Dấu của một nhị thức bậc nhất Bảng xet dấu của một nhị thức bậc nhất.. Dấu của tam thức bậc hai Bảng xét dấu của tam thức bậc hai... GĨC LƯỢNG GIÁC VÀ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Cơng thức lượn
Trang 1I.ĐẠI SỐ CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1 Bất đẳng thức
2
a b
ab≤ + a≥ b≥
Đẳng thức
2
a b
ab = +
xảy ra khi và chỉ khi a = b
2 Dấu của một nhị thức bậc nhất
Bảng xet dấu của một nhị thức bậc nhất.
X - ∞ x0 + ∞ f(x)=ax +b Trái dấu với a 0 cùng dấu với a
3 Dấu của tam thức bậc hai
Bảng xét dấu của tam thức bậc hai
0
∆ < af(x) 0> , x∀ ∈¡ 0
∆ =
af(x) 0> ,
2
b x a
∀ ≠ − 0
∆ >
Pt ( ) 0f x = có 2 nghiệm x1<x2 af(x) 0>af(x)<0 , , ∀ ∈x ( ; )x x1 2
1 2
∀ ∈ −∞ ∪ +∞
CHƯƠNG 5 THỐNG KÊ
1 Số trung bình
Số trung bình
Số trung vị và mốt.
M e là số đứng giữa dãy nếu số phần tử là lẻ.
là trung bình cộng hai số đứng giữa dãy nếu số phần tử là chẵn.
2 Phương sai và độ lệch chuẩn của dãy số liệu thống kê
Phương sai:
1 2
1
n
1 1 2 2
1
x n x n x n x n
1 1 2 2
x = f x + f x + + f x
1 1 2 2 1 1 2 2
1
x n c n c n c f c f c f c n
( )2 1
1
2 1
2
−
=
=
N
i i
N
i i
x N
x N
s
1
=
−
= N
i
i
i x x N
S
Trang 2Độ lệch chuẩn
2
S = S
CHƯƠNG 6 GĨC LƯỢNG GIÁC VÀ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Cơng thức lượng giác
1 Bảng giá trị của các góc đặc biệt
Gĩc
GTLG
00
(0)
30 0
6
π
÷
45 0
4
π
÷
60 0
3
π
÷
90 0
2
π
÷
2 Các hệ thức lượng giác cơ bản
sin2α +cos2α = ∀α ∈1( R)
2
= + α ∀α ≠ + π ∈ π
2 2
= + α ∀α ≠ π ∈( )
α
2 2
sin
Hệ quả:
sin α = −1 cos α, cos α = −1 sin α
3 Giá trị các cung, góc liên quan đặc biệt
“Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, Tan Cot lệch π”
4 Công thức lượng giác
• Cơng thức cộng:
cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
tan(a – b) = 1 tan tantan −tan
+
a b
tan(a + b) = 1 tan tantan +tan
−
a b
• Cơng thức nhân đơi:
sin2a = 2sina.cosa ⇒ sin a.cos a = sin2a 1
2
Trang 3 cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1
= 1 – 2 sin2a
tan2a = 2
2 tan
1 tan−
a a
• Cụng thức nhõn ba:
sin3a = 3sina – 4sin3a
cos3a = 4cos3a – 3cosa
1 Cụng thức hạ bậc:
cos2a = 1 cos 2
2
a
+
sin2a = 1 cos 2
2
a
−
tg2a =1 cos 2
1 cos 2
a a
− + Cụng thức biến đổi tớch thành tổng:
cos cos 1[cos( ) cos( )]
2
a b= a b− + a b+
sin sin 1[cos( ) cos( )]
2
a b= a b− − a b+
sin cos 1[sin( ) sin( )]
2
a b= a b+ + a b− 1) Công thức biến đổi tổng thành tích:
− = −
II.HèNH HỌC.
