khai thác bài toán

Chuyên đề Khai thác bài toán A. Lý do viết chuyên đề Trong chơng trình toán THCS có một số dạng toán hay mà ta hay gặp đó là tính tổng của dãy số tự nhiên viết theo một quy luật nào đó. Để giải các bài toán dạng này thông thờng ta biến đổi để làm xuất hiện các số hạng đối nhau sau khi thu gọn ta đợc một số ít số hạng mà ta dễ dàng tính đợc hoặc làm xuất hiện các dẫy số mà ta dễ dàng tính đợc. Nhng biến đổi nh thế nào để xuất hiện các hạng tử đối nhau hoặc các dãy số dễ dàng tính đợc lại là vấn đề không đơn giản mà học sinh hay mắc phải. Đó chính là lí do mà tôi viết chuyên đề này. B. Nội dung chuyên đề I) Bài toán mở đầu và một số dẫy số đơn giản : 1) Bài toán 1. Tính : A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 Để tính A ta biến đổi A để xuất hiện các hạng tử đối nhau. Muốn vậy ta cần tách một thừa số trong mỗi hạng tử thành một hiệu : a = b - c Giải: 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 99.100.3 = 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + + 99.100. (101 - 98) = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + + 99.100.101 - 98.99.100 = 99.100.101 A = 33.100.101 2) Một số dãy số dễ dàng tính đ ợc 1 + 2 + 3 + + n a + (a + k) + (a + 2k) + + (a + nk) k là hằng số II) Khai thác bài toán 1 Trong bài toán 1 . Các thừa số trong mỗi hạng tử hơn kém nhau 1 hay cách nhau 1 đơn vị. Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ta có bài toán 2. Bài toán 2 . Tính : A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99 Giải 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + + 97.99.6 = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + + 97.99(101 - 95) = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99 = 3 + 97.99.101 1 97.33.101 A 2 + = Trong bài toán 1 ta nhân A với 3 (a = 3) . Trong bài toán 2 ta nhân A với 6 (a = 6). Ta có thể nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi hạng tử. 3kn(n + k) = n(n + k)(r + 2k) - (n - k)n(n + k) Thay đổi số các thừa số trong tích ta có bài toán 3 Bài toán 3 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + + 99.99.100 Giải : 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + + 98.99.100.4 = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5(6 - 2) + + 98.99.100(101 - 97) = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 + + 98.99.100.101 - 97.98.99.100 = 98.99.100.101 A = 98.99.25.101 Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ở bài 3 ta có bài toán. Bài toán 4 : Tính : A = 1.3.5 + 3.5.7 + + 5.7.9 + + 95.97.99 Giải : 8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + + 95.97.99.8 = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + + 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + + 95.97.99.101 - 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101 15 95.97 99.101 A 8 + + = Trong bài 3 ta nhân A với 4 (bốn lần khoảng cách). Trong bài 4 ta nhân A với 8 (bốn lần khoảng cách). Nh vậy để giải bài toán dạng n n 1 n(n k)(n 2k) = + + ta nhân với 4k (4 lần khoảng cách) sau đó tách 4kn(n + k)(n + 2k) = n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) - (n - k)(n + k)n(n + 2k) Thay đổi sự kế tiếp lặp lại ở các thừa số trong bài toán 1 ta có bài toán. Bài toán 5 : Tính A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + + 99.100 Giải A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + + 99(101 - 1) = 1.3 - 1 + 3.5 - 3 + 5.7 - 5 + + 99.101 - 99 = (1.3 + 3.5 + 5.7 + + 99.101) - (1 + 3 + 5 + 7 + + 99) Dễ dàng tính đợc A Trong bài toán này ta không nhân A với một số hạng mà tách ngay một thừa số trong tích làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính đợc. Làm tơng tự với các bài toán. Bài toán 6 : Tính A = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + + 100 2 Giải : A = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + 4(3 + 1) + + 100(99 + 1) = 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + 3.4 + 4 + + 99.100 + 100 = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + (1 + 2 + 3 + + 100) Dễ dàng tính đợc A Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số trong bài 6 ta có bài toán. Bài toán 7: Tính A = 1 2 + 3 2 + 5 2 + + 99 2 Giải : A= 1 + 3(2 + 1) + 5(2 + 3) + 7(2 + 5) + + 99(2 + 97) = 1 + 2.3 + 1.3 + 2.5 + 3.5 + 2.7 + 5.7 + + 2.99 + 97.99 = 1 + 2(3 + 5 + 7 + + 99) + (1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99) Dễ dàng tính tiếp đợc A Trong bài toán 5 và 7 có thể sử dụng : (n - a) ì ((n + a) = n 2 - a 2 n 2 = (n - a)(n + a) + a 2 a là khoảng cách giữa các cơ số Thay đổi số mũ của bài toán 7 ta có bài toán Bài toán 8 : Tính A = 1 3 + 2 3 + 3 3 + + 100 3 Giải Sử dụng : (n - 1)n(n + 1) = n 3 - n n 3 = n + (n - 1)n(n + 1) A = 1 + 2 + 1.2.3 + 3 + 2.3.4 + + 100 + 99.100.101 = (1 + 2 + 3 + + 100) + (1.2.3 + 2.3.4 + + 99.100.101) Dễ dàng tính tiếp đợc A Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số ở bài toán 8 ta có bài toán . Bài toán 9: Tính A = 1 3 + 3 3 + 5 3 + + 99 3 Giải : Sử dụng (n - 2)n(n + 2) = n 3 - 4n n 3 = (n - 2)n(n + 2) + 4n A = 1 + 1.3.5 + 4.3 + 3.5.7 + 4.5 + + 97.99.101 + 4.99 = 1 + (1.3.5 + 3.5.7 + + 97.99.101) + 4(3 + 5 + 7 + + 99) Dễ dàng tính tiếp đợc A Với khoảng cách là a ta tách : (n - a)n(n + a)=n 3 - a 2 n ở bài toán 8, 9 ta có thể làm nh bài toán 6, 7 Thay đổi số mũ của một thừa số trong bài toán 1 ta có Bài toán 10: Tính A = 1.2 2 + 2.3 2 + 3.4 2 + + 99.100 2 Giải : A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + + 99.100.(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + + 99.100.101 - 99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) Dễ dàng tính tiếp đợc A Với cách khai thác nh trên ta có thể khai thác, phát triển các bài toán trên thành rất nhiều bài toán hay mà trong quá trình giải đòi hỏi học sinh phải có sự linh hoạt, sáng tạo. Trong các bài toán trên ta có thể thay đổi số hạng cuối cùng của dãy bằng số hạng tổng quát theo quy luật của dãy. Vận dụng cách giải trên hãy giải các bài toán sau: 1. Tính A = 1.99 + 3.97 + 5.95 + + 49.51 2. Tính A = 1.3 3 + 3.5 3 + 5.7 3 + + 97.99 3 3. Tính A = 1.99 2 + 2.98 2 + 3.97 2 + + 49.51 2 III. Bài dạy minh hoạ Khai thác bài toán A. Mục tiêu : Sau khi học xong bài này học sinh biết : - Biến đổi biẻu thức tính tổng các số tự nhiên viết theo quy luật làm xuất hiện các số hạng đối nhau trong dãy hoặc làm xuất hiện các dãy số dễ dàng tính đợc. - Phát triển một bài toán thành nhiều bài toán với cách giải tơng tự nhau. - Rèn tính cẩn thận, chính xác. B. Chuẩn bị : Bài toán : Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 Các dãy số cách đều. C. Hoạt động trên lớp : I/ Tổ chức II/ Kiểm tra bài cũ Tính : A = 2 + 4 + 6 + 8 + + 100 III/ Bài mới Hoạt động của thày Hoạt động của trò Ghi bảng HĐ1 ? Tính A ? Để tính A ta làm thế nào ? Trình bày bài làm trên bảng ? Nhận xét ? Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong một số hạng ta có bài toán. HĐ2 ? Tính A ? Để xuất hiện các hạng tử đối nhau ta làm thế nào Làm bài ? ở bài toán 1, 2 để tính A ta nhân với 3,6 làm thế nào để tình đợc số nhân. ? Viết dới dạng hiệu 3kn(n + k)=? ? Thay đổi số các thừa số trong 1 tích ta có bài toán mới là gì? thay đổi khoảng cách? Để giải bài toán trên ta làm thế nào? ?Viết số hạng tổng quát nhân, tách. * Thay đổi sự kế tiếp lặp ở các số hạng ta có bài toán 3. HĐ 3 ? Tính A ? Nêu hớng làm bài ? ở bài này ta đã làm nh thế nào. ? Lặp lại chính thừa số trong tích ta có bài toán mới nh thế nào. HS làm nháp Nhân A với 3 sau đó tách thừa số 3. 1 HS trình bày bài làm trên bảng. Nhận xét 1 HS lấy ví dụ về 1 bài toán sau khi thay đổi. HS làm nháp Nhân với 6 sau đó tách thừa số 6. 