I.ĐẠI SỐ CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1. Bất đẳng thức + BĐT Côsi ( 0, 0) 2 a b ab a b + ≤ ≥ ≥ Đẳng thức 2 a b ab + = xảy ra khi và chỉ khi a = b 2. Dấu của một nhị thức bậc nhất Bảng xet dấu của một nhị thức bậc nhất. X - ∞ x 0 + ∞ f(x)=ax +b Trái dấu với a 0 cùng dấu với a 3. Dấu của tam thức bậc hai Bảng xét dấu của tam thức bậc hai. Dấu của biệt thức ∆ Dấu của f(x) 0 ∆ < af(x) 0> , x∀ ∈¡ 0 ∆ = af(x) 0> , 2 b x a ∀ ≠ − 0 ∆ > Pt ( ) 0f x = có 2 nghiệm 1 2 x x< af(x)<0 , 1 2 ( ; )x x x∀ ∈ af(x) 0> , 1 2 ( ; ) ( ; )x x x∀ ∈ −∞ ∪ +∞ CHƯƠNG 5. THỐNG KÊ 1. Số trung bình Số trung bình Số trung vị và mốt. M e là số đứng giữa dãy nếu số phần tử là lẻ. là trung bình cộng hai số đứng giữa dãy nếu số phần tử là chẵn. 2. Phương sai và độ lệch chuẩn của dãy số liệu thống kê Phương sai: 1 2 1 ( ) n x x x x n = + + + 1 1 2 2 1 ( ) k k x n x n x n x n = + + + 1 1 2 2 ( ) k k x f x f x f x= + + + 1 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) k k k k x n c n c n c f c f c f c n ≈ + + + ≈ + + + ( ) 2 11 2 1 2 1 22 −= ∑∑ == N i i N i i x N x N s ( ) )1( 1 2 1 2 ∑ = −= N i ii xx N S Độ lệch chuẩn 2 x x S S= CHƯƠNG 6. GĨC LƯỢNG GIÁC VÀ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Cơng thức lượng giác 1. Bảng giá trò của các góc đặc biệt 1. Bảng giá trò của các góc đặc biệt Góc GTLG 0 0 (0) 30 0 6 π ÷ 45 0 4 π ÷ 60 0 3 π ÷ 90 0 2 π ÷ Sin 0 1 2 2 2 3 2 1 Cos 1 3 2 2 2 1 2 0 2. Các hệ thức lượng giác cơ bản 2. Các hệ thức lượng giác cơ bản ( ) α + α = ∀α∈ 2 2 sin cos 1 R π α α = ∀α ≠ ∈ ÷ tan .cot 1 k ,k Z 2 π = + α ∀α ≠ + π ∈ ÷ α 2 2 1 1 tan k ,k Z cos 2 ( ) = + α ∀α ≠ π ∈ α 2 2 1 1 cotg k ,k Z sin Hệ quả: Hệ quả: 2 2 2 2 sin 1 cos , cos 1 sin α α α α = − = − 1 1 tan , tan cot cot α α α α = = 3. Giá trò các cung, góc liên quan đặc biệt 3. Giá trò các cung, góc liên quan đặc biệt “Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, Tan Cot lệch π ” 4. Công thức lượng giác 4. Công thức lượng giác • Cơng thức cộng: cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb tan(a – b) = tan tan 1 tan .tan − + a b a b tan(a + b) = tan tan 1 tan .tan + − a b a b • Cơng thức nhân đơi: sin2a = 2sina.cosa ⇒ 1 sin a.cosa = sin2a 2 cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a tan2a = 2 2tan 1 tan− a a • Cơng thức nhân ba: sin3a = 3sina – 4sin 3 a cos3a = 4cos 3 a – 3cosa 1. Cơng thức hạ bậc: cos 2 a = 1 cos2 2 a+ sin 2 a = 1 cos 2 2 a− tg2a = 1 cos2 1 cos 2 a a − + Cơng thức biến đổi tích thành tổng: [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b= − + + [ ] 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b= − − + [ ] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b= + + − 1) C«ng thøc biÕn ®ỉi tỉng thµnh tÝch: sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y + − + = + − − = + − + = + − − = − II.HÌNH HỌC. CHƯƠNG II. TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 1.Tích vơ hướng của hai vectơ. • Cho OA uuur = a r va OB uur = b r . Khi đó góc AOB là góc giũa 2 vectơ a r và b r Ký hiệu ( a r ; b r ) Nếu a r = 0 r hoặc b r = 0 r thì góc ( a r ; b r ) tùy ý Nếu ( a r ; b r ) = 90 0 ta ký hiệu a r ⊥ b r • . cos( , )a b a b a b= r r r r uurr Bình phương vô hướng a r 2 = a r 2 . • Các quy tắc: Cho ∀ a r b r c r ; ∀ k ∈R a r . b r = b r . a r ( Tính giao hoán) a r . b r = 0 <=> a r ⊥ b r (k a r , b r = k ( a r b r ) a r ( b r ± c ) = a r b r ± a r c (Tính chất phân phối đối với phép cộng và trừ ) • Biểu thức toạ độ của tích vô hướng Cho a r = (x, y) , b r = (x', y') ; M(x M , y M ), N(x N , y N ); ta có a r . b r = x.x' + y.y' | a r | = 22 + yx Cos ( a r , b r ) = 2222 '+'.