TOÁN-KHAI THÁC CÁC NỘI DUNG BÀI TẬP 8

Khai thác ứng dụng từ toán lớp Phần I: giới thiệu đề tài: A.Lý chọn đề t i: Giải toán l nghệ thuật thực h nh;giống nh bơi lội,trợt tuyết,hay chơi đ n Vì để có kỹ giải b i tập phải qua trình luyện tập Tuy rằng,không phải l giải b i tập l có kỹ năng.Việc luyện tập có hiệu quả,nếu nh biết khéo léo khai thác tõ mét b i tËp sang mét lo¹t b i tËp t−¬ng tù,nh»m vËn dơng mét tÝnh chÊt n o đó,nhằm rèn luyện phơng pháp chứng minh n o ®ã Thùc tiƠn cho thÊy häc sinh th−êng häc to¸n không ý đến phơng pháp giải nên gặp b i toán có sử dụng phơng pháp tơng tự gặp nhiều lúng túng Vậy không ngo i tâm huyết với em học sinh,niềm đam mê d nh cho môn toán học v mong muốn nâng cao chất lợng đ tiến h nh học tập tích luỹ soạn đề t i n y. B.nhiệm vụ: +Cơ sở lý luận đề t i: việc khai th¸c b i tËp to¸n cã ý nghÜa hay kh«ng? +VËn dơng lý ln v o thùc tiƠn: khai th¸c c¸c øng dơng tõ mét b i to¸n líp C.Phơng pháp nghiên cứu: +phơng pháp nghiên cứu thực tiễn,lý thuyết +phơng pháp tổng kết kinh nghiệm +phơng pháp thực nghiệm s phạm D.Giới hạn đề t i v mục đích nghiên cứu: -Giới hạn đề t i khai th¸c c¸c øng dơng tõ mét b i to¸n líp 8:áp dụng để dạy học sinh lớp 6,7,8 -Mục đích đề t i:Phục vụ cho công tác bồi dỡng khèi 6,7,8 v l m t i liÖu tù häc cho em giúp em tìm cho phơng pháp học tập tích cực Phần 2: nội dung A.Cơ sở lý luận đề t i: Giải b i tập toán l trình suy luận,nhằm khám phá quan hệ lôgic đ cho (giả thiết) với phải tìm (.kết luận).Nhng quy tắc suy luận,cũng nh phơng pháp chứng minh cha đợc dạy tờng minh.Do đó,học sinh thờng gặp nhiều khó khăn giải b i tập.Thực tiễn dạy học cho thấy:HS giỏi thờng đúc kết tri thức,phơng pháp cần thiết cho đờng kinh nghiệm;cònHS trung bình ,yếu, gặp nhiều lúng túng.Để có kĩ giải b i tập phải qua trình luyện tập.Tuy rằng,không phải cø gi¶i nhiỊu b i tËp l cã nhiỊu kÜ năng.Việc luyên tập có nhiều hiệu quả,nếu nh biết khÐo lÐo khai th¸c tõ mét b i tËp sang loạt b i tập tơng tự,nhằm vận dụng Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền Khai thác ứng dụng từ toán lớp tính chất n o đó,nhằm rèn luyện phơng pháp chứng minh n ođó Quan sát đặc điểm b i toán,khái quát đặc điểm đề mục l vô quan trọng,song quan trọng l khái quát hớng suy nghĩ v phơng pháp giải.Sự thực l giải b i tập không l giải vấn đề cụ thể m l giải đề b i loạt vấn ®Ị n o ®ã.Do ®ã h−íng suy nghÜ v ph−¬ng pháp giải b i tập định có ý nghÜa chung n o ®ã.NÕu ta chó ý tõ m khái quát đợc hớng suy nghĩ v cách giải vấn đề n o l ta dùng để đạo giải vấn đề loại v mở rộng ra.Nh toán học Đềcác nói rằng: Mỗi vấn đề m giải trở th nh ví dụ mẫu mực dùng để giải vấn đề khác.Do sau giải b i toán nên ý khai thác hớng suy nghĩ v cách giải B.Vận dụng lý ln v o thùc tiƠn: xÐt b i to¸n 28 trang 21 s¸ch b i tËp to¸n –tËp 1: a.Chøng minh: 1 − = x x + x( x + 1) (1) b.