Đề HSG Toán 678

UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2009 - 2010 Môn: Toán - Lớp 6 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) ================== Bài 1: ( 2,25 điểm) Tính hợp lý: (Không dùng máy tính) =A 3: 20 9 6 15 11 1 20 17 2 +− 101 7 19 7 13 7 7 101 19 3 19 20 +++ ++ =B 110 1 90 1 72 1 56 1 42 1 30 1 20 1 12 1 6 1 ++++++++=C Bài 2: ( 2,0 điểm) Cho 20432 2 2222 +++++=D a. Chứng minh D chia hết cho 5. b. Tìm chữ số tận cùng của D. Bài 3: ( 1,75 điểm) Tìm các số tự nhiên k để 3k + 4 chia hết cho k - 1. Bài 4: ( 2,0 điểm) Có hai vòi nước cùng chảy vào bể không chứa nước, nếu cả 2 vòi cùng chảy thì sau 48 phút sẽ đầy bể, nếu chỉ mở một mình vòi thứ nhất chảy thì sau 2 giờ sẽ đầy bể. Trong một giờ vòi thứ nhất chảy ít hơn vòi thứ hai 50 lít nước. Tính thể tích khi bể chứa đầy nước? Bài 5: ( 2,0 điểm) Cho 3 tia chung gốc O: Oa, Ob, Oc sao cho góc aOb bằng 140 0 ; và tia Oc nằm giữa hai tia Oa và Ob. Vẽ Ox là tia phân giác của góc aOc; Oy là phân giác của góc cOb; Om là phân giác của góc aOb. a. Tính số đo góc xOy. b. Chứng minh: Góc aOx = góc mOy. ( Chú ý: HS phải vẽ hình chính xác để làm bài. Hình vẽ 0,25 điểm) UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2009 - 2010 Môn: Toán - Lớp 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) ================== Bài 1: ( 2,0 điểm) Thực hiện tính: a. (-1).(-1) 2 .(-1) 3 (-1) 2010 b. (1000 - 1 3 ).(1000 - 2 3 ).(1000 - 3 3 ) (1000 - 2010 3 ) Bài 2: ( 2,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức: a. 10109 49319 122.6 9.4.1527.2 + + =A b. 24224 32 yyyxxB +++= với 1 22 =+ yx Bài 3: ( 2,0 điểm) a. Cho yzx = 2 ( x ≠ y và x ≠ z). Chứng minh rằng: xz xz yx yx − + = − + b. Cho 432 zyx == và 1712 22 =+− yzyx . Tính x, y, z Bài 4: ( 2,0 điểm) Cho tam giác ABC có AN, BP, CQ là ba trung tuyến, G là trọng tâm. Trên tia AG lấy điểm E sao cho G là trung điểm của AE. Chứng minh: a. BE= 2QG b. BCACABCQBPAN ++>++( 3 4 Bài 5: ( 2,0 điểm) Cho tam giác ABC có số đo góc ABC bằng 2 lần số đo góc ACB và bằng 2 α , đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE=BH; EH cắt AC tại D. a. Chứng minh: DH=DC=DA b. Trên đoạn HC lấy điểm B’ sao cho HB’=HB. Chứng minh: B’C=B’A. c. Chứng minh: CH=AE. UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2009 - 2010 Môn: Toán - Lớp 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) ================== Bài 1: ( 2,0 điểm) a. Chứng minh: (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac - bd) 2 + (bc + ad) 2 b. Cho: 2 111 =++ zyx và x + y + z = xyz (x, y, z là các số khác o) Chứng minh rằng: 2 111 222 =++ zyx Bài 2: ( 2,5 điểm) Giải các phương trình: a. 0 5 2025 2005 5 2004 6 2003 7 = + + + + + + + xxxx b. x 4 - 2x 2 = 400x + 9999 Bài 3: ( 2,0 điểm) a. Chứng minh: x 2 - x + 1 > 0 (với mọi x) b. Chứng minh: 3 1 1 1 2 2 ≥ +− ++ xx xx c. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức: 1 1 2 2 +− ++ = xx xx A Bài 4: ( 3,5 điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD và AB<CD); Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC, BD. Đường thẳng qua A và song song với BC cắt BD tại E, cắt CD tại A’; đường thẳng qua B và song song với AD cắt AC tại F, cắt CD tại B’. Gọi diện tích các tam giác OAB; OCD; ACD; ABC lần lượt là S 1 ; S 2 ; S 3 ; S 4. Chứng minh: a. EF//AB b. BD BE CD AB = và CDEFAB . 2 = c. 1 3 2 4 1 =+ S S S S UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2009 - 2010 Môn: Toán - Lớp 8 HƯỚNG DẪN CHẤM : Bài 1: ( 2,0 điểm) a. (0,75 điểm) VT = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2 - 2abcd + a 2 d 2 + b 2 c 2 + 2abcd = (ac - bd) 2 + ( bc + ad) 2 =VP ( Mỗi ý ghi 0,25 điểm) b. (1,25 điểm) Với x, y, z khác 0: Bình phương 2 vế: 2 111 =++ zyx ta có: 4 222111 222 =+++++ yzxzxy zyx 4 222111 222 =+++++⇔ xyz x xyz y xyz z zyx 4 )(2111 222 = ++ +++⇔ xyz zyx zyx 4 2111 222 =+++⇔ xyz xyz zyx (Vì x+y+z=xyz) 2 111 42 111 222222 =++⇔=+++⇔ zyxzyx ( Mỗi ý ghi 0,25 điểm) Bài 2: ( 2,5 điểm) a.(1,25 điểm) 0 5 2025 2005 5 2004 6 2003 7 = + + + + + + + xxxx 03 5 2025 1 2005 5 1 2004 6 1 2003 7 =− + ++ + ++ + ++ + ⇔ xxxx 0 5 15 5 2025 2005 2005 2005 5 2004 2004 2004 6 2003 2003 2003 7 =− + ++ + ++ + ++ + ⇔ xxxx 0 5 2010 2005 2010 2004 2010 2003 2010 = + + + + + + + ⇔ xxxx 0) 5 1 2005 1 2004 1 2003 1 )(2010( =++++⇔ x 201002010 −=⇔=+⇔ xx ( Mỗi ý ghi 0,25 điểm) b.(1,25 điểm) x 4 - 2x 2 = 400x + 9999 ⇔ 10000400412 224 ++=++ xxxx (thêm 4x 2 +1 vào 2 vế ) ⇔ ( ) ( ) 2 2 2 10021 +=+ xx ⇔ ( )( ) 01002110021 22 =+++−−+ xxxx ⇔    −=++ =+− )2(10012 )1(10012 2 2 xx xx (1) ⇔ 10012 2 =+− xx ta được    = −= 11 9 x x ; PT(2) 10012 2 −=++ xx vô nghiệm Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x=11; x=-9 ( Mỗi ý ghi 0,25 điểm) Bài 3: ( 2,0 điểm) a.+ x 2 – x + 1 = x 2 –x + 1/4 + 3/4 = (x-1/2) 2 + 3/4 > 0 + (x-1/2) 2 ≥ 0; 3/4 > 0 nên (x-1/2) 2 + 3/4 > 0 b. + Từ kết quả (a) nhân 2 vế của BĐT với số dương 3( x 2 – x + 1) được : 3x 2 + 3x + 3 > x 2 –x + 1 + Biến đổi : ⇔ 2x 2 + 4x + 2 > 0 ⇔ 2(x+1) 2 > 0 + 2(x+1) 2 > 0 luôn đúng. Suy ra: 3 1 1 1 2 2 ≥ +− ++ xx xx . c. + 1 )1(31)1(3 1 1 2 222 2 2 +− +−−++++− = +− ++ xx xxxxxx xx xx + 3 1 )1(2 3 1 242 3 2 2 2 2 ≤ +− − −= +− +− −= xx x xx xx + A= 1 1 2 2 +− ++ xx xx đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x = 1. ( Mỗi ý ghi 0,25 điểm) Bài 4: ( 3,5 điểm) a.