CHƯƠNG II TÍCH Vễ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
1.Tớch vụ hướng của hai vectơ
• Cho OAuuur = ar va OBuur= br Khi ủoự goực AOB laứ goực giuừa 2 vectụ ar vaứ br Kyự hieọu ( ar ; br) Neỏu ar=0 rhoaởc b r=0 r thỡ goực ( ar ; br) tuứy yự
Neỏu ( ar ; br) = 900 ta kyự hieọu ar ⊥br
• .a br r= a br r cos( , )a buurr
Trang 4Bình phương vô hướng ar2 = ar
2
• Các quy tắc: Cho ∀ar
br
c
r ; ∀ k ∈R
ar
.br = br ar ( Tính giao hoán)
ar
.br = 0 <=> ar ⊥ br
(k ar,br = k ( ar br
)
ar
(br±c ) = ar br
± ar c (Tính chất phân phối đối với phép cộng và trừ )
• Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Cho ar = (x, y) , br= (x', y') ; M(xM, yM), N(xN, yN); ta có
ar
.br= x.x' + y.y'
| ar| = x2+ y2
Cos ( ar,br) = 2 2 2 2
' + ' +
' + '
y x y x
yy xx
ar
⊥br
⇔ xx' + yy' = 0
MN = | MNuuuur| = (x M _x N)2+(y M _y N)2
2 Các hệ thức lượng trong tam giác
• Các ký hiệu trong ∆ ABC
Độ dài : BC = a, CA = b, AB = c
ma, mb, mc : độ dài trung tuyến ứng với đỉnh A,B,C
ha, hb, hc : Độ dài đường cao ứng với đỉnh A,B,C
P = a+2b+c : nữa chu vi ∆ ABC
S : diện tích tam giác
R,r : bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ∆
• Định lý Côsin : a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
• Định lý sin : sina A=sinb B =sinc c =2R
• Công thức trung tuyến :
4
c 2 + b 2
2 a
a -m
• Công thức tính diện tích
a S = 1
2 a.ha =1
2 b.hb = 1
2 c.hc
A
C
h a m a
Trang 5b S = 1
2 b.c sinA = 1
2 c.a sinB = 1
2 a.b sinC
c S = abc4R
d S = p.r
e S = p(p-a)(p-h)(p-c) ( Công thức Hê – rông)
CHƯƠNG III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Trang 61.Phương trỡnh đường thẳng
1 - Phơng trình tổng quát của đờng thẳng
Để viết đợc pt tổng quát của đờng thẳng ∆ ta cần biết đợc hai yếu tố sau :
+ Một VTPT : nr(A ; B)
+ Một điểm M(x 0 ; y 0 ) thuộc ∆
Khi đó phơng trình tổng quát của ∆ là : A(x - x0) + B(y - y0) = 0
Chú ý : Cho đờng thẳng ∆ có pttq : Ax + By + C = 0 khi đó : nr(A ; B) là một VTPT của ∆
2 - Phơng trình tham số của đờng thẳng
Để viết đợc pt tham số của đờng thẳng ∆ ta cần biết đợc hai yếu tố sau :
+ Một VTCP : ur(a ; b)
+ Một điểm M(x 0 ; y 0 ) thuộc ∆
Khi đó phơng trình tổng quát của ∆ là : 0
0
x = x + at
y = y + bt
Chú ý :
* Cho đờng thẳng ∆ có ptts : 0
0
x = x + at
y = y + bt
khi đó : u
r (a ; b) là một VTCP của ∆ và
M(x0 ; y0) là một điểm thuộc ∆
* Mối quan hệ giữa VPPT và VTCP của một đờng thẳng
Giả sử : nr và ur lần lợt là VTPT và VTCP của ∆ ⇒ nr⊥ ur , nr(A ; B) ⇒ ur(B ; - A)
4 - Mối quan hệ giữa ba loại phơng trình
1 Pttq ⇒ Ptts
Cho ∆ : Ax + By + C = 0 ⇒ Tìm VTCP ur(B ; - A) và một điểm M(x0 ; y0)
Hoặc đặt x = t thế vào pt ∆ tìm y theo t
2 Ptts ⇒ Pttq
* Cho đờng thẳng ∆ có ptts : 0
0
x = x + at
y = y + bt
Khử tham số t ta đợc Pttq
5 - Các loại phơng trình đờng thẳng thờng gặp
1 Đờng thẳng viết dới dạng hệ số góc : y = kx + b ⇒ hsg k
2 Phơng trình đờng thẳng qua hai điểm A(x 1 ; y 1 ) và B(x 2 ; y 2 )
+ Khi đó Vectơ AB = (x - x ; y - y )uuur 2 1 2 1