§è: §è em tính nhẩm đợc tổng sau: 1 1 + + + + x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) 1 x +1 x = -Hớng dẫn:a.Biến đổi vế trái th nh vÕ ph¶i : − = x x + x( x + 1) x( x + 1) b.Xét đặc điểm đẳng thức câu a:VP có mẫu l 1tích 2biểu thức cách 1;1 1 = Tơng tự với đặc điểm nh VP câu a;ta có: x x + x( x + 1) 1 1 1 + + + + + = x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) x + 1 1 1 1 1 1 − + − + − + − + − + = x x +1 x +1 x + x + x + x + x + x + x + x + x chÝnh l tử có -Cách phát biểu khác b i toán: a.Viết phân thức th nh hiệu hai ph©n thøc cã tư b ng x( x + 1) b.Vận dụng kết câu a,h y rút gọn biÓu thøc sau: 1 1 1 + + + + + x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) x + I.khai thác ứng dụng 28 tính toán;trong toán rút gọn;toán chứng minh đẳng thức: Từ(1),nếu thay x=1 ta có b i toán sau: Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền Khai thác ứng dụng từ toán lớp B i1:Tính: a + 1 1 + + + + + 3 4 5 99.100 H−íng dÉn: 1 1 1 = + + + + + + 2 3 4 5 99.100 1 1 1 1 1 99 + − + − + − + + − = 1− = 2 3 4 99 100 100 100 1 + + + víi n ≥ 3 n(n + 1) n = Hớng dẫn:tơng tự câu a;ta có kết l :1n +1 n +1 + Từ cã b i to¸n tỉng qu¸t :b.TÝnh tỉng + *)NhËn xét đặc điểm mẫu phân thức để từ ta có dạng b i toán khác:các hạng tử tổng l phân thức có dạng:mẫu l tích 2nhân tử cách đơn vị tử.Vậy mẫu l tích 2nhân tử cách hay hay 4thì giải b i toán nh n o?chẳng hạn: B i2:Tính tổng: a 1 1 + + + + 3 5 2005.2007 b 1 1 + + + + víi n ≥ 2.5 5.8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) Hớng dẫn:a.Viết hạng tử tổng dới dạng hiệu 2phân thức: 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( − ); = ( − ); = ( − ); = ( − ) VËy 3 5 7 2005.2007 2005 2007 1 1 + + + + = 3 5 2005.2007 1 1 1 1 1 1003 ( − + − + − + + − ) = (1 − )= 3 5 2005 2007 2007 2007 b.Phơng pháp l m tơng tự nh câu a 1 1 = ( − ) nªn ta cã: (3n + 2)(3n + 5) 3n + 3n + 1 1 + + + + = 2.5 5.8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) 1 1 1 1 1 1 n +1 ( − + − + − + + − )= ( − )= 5 8 11 3n + 3n + 3n + 3n + Xét hạng tử tổng quát: +Tơng tự nh đề xuất loạt b i toán loại v giải với phơng pháp *)Chú ý đến đặc điểm tử v mẫu phân thức ta có b i toán tổng quát hơn:tử l số(biểu thức) bất kỳ,mẫu l tích số(biểu thức) cách giải b i toán nh n o?chẳng hạn: Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền Khai thác ứng dụng từ toán lớp B i3:TÝnh tæng: 5 5 + + + + + 2.4 4.6 6.8 8.10 98.100 n n n n + + + b víi a − a1 = a − a = a − a = = a k +1 − a k =b a1a a a a a a k a k +1 a Hớng dẫn:a.Phơng pháp l m:viết hạng tử tổng dới dạng hiệu(tơng 5 1 5 1 5 1 5 1 ) ®ã: = ( − ); = ( − ); = ( − ); ; = ( − 2 4 6 8 98.100 98 100 5 5 5 1 1 1 1 = ( − + − + − + + − )= + + + + + 2.4 4.6 6.8 8.10 98.100 2 4 6 98 100 1 49 = ( − )= 2 100 20 tự b i 2) b.Phơng pháp l m tơng tự câu a.