Đề thi học sinh giỏi cấp huyện toán 6 ngày 23-4-2009 Câu 1 ( 2.5 đ) Cho các số 16 ; 12 ; 30 a) Tìm số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho các số đó b) Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho mỗi số đó đều d 1 Câu 2 ( 2 đ) a) Chứng minh rằng 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + + 2 100 chia hết cho 31 b) Biết rằng A = ( 7 17 + 17 .3 - 1) chia hết cho 9 Chứng minh rằng B = ( 7 18 + 18 .3 - 1) chia hết cho 9 Câu 3 ( 2 đ) a) Tìm số nguyên n sao cho 2n + 1 chia hết cho 6 - n b) Tìm x và y là các số nguyên sao cho 2x.y + 3y = 31 Câu 4 ( 1,5 đ) Tìm số tự nhiên x biết : 1 1 1 2 2 21 28 36 ( 1) 9x x + + + + = + Câu 5 ( 2 đ) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox ta vẽ các tia Oy , Oz sao cho ã ã 0 0 50 , 150xOy xOz= = . Vẽ các tia Ot và Ot' theo thứ tự là tia phân giác của các góc ã xOy và ã xOz . Chứng minh rằng Oy là tia phân giác của ã tOt Bài giải Câu 1 ( 2.5 đ) Cho các số 16 ; 12 ; 30 a) Tìm số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho các số đó b) Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho mỗi số đó đều d 1 giải 16 = 2 4 12 = 2 2 . 3 BCNN ( 16 ; 12 ; 30 ) = 2 4 . 3 . 5 = 240 30 = 2 .3 .5 BC ( 16 ;12 ; 30 ) = B( 240 ) = { } 0;240,480;720;960 Do đó số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho các số 16 ; 12 ; 30 là 960 b) Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho mỗi số đó đều d 1 Theo câu a ta có BC ( 16 ;12 ; 30 ) = B( 240 ) = { } 0;240, 480;720;960;1200 Do đó số nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho mỗi số đó đều d 1 là 1201 Câu 2 ( 2 đ) a) Chứng minh rằng 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + + 2 100 chia hết cho 31 Tổng trên có 100 - 1 + 1 = 100 số hạng , ta chia tổng thành 20 nhóm , mỗi nhóm có 5 số hạng 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + + 2 100 = ( 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 ) + ( 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 ) + + ( 2 96 + 2 97 +2 98 + 2 99 + 2 100 ) = 2( 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 ) + 2 6 ( 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 ) + .+ 2 99 ( 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 ) = 2 .31 + 2 6 . 31 + .+ 2 96 . 31 = 31 . ( 2 + 2 6 + + 2 96 ) chia hết cho 31 b) Biết rằng A = ( 7 17 + 17 .3 - 1 ) chia hết cho 9 Chứng minh rằng B = ( 7 18 + 18 .3 - 1) chia hết cho 9 Giải Ta có A = ( 7 17 + 17 .3 - 1 ) M 9 A = 7 17 + 50 chia hết cho 9 A = 7 17 + 5 + 45 chia hết cho 9 mà 45 chia hết cho 9 nên 7 17 + 5 chia hết cho 9 Do 7 17 + 5 chia hết cho 9 7.