Ôn tập học kỳ I. I. .Tóm tắt lý thuyết. Tích vô hớng. 1. Định nghĩa: a . b = | a |.| b |. cos( a . b ) 2. Các tính chất: 3. Biểu thức toạ độ của tích vô hớng: Cho a (x 1 ;y 1 ); b (x 2 ; y 2 ) khi đó: a . b = x 1 .x 2 +y 1 .y 2 Hệ quả: 1. cos( a , b ) = 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx ++ + 2. Vì -1 cos( a , b ) 1 , sđ( a , b ) => -1 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx ++ + 1 |x 1 x 2 +y 1 y 2 | 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx ++ (x 1 x 2 +y 1 y 2 ) 2 ))(( 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx ++ (Bunhiacốpki với n = 2) 3. Điều kiện để góc tạo bởi hai véc tơ là góc tù là: cos( a . b ) < 0 a . b < 0 4. Điều kiện để góc tạo bởi hai véc tơ là góc nhọn là cos( a . b ) > 0 a . b > 0 4. Định lý hình chiếu: Cho hai véc tơ: AB , CD ta có: AB . CD = AB ''DC trong đó C' và D' lần lợt là hình chiếu của C, D trên đờng thảnh chứa đoạn AB. cung và góc lợng giác - mối quan hệ giữa các góc đặc biệt - các hệ thức cơ bản 1. Định nghĩa tỷ số lợng giác của góc có số đo bất kỳ. 2. Cung và góc lợng giác 3. Bảng giá trị lợng giác của các góc đặc biệt 4.Các hằng đẳng thức cơ bản. 5. Dấu của các giá trị lợng giác. 6. Giá trị lợng giác của các cung có liên quan đặc biệt. các dạng toán: 1. Tính giá trị của biểu thức lợng giác 2. Rút gọn. 3. Chứng minh không phụ thuộc vào biến. Hệ thức trong tam giác và trong đờng tròn. Tiết 1-2 I. Véc tơ: Bài tập 1: a.Ta có: 2 ADAHAM += ; HDBHBD += do đó: )HDBH)(ADAH(BD.AM2 ++= A D M C H B = HD.ADBHADHDAHBH.AH +++ = BHADHDAH + (vì 0HD.ADBH.AH == ) = HCADHDAH + (Vì HCBH = ) = HC)HDAH(HDAH ++ = HCHDHDAH + = AC.HD)HCAH(HD =+ = 0 Vậy AM BD b. Theo giả thiết ta có: AA 1 //BB 1 //CC 1 Gọi G 1 ; G 2 ; G 3 lần lợt là trọng tâm của 3 tam giác: ABC 1 ; BCA 1 ; CAB 1 Ta có: 11 OCOBOAOG ++= 11 OCOBOAOG ++= 12 OAOCOBOG ++= 13 OBOAOCOG ++= Do đó : OCOCOAOAOGOG 1121 += Hay 1112 CCAAGG += Tơng tự: AABBGG 1132 += Vì A 1 A//B 1 B nên AA.mBB 11 = ; Vì C 1 C//A 1 A nên AA.nCC 11 = Vậy : AAnAAGG 1112 += = (1+n) AA 1 AAAA.mGG 1132 += = (1+m) AA 1 1232 GG n1 m1 GG + + = Kết luận: ba điểm G 1 ; G 2 ;G 3 thẳng hàng. Tiêt 3 II. Lợng giác. (Chứng minh đẳng thức lợng giác) Bài tập 1: Chứng minh rằng: a ga a a a a sin cot.4 cos1 cos1 cos1 cos1 = + + (Giả sử các điều kiện đợc thoả mãn) Giải: VT= a ga a a a aaaa a a a a sin cot.4 sin cos.4 cos1 coscos21coscos.21 cos1 cos1 cos1 cos1 22 22 == +++ = + + (đpcm) Bài tập 2: CMR a a aa aa sin1 cos 1cossin 1cossin + = + + Giải: VT= a a aa aa sin1 cos 