Đề thi HKII khối 11

Trường THPT TX SAĐEC ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN LỚP 11A Tổ: Toán-Tin HỌC KỲ II – năm học 2010-2011 PHẦN GIẢI TÍCH Chương 3:DÃY SỐ.CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN. I.Kiến thức cơ bản: 1)Cấp số cộng: -Định nghĩa : (u n ) là CSC ⇔ u n+1 = u n + d , d là hằng số ;-Số hạng tổng quát u n = u 1 + (n-1)d. -Tổng n số hạng đầu s n = 1 ( ) 2 n n u u+ = 1 [2u ( 1) ] 2 n n d+ − . 2)Cấp số nhân: -Định nghĩa: (u n ) là CSN ⇔ u n+1 = u n .q ,q là hằng số ;-Số hạng tổng quát u n = u 1 q n-1 -Tổng n số hạng đầu s n = 1 ( 1) 1 n u q q − − , q ≠ 1 II.Ví dụ minh họa: 1)Cho dãy số (u n ) với u n = 9-5n. a)Viết năm số hạng đầu của dãy. b)Chứng minh rằng dãy số (u n ) là một cấp số cộng.Chỉ rõ u 1 và d. c)Tính tổng của 100 số hạng đầu. Giải: a)4,-1,-6,-11,-16. b)Xét hiệu u n+1 -u n = 9-5(n+1)-9+5n=-5, do đó dãy (u n ) là một cấp số cộng với u 1 =4 và d = -5. c) 100 100[2.4 (100 1)( 5)] 24350 2 S + − − = = − . 2)Cho dãy số (u n ) với u n = 2 2n+1 . a)Chứng minh rằng dãy (u n ) là một cấp số nhân.Nêu nhận xét về tính tăng ,giảm của dãy số . b)Lập công thức truy hồi của dãy số. c)Hỏi số 2048 là số hạng thứ mấy của dãy số này. Giải: a)Lập tỉ số 2( 1) 1 1 2 1 2 4 2 n n n n u u + + + + = = , vì 1n n u d u + = = 4>1 nên dãy số (u n ) tăng và là cấp số nhân. b)Cho n = 1, ta có u 1 = 8. Công thức truy hồi là 1 1 8 4 , 1 n n u u u n + =   = ≥  c)Ta có u n = 2048 = 2 11 = 2 2n+1 , suy ra 2n+1 = 11 ⇔ n = 5.Vậy 2048 là số hạng thứ năm của dãy. III.Bài tập: 1)Cho cấp số cộng (u n ) có u 17 -u 20 =9 và u 17 2 +u 20 2 =153.Hãy tìm số hạng đầu và công sai của CSC. 2)Cho cấp số cộng (u n ) có công sai d>0,u 31 +u 34 = 11 và u 31 2 + u 34 2 =101. hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó. 3)Cho cấp số nhân (u n ) có u 20 =8u 17 và u 3 +u 5 =272. Tì số hạng đầ và công bội của CSN đó. 4)Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạng là 5 3 , tổng ba số hạng đầu tiên của nó là 39 25 . Tìm số hạng đầ và công bội của cấp số nhân đó. Chương 4: GIỚI HẠN. A.GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ. I. Kiến thức cơ bản: 1 -Các giới hạn đặc biệt: 1 lim k n = 0, limn k = + ∞ ,k nguyên dương; limq n = 0 , q <1; limq n = + ∞ , q>1;limc = c ,c hằng số. -Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: S = u 1 +u 2 +u 3 + = 1 1 u q− II. Ví dụ minh họa: Tính các giới hạn sau: a) 2 2 4 1 lim 2 3 n n n − − + b) 2 2 5 1 lim 1 2 n n n + + − c) 2 lim( 1)n n n− + + d) 2 lim( 2 4 )n n n+ + − Giải: a) 2 2 4 1 lim 2 3 n n n − − + = 2 2 1 1 4 lim 3 2 n n n − − + = 2 b) 2 2 1 3 lim 1 2 n n n n + + − = 2 2 1 1 1 3 lim 1 2 n n n n + + − = 0 c) 2 2 1 1 lim( ) 1n n n   − − − = −∞  ÷  ÷   d) 2 2 4 lim 2 4 n n n n + + + + = 2 4 2 lim 2 4 1 1 n n n + + + + =2 III. Bài tập: 1)Tính các giới hạn sau: a) 3 3 2 2 1 3 lim n n n n + − + b) 3 2 3 5 2 lim 4 n n n − + + c) 3 4 1 lim 2.4 2 n n n n − + + d) 2 2 lim ( 1 2)n n n− − + 2)Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số. a) 0,666 b)0,2121 c)0,32111 B.GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. HÀM SỐ LIÊN TỤC. I. Kiến thức cơ bản: 1)Giới hạn của hàm số: -Quy tắc tìm giới hạn vô cực:quy tắc 1, quy tắc 2 SGK (lớp 11 nâng cao) trang 160-161. -Các dạng vô định: 0 0 , ∞ ∞ , 0. ∞ và ∞ − ∞ . 