là VTCP của đt + Điểm A hoặc B thuộc đờng thẳng
Trang 73 Đờng thẳng ∆ qua điểm M(x 0 ; y 0 ) cho trớc và song song với một đờng thẳng (d) cho trớc
Khi đó ta có : u = u uur uurΔ d
4 Đờng thẳng ∆ qua điểm M(x 0 ; y 0 ) cho trớc và vuông góc với một đờng thẳng (d) cho trớc
Khi đó ta có : u = n uur uurΔ d
6 - Khoảng cỏch từ một điểm đến một đường thẳng
1) Trong mp(Oxy) cho đt ∆: ax + by + c = 0 và một điểm Mo(xo; yo) Khoảng cỏch từ điểm Mo đến đường thẳng ∆ được tớnh theo cụng thức ( , ) o 2 o 2
o
ax by c
d M
+ +
∆ =
+
2) Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 cắt nhau Pt hai đường phõn giỏc của ∆1 và ∆2 cú dạng 1 21 2 1 2 22 2 2
a x b y c a x b y c
+ + = ± + +
7 - Gúc giữa hai đường thẳng
1) Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 Gúc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được tớnh theo cụng thức :
cos(∆1, ∆2) = 2 1 22 1 22 2
a a b b
+
2) Nhận xột
• ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ nur1⊥nuur2⇔ a1.a2 + b1b2 = 0
• ∆1: y = k1x + b, ∆2: y = k2x + c nếu ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1.k2 = -1
2.Phương trỡnh đường trũn
1 Phương trỡnh đường trũn:
* Trờn mặt phẳng tọa độ, đường trũn (C) tõm I(x0; y0) bỏn kớnh R cú phương trỡnh: (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2
2 Nhận dạng phương trỡnh đường trũn:
Phương trỡnh x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 với điều kiện a2 + b2 – c > 0 là phương trỡnh của đường trũn tõm I(-a; -b), bỏn kớnh R= a2+b2−c.
3 Phương trỡnh tiếp tuyến của đường trũn:
* Đường thẳng ∆ tiếp xỳc với đường trũn (I; R) ⇔ d(I, ∆) = R
* Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến tại M ∈ (I; R) của đường trũn ⇔ ∆ đi qua M và nhận
vộc tơ IM làm vộc tơ phỏp tuyến.
( ) :∆ (x0−a x x)( − 0) (+ y0−b y y)( − 0) 0=
3.Phương trỡnh đường elip
1 Định nghĩa:
* Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0)
(E) = {M MF1 + MF2 = 2a}, trong đú a là số cho trước lớn hơn c
Trang 8* Hai điểm F1, F2 gọi là các tiêu điểm, 2c là tiêu cự của elíp
2 Phương trình chính tắc của Elíp:
* Phương trình chính tắc của elíp:
Chọn hệ trục tọa độ sao cho F1(-c; 0), F2(c; 0) thì elíp có phương trình:
2
2 2
2
c a b b
a b
y a
x
−
=
>
>
= +
a
cx a MF a
cx a
3 Hình dạng của elíp:
a) Tính đối xứng của elíp:
2 2
2
>
>
=
b
y a
x
có nhận hai trục tọa độ làm trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng
b) Hình chữ nhật cơ sở:
* Các đường thẳng x = - a, x = a, y = - b, y = b cắt các trục tọa độ tại A1, A2, B1, B2 gọi là các đỉnh của elíp
* Trục Ox (hay đoạn A1A2) được gọi là trục lớn Trục Oy (hay đoạn B1B2) được gọi
là trục bé
* Các đường thẳng x = - a, x = a, y = - b, y = b cắt nhau tại các điểm P, Q, R, S tạo
thành hình chữ nhật cơ sở PQRS
c) Tâm sai của elíp:
a
c
e= ⇒ 0 < e < 1 và 2 2 1 e2
a
c a a
b
−
=
−
=
d) Elíp và phép co đường tròn:
Đường tròn (T): x2 + y2 = a2
, bằng phép thế x’ = x, y’ = ky có thể đưa về elíp có phương trình (E): 2 1 ( )
2 2
2
ka b b
y a