1cossin 1cossin + = + + Bài tập 3: CMR : )cos1(cos 1 sin sin 3 aa a atga + = Bài tập 4: Cho = = = 213 212 11 cos.cos sincos sin a a a CMR: a 1 2 +a 2 2 +a 3 2 = 1 Rút gọn biểu thức lợng giác Bài 1: Rút gọn: biểu thức D = ] cos sin 1[cos] sin cos 1[sin 22 a a a a a a +++ Giải: D = ] cos sin 1[cos] sin cos 1[sin 22 a a a a a a +++ = |cossin| aa + Bài 2: K = a a a a sin1 sin1 sin1 sin1 + + + Bài 3: M = ] sin )cos1( 1.[ sin cos1 2 2 a a a a + Bài 4: Rút gọn: N = bgag ba ba 22 22 22 cot.cot sin.sin sincos Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến số. Bài 1: Cho ; thoả mãn : = =+ =+ cos.sin. 1sin.cos. 1 2222 2222 nm nm tgntgm Tìm hệ thức liên hệ giữa m, n mà không phụ thuộc vào ; . Bài 2: Cho T = m.(cos 8 x - sin 8 x)+4(cos 6 x-sin 6 x)+n.sin 4 x a. Tìm m và n để T không phụ thuộc vào x. b. Tính giá trị của T trong trờng hợp trên. Tính giá trị của biểu thức . Bài 1: Cho tgx- cotgx = 3. Tính giá trị của : a. tg 2 x+cotg 2 x ĐS: 11 b. tgx+cotgx ĐS: 13 c. tg 4 x - cotg 4 x ĐS: 1333 Bài 2: Cho tgx = 2 tính giá trị của: A = xxxxxxxx xxxxxxxx 432234 432234 cos.3cos.sin10cos.sin.2cos.sin.3sin.5 cos.2cos.sin4cos.sin.77cos.sin.5sin.3 ++ ++ ĐS: 47 30 Bài 3: Ta có: cos 7 5 = -cos 7 2 Khi đó: B = - cos- 7 cos 7 2 . cos 7 4 = - 7 sin2 1 . (2. Sin 7 cos 7 )cos 7 2 . cos 7 4 = - 7 sin4 1 . (2. Sin 7 2 cos 7 2 ). cos 7 4 = - 7 sin8 1 . (2. Sin 7 4 cos 7 4 ) = - 7 sin8 1 Sin 7 8 mà sin 7 8 = - sin 7 B = 8 1 Tiêt 4: Hệ thức lợng trong tam giác Bài 1: VT (1) = )cabcab( R2 1 )Ccos.Csin2Bcos.Bsin2Acos.Asin2(R ++ ++ = cabcab )C2sinB2sinA2(sinR2 2 ++ ++ = cabcab Csin.Bsin.Asin.4R2 2 ++ (Vì sin2A+sin2B+sin2C = 4.sinA.sinB.sinC) = cabcab R2 c . R2 b R2 a R8 2 ++ (Theo định lý hàm số sin) = R)cabcab( abc ++ Do đó đẳng thức (1) 9abc = (a+b+c)(ab+bc+ca) Mà 3 cauchy abc3cba ++ và 3 222 cauchy cba3++ cabcab (a+b+c)(ab+bc+ca) 9abc . Vậy 9abc = (a+b+c)(ab+bc+ca) khi và chỉ khi dấu = trong bất đẳng thức trên xảy ra a = b = c ABC đều . của biểu thức lợng giác 2. Rút gọn. 3. Chứng minh không phụ thuộc vào biến. Hệ thức trong tam giác và trong đờng tròn. Tiết 1-2 I. Véc tơ: Bài tập 1: a.Ta có: 2 ADAHAM += ; HDBHBD += do đó:. 0 4. Định lý hình chiếu: Cho hai véc tơ: AB , CD ta có: AB . CD = AB ''DC trong đó C' và D' lần lợt là hình chiếu của C, D trên đờng thảnh chứa đoạn AB. cung và. sin 8 x)+4(cos 6 x-sin 6 x)+n.sin 4 x a. Tìm m và n để T không phụ thuộc vào x. b. Tính giá trị của T trong trờng hợp trên. Tính giá trị của biểu thức . Bài 1: Cho tgx- cotgx = 3. Tính giá trị của : a.