Đây l b i toán tổng quát rút từ b i toán trên.Vậy ta xét trờng hợp sau: +Trờng hợp 1:Nếu a − a1 = a − a = a − a = = a k +1 − a k =n B i to¸n n y giải đợc dễ d ng theo cách phân tích b i đó: n 1 = − a 1a a a ……………………… n 1 = − a k a k +1 a k a k +1 1 n n n n + + + = − a1 a a a a a a k a k +1 a k a k +1 +Tr−êng hỵp 2:NÕu a − a1 = a − a = a − a = = a k +1 − a k = b ≠ n n n n n n b b b b + + + Ta cã = ( + + + + ) a1 a a a a a a k a k +1 b a1 a a a a a a k a k +1 Céng tõng vÕ ta cã: B i toán n y thực chất đ đa dạng b i 2;b i3.Do ta có kết l n 1 ( − ) b a k a k +1 -NÕu mÉu l tÝch cña sè tù nhiên cách sao?Từ ta có b i toán khó : 1 1 + + + + víi 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n − 1).n.(n + 1) 1 1 B= + + + + víi n ∈ N ; n ≥ 1.3.5 3.5.7 5.7.9 (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) B i4:TÝnh tỉng :A= n≥1 ,n ∈ N H−íng dÉn: Phơng pháp giải tơng tự nh b i trên:viết hạng tử dới dạng hiệu Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền Khai thác ứng dụng từ toán lớp 1 = Do ®ã ta cã: (n − 1)n(n + 1) (n − 1).n n.(n + 1) NhËn xÐt: 1 1 1 1 1 − + − + + − )= ( − ) 1.2 2.3 2.3 3.4 (n − 1).n n.(n + 1) 2 n.(n + 1) 1 = − NhËn xÐt: Do ®ã ta cã: (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) (2n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3) 1 1 1 1 + + − ) B= ( − + − + − 1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9 (2n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3) 1 ) = ( − (2n + 1)(2n + 3) A= ( 1 b −a *)NhËn xét: Từ (1) ta có đẳng thức tổng quát hơn: − = víi a ≠ 0; b ≠ th× a b a.b việc áp dụng ngợc công thức thực tế đợc sử dụng nhiều Chẳng hạn víi b i to¸n sau: B i 5: Cho biÕt a,b,c l c¸c sè thùc kh¸c nhau.Chøng minh: b−c c−a a−b 2 + + = + + (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) a − b b − c c a Hớng dẫn:Đối với đề n y dùng cách ho đồng mẫu số vế trái để chứng minh trình tính phức tạp.Có cách ngắn gọn không?Quan sát số hạng vế trái ta thÊy tư sè võa ®óng b»ng hiƯu cđa thõa số mẫu số: b-c=(a-c)-(a-b);c-a=(b-a)-(b-c);a-b=(c-b)-(c-a).Điều gợi cho ta nhớ ®Õn dïng b−a 1 b−c 1 = − tøc = − Do ®ã: a.b a b (a − b)(a − c) a − b a − c b−c c−a a−b 1 1 1 + + = − + − + − = (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) a − b a − c b − c b − a c − a c − b 1 1 1 2 + + + + + = + + (§PCM) a−b c−a b−c a−b c−a b−c a−b b−c c−a *)Chó ý ®Õn mÉu: nÕu ta thay x.(x+1)= x + x ; (x+1)(x+2)= x + 3x + ;….ta sÏ có ngợc công thức b i toán luyện cho học sinh kỹ phân tích đa thức th nh nhân tử: B i6:Rút gọn biêủ thức sau: 1 1 + + + + x + x x + 3x + x + 5x + x + 7x + 12 x + 9x + 20 1 1 b N= + + + x − 5x + x − 7x + 12 x − 9x + 20 x − 11x + 30 a M= Hớng dẫn:a.Để rút gọn M cần phân tích mÉu th nh nh©n tư Ta cã: x +x = x(x+1); x + 3x + = x + x + 2x + = (x+1)(x+2); x + 5x + = x + 2x + 3x + = (x+2)(x+3); x + 7x + 12 = x + 3x + 4x + 12 =(x+3)(x+4); x + 9x + 20 = x + 4x + 5x + 20 =(x+4)(x+5) Do ®ã: Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền Khai thác ứng dụng từ toán lớp 1 1 + + + + (x + 1)x (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) (x + 4)(x + 5) 1 1 1 1 1 = − + − + − + − + − x x +1 x +1 x + x + x + x + x + x + x + 1 = − = x x + x(x + 5) M= b.T−¬ng tù ta cã: 1 1 + + + (x − 2)(x − 3) (x − 3)(x − 4) (x − 4)(x − 5) (x − 5)(x − 6) 1 1 1 1 = − + − + − + − x −2 x −3 x −3 x −4 x −4 x −5 x −5 x −6 1 −4 = − = x − x − (x − 2)(x − 6) N= B i 7: Rót gän: a a a a + + + + 2 x + a.x x + 3a.x + 2a x + 5.a.x + 6a x + 7.a.x + 12a x + 4a a a a a b.H= + + + + + 2 x + ax x + 3ax + 2a x + 5ax + 6a x + 19ax + 90a x + 10a a.K= H−íng dÉn: a a a a + + + + x(x + a) (x + a)(x + 2a) (x + 2a)(x + 3a) (x + 3a)(x + 4a) x + 4a 1 1 1 1 = − + − + − + − + x x + a x + a x + 2a x + 2a x + 3a x + 3a x + 4a x + 4a = x a a a a b.H= + + + + x(x + a) (x + a)(x + 2a) (x + 2a)(x + 3a) (x + 3a)(x + 4a) x + 4a a + + + x + 5a (x + 9a)(x + 10a) x + 10a 1 1 1 1 H== − + − + − + − + x x + a x + a x + 2a x + 2a x + 3a x + 3a x + 4a x + 4a 1 1 + + − + x + 5a x + 9a x + 10a x + 10a H= x 2x + 1 *)XÐt biÓu thøc sau: (x + 1)2 − x = 2x + nªn ta cã: = − x (x + 1) x (x + 1) a.K= Do ®ã ta cã b i toán sau: Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền Khai thác ứng dụng từ toán lớp B i8:Rót gän biĨu thøc sau: A= 2x + + + + 2 (1.2) (2.3) [x(x + 1)]2 H−íng dÉn: 2x + = x (x + 1)2 1 1 A= − + − + − 2 3 x(x + 2) =1= (x + 1) ( x + 1) -NhËn xÐt: 1 − nªn ta cã: x (x + 1) 1 + + − x (x + 1) II.khai th¸c ứng dụng 28 chứng minh bất đẳng thøc: B i9:Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ≥ : 1 1 1 + + + + + < 2 (2n) 1 1 b.B = + + + + < (2 n + 1) a.A = H−íng dÉn: a.NhËn xÐt: 1 1 = < m (2 n ) n ( n − 1).n 1 = − nªn ta cã: (n − 1).n n − n 1 1 1 1 1 + + + + + = ( + + + + ) nªn 2 (2n) n 1 1 + + + + ) hay A< (1 + 1.2 2.3 3.4 (n − 1).n 1 1 1 1 − ) hay A< (1 + − + − + − + + 2 3 n −1 n A= n A< (1 + − ) hay A < − 1 hay A< 4n (§PCM) b.NhËn xÐt: 1 1 1 1 < ⇔ < ⇔ < ( − ) 2 2 (2n + 1) (2n + 1) − (2n + 1) 2n.(2n + 2) (2n + 1) 2n 2n + nªn ta cã: 1 1 + + + + hay −1 −1 −1 (2n + 1)2 − 1 1 + + + + B< hay 4.2 4.6 6.8 2n(2n + 2) B< Ng−êi thùc hiƯn: Lª Thị Hiền Khai thác ứng dụng từ toán lớp B< 1 1 1 1 ( − + − + − + + − ) hay 2 4 6 2n 2n + B< 1 1 1 ( − )⇒B < − ⇒B< 2 2n + 4(n + 1) (ĐPCM) B i10:Chứng minh với n nguyên,n>1 thì: 1 1 A= + + + + < − n n Hớng dẫn:Để áp dụng (1) cần sử dụng phơng pháp l m tréi,t−¬ng tù nh− b i -NhËn xÐt: Víi k=2;3;4;…;n ta cã: 1 1 < hay < − (2) k (k − 1).k k k k Lần lợt cho k=2;3;4;;n (2) cộng lại vế theo vế ta đợc: 1 1 1 1 1 − A= + + + + + < + − + − + + n 2 n −1 n A