+ '+' yxyx yyxx a r ⊥ b r ⇔ xx' + yy' = 0 MN = | MN uuuur | = 22 )_(+)_( NMNM yyxx 2. Các hệ thức lượng trong tam giác • Các ký hiệu trong ∆ ABC Độ dài : BC = a, CA = b, AB = c m a , m b , m c : độ dài trung tuyến ứng với đỉnh A,B,C h a , h b, h c : Độ dài đường cao ứng với đỉnh A,B,C P = 2 ++ cba : nữa chu vi ∆ ABC S : diện tích tam giác R,r : bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ∆. • Đònh lý Côsin : a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A • Đònh lý sin : R c c B b A a 2= sin = sin = sin • Công thức trung tuyến : 4 c2+b2 = 22 2 2 a a- m • Công thức tính diện tích a. S = 1 2 a.h a = 1 2 b.h b = 1 2 c.h c B a A C c b h a m a b. S = 1 2 b.c. sinA = 1 2 c.a. sinB = 1 2 a.b. sinC c. S = R abc 4 d. S = p.r e. S = c)-h)(p-(p a)-p(p ( Coâng thöùc Heâ – roâng) CHƯƠNG III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 1.Phng trỡnh ng thng 1 - Phơng trình tổng quát của đờng thẳng Để viết đợc pt tổng quát của đờng thẳng ta cần biết đợc hai yếu tố sau : + Một VTPT : n r (A ; B) + Một điểm M(x 0 ; y 0 ) thuộc Khi đó phơng trình tổng quát của là : A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) = 0 Chú ý : Cho đờng thẳng có pttq : Ax + By + C = 0 khi đó : n r (A ; B) là một VTPT của 2 - Phơng trình tham số của đờng thẳng Để viết đợc pt tham số của đờng thẳng ta cần biết đợc hai yếu tố sau : + Một VTCP : u r (a ; b) + Một điểm M(x 0 ; y 0 ) thuộc Khi đó phơng trình tổng quát của là : 0 0 x = x + at y = y + bt Chú ý : * Cho đờng thẳng có ptts : 0 0 x = x + at y = y + bt khi đó : u r (a ; b) là một VTCP của và M(x 0 ; y 0 ) là một điểm thuộc . * Mối quan hệ giữa VPPT và VTCP của một đờng thẳng Giả sử : n r và u r lần lợt là VTPT và VTCP của n r u r , n r (A ; B) u r (B ; - A) . 4 - Mối quan hệ giữa ba loại phơng trình 1. Pttq Ptts Cho : Ax + By + C = 0 Tìm VTCP u r (B ; - A) và một điểm M(x 0 ; y 0 ) Hoặc đặt x = t thế vào pt tìm y theo t 2. Ptts Pttq * Cho đờng thẳng có ptts : 0 0 x = x + at y = y + bt . Khử tham số t ta đợc Pttq 5 - Các loại phơng trình đờng thẳng thờng gặp 1. Đờng thẳng viết dới dạng hệ số góc : y = kx + b hsg k 2. Phơng trình đờng thẳng qua hai điểm A(x 1 ; y 1 ) và B(x 2 ; y 2 ) + Khi đó Vectơ 2 1 2 1 AB = (x - x ; y - y ) uuur là VTCP của đt . + Điểm A hoặc B thuộc đờng thẳng . 3. §êng th¼ng ∆ qua ®iÓm M(x 0 ; y 0 ) cho tríc vµ song song víi mét ®êng th¼ng (d) cho tríc . Khi ®ã ta cã : Δ d u = u uur uur . 4. §êng th¼ng ∆ qua ®iÓm M(x 0 ; y 0 ) cho tríc vµ vu«ng gãc víi mét ®êng th¼ng (d) cho tríc . Khi ®ã ta cã : Δ d u = n uur uur . 6 - Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. 1) Trong mp(Oxy) cho đt ∆: ax + by + c = 0 và một điểm M o (x o ; y o ). Khoảng cách từ điểm M o đến đường thẳng ∆ được tính theo công thức 2 2 ( , ) o o o ax by c d M a b + + ∆ = + 2) Cho hai đường thẳng ∆ 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 và ∆ 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 cắt nhau. Pt hai đường phân giác của ∆ 1 và ∆ 2 có dạng 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 a x b y c a x b y c a b a b + + + + = ± + + 7 - Góc giữa hai đường thẳng. 