2)Hàm số liên tục: -Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x o ⇔ lim ( ) ( ) o o x x f x f x → = ⇔ lim ( ) lim ( ) ( ) o o o x x x x f x f x f x + − → → = = -Hàm số y =f(x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. -Nếu hàm số y =f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). II. Ví dụ minh họa: 1)Tính các giới hạn sau: a) 2 2 lim 7 3 x x x → − + − b) 3 3 2 2 3 4 lim 1 x x x x x →+∞ + − − − + c) 0 1 1 lim 1 1 x x x − →   −  ÷ +   d) 2 lim ( 4 2 ) x x x x →−∞ − + Giải: a) 2 (2 )( 7 3) lim 2 x x x x → − + + − = 2 lim ( 7 3) 6 x x → − + + = − b) 3 3 2 2 3 4 lim 1 x x x x x →+∞ + − − − + = 2 3 3 3 4 2 lim 1 1 1 x x x x x →+∞ + − − − + =-2 c) 0 1 ( 1) lim ( 1) x x x x − → − + + = 0 1 lim 1 1 x x − → − = − + d) 2 2 2 (4 ) 4 lim 4 2 x x x x x x x →−∞ − − − − = lim 1 4 2 x x x x x →−∞ − − − − = 1 1 lim 4 1 4 2 x x →−∞ = − + 2 2)Tìm m để hàm số f(x) = 2 2 , 2 2 , 2 x x khi x x m khi x  − − ≠  −   =  liên tục trên R. Giải: *)Hàm số f(x) = 2 2 2 2 x x − − − liên tục trên R\{2} *) 2 2 2 lim 2 x x x x → − − − =3 ; f(2) = m .Để hàm số f(x) liên tục tại x = 2 thì m = 3. *)Để hàm số liên tục trên R thì m = 3. 3)Chứng minh rằng phương trình (1-m 2 )x 5 - 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m. Giải: Xét hàm số f(x) = (1-m 2 )x 5 - 3x – 1 liên tục trên R. Vì f(0) = -1<0 và f(-1) = m 2 + 1>0 nên f(0)f(-1)<0 ,suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b), (ĐPCM) III. Bài tập: 1.Tính các giới hạn sau: a. 1 1 lim 2 3 + − −→ x x x b) 1 4 lim 2 2 + − −→ x x x c) 6 33 lim 6 − −+ → x x x d) x x x − − +∞→ 4 62 lim e) 1 17 lim 2 + +∞→ x x f) x xx x + −+− +∞→ 3 12 lim 2 2. Tính các giới hạn sau: a. ( ) 2 2 2 53 lim − − → x x x b) 1 72 lim 1 − − − → x x x c) 1 72 lim 1 − − + → x x x 3. Tính a) ( ) 1lim 24 −+− +∞→ xxx x b) ( ) 532lim 23 −+− −∞→ xx x c) 52lim 2 +− −∞→ xx x d) x xx x 25 1 lim 2 − ++ +∞→ 4.Xét tính liên tục của các hàm số a) 2 x x 2 ; x 2 f (x) x 2 5 x ; x 2  − − >  = −   − ≤  Tại…x=2 b) 2 2x 5x 2 khi x 2 f (x) x 2 4 khi x 2  − + ≠  = −   =  tại x=2 5.a)Cho 2 2 x 4 khi x 0 f (x) x 4m 1 khi x 0  − +  ≠ =   + =  Xét tính liên tục của các hàm số tại x = 0. b)Cho ( )      ≤++ > − −+ = )2(32 2 2 223 )( 2 3 xxmx x x x xf Xác định m để hàm số liên tục trên R. 6.CMR: Phương trình 0253 45 =−+− xxx có ít nhất ba nghiệm trên (-2; 5). 7. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m: a)(1-m 2 )x 5 -3x-1= 0 b)(1-m 2 )(x+1) 3 +x 2 -x-3 = 0 c)m(2cosx- 2 ) = 2sin5x +1 8. Chứng minh rằng các phương trình luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m: a. m(x-1) 2 (x 2 - 4) + x 4 -3 = 0 b.x 3 - 3x = m 3 Chương 5:ĐẠO HÀM. I.Kiến thức cơ bản: 1)Bảng đạo hàm của một số hàm số thường gặp: Hàm số sơ cấp Hàm số hợp (c) / = 0,( c là hằng số ) (x) / = 1 (x n ) / = nx n-1 (n là số tự nhiên ) / 2 1 1 ( 0)x x x   = − ≠  ÷   ( ) / 1 ( 0) 2 x x x = > (u n ) / = nu n-1 .u / / / 2 1 u u u   = −  ÷   ( ) / / 2 u u u = (sinx) / = cosx (cosx) / = -sinx (tanx) / = 2 1 osc x (cotx) / = 