(1,0 điểm) OC OA OB OE BCAE =⇒// OD OB OA OF ADBF =⇒// OD OB OC OA CDAB =⇒// ABEF OA OF OB OE //⇒=⇒ (Ta-let đảo) b.(1,75 điểm) ' '// DA AB ED EB DAAB =⇒ CD B’ A’ O E F A B 'DAAB AB EBED EB + = + ⇒ CAAB ' = được DC AB BD EB = BD BE DB EF DBEF =⇒ ' '// DCEFAB AB EF DC AB DB EF DC AB . ' 2 =⇒ =⇒ =⇒ ( Do 'DBAB = ) c.(0,75 điểm) AC OA S S ABC OAB = AC OC S S ADC OCD = (Tỷ số DT hai tam giác có cùng đáy bằng tỷ số hai đường cao ) Cộng hai đẳng thức trên vế theo vế ta được điều phải chứng minh ( Mỗi bước cho 0,25 điểm) ========================= Ghi chú: HS giải bằng cách khác nhưng hợp lý giám khảo vẫn ghi điểm tối đa cho từng câu. ********* UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2009 - 2010 Môn: Toán - Lớp 6 HƯỚNG DẪN CHẤM : Bài 1: ( 2,25 điểm) a. A= 15 4 3 15 11 1 15 15 4 15 11 15 20 3 2 15 11 1 20 17 23: 20 9 6 15 11 1 20 17 2 =−=−=+−=+− (0,75 điểm) b. B 101 7 19 7 13 7 7 101 19 13 19 19 19 19 101 7 19 7 13 7 7 101 19 13 19 119 +++ +++ = +++ +++ = 7 19 101 1 19 1 13 1 17 101 1 19 1 13 1 119 =       +++       +++ = ( 0,75 điểm) c. 110 1 90 1 72 1 56 1 42 1 30 1 20 1 12 1 6 1 ++++++++=C 11.10 1 10.9 1 9.8 1 8.7 1 7.6 1 6.5 1 5.4 1 4.3 1 3.2 1 ++++++++= 11 1 10 1 10 1 9 1 4 1 3 1 3 1 2 1 −+−++−+−= 22 9 22 2 22 11 11 1 2 1 =−=−= ( 0,75 điểm) Bài 2: (2,0 điểm) Cho D = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + +2 20 a. Chứng tỏ rằng D chia hết cho 5: (1 điểm) D = 2(1 + 2+ 2 2 + 2 3 )+ 2 5 (1 + 2+ 2 2 + 2 3 )+2 9 (1 + 2+ 2 2 + 2 3 )+ +2 13 (1 + 2+ 2 2 + 2 3 ) +2 17 (1 + 2+ 2 2 + 2 3 ) =(1 + 2+ 2 2 + 2 3 )(2 + 2 5 +2 9 +2 13 +2 17 ) = 15(2 + 2 5 +2 9 +2 13 +2 17 ) = 5.3. (2 + 2 5 +2 9 +2 13 +2 17 ) Kết luận D chia hết cho 5. (Mỗi bước ghi 0,25 điểm) b. Tìm chữ số tận cùng của D: (1 điểm) - D chia hết cho 2 do D là tổng của các số chia hết cho 2. - D chia hết cho 5 nên Dcó chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. - D chia hết cho 2 nên D có chữ số tận cùng là chữ số chẵn. - D vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 nên có chữ số tận cùng là 0. (Mỗi bước ghi 0,25 điểm) Bài 3: (1,75 điểm) - 3k + 4 chia hết cho k - 1 hay 3k -3 + 7 chia hết cho k -1 0,5 đ - Do 3k - 3 = 3(k - 1) chia hết cho k - 1 nên 7 chia hết cho k -1 0,5 đ - k-1 là ước của 7 nên k-1 = 7 hoặc k -1 = 1 0,5 đ - Suy ra được k = 8 hoặc k = 2. 