( 7 17 + 5 ) cũng chia hết cho 9 7 18 + 35 chia hết cho 9 mà 18 M 9 7 18 + 35 + 18 cũng chia hết cho 9 7 18 + 53 chia hết cho 9 7 18 + 18 .3 - 1 chia hết cho 9 Vậy B chia hết cho 9 Câu 3 ( 2 đ) a) Tìm số nguyên n sao cho 2n + 1 chia hết cho 6 - n b) Tìm x và y là các số nguyên sao cho 2x.y + 3y = 31 Giải a) Vì 2n + 1 chia hết cho 6 - n mà 2 .( 6 - n ) cũng chia hết cho 6 - n nên suy ra tổng ( 2n + 1) + 2 .( 6 - n ) chia hết cho 6 n 2n + 1 + 12 - 2n chia hết cho 6 - n 13 chia hết cho 6 - n 6 - n là ớc của 13 Ta có Ư( 13 ) = { } 1; 1;13; 13 6 - n 1 -1 13 -13 n 5 7 -7 19 Vậy để 2n + 1 chia hết cho 6 - n thì n { } 7;5;7;19 b) Tìm x và y là các số nguyên sao cho 2x.y + 3y = 31 Từ 2x.y + 3y = 31 ( 2x + 3 ) . y = 31 2x + 3 1 -1 31 -31 y 31 -31 1 -1 2x -2 -4 28 -34 x -1 -2 14 -17 Câu 4 ( 1,5 đ) Tìm số tự nhiên x biết : 1 1 1 2 2 21 28 36 ( 1) 9x x + + + + = + 1 1 1 1 2 2.( ) 42 56 72 ( 1) 9x x + + + + = + 1 1 1 1 1 ( ) 42 56 72 ( 1) 9x x + + + + = + 1 1 1 1 1 6.7 7.8 8.9 ( 1) 9x x + + + + = + 1 1 1 1 1 1 1 6 7 7 8 1 9x x + + + = + 1 1 1 6 1 9x = + 1 1 1 6 9 1x = + 3 2 1 18 18 1x = + 1 1 18 1x = + x + 1 = 18 x = 17 Câu 5 ( 2 đ)Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox ta vẽ các tia Oy , Oz sao cho ã ã 0 0 50 , 150xOy xOz= = . Vẽ các tia Ot và Ot' theo thứ tự là tia phân giác của các góc ã xOy và ã xOz . Chứng minh rằng Oy là tia phân giác của ã tOt O x yz t t' Giải ã ã 0 0 50 , 150xOy xOz= = ã ã 0 0 (50 150 )xOy xOz < < Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Oz ã ã ã xOy yOz xOz+ = . tính đợc ã 0 100yOz = .tính đợc ã 0 75t Oz = , ã 0 25yOt = , ã 0 25yOt = Oy là tia phân giác của ã tOt Đề thi chọn học sinh năng khiếu toán lớp 6 Năm học 2009-2010 Ngày thi: 20 tháng 04 năm 2010 (Thời gian làm bài: 90 phút Không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 2.0 điểm ) a) Rỳt gn phõn s: 42.2.5.3 8.7.5.3.)2( 43 333 b) So sỏnh khụng qua quy ng: 2006200520062005 10 7 10 15 10 15 10 7 + = + = B;A Bài 2: ( 2.0 điểm ) Khụng quy ng hóy tớnh hp lý cỏc tng sau: a) 90 1 72 1 56 1 42 1 30 1 20 1 A + + + + + = b) 4.15 13 15.2 1 2.11 3 11.1 4 1.2 5 B ++++= Bài 3: ( 2.0 điểm ) Mt ngi bỏn nm gi xoi v cam. Mi gi ch ng mt loi qu vi s lng l: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg. Sau khi bỏn mt gi cam thỡ s lng xoi cũn li gp ba ln s lng cam cũn li. Hóy cho bit gi no ng cam, gi no ng xoi? Bài 4: ( 3.0 điểm ) Cho gúc AOB v gúc BOC l hai gúc k bự . Bit gúc BOC bng nm ln gúc AOB. a) Tớnh s o mi gúc. b) Gi OD l tia phõn giỏc ca gúc BOC. Tớnh s o gúc AOD. c) Trờn cựng na mt phng b l ng thng AC cha tia OB,OD, v thờm 2006 tia phõn bit (khụng trựng vi cỏc tia OA;OB;OC;OD ó cho) thỡ cú tt c bao nhiờu gúc? Bài 5: ( 1.0 điểm ) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố( p > 3) . Chứng minh rằng p + 8 là hợp số Hớng dẫn chấm học sinh giỏi toán lớp 6 Năm học 2009-2010 A. Một số chú ý khi chấm bài: Hớng dẫn chấm dới đây dựa vào lời giải sơ lợc của một cách. Thí sinh giải cách khác mà cho kết quả đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang điểm của Hớng dẫn chấm. Giám khảo cần bám sát yêu cầu giữa phần tính và phần lí luận của bài giải của thí sinh để cho điểm. Tổ chấm nên chia điểm nhỏ đến 0, 25. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn. B. Đáp án và biểu điểm Bµi 1: ( 2.0 ®iÓm ) a) Rút gọn phân số: 42.2.5.3 8.7.5.3.)2( 43 333 − b) So sánh không qua quy đồng: 2006200520062005 10 7 10 15 10 15 10 7 − + − = − + − = B;A §¸p ¸n Thang ®iÓm a) 0.5 0.5 BA 10 8 10 8 10 7 10 8 10 7 10 7 10 15 B 10 7 10 8 10 7 10 15 10 7 A)b 20052006 20062005200520062005 20062006200520062005 >⇒ − > − − + − + − = − + − = − + − + − = − + − = 0.5 0.5 Bµi 2: ( 2.0 ®iÓm ) Không quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau: a) 90 1 72 1 56 1 42 1 30 1 20 1 A − + − + − + − + − + − = b) 4.15 13 15.2 1 2.11 3 11.1 4 1.2 5 B ++++= §¸p ¸n Thang ®iÓm 20 3 ) 10 1 4 1 () 10 1 9 1 7 1 6 1 6 1 5 1 5 1 4 1 ( ) 10.9 1 7.6 1 6.5 1 5.4 1 ( 90 1 42 1 30 1 20 1 A)a − =−−=−++++−+−−= ++++−= − ++ − + − + − = 0.5 0.5 4 1 3 4 13 ) 28 1 2 1 .(7) 28 1 15 1 15 1 14 1 14 1 11 1 11 1 7 1 7 1 2 1 .(7 ) 28.15 13 15.14 1 14.11 3 11.7 4 7.2 5 .(7 4.15 13 15.2 1 2.11 3 11.1 4 1.2 5 B)b ==−=−+−+−+−+−= ++++=++++= 0.5 0.5 Bµi 3: ( 2.0 ®iÓm ) Một người bán năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg. Sau khi bán một giỏ cam thì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại. Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài? §¸p ¸n Thang ®iÓm Tổng số xoài và cam lúc đầu: 65+ 71+ 58+ 72+ 93 = 359 (kg) Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại là số chia hết cho 4, mà 359 chia cho 4 dư 3 nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho 4 dư 3. Trong các số 65; 71; 58; 72; 93 chỉ có 71 chia cho 4 dư 3 . Vậy giỏ cam bán đi là giỏ 71 kg. Số xoài và cam còn lại : 359 - 71= 288 (kg) Số cam còn lại : 288:4 = 72(kg) 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 Vy: cỏc gi cam l gi ng 71 kg ; 72 kg . cỏc gi xoi l gi ng 65 kg ; 58 kg; 93 kg. Bài 4: ( 3.0 điểm ) Cho gúc AOB v gúc BOC l hai gúc k bự . Bit gúc BOC bng nm ln gúc AOB. a) Tớnh s o mi gúc. b) Gi OD l tia phõn giỏc ca gúc BOC. Tớnh s o gúc AOD. c) Trờn cựng na mt phng b l ng thng AC cha tia OB,OD, v thờm 2006 tia phõn bit (khụng trựng vi cỏc tia OA;OB;OC;OD ó cho) thỡ cú tt c bao nhiờu gúc? Đáp án Thang điểm V hỡnh ỳng a)Vỡ gúc AOB v gúc BOC l hai gúc k bự nờn: AOB + BOC =180 0 m BOC = 5AOB nờn: 6AOB = 180 0 Do ú: AOB = 180 0 : 6 = 30 0 ; BOC = 5. 30 0 = 150 0 b)Vỡ OD l tia phõn giỏc ca gúc BOC nờn BOD = DOC = 2 1 BOC = 75 0 . Vỡ gúc AOD v gúc DOC l hai gúc k bự nờn: AOD + DOC =180 0 Do ú AOD =180 0 - DOC = 180 0 - 75 0 = 105 0 c) Tt c cú 2010 tia phõn bit. C 1 tia trong 2010 tia ú to vi 2009 tia cũn li thnh 2009 gúc. Cú 2010 tia nờn to thnh 2010.2009gúc, nhng nh th mi gúc c tớnh hai ln .Vy cú tt c 2 2009.2010 =2 019 045 gúc 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 5: ( 1.0 điểm ) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố( p > 3) . Chứng minh rằng p + 8 là hợp số Đáp án Thang điểm P có dạng 3k + 1; 3k + 2 k N Dạng p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số trái với đề bài p = 3k + 1 p + 8 = 3k + 9 M 3 p + 8 là hợp số 0.5 0.5 đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2003 2004 Môn : Toán Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2 đ) 1) So sánh: 31 7 8 23 32 2 A = + ữ và 1 12 13 79 28 3 67 41 67 41 B = + + ữ ữ 2) Tính : ( ) 9 8 2 2003 2004 2004 2004 2005 1N = + + + + + Câu II: (2 đ) 1) Chứng tỏ rằng: 1000 n + 5 3 chia hết cho 9. 2) Xét trên Z. Cho n 6 và n + 1. A B C O D a) Tìm n Z để n 6 là ớc của n + 1 b) Tìm giá trị lớn nhất của 1 6 n n + Câu III: (1.5 đ) 1) Tìm x : 4 6 5 7 x + = 2) Tìm a,b Z sao cho : a.b = a + b Câu IV: (2.5 đ) Cho đoạn thẳng OA. Trên tia đối của OA lấy điểm B . Kẻ tia Ot sao cho ã 0 140BOt = . Trên cùng phía với tia Ot vẽ tia Oz sao cho ã 0 20zOA = . a) Hình vẽ có bao nhiêu góc. (Viết tên các góc đó) b) Chứng tỏ Oz là tia phân giác của góc tOA. c) Lấy M là trung điểm của OA. So sánh số đo đoạn thẳng BM với trung bình cộng số đo 2 đoạn thẳng của BO và BA. Câu V: (2 đ) Cho n số a 1 , a 2 , , a n biết rằng mỗi số trong chúng bằng 1 hoặc -1 và : a 1 . a 2 + a 2 . a 3 + + a n-1 . a n + a n . a 1 = 0. Chứng tỏ rằng n chia hết cho 4. đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2004 2005 Môn : Toán Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phút .Câu I: (3 đ) 1) So sánh 2 phân số : 200420042004 200520052005 và 20042004 20052005 2) Điền số thích hợp vào dấu * : 1 2 x 7 * * * * 8 4 * * * 3) Tìm x : 30 - 7x = 8 Câu II: (1. 5 đ) Ngày chủ nhật bạn An đi về thăm ông bà nội. Bạn đi từ nhà đến nhà ông bà hết 4 giờ. Giờ đầu bạn đI đợc 1 3 quãng đờng, giờ thứ 2 đI kém hơn giờ đầu 1 12 quãng đờng. Giờ thứ ba đI kém hơn giờ thứ 2 là 1 12 . Hỏi giờ thứ 4 đI đợc mấy phần quãng đờng. Câu III: (1.5 đ) Cho đoạn thẳng AB. Điểm O nằm trên đoạn thẳng Ab. a) Tìm vị trí của O để OB có số đo nhỏ nhất. b) Tìm vị trí của O để AB + OB = 2 OB. c) Tìm vị trí của O để AB + OB = 3 OB. Câu IV: (2 đ)Chứng tỏ rằng với mọi n thuộc N thì : 8n + 14 2 43 chữ số 111 11 n chia hết cho 9. Câu V: (2 đ) Cho a là một hợp số khác 0. Khi phân tích a ra thừa số nguyên tố chỉ chứa 2 thừa số nguyên tố khác nhau là p và q. Biết a 3 có 40 ớc số. Hỏi a 2 có bao nhiêu ớc số ? đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2007 2008 Môn : Toán Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phút Câu I: (2 đ) 1) Tính nhanh: = + + + + -5 8 2 4 7 9 15 11 9 15 A 2) So sánh hai phân số : 200720072007 2008520082008 và 20072007 20082008 3) Rút gọn phân số + = 71.52 53 530.71 180 A mà không cần thực hiện phép tính ở tử. Câu II: (3 đ) 1) Tìm x, y Z : a) = 4 4 với x - y = 5 3 3 x y b) (x + 1).(y - 2) = -55 2) Cho = + 3 5 4 n A n . Tìm n Z để A có giá trị nguyên. Câu III: (3 đ) Trên nữa mặt phẳng cho trớc có bờ Ox vẽ hai tia Oy và Oz sao cho số đo ã = 0 70xOy và số đo ã = 0 30yOz . a) Xác định số đo của ã xOz . b) Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B (Điểm A không trùng với điểm O và độ dài OB lớn hơn độ dài OA). Gọi M là trung điểm của OA. Hãy so sánh độ dài MB với trung bình cộng độ dài OB và AB. Câu IV: (2 đ)Tìm hai số tự nhiên a và b biết tổng BCNN và ƯCLN của chúng là 15. đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008 2009 Môn : Toán Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phút Câu I: (3 đ) 1) Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý: a) 33.(17-5) 17.(33-5) b) ữ 11 5 4 11 8 . . . 4 9 9 4 33 2) Tìm x, y Z sao cho (x - 7).(y + 3)< 0 Câu II: (2 đ) 1) Cho 16 số nguyên trong đó tích của 3 số bát kỳ luôn là một số âm. Chứng tỏ rằng tích của 16 số nguyên đó là một số dơng. 2) Chứng tỏ : + + + + < + * 3 3 3 3 1 với n N 1.4 4.7 7.10 ( 3)n n Câu III: (1.5 đ) : Cho = + 5 ( và n -1) 1 n A n Z n a) Tìm n để A có giá trị nguyên. b) Tìm n để A là phân số tối giản. Câu IV: (1.5 đ)Cho 3 điểmM, O, N thẳng hàng. Điểm N không nằm giữa hai điểm M và O. Biết MN = 3 cm, ON = 1 cm. So sánh OM và ON. Câu V: (2 đ)Tuổi của Anh hiện nay gấp 3 lần tuổi của em lúc ngời Anh bằng tuổi hiện nay của ngời em. Đến khi tuổi của em bằng tuổi hiện nay của ngời anh thì tổng số tuổi của hai anh em là 35. Tính tuổi của mổi ngời hiện nay . tia phân giác của ã tOt Đề thi chọn học sinh năng khiếu toán lớp 6 Năm học 2009-2010 Ngày thi: 20 tháng 04 năm 2010 (Thời gian làm bài: 90 phút Không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 2.0 điểm ). 0.5 0.5 BA 10 8 10 8 10 7 10 8 10 7 10 7 10 15 B 10 7 10 8 10 7 10 15 10 7 A)b 200520 06 20 062 005200520 062 005 20 062 0 062 00520 062 005 >⇒ − > − − + − + − = − + − = − + − + − = − + − = 0.5 0.5 Bµi 2: ( 2.0 ®iÓm ) Không quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau: a) 90 1 72 1 56 1 42 1 30 1 20 1 A − + − + − + − + − + − = b). thì p + 4 là hợp số trái với đề bài p = 3k + 1 p + 8 = 3k + 9 M 3 p + 8 là hợp số 0.5 0.5 đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2003 2004 Môn : Toán Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phút Câu