2 1 sin x − (sinu) / = u / cosu (cosu) / = -u / sinu (tanu) / = / 2 os u c u (cotu) / = / 2 sin u u − 2)Các quy tắc tính đạo hàm: (u ± v) / = u / ± v / (uv) / = u / v + uv / (ku) / = k(u) / ,k là hằng số / / / 2 u u v uv v v −   =  ÷   3)Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =f(x) tại điểm M o (x o ;y o ) thuộc đồ thị là y = f / (x o) (x-x o ) + y o 4)Vi phân của hàm số : df(x) = f / (x)dx hay dy = y / dx 5)Đạo hàm cấp cao : f (n) = / ( 1)n f −     II.Bài tập: 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau a) 1 2 +−= xxxy b) 2 52 xxy −−= c) )( 22 3 consta xa x y = − = d) x x y − + = 1 1 e) sinx+cosx x y = f) t anx 1+tanx x y = g) 3 1 osx- os 3 y c c x= i) 5 sin ( os5x)y c= 2)Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau a)y =x 4 -3x 3 +x 2 -1 b)y = cos 2 x c)y = 1 2x + 3)Giải phương trình f / (x) = 0 ,biết: a)f(x) = 3 cosx+sinx-2x-5 b)f(x) = 1 2 sin2x + sinx-3 4)Giải phương trình 1+5y+6y / = 0, biết y = 1 1 x− . 5)Gọi (C) là đồ thị của hàm số f(x) = x 3 -5x 2 +2.Viết pt tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau: a)Biết (C) đi qua điểm có hoàng độ bằng -4. b)Biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1 c)Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 1 7 x + 2009 d)Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A (0;2). 6)Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2 2 x x + − ,biết tiếp tuyến đó tạo với trục 0x một góc 135 0 . 4 7)Viết pt tiếp tuyến của đồ thị y = 2 1 1 x x x + + + ,biết tiếp tuyến đó vuông góc với (d) y = 4 1 3 3 x− + . BÀI TẬP ĐỀ 1. Câu 1: Tính các giới hạn sau. a) 2 2 2 lim 1 3 n n n − − b) 2 lim( 5 1 )n n n+ + − c) 2 1 lim .3 n n n + d) 2 2 6 lim 2 x x x x → + − − e) 3 2 2 1 lim 1 x x x x →−∞ + − + f ) 2 lim ( 2 ) x x x x →+∞ − − Câu 2: Tìm gá trị của m để hàm số 3 3 ( ) 1 2 3 x khi x f x x m khi x −  ≠  = + −   =  liên tục tại x o = 3. Câu 3: a)Cho f(x) = 2cos 2 x + sin2x + 3 . Giải phương trình f / (x) = 0 b)Cho f(x) = 3 2 15 3 2 x x x+ + + . Giải bất phương trình f / (x) ≤ 0 c)Chứng minh rằng đối với hàm số y = xsinx ta có : xy // -2(y / -sinx) + xy = 0 d)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2 5 4 2 x x x − + − , biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 3x +2009. Câu 4:Tìm ba số liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của ba số đó bằng 21 và tổng bình phương của chúng bằng 155. ĐỀ 2. Câu 1: Tính các giới hạn sau: a) 3 3 3 2 4 lim 72 5 n n n n + + + b) 4 24 2 16 2 4 lim 8 5 n n n n + + + c)lim 2 osn n 1 c + d) 2 2 2 3 7 2 lim 4 x x x x → − + − e) 2 2 lim 1 x x x →−∞ + + f ) 2 2 0 1 2 lim 1 1 x x x →   −  ÷ +   Câu 2: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) = x 3 + 3x 2 a)Tính y / . b)Viết phương trình tiếp tuyến của (C) ,biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x-2 Câu 3: Cho hàm số y = x 45 – 2x 40 – 2008x 2008 . Tính y (2008) (2008) Câu 4: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 10,tổng của năm số hạn đầu tiên của cấp số nhân đó bằng 155 16 .Tìm số hạn đầu tiên và công bội của cấp số nhân đó. Câu 5: Xác định a để hàm số f(x) = 2 1 , 1 1 ax+2 ,khi x 1 x khi