0,25 đ Bài 4 (2,0 điểm) Trong 1 phút: - Hai vòi chảy được: 48 1 bể 0,25 đ - Vòi thứ nhất chảy được: 120 1 bể 0,25 đ - Vòi thứ hai chảy được: 80 1 120 1 48 1 =− bể 0,5 đ - Vòi thứ hai chảy hơn vòi thứ nhất: 240 1 120 1 80 1 =− bể 0,5 đ - Thể tích bể: 50: 240 1 = 12000 lít 0,5 đ Bài 5:(2,0 điểm) a.Tính sđ góc xOy: (0,5 điểm) - ∠ xOy = ∠ xOc + ∠ cOy= 2 1 ( ∠ aOc + ∠ cOb) = 2 1 ∠ aOb= 2 1 .140 0 =70 0 b.Chứng minh ∠ aOx = ∠ mOy: (1,0 điểm) - Om là phân giác ∠ aOb: ∠ aOm = 2 1 ∠ aOb (1) - Ox là phân giác ∠ aOc: ∠ xOc = 2 1 ∠ aOc - Oy là phân giác ∠ cOb: ∠ cOy = 2 1 ∠ cOb - Do: ∠ xOy = ∠ xOc+ ∠ cOy = 2 1 ( ∠ aOc + ∠ cOb) = 2 1 ∠ aOb (2) Từ (1) & (2) suy ra: - ∠ aOm = ∠ xOy - ∠ aOx+ ∠ xOm = ∠ aOm - ∠ mOy+ ∠ xOm = ∠ xOy Cho ta: ∠ aOx = ∠ mOy a x c m O y b UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2009 - 2010 Môn: Toán - Lớp 7 HƯỚNG DẪN CHẤM : Bài 1: ( 2,0 điểm) a. (-1).(-1) 2 .(-1) 3 (-1) 2010 = (-1) 1+2+ +2010 = (-1) 2010(2010+1):2 Do 2010(2010+1):2 là một số lẻ Nên: (-1) 2010(2010+1):2 = -1 ( 1,0 điểm) b. Trong tích: (1000 - 1 3 ).(1000 - 2 3 ).(1000 - 3 3 ) (1000 - 2010 3 ) có thừa số: 1000 - 10 3 = 0 Nên: (1000 - 1 3 ).(1000 - 2 3 ).(1000 - 3 3 ) (1000 - 2010 3 )=0 ( 1,0 điểm) Bài 2: ( 2,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức: a. 10109 49319 122.6 9.4.1527.2 + + =A = 20101099 818919 2.32.3.2 3.2.5.33.2 + + = 2 1 7.2 7 )61(3.2 )52.(3.2 919 918 == + + (1,0 điểm) b. 24224 32 yyyxxB +++= với 1 22 =+ yx = 2222222 )()(2 yyxyyxx ++++ = 222 2 yyx ++ = 22 22 yx + = 2)(2 22 =+ yx (1,0 điểm) Bài 3: ( 2,0 điểm) a. - Từ yzx = 2 được : x z y x = - Từ x z y x = được xy zx y x + + = và xy zx y x − − = - Suy ra xy zx xy zx − − = + + xz xz yx yx zx zx xy yx − + = − + ⇒ − + = − + ⇒ (1,0 điểm) b. - Từ 32 yx = được 94 22 yx = - Từ 4 . 39 2 zyy = được 24 2 129 2 yzyzy == - Kết hợp được : 9 19 171 2494 2 24 2 94 2222 == +− +− == − − = yzyxyzyx - x 2 = 4.9=36 được x = 6 và x = -6 * x = 6 được y = 9 và z= 12 * x = - 6 được y = -9 và z= -12 (1,0 điểm) Bài 4: ( 2,0 điểm) (Hình vẽ: 0,5 đ; phục vụ cho mỗi câu 0,25 đ) a. Chứng minh BE=2QG: ( 0,75đ) - Chứng minh: tg BNE= tgCNG - Suy ra: BE=GC - Do: GC=2QG (trọng tâm tam giác) nên: BE=2QG (Mỗi ý 0,25đ) b. ( 0,75đ) - Ta có: AG+BG>AB; BG+GC>BC; AG+GC>AC ( bất đẳng thức tg) - Cộng theo vế có: 2(AG+BG+CG)>AB+BC+AC - Hay: 2. 3 2 (AN+BP+CQ)>AB+BC+AC Vậy: 3 4 (AN+BP+CQ)>AB+BC+AC (Mỗi ý 0,25đ) A Q P G B N C E Bài 5: ( 2,0 điểm) (Hình vẽ: 0,25 đ) A B C H E D B’ . HỌC SINH GIỎI PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2009 - 2010 Môn: Toán - Lớp 6 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) ================== Bài 1: ( 2,25 điểm) Tính hợp lý:. HỌC SINH GIỎI PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2009 - 2010 Môn: Toán - Lớp 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) ================== Bài 1: ( 2,0 điểm) Thực hiện tính: a HỌC SINH GIỎI PHÒNG GD & ĐT NĂM HỌC: 2009 - 2010 Môn: Toán - Lớp 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) ================== Bài 1: ( 2,0 điểm) a. Chứng minh: