = -55
2) Cho = −
+
3 5
4
n A
n Tìm n ∈Z để A có giá trị nguyên
Câu III: (3 đ) Trên nữa mặt phẳng cho trớc có bờ Ox vẽ hai tia Oy và Oz sao cho số đo
ã = 70 0
xOy và số đo yOzã = 30 0
a) Xác định số đo của ãxOz
b) Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B (Điểm A không trùng với điểm O và độ dài OB lớn hơn
độ dài OA) Gọi M là trung điểm của OA Hãy so sánh độ dài MB với trung bình cộng độ dài
OB và AB
Câu IV: (2 đ)Tìm hai số tự nhiên a và b biết tổng BCNN và ƯCLN của chúng là 15.
đề thi học sinh giỏi cấp huyện
năm học 2008 2009–
Môn : Toán Lớp 6– Thời gian làm bài: 120 phút
Câu I: (3 đ)
1) Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý:
a) 33.(17-5) – 17.(33-5) b) − − ữ
11 5 4 11 8
4 9 9 4 33
2) Tìm x, y ∈Z sao cho (x - 7).(y + 3)< 0
Câu II: (2 đ)
1) Cho 16 số nguyên trong đó tích của 3 số bát kỳ luôn là một số âm Chứng tỏ rằng tích của 16 số nguyên đó là một số dơng
2) Chứng tỏ : 3 + 3 + 3 + + 3+ < ∈ *
1 với n N 1.4 4.7 7.10 n n( 3)
Câu III: (1.5 đ) : Cho = − ∈ ≠
+
5 ( và n -1) 1
n
n
a) Tìm n để A có giá trị nguyên
b) Tìm n để A là phân số tối giản
Câu IV: (1.5 đ)Cho 3 điểmM, O, N thẳng hàng Điểm N không nằm giữa hai điểm M và O Biết
MN = 3 cm, ON = 1 cm So sánh OM và ON
Câu V: (2 đ)Tuổi của Anh hiện nay gấp 3 lần tuổi của em lúc ngời Anh bằng tuổi hiện nay của
ngời em Đến khi tuổi của em bằng tuổi hiện nay của ngời anh thì tổng số tuổi của hai anh em là
35 Tính tuổi của mổi ngời hiện nay