x x  − <  −   ≥  liên tục trên R. Câu 6: Chứng minh rằng đối với hàm số y = ( ) 3 2 1x x+ + ta có: (1+x 2 )y // + xy / - 9y = 0. PHẦN HÌNH HỌC. I. Kiến thức cơ bản: 1. Lý thuyết: - Hai mặt phẳng song song (định nghĩa,tính chất,định lí Ta-lét). - Góc giữa hai đường thẳng ,hai đường thẳng vuông góc. - Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ,điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng,định lí ba đường vuông góc,góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. 5 - Hai mặt phẳng vuông góc,góc giữa hai mặt phẳng. - Khoảng cách: + Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng + Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng + Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song + Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song + Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 2. Ví dụ minh hoạ * Ví dụ 1:Cho tứ diện ABCD.Gọi G 1, G 2 ,G 3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC,ACD,ABD.Chứng minh:(G 1 G 2 G 3 )//(BCD) Giải: Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của BC,CD,DB. Theo tính chất trọng tâm ta có: 3 2 J 21 == A AG AI AG IJ// 21 GG⇒ Mà: IJ ⊂ (BCD) Nên: (BCD)// 21 GG và 3 2 K 3 1 == A AG AI AG IK// 31 GG⇒ Mà: IK ⊂ (BCD) Nên: (BCD)// 31 GG Vậy: (G 1 G 2 G 3 )//(BCD) *Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,SAvuông góc với mp(ABC). Gọi '' ,CB lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng SB,SC. Chứng minh rằng : a) BC ⊥ (SAB) : ' AB ⊥ (SBC). b) Chứng minh: ' AB ⊥ SC. c) (SAC) ⊥ )( '' CAB . Giải: a) Ta có: BC ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABC))Và: BC ⊥ AB (gt) ⇒ BC ⊥ (SAB) *Ta có: BC ⊥ (SAB) ⇒ ' AB ⊥ BC (do ' AB ⊂ (SAB)) Mặt khác: ' AB ⊥ SB Nên: ' AB ⊥ (SBC). b) Ta có : ' AB ⊥ (SBC) ⇒ ' AB ⊥ SC (do SC ⊂ (SBC)) c) Ta có: ' AB ⊥ (SBC). ⇒ SC ⊥ ' AB (do SC ⊂ (SBC)) Mặt khác : SC ⊥ ' AC ⇒ SC ⊥ )( '' CAB Do đó: (SAC) ⊥ )( '' CAB . * Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD,cạnh đáy bằng a và đường cao SO= 2 a . Gọi I là trung điểm của BC và K là hình chiếu vuông góc của O lên SI a) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SD b) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SI và DC. Giải: a) * Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O lên đường thẳng SD. Ta có: OH ⊥ SD ⇒ d(O;SD)=OH Tam giác SOD vuông tại O,có OH là đường cao nên: 222 111 SOODOH += (*) Ta có: BD=AB 2 =a 2 ⇒ OD= 2 2 2 aBD = . Từ (*): 2222 6421 aaaOH =+= ⇒ 6 2 2 a OH = ⇒ OH= 6 6a . Vậy d(O;SD)= 6 6a b) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) Ta có:OK ⊥ (SBC) ⇒ OK là khoảng cách từ điểm O đến (SBC) 6 S A B C B' C ' S D A B C I K H O Tam giác SOI vuông tại O,có OK là đường cao nên: 222222 844111 aaaSOOIOK =+=+= ⇒ 8 2 2 a OK = ⇒ OK= 4 2a . Vậy d(O;(SBC))= 4 2a . c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SI và DC. Ta có: CI ⊥ SI và CI ⊥ DC ⇒ CI là khoảng cách giữa SI và DC. Mặt khác: CI= 2 a . Vậy: d(SI,DC)= 2 a . II.Bài tập: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA ⊥ (ABCD).Gọi H,I,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB,SC,SD.Chứng minh: a) BC ⊥ (SAD) ;BD ⊥ (SAC). b) HK ⊥ (SAC).Từ đó suy ra HK ⊥ AI. Bài 2: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau.Gọi H là điểm thuộc mặt phẳng(ABC) sao cho OH ⊥ (ABC).Chứng minh rằng: a) BC ⊥ (OAH). b)H là trực tâm của tam giác ABC . c) 2222 1111 OCOBOAOH ++= . Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a,AD= 3a . Cạnh bên SAvuông góc với đáy và SA=a. a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. b) Tính góc giữa đường thẳng SB và CD. c) Tính góc giữa đường thẳng SD và (SAB). d) Tính diện tích tam giác SBD. Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD,có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a . a) Tính độ dài đường cao SO của hình chóp. b) Gọi M là trung điểm của SC,chứng minh (MBD) ⊥ (SAC). c) Tính diện tích tam giác SBC và SAC Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC,cạnh đáy bằng a và đường cao SO= 3 3a .Gọi I là trung điểm của BC và K là hình chiếu vuông góc của O lên SI. a) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SA. b) Chứng minh: BC ⊥ (SOI) và OK ⊥ (SBC). c) Tính khoảng cách từ điểm O đến (SBC). Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,tam giác SAB đều,SC= 2a .Gọi K là trung điểm của AD.Chứng minh: a) (SAB) ⊥ (ABCD). b) AC ⊥ SK; CK ⊥ SD. Bài 7: Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a,mặt bên (SBC) vuông góc với đáy. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AB,SA,AC. a)Chứng minh:(MNP)//(SBC). b)Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP)và (SBC). Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA ⊥ (ABCD) và SA=2a. a) Chứng minh:(SAC) ⊥ (SBD); (SCD) ⊥ (SAD). b)Tính góc giữa SD và (ABCD) ; SB và (SAD). c) Tính d(A;(SCD)); d(B;(SAC)); d(C:(SBD)). d) Xác định và tính đoạn vuông góc chung giữa các đường thẳng SD và BC; AD và SB. Bài 9:Cho chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a.Gọi O là tâm của đáy ABCD. a) Chứng minh:(SAC) ⊥ (SBD); (SBD) ⊥ (ABCD). b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD);từ O đến (SBC). c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SD. Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA ⊥ (ABC).Vẽ đường cao AH của tam giác SAB.Chứng minh rằng: a) BC ⊥ (SAB);AH ⊥ SC. b) Tam giác SBC vuông tại B. c) (SAB) ⊥ (SBC);(AHC) ⊥ (SBC). Bài 11. Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi H là trung điểm của cạnh BC. a) Chứng minh BC ⊥ (AHA’). Tính diện tích tam giác AHA’. b) Tính khoảng cách từ A đến mp(A’BC). 7 Trường THPT TX SAĐEC ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN LỚP 11B Tổ: Toán-Tin HỌC KỲ II – năm học 2010-2011 PHẦN GIẢI TÍCH Chương 4: GIỚI HẠN. A.GIỚI HẠN CỦA MỘT DÃY SỐ; I. Kiến thức cơ bản:  C là hằng số limC C⇒ = .  { } 1 lim ;lim 0;( 1;2;3; ) k k n k Z n + = +∞ = ∀ ∈ = .  lim 0, : 1;lim , : 1 n n q q q q q q= ∀ < = +∞ ∀ > .  