1 HS trình bày kết quả trên bảng. Nhân với 3 lần khoảng cách giữa các thừa số. n(n + k)(n + 2k) - (n - k)n(n + k) 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 1.3.5 + 3.5.7 + Nhân với 4 lần khoảng cách sau đó tách thừa số nhân n(n + k)(n + 2k) 4n(n + k)(n + 2k)=n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) - (n - k)n(n + k)(n + 2k). Học sinh làm nháp Tách 2 = 3 - 1 ; 4 = 5 - 1 1 HS trình bày bài trên bảng làm xuất hiện các dãy số dễ dàng tính đợc. 1 2 + 2 2 + 3 2 + Bài toán 1 :Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 Giải : 3A = 1.2.3+2.3.3+3.4.3 + + 99.100.3 = 1.2.3 + 2.3(4-1) + 3.4(5-2)++99.100.(101-98) =1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + + 99.100.101 - 98.99.100 =99.100.101 A = 33.100.101 Bài toán 2. Tính A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99 Giải 6A = 1.3.6 +3.5.6+ 5.7.6+ + 97.99.6 = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + + 97.99(101 - 95) = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99 =3 + 97.99.101 3 97.99.101 A 6 + = Bài toán 3. Tính A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + + 99.100 Giải : A = 1(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + + 99.(101 - 1) = (1.3 + 3.5 + 5.7 + + 99.101) - (1 + 3 + + 99) Dễ dàng tính tiếp đợc A HĐ4 Tính A ? Nêu hớng giải ? Trình bày bài trên bảng ? Nhận xét ? Thay đổi khoảng cách ta có bài mới là gì? Nêu lý giải. Thay đổi số mũ ta có bài toán mới là gì. HĐ5 Nêu hớng giải bài toán. Gợi ý : Tính (n-1)n(n+1) = ? n 3 = ? Tính A ? Nhận xét ? Thay đổi khoảng cách ta có dẫy mới là gì. ? Viết số hạng tổng quát sau đó tách. ? Thay đổi số mũ của 1 thừa số trong bài toán 1 ta có bài toán mới là gì. HĐ 6 ? Nêu hớng giải. ? Tính A ? Nhận xét. ? Thay đổi khoảng cách ta có bài toán mới là gì? ? Hớng giải Học sinh làm nháp Tách 2=1 + 1 ; 3 = 2 + 1 ; 4 - 3 + 1 1HS trình bày trên bảng Nhận xét 1 2 + 3 2 + 5 2 + Tách 3 = 5 - 2 ; 5 = 7 - 2 1 3 + 2 3 + 3 3 + n 3 - n n 3 = (n - 1)n(n + 1) + n HS làm nháp 1 HS trình bày bài trên bảng Nhận xét : 1 3 + 3 3 + 5 3 + + (n - a)n(n + a)=n 3 - a 2 n n 3 = (n - a)n(n + a) + a 2 n 1.2 2 + 2.3 2 + 2= 3 - 1 ; 3 = 4 - 1 HS làm nháp 1 HS trình bày kết quả trên bảng Nhận xét 1.3 2 + 3.5 2 + 3 = 5 - 2 ; 5 = 7 - 2 ; 7= 7 - 2 Bài toán 4 . Tính A = 1 2 + 2 2 + 3 2 + + 100 2 Giải : A = 1+ 2(1+1)+ 3(2+ 1) + + 100(99+1) = 1+1.2 + 2+ 2.3+ 3+ + 99.100 + 100 =(1.2+ 2.3+ +99.100)+ (1+2+ + 100) Dễ dàng tính đợc A Bài toán 5. Tính A = 1 3 + 2 3 + 3 3 + + 100 3 Giải: Ta có: (n - 1)n(n + 1) = n 3 - n n 3 = n + (n - 1)n(n + 1) A = 1 + 2 + 1.2.3 + 3 + 2.3.4 + + 100 + 99.100.101 = (1 + 2 + 3 + + 100) + (1.2.3 + 2.3.4 + + 99.100.101 Dễ dàng tính tiếp đợc A Bài toán 6 . Tính A = 1.2 2 + 2.3 2 + 3.4 2 + + 99.100 2 Giải : A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4.5(5 - 1) + + 99.100.(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + + 99.100.101 - 99.100 =(1.2.3 + 2.3.4 + + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) Dễ dàng tính tiếp đợc A IV/ Củng cố Để tính tổng của dãy số tự nhiên viết theo quy luật ta làm thế nào ? Ta có thể khai thác bài toán thành nhiều bào toán mới. V/ Hớng dẫn về nhà Tính tiếp các giá trị cuối cùng của các bài toán trên. Từ cách khai thác trên sáng tạo 3 bài toán Vận dụng cách giải trên giải các bài toán sau 1. Tính A = 1.99 + 3.97 + 5.95 + + 49.51 2. Tính A = 1.3 3 + 3.5 3 + 5.7 3 + + 97.99 3 . Ta có thể khai thác bài toán thành nhiều bào toán mới. V/ Hớng dẫn về nhà Tính tiếp các giá trị cuối cùng của các bài toán trên. Từ cách khai thác trên. Dễ dàng tính tiếp đợc A Với cách khai thác nh trên ta có thể khai thác, phát triển các bài toán trên thành rất nhiều bài toán hay mà trong quá trình giải