1) Cho hai đường thẳng ∆ 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 và ∆ 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0. Góc giữa hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 được tính theo công thức : cos(∆ 1 , ∆ 2 ) = 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 . a a bb a b a b + + + 2) Nhận xét. • ∆ 1 ⊥ ∆ 2 ⇔ 1 2 n n⊥ ur uur ⇔ a 1 .a 2 + b 1 b 2 = 0 • ∆ 1 : y = k 1 x + b, ∆ 2 : y = k 2 x + c. nếu ∆ 1 ⊥ ∆ 2 ⇔ k 1 .k 2 = -1 2.Phương trình đường tròn 1. Phương trình đường tròn: *. Trên mặt phẳng tọa độ, đường tròn (C) tâm I(x 0 ; y 0 ) bán kính R có phương trình: (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 = R 2 . 2. Nhận dạng phương trình đường tròn: Phương trình x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 với điều kiện a 2 + b 2 – c > 0 là phương trình của đường tròn tâm I(-a; -b), bán kính . 22 cbaR −+= 3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn: *. Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (I; R) ⇔ d(I, ∆) = R. *. Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến tại M ∈ (I; R) của đường tròn ⇔ ∆ đi qua M và nhận véc tơ IM làm véc tơ pháp tuyến. ( ):∆ 0 0 0 0 ( )( ) ( )( ) 0x a x x y b y y− − + − − = 3.Phương trình đường elip 1. Định nghĩa: *. Cho hai điểm cố định F 1 , F 2 với F 1 F 2 = 2c (c > 0). (E) = {M MF 1 + MF 2 = 2a}, trong đó a là số cho trước lớn hơn c. *. Hai điểm F 1 , F 2 gọi là các tiêu điểm, 2c là tiêu cự của elíp 2. Phương trình chính tắc của Elíp: *. Phương trình chính tắc của elíp: Chọn hệ trục tọa độ sao cho F 1 (-c; 0), F 2 (c; 0) thì elíp có phương trình: (E): ( ) .,01 222 2 2 2 2 cabba b y a x −=>>=+ *. Các bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) ∈ (E) là: .; 11 a cx aMF a cx aMF −=+= 3. Hình dạng của elíp: a) Tính đối xứng của elíp: Elíp (E): )0(1 2 2 2 2 >>=+ ba b y a x có nhận hai trục tọa độ làm trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng. b) Hình chữ nhật cơ sở: *. Các đường thẳng x = - a, x = a, y = - b, y = b cắt các trục tọa độ tại A 1 , A 2 , B 1 , B 2 gọi là các đỉnh của elíp. *. Trục Ox (hay đoạn A 1 A 2 ) được gọi là trục lớn. Trục Oy (hay đoạn B 1 B 2 ) được gọi là trục bé. *. Các đường thẳng x = - a, x = a, y = - b, y = b cắt nhau tại các điểm P, Q, R, S tạo thành hình chữ nhật cơ sở PQRS. c) Tâm sai của elíp: a c e = ⇒ 0 < e < 1 và .1 2 22 e a ca a b −= − = d) Elíp và phép co đường tròn: Đường tròn (T): x 2 + y 2 = a 2 , bằng phép thế x’ = x, y’ = ky có thể đưa về elíp có phương trình (E): ).(1 2 2 2 2 kab b y a x ==+ . + yy' = 0 MN = | MN uuuur | = 22 )_(+)_( NMNM yyxx 2. Các hệ thức lượng trong tam giác • Các ký hiệu trong ∆ ABC Độ dài : BC = a, CA = b, AB = c m a , m b , m c : độ dài trung tuyến. đt . + Điểm A hoặc B thuộc đờng thẳng . 3. §êng th¼ng ∆ qua ®iÓm M(x 0 ; y 0 ) cho tríc vµ song song víi mét ®êng th¼ng (d) cho tríc . Khi ®ã ta cã : Δ d u = u uur uur . 4. §êng th¼ng ∆ qua. R abc 4 d. S = p.r e. S = c)-h)(p-(p a)-p(p ( Coâng thöùc Heâ – roâng) CHƯƠNG III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 1.Phng trỡnh ng thng 1 - Phơng trình tổng quát của đờng thẳng Để viết đợc pt tổng