Nếu lim ;lim n n u a v b= = thì; a) ( ) ( ) lim ;lim . . ; n n n n u v a b u v a b± = ± = b) 0, 0 lim n n n u a v b v b ≠ ≠ ⇒ = ; c) 0 0,lim n n u a u a≥ ⇒ ≥ = . lim ) lim 0; lim n n n n u a u a v v =  ⇒ =  = ±∞  lim 0 )lim 0 lim ; 0; n n n n n u a u b v v v n +  = >  = ⇒ = +∞   > ∀ ∈  ¢ lim ) lim . . lim 0 n n n n u c u v v a = +∞  ⇒ = +∞  = >  a) Dãy ( ) n u là một cấp số nhân lùi vô hạn ( ) n u⇔ là 1 CSN vô hạn có công bội q; 1q < . b) Khi đó, tổng; 1 1 2 3 1 n u S u u u u q = + + + + + = − . II. 6 Ví dụ minh họa: ( Chia cả tử và mẫu cho k n ) A = 2 2 1 lim 1 n n n + + + = 2 2 1 1 1 lim 1 1 n n n + + + = 1 ; B = 2 2 1 lim 1 n n n + + + = 2 2 1 1 lim 1 n n n n + + + = 2 2 1 1 1 1 lim 1 1 n n n n + + + = 0 ; ( Chia tử và mẫu cho n a , rồi dùng chú ý 3. ) C = 1 1 1 1 2 1 2 2 lim lim lim 1 1 2 1 1 1 1 2 2 n n n n n n   − −  ÷ −   = = = +   + +  ÷   ; ( Đặt k n làm nhân tử chung ) D = 2 lim( 1)n n n+ + = 2 2 1 1 lim . 1n n n   + + = +∞  ÷  ÷   ( Nhân với lượng liên hợp ) E = 2 lim( 1 )n n n+ + − = 2 1 lim 1 n n n n + + + + = 2 1 1 lim 1 1 1 1 n n n + + + + =1. Ví dụ :Tính tổng; 1 1 2 2 1 2 2 S = − + − + − ? 8 Giải: Dãy số ( ) : 2; 2;1; n u − là 1 CSN, công bội 1 1 1 2 2 q q= − ⇒ = < , nên là 1 CSN lùi vô hạn. 1 2 2 2 2 1 1/ 2 2 1 u S= ⇒ = = + + . III. Bài tập: Bài 1 Tính các giới hạn sau a) 1 lim n n + ; b) 2 2 4 lim 4 5 n n n n + + + ; c) 3 2 3 1 lim n n n n + − + ; d) 3 2 2 10 lim 2 2009 n n n − + − + ; e) 3 2 3 5 2 lim 4 n n n − + + ; f) 2 5 2 3 1 lim 2 2009 n n n n − + + + . Bài 2 Tính các giới hạn sau a) 2 1 lim 2 3 n n + + ; b) 3 lim( 6 5)n n− − ; c) ( ) 2 lim 2 3n n n+ − + ; d) 2 2 lim ( 1 2)n n n− − + ; Bài 3 Tính các giới hạn sau a) 1 4 lim 1 4 n n − + ; b) 1 2 4 lim 1 3 4 n n n n − + + − ; c) 3 4 1 lim 2.4 2 n n n n − + + Bài 4: Tính các giới hạn sau a) 2 2 2 lim 1 3 n n n − − b) 2 lim( 5 1 )n n n+ + − c) 2 1 lim .3 n n n + d) 2 2 6 lim 2 x x x x → + − − e) 3 2 2 1 lim 1 x x x x →−∞ + − + f ) 2 lim ( 2 ) x x x x →+∞ − − Bài 5: Tính các giới hạn sau: a) 3 3 3 2 4 lim 72 5 n n n n + + + b) 4 24 2 16 2 4 lim 8 5 n n n n + + + ; Bài 6: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 10,tổng của năm số hạn đầu tiên của cấp số nhân đó bằng 155 16 . Tìm số hạn đầu tiên và công bội của cấp số nhân đó ? B.GIỚI HẠN CỦA MỘT HÀM SỐ; I. Kiến thức cơ bản: a) C là hằng số 0 lim x x C C → ⇒ = ; b) 0 0 lim x x x x → = a) lim ; k x x k Z + →+∞ = +∞ ∈ b) lim k x x →−∞ = +∞ , ∀ k là số lẻ ; lim k x x →−∞ = −∞ , ∀ k là số chẵn. Giới hạn một bên: 0 lim ( ) x x f x L → = ⇔ 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x L + − → → = = . Nếu ( ) ( ) 0 0 lim ;lim x x x x f x a g x b → → = = thì; a) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ;lim . . ; x x f x g x a b f x g x a b →∞ →∞ ± = ± =        b) ( ) ( ) ( ) 0, 0 lim x f x a g x b g x b →∞ ≠ ≠ ⇒ = ; c) ( ) ( ) 0 0,lim x f x a f x a →∞ ≥ ⇒ ≥ = . * Chú ý; 4. Vẫn đúng khi ;x x→ −∞ → +∞ … Giới hạn vô cực: a) Giới hạn của tích f(x).g(x); 9 0 lim ( ) x x f x → 0 lim ( ) x x g x → [ ] 0 lim ( ). ( ) x x f x g x → a > 0 + ∞ + ∞ - ∞ - ∞ a < 0 + ∞ - ∞ - ∞ + ∞ b) Giới hạn của thương f(x) g(x) 0 lim ( ) x x f x → 0 lim ( ) x x g x → Dấu của g(x) 0 ( ) lim ( ) x x f x g x → a ±∞ tùy ý 0 a > 0 0 + + ∞ - - ∞ a < 0 + - ∞ - + ∞ ______________________________________________________________________ II. 5 Ví dụ minh họa: ( Phân tích thành nhân tử ); ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 . 2 3 2 3 lim lim lim 2 3 5 1 1 x x x x x x x A x x x → → → − + + − = = = + = − − ; ( Chia cho tử và mẫu k x ); B = 3 3 2 2 3 4 lim 1 x x x x x →+∞ + − + + = 2 3 3 3 4 2 lim 1 1 1 x x x x x →+∞ + − + + = 2 ; ( Quy đồng, rút gọn ); C = ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 1 1 1 lim 1 lim lim lim 1 1 . 1 . 1 1 x x x x x x x x x x x x x − − − − → → → → − + − −   − = = = = −  ÷ + + + +   ; ( Nhân lượng liên hợp ); D = 2 2 lim 7 3 x x x → − + − = 2 ( 2)( 7 3) lim 2 x x x x → − + + − = 2 lim( 7 3) 6 x x → + + = ; ( Nhân lượng liên hợp và đặt nhân tử chung ); D = 2 lim ( ) x x x x →−∞ + + = 2 2 2 ) lim x x x x x x x →−∞ + − + − = lim 1 1 x x x x x →−∞ − − − = 1 1 lim 2 1 1 1 x x →−∞ − = − − + . III. Bài tập: Bài 1: Tính các giới hạn sau a) 1 1 lim 2 3 + − −→ x x x ; b) 1 4 lim 2 2 + − −→ x x x ; c) 1 72 lim 1 − − − → x x x ; d) 1 72 lim 1 − − + → x x x ; e) 1 17 lim 2 + +∞→ x x f) 52lim 2 +− −∞→ xx x ; g) ( ) 2 2 2 53 lim − − → x x x ; h) ( ) 1lim 24 −+− +∞→ xxx x ; i) ( ) 532lim 23 −+− −∞→ xx x ; Bài 2 Tính các giới hạn sau a) 1 2 2 3 lim 2 2 1 → + − − − x x x x x ; b) 3 3 2 5 15 lim 2 2 11 15 → − + + − + x x x x x x ; c) 1 3 5 6 1 lim 2 3 7 10 3 →− − − − − x x x x x ; d) 1 3 3 2 lim 4 4 3 → − + − + x x x x x Bài 3 Tính các giới hạn sau a) x xx x 25 1 lim 2 − ++ +∞→ ; b) 2 1 lim 5 2 →−∞ − − + x x x x ; c) 2 5 lim 3 4 →−∞ − + − x x x x ; d) 2 4 1 lim 1 2 →−∞ + − + − x x x x x ; Bài 4 Tính các giới hạn sau a) x x x − − +∞→ 4 62 lim ; f) x xx x + −+− +∞→ 3 12 lim 2 ; h) 3 2 5 8 4 3 lim 3 2 7 4 9 →−∞ − + + − − + x x x x x x ; Bài 5 Tính các giới hạn sau 10 [...]... (BCD) Bi 22 Cho t din ABCD cú AB (BCD) Trong tam giỏcBCD v cỏc ng cao BE; DF ct nhau ti O Trong (ADC) v DK vuụng gúc vi AC ti K Chng minh: a (ADC) (ABE) b (ADC) DFK) THAM KHO THI HC K II MễN TON KHI 11 NM HC 2010 2 011 T TON TIN - THPT TX SAEC 1 - I.PHN CHUNG DNH CHO TT C CC HC SINH ( 7,0 im ) Cõu 1:(1,5 im) Tỡm gii hn ca cỏc hm s sau: x 2 + 3x + 2 1 + 2x 1 2 1) lim 2) lim 3) xlim ( x... I.PHN CHUNG DNH CHO TT C CC HC SINH ( 7,0 im ) Bi 1 : ( 2,0 im) Tớnh cỏc gii hn sau õy : x 2 011 x2 + x 2 A = lim B = xlim 2 + 2010 x 1 x x 1 Bi 2: ( 2,0 im) 1) Xỏc nh giỏ tr ca m hm s f(x) liờn tc ti x0 = 0 khi x = 0 m 2 f ( x) = x + 2011x khi x 0 x 2) Chng minh rng phng trỡnh 2 x 4 + 2010 x 2 011 = 0 cú nghim Bi 3: ( 3,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA vuụng gúc (ABCD) v t giỏc ABCD l hỡnh... 3 5 x 2 + x 12/ y = 2 x 6x 2 3x 1 15/ y = 2 2x 4x + 1 7 18/ y = 9/ y = 4x 7 14/ y = 5x + 4 22) y = x 2 + x x + 1 2 3x 11/ y = x+3 3/ y = (3x3 2 x 2 ).(1 5 x) 6/ 1 cos3 x 3 1 x 1+ x 29) y = sin(cos5x) 7 y = 3sin 2 x 2sin 3 x 8 y = 1 + cos 2 x 2 9/ y = 2sin x + sin 2 x 11/ y = 3tan x + tan 3x + tan 3 x 13/ y = sin 2 (2 x 2 3x + 1) Bi 3 Tớnh o hm cp 2 ca cỏc hm s sau; 13 14/ y = cot 3 2 x +... ng thng SC v mt phng (ABCD) Tớnh cos 2 (1) Chng minh rng hai mt phng (SAC) v (SBD) vuụng gúc vi nhau 3 (1) Gi (P) l mt phng cha AD v vuụng gúc vi mt phng (SBC) Xỏc nh thit din ca hỡnh chúp S.ABCD khi ct bi mt phng (P) Tớnh din tớch ca thit din ny theo a 28 II.PHN RIấNG ( 3,0 im ) ( Hc sinh ch c lm phn 1 hoc phn 2 ) 1 Theo chng trỡnh chun Cõu IVa 1 Cho hm s f ( x ) = x x 2 + 1 Chng minh rng : f '( x... gúc gia ng thng SC v mt phng (ABCD) 2 (1) Chng minh rng hai mt phng (SAC) v (SBD) vuụng gúc vi nhau 3 (1) Gi (P) l mt phng i qua im A v vuụng gúc vi ng thng SC Xỏc nh thit din ca hỡnh chúp S.ABCD khi ct bi mt phng (P) Tớnh din tớch ca thit din ny theo a II.PHN RIấNG ( 3,0 im ) ( Hc sinh ch c lm phn 1 hoc phn 2 ) 1 Theo chng trỡnh chun Cõu IVa 29 1 Cho hm s f ( x ) = x 2 x +1 Chng minh rng f '( x )... 3 b) Ti im cú tung bng 2 2 Bi 9 Vit pttt ca th hm s y = 2 x 6 x + 5 ti im M(1; 1/5) x+4 Bi 10 Cho (C): y = f(x) = x 2 - 2x+3 Vit PTTT d ca (C); a)Ti im cú honh bng 1 b) Ti im cú tung bng 3 Bi 11 Vit PTTT ca (C) y = f(x)= a) Ti im M(2; 4) Bi 12 Cho y = f(x) = 2 - x+ x 2 x -1 b) Ti im cú honh = 2 3x + 1 (C) 1 x a) Vit PTTT ca (C) ti im A(2; 7) b) ti im cú tung bng -1 c) Vit PTTT ca (C) bit... vi th (C) bit rng tip tuyn song song vi ng thng (d) y = ==== ==== 3 1 x 1 2 - I.PHN CHUNG DNH CHO TT C CC HC SINH ( 7,0 im ) Bi 1 : ( 2,0 im) n ộ n 4 + 3n 2 ổ ử ự 2010 ỳ ờ ữ lim ờ 2 +ỗ ữ ữ ỗ2 011 ứ ỳ ố 4n - 3 ờ ỳ ở ỷ 1) Tỡm cỏc gii hn sau 2) Tỡm s hng u v cụng sai ca cp s nhõn, bit s hng th hai l 16 v tng ba s hng u bng 56 Bi 2 : ( 2,0 im) 1) Tớnh cỏc gii hn sau : lim x đ1 4x 2 - 5x + 1 x2 -... CHUNG CHO TT C TH SINH ( 7,0 im) Cõu I ( 1,5 im) Tỡm gii hn cỏc dóy s sau: 2009n 2 + n + 9 2 1) lim 2) lim n n n 2 n +3 Cõu II ( 1,5 im) Tớnh gii hn cỏc hm s 3 2 x+2 2 1) lim 2) xlim ( 2 x + 5 x 2 011) x 2 x2 4 Cõu III ( 1,5 im ) x2 + x 2 1) Tớnh o hm ca hm s: y = 2x + 1 2) Vit phng trỡnh tip tuyn vi th hm s y = x 3 3x2 3 ti im cú honh ( ) x0 = 1 Cõu IV (2,5 im)Cho hỡnh chúp S.ABC cú ng cao... hc theo chng trỡnh chun: 23 Cõu 5.a: (2,0 im) a) Cho hm s y = xsinx Chng minh rng: 2(y' sinx) x(y'' + y) = 0 b) Chng minh rng phng trỡnh sau luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca tham s thc m (1 m 2 )x 2 011 3x 1 = 0 Cõu 6.a: (1,0 im) Cho hỡnh hp ch nht ABCD.A1B1C1D1 cú AB = a, BC = b, CC1 = c.Chng t rng tt c cỏc ng chộo ca hỡnh hp u bng nhau v tớnh di ca cỏc ng chộo ú 2 Dnh cho hc sinh hc theo chng... tip tuyn (d ) vi th (C) ca hm s bit rng tip tuyn (d ) song song vi ng thng : y = 5 x + 3 2)Chng minh phng trỡnh f ( x) = 0 cú ớt nht mt nghim Cõu VIb(1 im) Cho hm s f (x) = x(x - 1)(x - 2) .(x - 2 011) Tớnh f(0) ==== ==== 10 - I - PHN CHUNG CHO TT C TH SINH ( 7,0 im) Cõu 1(1): Tớnh cỏc gii hn sau: 2 1) lim 3x - 2x - 2 2 2 2) lim ( 2x + x - 1 - x 2 ) x đ+ Ơ 4x + 1 Cõu 2(1,0): Tớnh o hm cỏc . K. Chứng minh: a. (ADC) ⊥ (ABE) b. (ADC) ⊥ DFK) ĐỀ THAM KHẢO THI HỌC KỲ II MÔN TOÁN KHỐI 11 NĂM HỌC 2010 – 2 011 TỔ TOÁN TIN - THPT TX SAĐEC ĐỀ 1  I.PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH. 0,666 b)0,2121 c)0,3 2111 B.GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. HÀM SỐ LIÊN TỤC. I. Kiến thức cơ bản: 1)Giới hạn của hàm số: -Quy tắc tìm giới hạn vô cực:quy tắc 1, quy tắc 2 SGK (lớp 11 nâng cao) trang 160-161. -Các. sao cho OH ⊥ (ABC).Chứng minh rằng: a) BC ⊥ (OAH). b)H là trực tâm của tam giác ABC . c) 2222 111 1 OCOBOAOH ++= . Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a,AD= 3a . Cạnh